数学文·吉林省四平一中2017届高三上学期第一次月考数学文试卷+Word版含解析

数学文·吉林省四平一中2017届高三上学期第一次月考数学文试卷+Word版含解析

四平市第一高级中学2016-2017学年度上学期第一次月考 高三数学试卷（文科）‎ 考生注意：‎ ‎ 1、本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分，共4页，考试时间120分钟，考试结束后，只交答题卡。‎ ‎ 2、客观题请用2B铅笔填涂在答题卡上，主观题用黑色碳素笔写在答题卡上。‎ 第Ⅰ卷 （选择题，满分60分）‎ 一、 选择题：本大题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有 ‎ 一项是符合题目要求的。‎ ‎1、已知集合，，则 （ ）‎ ‎ A．　　 B．　　 C．　 D．‎ ‎2、函数的定义域为 （ ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎3、一道数学试题，甲、乙两位同学独立完成，设命题是“甲同学解出试题”，命题是 ‎ “乙同学解出试题”，则命题“至少有一位同学没有解出试题”可表示为 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎4、设都是不等于的正实数，则“”是“”的 （ ）‎ ‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 ‎ ‎ C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5、函数 ，则的图象是 （ ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎6、已知为正实数，则 （ ）‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎7、设函数在上单调递增，则与的大小关系是（ ） ‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．不能确定 ‎ ‎8、函数的最大值、最小值分别为、，则 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎9、设二次函数，若，则的值为 （ ）‎ ‎ A．正数 B．负数 C．非负数 D．正数、负数和零都有可能 ‎10、若直角坐标平面内的两点、满足条件：①、都在函数的图象上；‎ ‎②、关于原点对称。则称点对是函数的一对“友好点对”（注：‎ 点对与看作同一对“友好点对”）。已知函数，‎ 则此函数的“友好点对”有 （ ）‎ ‎ A．对 B．对 C．对 D．对 11、 已知函数，，实数满足，‎ ‎ 若，，使得成立，则的最大值为（ ）‎ A． ‎ B． C． D．‎ ‎12、若关于的方程有五个互不相等的实根，则的取值范围 ‎ 是 （ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎ 第Ⅱ卷 （非选择题，满分90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在答题卡相应的位置上）‎ ‎13、命题“对任意，都有”的否定为__________________________。‎ ‎14、已知集合，，则_________。‎ ‎15、已知，，，则的大小关系是________。‎ ‎16、下列四个命题：‎ ‎①函数的图象与直线的交点个数为或；‎ ‎②设函数，若当，时，总有，‎ ‎ 则；‎ ‎③当时，函数的值域为；‎ ‎④与函数的图象关于点对称的图象对应的函数为。‎ 其中所有正确命题的序号为__________。（把所有正确命题的序号都填上）‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17、（本小题10分）‎ 已知集合，，全集为实数集。 ‎ ‎ （1）求；‎ ‎ （2）求（∁ ） 。‎ ‎ 18、（本小题12分）‎ ‎ 已知函数。‎ ‎ （1）求函数的解析式；‎ ‎ （2）若方程在区间内有两个不相等的实根，求实数的取值范围。‎ ‎19、（本小题12分）‎ ‎ 设函数。 ‎ ‎ （1）当，时，求函数的零点；‎ ‎ （2）若对任意，函数恒有两个不同零点，求实数的取值范围。‎ ‎20、(本小题12分)选修4-5：不等式选讲 ‎ 已知函数。‎ ‎ （1）求不等式的解集；‎ ‎ （2）设为正实数，且，求证：。‎ ‎ ‎ ‎21、（本小题12分）选修4-4：极坐标与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），且曲线上的点对应的参数。以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线是圆心在极轴上且经过极点的圆。射线与曲线交于点。 ‎ ‎ （1）求曲线的普通方程，曲线的极坐标方程；‎ ‎ （2）若，是曲线上的两点，求的值。‎ ‎22、（本小题12分）‎ 已知函数（常数）。‎ ‎ （1）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎ （2）讨论函数在区间上零点的个数（为自然对数的底数）。‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年吉林省四平一中高三（上）第一次月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（2015•新课标II）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A∩B=（　　）‎ A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【专题】集合．‎ ‎【分析】解一元二次不等式，求出集合B，然后进行交集的运算即可．‎ ‎【解答】解：B={x|﹣2＜x＜1}，A={﹣2，﹣1，0，1，2}；‎ ‎∴A∩B={﹣1，0}．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】考查列举法、描述法表示集合，解一元二次不等式，以及交集的运算．‎ ‎　‎ ‎2．（2014•山东）函数f（x）=的定义域为（　　）‎ A．（0，） B．（2，+∞） C．（0，）∪（2，+∞） D．（0，]∪[2，+∞）‎ ‎【考点】函数的定义域及其求法．‎ ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】根据函数出来的条件，建立不等式即可求出函数的定义域．‎ ‎【解答】解：要使函数有意义，则，‎ 即log2x＞1或log2x＜﹣1，‎ 解得x＞2或0＜x＜，‎ 即函数的定义域为（0，）∪（2，+∞），‎ 故选：C ‎【点评】本题主要考查函数定义域的求法，根据对数函数的性质是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎　‎ ‎3．（2016秋•四平校级月考）一道数学试题，甲、乙两位同学独立完成，设命题p是“甲同学解出试题”，命题q是“乙同学解出试题”，则命题“至少有一位同学没有解出试题”可表示为（　　）‎ A．（￢p）∨（￢q） B．p∨（￢q） C．（￢p）∧（￢q） D．p∨q ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【专题】对应思想；综合法；简易逻辑．‎ ‎【分析】根据复合命题的定义判断即可．‎ ‎【解答】解：由于命题“至少有一位同学没有解出试题”指的是：‎ ‎“甲同学没有解出试题”或“乙同学没有解出试题”，‎ 故此命题可以表示为￢p∨￢q 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查复合命题的真假，掌握其真假判断规则是解答的关键．‎ ‎　‎ ‎4．（2015•四川）设a、b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的（　　）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【专题】简易逻辑．‎ ‎【分析】求解3a＞3b＞3，得出a＞b＞1，‎ loga3＜logb3，或根据对数函数的性质求解即可，‎ 再利用充分必要条件的定义判断即可．‎ ‎【解答】解：a、b都是不等于1的正数，‎ ‎∵3a＞3b＞3，‎ ‎∴a＞b＞1，‎ ‎∵loga3＜logb3，‎ ‎∴，‎ 即＜0，‎ 或 求解得出：a＞b＞1或1＞a＞b＞0或b＞1，0＜a＜1‎ 根据充分必要条件定义得出：“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的充分条不必要件，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题综合考查了指数，对数函数的单调性，充分必要条件的定义，属于综合题目，关键是分类讨论．‎ ‎　‎ ‎5．（2016秋•四平校级月考）函数f（x）=，则y=f（1﹣x）的图象是（　　）‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】根据解析式化简y=f（1﹣x），由指数、对数函数的单调性判断出此函数的单调区间，结合选项即可选出答案．‎ ‎【解答】解：由题意得，f（x）=，‎ 则y=f（1﹣x）==，‎ 所以当x=0时，y=3，且在[0，+∞）是减函数，在（﹣∞，0）上是增函数，‎ 根据A、B、C、D选项中的图象，只有C的图象符合条件，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查分段函数的图象，以及指数、对数函数的单调性的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎6．已知x，y为正实数，则（　　）‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎【考点】有理数指数幂的化简求值；对数的运算性质．‎ ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】直接利用指数与对数的运算性质，判断选项即可．‎ ‎【解答】解：因为as+t=as•at，lg（xy）=lgx+lgy（x，y为正实数），‎ 所以2lg（xy）=2lgx+lgy=2lgx•2lgy，满足上述两个公式，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查指数与对数的运算性质，基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎7．（2011•安徽模拟）设函数f（x）=loga|x|在（﹣∞，0）上单调递增，则f（a+1）与f（2）的大小关系是（　　）‎ A．