【数学】广东省湛江市2019-2020学年高二上学期期末考试试卷

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【数学】广东省湛江市2019-2020学年高二上学期期末考试试卷

广东省湛江市2019-2020学年高二上学期期末考试试卷 ‎ 说明:本卷满分150分.考试用时120分钟.‎ 题号 一 二 三 总分 ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ 得分 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请把正确答案的代号填入下面的表格内.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 得分 选项 ‎1. 已知命题:,,则是 A. B.‎ C. D.‎ ‎2.不等式的解集为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎3. 已知是等比数列,,,则公比 A. B.-2 C.2 D.‎ ‎4. 若向量,向量,且满足向量//,则等于 A. B. C. D.‎ ‎5. 已知抛物线上一点纵坐标为,则点到抛物线焦点的距离为 A. B. C. D.‎ ‎6. 椭圆的一个焦点与抛物线焦点重合,则椭圆的离心率是 A. B. C. D.‎ ‎7. 在中,若,则角B为 A. B. C. D. ‎ ‎8. 在等差数列中,若,则的值为 A.48 B.36 C.24 D.60‎ ‎9. 若实数满足不等式组,且的最大值为 A.1 B.3 C.2 D.4‎ ‎10.在中,“”是“”的 A.充分而不必要条件 B.充分必要条件 C.必要而不充分条 D.既不充分也不必要条件 ‎11. 若a>b,则下列不等式一定成立的是 A. B. C. D.‎ ‎12.已知点为双曲线的右焦点,直线与交于两点,若,设,且,则该双曲线的离心率的取值范围是 A. B. C. D.‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.‎ ‎13. 写出命题“若且,则”的逆否命题:_______________.‎ ‎14. 不等式的解集为_______________.‎ ‎15. 已知正数,,满足则的最小值为_______________.‎ ‎16. 已知平行六面体,,‎ ‎,‎ 则_______________.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分10分)已知的周长为,且.‎ ‎(1)求边的长;‎ ‎(2)若的面积为,求角的度数.‎ ‎18.(本小题满分12分)已知数列的前项和为,且满足().‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)求数列的前项和.‎ ‎19.(本小题满分12分)已知抛物线焦点为F,抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等.‎ ‎(1)求抛物线的方程;‎ ‎(2)设过点的直线与抛物线交于A,B 两点,若以AB为直径的圆过点F,求直线的方程.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知关于的不等式,其中.‎ ‎(1)当时,求不等式的解集;‎ ‎(2)当,试求不等式的解集.‎ ‎21.(本小题满分12分) ‎ 将边长为的正方形沿对角线折叠,使得平面,平面,平面,是的中点,且.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)求二面角的大小.‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ B 已知椭圆的左、右顶点分别为,,左、右焦点分别为,,离心率为,点,为线段的中点.‎ ‎()求椭圆的方程.‎ ‎()若过点且斜率不为的直线与椭圆交于 ‎、两点,已知直线与相交于点,‎ 试判断点是否在定直线上?若是,请求出定直线的方程;若不是,请说明理由.‎ 参考答案 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)‎ ‎1. D 2. C 3. C 4. D 5. C 6. D ‎ ‎7. B 8. A 9. B 10. B 11. A 12. B 详解:‎ ‎12. 如图,设双曲线的左焦点为,连.由于四边形为矩形,故.‎ 在中,,‎ 由双曲线的定义可得 ‎,‎ ‎∴.‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴.即双曲线的离心率的取值范围是. ‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13. “若,则或”; 14.; 15. ; 16. .‎ 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. 解:(1)由题意及正弦定理,得. ………………1分 ‎∵, ………………2分 ‎∴,. ………………5分 ‎(2)∵,‎ ‎∴. ………………7分 又∵,由余弦定理,得 ‎ ,‎ ‎ ………………9分 ‎∴. ………………10分 ‎18.解:(1)当时,,;………………1分 当时,,①‎ ‎,② ………………3分 ① ‎②得,,,, ………5分 数列是以1为首项,3为公比的等比数列,所以.  ……6分 ‎(2)由(1)得, ………………7分 ‎,①‎ ‎,② ………………8分 ① ‎②,得 ‎. ………………10分 所以.  ………………12分 ‎19.解: (1)抛物线上横坐标为的点纵坐标, 到原点的距离,‎ ‎ ………………3分 解得,抛物线的方程为: .………………5分 ‎ ‎(2)由题意可知,直线不垂直于y轴………………6分 可设直线 ,………………7分 则由 可得, ,………………8分 设 ,则 ,………………9分 因为以为直径的圆过点,所以,即 ………………10分 可得:‎ ‎ , 解得: ,………………11分 ‎∴直线 ,即. ………………12分 ‎20.解:(1)当时,不等式为,即,‎ ‎………………1分 ‎∴,即原不等式的解集为;………………3分 ‎(2)(i)时,原不等式化为,解得: ,………………4分 ‎(ii),不等式可化为,………………5分 又,………………7分 ‎∴或,即解集为.………………8分 ‎(iii)时,原不等式化为,………………9分 又,∴,………………11分 综上所述 :当时,解集是 ;当时,解集是;当时,解集是………………12分 ‎21.(1)证明:以为坐标原点,所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系, ………………1分 如图所示,则,,………………2分 连结 .由题意得,‎ 又平面平面,‎ 平面,‎ ‎,………………4分 ‎,‎ ‎,,‎ ‎.………………6分 ‎(2)解:设平面的法向量为,‎ ‎,,………………7分 取 ,得:.………………8分 平面的法向量为,‎ 所以,,………………9分 由得.………………10分 设二面角为,则,………………11分 所以二面角的大小为.………………12分 ‎22.解:(1)设点,由题意可知:,即 ①‎ 又因为椭圆的离心率,即 ②………………2分 联立方程①②可得:,则………………3分 所以椭圆的方程为.………………4分 ‎(2)设,两两不等,‎ 因为三点共线,所以,‎ 整理得: ………………6分 又三点共线,有: ①‎ 又三点共线,有: ② ………………8分 将①与②两式相除得:‎ 即,………………10分 将即代入得:‎ 解得(舍去)或,所以点在定直线上.………………12分
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