2019-2020学年安徽省池州市高一上学期期末数学试题(解析版)

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2019-2020学年安徽省池州市高一上学期期末数学试题(解析版)

‎2019-2020学年安徽省池州市高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1.已知集合,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】直接由集合计算其并集即可.‎ ‎【详解】‎ 因为,,‎ 所以,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了并集的运算,属于基础题.‎ ‎2.函数的定义域为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据二次根式下大于等于0,分母不为0,对数的真数大于0列出不等式组,解出即可.‎ ‎【详解】‎ 由解得,‎ 所以定义域为,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了具体函数的定义域,考查了学生的计算能力,属于基础题.‎ ‎3.已知向量,,若,则( )‎ A. B. C. D.8‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据平面向量平行的坐标表示,列出方程求出的值即可.‎ ‎【详解】‎ 因为,‎ 所以,即,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了平面向量平行的坐标表示的应用问题,属于基础题.‎ ‎4.函数的图象向右平移个单位长度,得到的图象,则( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据“左加右减”原则,直接将变为即可得.‎ ‎【详解】‎ 由题意知,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数图象的左右平移问题,充分理解“左加右减”原则是解题的关键,属于基础题.‎ ‎5.函数在下列哪个区间必有零点( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据所给的函数,写出在下面几个选项中端点出现的函数值,找一个区间的两个端点函数值异号的区间,得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎∵,,,‎ ‎∴,‎ ‎∴在区间内必有零点.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的零点的判定定理的应用,属于基础题.‎ ‎6.已知,,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎∵,,,‎ ‎∴,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了指数函数与对数函数的单调性,属于基础题.‎ ‎7.已知函数的部分图象如图所示,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据已知中函数的图象,分析出函数的周期,确定的值,将代入解析式,结合,可求出值.‎ ‎【详解】‎ 由图象可知周期,所以,‎ 故,代入点,得,即,因为,所以,即,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查的知识点正弦型函数解析式的求法,其中关键是要根据图象分析出函数的最值,周期等,进而求出参数的值,属于中档题 ‎8.已知定义在上的偶函数满足,且当时,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】易得函数是以3为周期的偶函数,故,再结合当时,,即可得出结论.‎ ‎【详解】‎ 因为,所以是周期为3的函数,‎ 又是偶函数,‎ 所以,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抽象函数及其应用,着重考查通过函数的奇偶性与周期性求函数的值,属于中档题.‎ ‎9.实践课上小华制作了一副弓箭,如图所示的是弓形,弓臂是圆弧形,A是弧的中点,是弦的中点,测得,(单位:),设弧所对的圆心角为(单位:弧度),则弧的长为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】作出弓形所在圆的圆心,连接,,设圆半径为,根据垂径定理求出的值,再根据弧长公式即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 如图,‎ 作出弓形所在圆的圆心,连接,,‎ 设圆半径为,则在中,,‎ 解得,故弧的长,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查弧长的计算,解题的关键是掌握线段中垂线的性质,三角函数的应用及弧长公式,垂径定理等知识点,属于中档题.‎ ‎10.已知则( )‎ A.1 B. C. D.6‎ ‎【答案】D ‎【解析】由函数的解析式易得,,由此能求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ 所以,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分段函数中函数值的求法,考查函数性质等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题.‎ ‎11.如图,在平面直角坐标系中,第一象限内的点和第二象限内的点都在单位圆上,,.若,则的值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义,同角三角函数基本关系求得的值,再利用两角差的余弦公式,求得的值.‎ ‎【详解】‎ 由三角函数的定义有,,‎ 因为点在第二象限内,所以,‎ 所以 ‎,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查任意角的三角函数的定义,同角三角函数的基本关系,两角和差的三角公式,属于中档题.‎ ‎12.设且,若对任意,总存在使得成立,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据对数的运算性质可将题意转化为当时,函数的值域是,求参数的范围问题,结合二次函数的性质列出不等式组,解出即可.‎ ‎【详解】‎ 由可得,即.‎ 易知当时,函数的值域是,‎ 所以解得,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了对数的运算性质以及二次函数的值域,转化与化归的思想,考查了学生的计算能力,属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13.________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将表示成,然后直接利用诱导公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用诱导公式求三角函数值,熟记诱导公式是解题的关键,属于基础题.‎ ‎14.