f（a+1）=f（2） B．f（a+1）＞f（2） C．f（a+1）＜f（2） D．不能确定 ‎【考点】对数函数的单调性与特殊点；函数单调性的性质．‎ ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】本题是个偶函数，其在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，根据复合函数的单调性可以判断出，外层函数是个减和，所以a∈（0，1），即a+1＜2由单调性可知，f（a+1）＞f（2）‎ ‎【解答】解：由f（x）=‎ 且f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，易得0＜a＜1．‎ ‎∴1＜a+1＜2．‎ 又∵f（x）是偶函数，‎ ‎∴f（x）在（0，+∞）上单调递减．‎ ‎∴f（a+1）＞f（2）．‎ 答案：B ‎【点评】本题考查复合函数的单调性，偶函数的性质，需答题者灵活选用这些性质来解题．‎ ‎　‎ ‎8．（2016秋•四平校级月考）函数f（x）=+3的最大值、最小值分别为M、n，则M+n=（　　）‎ A．0 B．3 C．6 D．9‎ ‎【考点】函数的最值及其几何意义．‎ ‎【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】令g（x）=，得到g（x）为奇函数，得到g（x）max+g（x）min=0，相加可得答案．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=+3，‎ 设g（x）=，‎ ‎∴g（﹣x）==﹣g（x），‎ ‎∴g（x）为奇函数，‎ ‎∴g（x）max+g（x）min=0‎ ‎∵M=3+g（x）max，n=3+g（x）min，‎ ‎∴M+n=3+3+0=6，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查了利用函数的奇偶性求函数的最大值与最小值，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎9．（2014•枣庄校级模拟）设二次函数f（x）=x2﹣x+a（a＞0），若f（m）＜0，则f（m﹣1）的值为（　　）‎ A．正数 B．负数 C．非负数 D．正数、负数和零都有可能 ‎【考点】二次函数的性质；函数的值．‎ ‎【专题】计算题；数形结合．‎ ‎【分析】先由函数f（x）=x2﹣x+a（a＞0）的对称轴为x=，a＞0，以及f（0）=a＞0得到对应的大致图象，再利用f（m）＜0⇒0＜m＜1⇒m﹣1＜0结合图象即可求得结论．‎ ‎【解答】解：因为函数f（x）=x2﹣x+a（a＞0）的对称轴为x=，‎ 又因为a＞0，故f（0）=a＞0对应的大致图象如图：‎ 由f（m）＜0⇒0＜m＜1⇒m﹣1＜0⇒f（m﹣1）＞0．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查二次函数的性质，解决本题的关键在于通过已知条件画出对应图象，由图象求出m的取值范围，进而求的结论．‎ ‎　‎ ‎10．（2014•梅州一模）若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件：‎ ‎①P、Q都在函数y=f（x）的图象上；‎ ‎②P、Q关于原点对称，则称点对[P，Q]是函数y=f（x）的一对“友好点对”（点对[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”），‎ 已知函数f（x）=，则此函数的“友好点对”有（　　）‎ A．0对 B．1对 C．2对 D．3对 ‎【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．‎ ‎【专题】压轴题；新定义．‎ ‎【分析】根据题意：“友好点对”，可知，欲求f（x）的“友好点对”，只须作出函数y=﹣x2﹣4x（x≤0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数f（x）=log2x（x＞0）交点个数即可．‎ ‎【解答】解：根据题意：当x＞0时，﹣x＜0，则f（﹣x）=﹣（﹣x）2﹣4（﹣x）=﹣x2+4x，‎ 可知，若函数为奇函数，可有f（x）=x2﹣4x，‎ 则函数y=﹣x2﹣4x（x≤0）的图象关于原点对称的函数是y=x2﹣4x 由题意知，作出函数y=x2﹣4x（x＞0）的图象，‎ 看它与函数f（x）=log2x（x＞0）交点个数即可得到友好点对的个数．‎ 如图，‎ 观察图象可得：它们的交点个数是：2．‎ 即f（x）的“友好点对”有：2个．‎ 故答案选 C．‎ ‎【点评】本题主要考查了奇偶函数图象的对称性，以及数形结合的思想，解答的关键在于对“友好点对”的正确理解，合理地利用图象法解决．‎ ‎　‎ ‎11．（2016秋•四平校级月考）已知函数f（x）=﹣，g（x）=log3x+3x（x≤1），实数a，b满足a＜b＜﹣1，若∀x1∈[a，b]，∃x2∈（0，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，则b﹣a的最大值为（　　）‎ A．4 B．2 C．2 D．3‎ ‎【考点】函数的最值及其几何意义．‎ ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】求出g（x）max=g（1）=3，令t=x+1（t＜0），设h（t）=﹣2﹣（t﹣），作函数y=h（t）的图象如图所示，由h（t）=3得t=﹣1或t=﹣4，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵g（x）=log3x+3x（x≤1）为增函数，‎ ‎∴g（x）max=g（1）=3．‎ f（x）=﹣=﹣[2+（x+1）+]，‎ 令t=x+1（t＜0），设h（t）=﹣2﹣（t+），作函数y=h（t）的图象如图所示，‎ 由h（t）=3得t=﹣1或t=﹣4，‎ ‎∴b﹣a的最大值为3．‎ 故选：D ‎【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的最大值，考查数形结合的数学思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．（2014•原阳县校级模拟）若关于x的方程|x+|﹣|x﹣|﹣kx﹣1=0有五个互不相等的实根，则k的取值范围是（　　）‎ A．（﹣，） B．（﹣∞，﹣）∪（，+∞） C．（﹣∞，﹣）∪（，+∞） D．（﹣，0）∪（0，）‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】方程|x+|﹣|x﹣|﹣kx﹣1=0，得到|x+|﹣|x﹣|=kx+1，设函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|，g（x）=kx+1，然后分别作出函数f（x）和g（x）的图象，利用图象确定k的取值范围 ‎【解答】解：∵方程|x+|﹣|x﹣|﹣kx﹣1=0，‎ ‎∴|x+|﹣|x﹣|=kx+1，‎ 设函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|，g（x）=kx+1，‎ 则f（x）=，‎ 当x＞1时，由直线g（x）=kx+1与f（x）=相切时，得kx+1=，‎ 即kx2+x﹣2=0，由△=1+4×2k=0，解得k=﹣，‎ 当x＜﹣1时，由直线g（x）=kx+1与f（x）=﹣相切时，得kx+1=﹣，‎ 即kx2+x+2=0，由△=1﹣4×2k=0，解得k=，‎ ‎∴要使关于x的方程有五个互不相等的实根，‎ 则由图象可知﹣＜k＜0或0＜k＜，‎ 即k的取值范围是（﹣，0）∪（0，），‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查方程根的个数的应用，利用方程和函数之间的关系，作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，难度较大 ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）‎ ‎13．（2015•张家港市校级模拟）命题“任意x∈R，都有x2≥0”的否定为　“存在x∈R，有x2＜0”　．‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【专题】简易逻辑．‎ ‎【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到命题的否定．‎ ‎【解答】解：∵全称命题的否定是特称命题，‎ ‎∴命题“任意x∈R，都有x2≥0”的否定为：“存在x∈R，有x2＜0”．‎ 故答案为：“存在x∈R，有x2＜0”．‎ ‎【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题即可得到结论．‎ ‎　‎ ‎14．（2016秋•四平校级月考）已知集合A={y|y=x2﹣2x，x∈R}，B={y|=﹣x2+2x+6，x∈R}，则A∩B=　[﹣1，7]　．‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【专题】函数的性质及应用；集合．‎ ‎【分析】分别求解两个二次函数的值域化简集合A，B，然后利用交集运算得答案．‎ ‎【解答】解：∵y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1≥﹣1，‎ ‎∴A={y|y=x2﹣2x，x∈R}=[﹣1，+∞）；‎ ‎∵y=﹣x2+2x+6=﹣（x﹣1）2+7≤7，‎ B={y|y=﹣x2+2x+6，x∈R}=（﹣∞，7]．‎ ‎∴A∩B=[﹣1，+∞）∩（﹣∞，7]=[﹣1，7]．‎ 故答案为：[﹣1，7]．‎ ‎【点评】本题考查交集及其运算，考查了二次函数值域的求法，是基础的计算题．‎ ‎　‎ ‎15．（2010秋•泰州校级期中）a=log0.70.8，b=log1.10.9，c=1.10.9，那么a、b、c 的大小关系是　b＜a＜c　．‎ ‎【考点】对数函数的单调性与特殊点．‎ ‎【专题】计算题；函数思想．‎ ‎【分析】根据对数函数的图象和性质，易知0＜log0.70.8＜1，log1.10.9＜0，由指数函数的图象和性质，易知1.10.9＞1，得到结论．‎ ‎【解答】解：根据对数函数y=log0.7x，y=log1.1x的图象和性质，‎ 可知0＜log0.70.8＜1，log1.10.9＜0‎ 由指数函数y=1.1x的图象和性质，‎ 可知c=1.10.9＞1‎ ‎∴b＜a＜c 故答案为：b＜a＜c ‎【点评】本题主要考查数的大小比较，一般来讲是要转化为函数应用函数的单调性和图象分布来解决．‎ ‎　‎ ‎16．