设,,则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】通过的范围计算出和的范围,由的值可得的值,最后根据二倍角的余弦即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为,所以,,‎ 所以,,‎ 又因为,所以,‎ 结合,解得,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了通过同角三角函数的基本关系,二倍角的余弦公式计算三角函数值,属于中档题.‎ ‎15.已知函数(且)是奇函数,则______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】因为的定义域为,直接由可得的值,检验成立即可.‎ ‎【详解】‎ 易知的定义域为,因为是奇函数,‎ 所以,得,检验符合题意.‎ 故答案为:1.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了通过函数的奇偶性求参数的值,当利用特殊值时,需注意检验,属于基础题.‎ ‎16.已知函数,若关于的方程有六个不相等的实数根,则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作出的图象,将原方程等价转化为或,通过图象易得只有两个解,故的图象和的图象有四个交点即可,通过图象可得的范围.‎ ‎【详解】‎ 作出的图象,如图所示:‎ 由 得,‎ 所以或.‎ 因为只有两个零点,所以有四个零点 作函数和函数的图象,‎ 可知当时,的图象和的图象有四个交点,解得,‎ 故的取值范围是,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了根的存在性及根的个数的判断,转化为求函数图象交点的个数,并用图象法进行解答是本题的关键,考查数形结合思想,属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17.设全集,集合,.‎ ‎(1)当时,求;‎ ‎(2)若,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)或(2)‎ ‎【解析】(1)将代入可得,解指数不等式可得集合,先求,再求即可;‎ ‎(2)根据,判断出,由此可列出关于的不等式组,解出即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)当时,.‎ 因为,所以或.‎ 所以或;‎ ‎(2)因为,所以.‎ 因为,,‎ 所以解得.‎ 故实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了交、并、补集的混合运算,指数不等式的解法,考查了由集合间的相互关系求参数的值,属于中档题.‎ ‎18.已知.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求的值.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】(1)由已知条件可得的值,利用二倍角的正切公式即可得结果;‎ ‎(2)利用诱导公式以及二倍角的余弦公式化简,然后利用齐次式思想,用表示所求式子,代入即可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意可知,显然,得,‎ 所以.‎ ‎(2)原式 ‎,‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用诱导公式,二倍角公式进行化简三角函数表达式解决给值求值型问题,考查了解决齐次式问题,属于中档题.‎ ‎19.已知函数.‎ ‎(1)求的对称轴方程;‎ ‎(2)求在上的单调递减区间.‎ ‎【答案】(1)(2)单调递减区间为,.‎ ‎【解析】(1)令,解出的值即可得函数的对称轴方程;‎ ‎(2)由不等式解出,取,所对应的区间在和取交集即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由,得,即,‎ 所以的对称轴方程为.‎ ‎(2)由,得,‎ 即.‎ 当时,;‎ 当时,,‎ 所以在上的单调递减区间为,.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了余弦型函数的对称轴方程的求法,求余弦函数在给定区间内的单调性,熟练掌握余弦函数的性质是解题的关键,属于中档题.‎ ‎20.已知函数,其中是非零常数.‎ ‎(1)当时,用定义证明:是上的递增函数;‎ ‎(2)当时,求不等式的解集.‎ ‎【答案】(1)证明见解析(2)‎ ‎【解析】(1)直接利用单调递增函数的定义证明即可;‎ ‎(2)原不等式即,代入化简可得 ‎,不等式两边同时取对数即可得不等式的解.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)证明:任取,,且,‎ 则,‎ 因为,所以,,又,所以,‎ 所以,即,‎ 所以是上的递增函数.‎ ‎(2)即为,‎ 由,‎ 得,即,‎ 因为,所以,‎ 故不等式的解集为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用定义证明函数单调性,以及不等式的求解,熟练掌握指数、对数的运算性质是解题的关键,属于中档题.‎ ‎21.已知函数的最小正周期为.‎ ‎(1)求在区间上的最大值;‎ ‎(2)设点,B是的图象上两点(其中),与轴平行,点在点的左侧,且,求实数的值.‎ ‎【答案】(1)最大值为(2)‎ ‎【解析】(1)利用降幂公式可将已知等式化为,通过最小正周期可得的值,即得到函数的解析式,由的范围求出的范围,结合正弦函数的性质即可得结果;‎ ‎(2)可得,将两点代入结合两角和的正弦公式展开即可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎(1).‎ 因为的最小正周期为,且.所以,即,‎ 所以.‎ 由,得,所以,所以,‎ 故,‎ 所以在区间上的最大值为,当且仅当时取得最大值.‎ ‎(2)由题意可知,‎ 则.‎ 即,所以,所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的图象与性质,两角和公式以及降幂公式的应用,将三角函数化为一般形式是解题的关键,属于中档题.‎ ‎22.已知函数,其中为实数 ‎(1)当时,若在区间上恒成立,求实数的取值范围;‎ ‎(2)是否存在实数,使得关于的方程有三个不同的实数解?若存在,求实数的取值范围;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(1)(2)存在,实数的取值范围是 ‎【解析】(1)当时,,判断出函数在上的单调性,求出其最小值即可;‎ ‎(2)通过对原方程进行化简,设,则原题意化为有两个不同的实数根,,且满足,或,,利用数形结合思想,由二次函数根的分布列出不等式组,解出即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)当时,,‎ 因为,在区间上均为递增函数,‎ 所以在区间上是递增函数,‎ 故在区间上的最小值为,因为,所以,‎ 故只需,所以实数的取值范围是:‎ ‎(2)方程即为,可化为,,‎ 设,则方程化为,‎ 因为方程有三个不同的实数解,所以由的图象可知,有两个不同的实数根,,‎ 且满足,或,.‎ 记,则或 解得,‎ 所以实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用函数的单调性求函数的最值解决恒成立问题,二次函数根的分布问题,考查了转化与化归思想,属于章节综合题.‎
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