（2013秋•吉林期末）下列说法正确的有　①②④　 （只填序号）‎ ‎①函数y=f（x）的图象与直线x=1的交点个数为0或1；‎ ‎②设函数f（x）=x2+（2a﹣1）x+4，若当x1＜x2，x1+x2=0时，总有f（x1）＞f（x2），则；‎ ‎③时，函数y=lg（x2+x+a）的值域为R；‎ ‎④与函数y=f（x）﹣2的图象关于点（1，﹣1）对称的图象对应的函数为y=﹣f（2﹣x）．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】此题考查了函数的定义、对称性、值域等问题、一元二次函数的实根分布问题 ‎【解答】解：①考查了函数的定义，函数必须是一对一或者一对多的，所以用直线x=1截f（x）的交点个数为0或1，故①对 ‎ ②一元二次函数的实根分布问题，只需要考查对称轴x=，得到，故②对 ‎ ③函数y=lg（x2+x+a）的值域为R应满足1﹣4a≥0，即，故③错 ‎ ④不妨设g（x）=f（x）﹣2，则由对称性可知，g（x）与﹣2﹣g（2﹣x）关于点（1，﹣1）对称，即﹣2﹣g（2﹣x）=﹣f（2﹣x）．故④对 故答案为：①②④‎ ‎【点评】此题主要考察了必修一函数方面的函数的定义、对称性、值域等问题、一元二次函数的实根分布问题，希望学生对于函数的理解加深．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共4小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（10分）（2016秋•四平校级月考）已知集合A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，全集为实数集R ‎（1）求A∪B ‎（2）求（∁RA）∩B．‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算．‎ ‎【专题】对应思想；定义法；集合．‎ ‎【分析】（1）根据集合的并集的定义进行计算即可．‎ ‎（2）根据集合的交集补集的定义进行计算．‎ ‎【解答】解：（1）因为集合A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，‎ 所以A∪B═{x|2＜x＜10}．‎ ‎（2）∁RA={x|x≥7或x＜3}，‎ 则（∁RA）∩B={x|2＜x＜3或7≤x＜10}．‎ ‎【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据集合的交集并集补集的定义是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2016秋•四平校级月考）已知函数f（log2x）=x2+2x．‎ ‎（1）求函数f（x）的解析式；‎ ‎（2）若方程f（x）=a•2x﹣4在区间（0，2）内有两个不相等的实根，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断；函数解析式的求解及常用方法．‎ ‎【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】（1）令t=log2x，使用换元法得出f（x）的解析式；‎ ‎（2）令2x=m，则关于m的方程m2+（2﹣a）m+4=0在（1，4）上有两解，根据二次函数的性质列不等式解出a的范围．‎ ‎【解答】解：（1）设t=log2x，t∈R，则x=2t，‎ f（t）=22t+2•2t=4t+2t+1．‎ ‎∴f（x）=4x+2x+1．‎ ‎（2）∵方程f（x）=a•2x﹣4在区间（0，2）内有两个不相等的实根，∴4x+（2﹣a）2x+4=0在（0，2）有两个不等实根．‎ 令2x=m，h（m）=m2+（2﹣a）m+4，则m∈（1，4）．‎ ‎∴h（m）=0在（1，4）上有两个不等的实根，‎ ‎∴，解得6＜a＜7．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数根的个数判断，函数解析式的解法，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2016秋•四平校级月考）设函数f（x）=ax2+bx+b﹣1（a≠0）．‎ ‎（1）当a=1，b=﹣2时，求函数f（x）的零点；‎ ‎（2）若对任意b∈R，函数f（x）恒有两个不同零点，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】函数零点的判定定理．‎ ‎【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】（1）解方程f（x）=0得出f（x）的零点；‎ ‎（2）令△＞0得出关于b的不等式b2﹣4ab+4a＞0恒成立，再令判别式△′＜0解出a的范围．‎ ‎【解答】解：（1）当a=1，b=﹣2时，f（x）=x2﹣2x﹣3．‎ 令f（x）=0，得x=3或x=﹣1．‎ 所以函数f（x）的零点为3和﹣1．‎ ‎（2）方程ax2+bx+b﹣1=0有两个不同实根．‎ ‎∴△=b2﹣4a（b﹣1）＞0．‎ 即对于任意b∈R，b2﹣4ab+4a＞0恒成立．‎ ‎∴16a2﹣16a＜0，即a2﹣a＜0，解得0＜a＜1．‎ ‎∴实数a的取值范围是（0，1）．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的性质，函数零点的个数与方程的关系，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2016秋•四平校级月考）已知函数f（x）=2|x﹣2|+|x+1|．‎ ‎（1）求不等式f（x）＜6的解集；‎ ‎（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p=f（2），求证：mn+np+pm≤3．‎ ‎【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．‎ ‎【专题】证明题；转化思想；分析法；不等式．‎ ‎【分析】（1）利用零点分段法去掉绝对值符号，转化为不等式组，解出x的范围；‎ ‎（2）由基本不等式，可以解得m2+n2+p2≥mn+mp+np，将条件平方可得（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9，代入m2+n2+p2≥mn+mp+np，即可证得要求证得式子．‎ ‎【解答】（1）解：①x≥2时，f（x）=2x﹣4+x+1=3x﹣3，由f（x）＜6，∴3x﹣3＜6，∴x＜3，即2≤x＜3，‎ ‎②﹣1＜x＜2时，f（x）=4﹣2x+x+1=5﹣x，由f（x）＜6，∴5﹣x＜6，∴x＞﹣1，即﹣1＜x＜2，‎ ‎③x≤﹣1时，f（x）=4﹣2x﹣1﹣x=3﹣3x，由f（x）＜6，∴3﹣3x＜6，∴x＞﹣1，可知无解，‎ 综上，不等式f（x）＜6的解集为（﹣1，3）；‎ ‎（2）证明：∵f（x）=2|x﹣2|+|x+1|，∴f（2）=3，‎ ‎∴m+n+p=f（2）=3，且m，n，p为正实数 ‎∴（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9，‎ ‎∵m2+n2≥2mn，m2+p2≥2mp，n2+p2≥2np，‎ ‎∴m2+n2+p2≥mn+mp+np，‎ ‎∴（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9≥3（mn+mp+np）‎ 又m，n，p为正实数，∴可以解得mn+np+pm≤3．‎ 故证毕 ‎【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法、基本不等式等基础知识，考查学生的转化能力和计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：极坐标与参数方程]‎ ‎21．（12分）（2016秋•四平校级月考）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），且曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ=．以 O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆．射线与曲线C2交于点D（，）．‎ ‎（1）求曲线C1的普通方程，曲线C2的极坐标方程；‎ ‎（2）若A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲线C1上的两点，求+的值．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【专题】方程思想；转化思想；三角函数的求值；坐标系和参数方程．‎ ‎【分析】（1）点M（2，）对应的参数φ=代入（a＞b＞0，φ为参数），可得，解得a，b．可得曲线C1的普通方程．设圆C2的半径为R，则曲线C2的极坐标方程为ρ=2Rcosθ，将点D代入得R．‎ ‎（2）曲线C1的极坐标方程为=+，将A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）代入即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）点M（2，）对应的参数φ=代入（a＞b＞0，φ为参数），可得，‎ 解得：a=4，b=2．‎ ‎∴曲线C1的普通方程为=1．‎ 设圆C2的半径为R，则曲线C2的极坐标方程为ρ=2Rcosθ，将点D代入得R=1．．‎ ‎∴圆C2的极坐标方程为ρ=2cosθ．‎ ‎（2）曲线C1的极坐标方程为=+，‎ 将A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）代入可得：=+，=+．‎ ‎∴+=+=．‎ ‎【点评】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化公式、椭圆的参数方程及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2016秋•四平校级月考）已知函数f（x）=x2﹣alnx（常数a＞0）．‎ ‎（1）当a=3时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；‎ ‎（2）讨论函数f（x）在区间（1，ea）上零点的个数（e为自然对数的底数）．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【专题】综合题；转化思想；综合法；导数的综合应用．‎ ‎【分析】（1）先求函数的导函数f'（x），然后求出fˊ（1）即为切线的斜率，根据且点（1，f（1））与斜率可求出切线方程；‎ ‎（2）设g（a）=ea﹣a（a≥0），然后利用导数研究函数的单调性可证得ea＞a（a≥0），求出函数的导函数f′（x），然后利用导数研究函数f（x）在区间（1，ea）上的最小值，最后讨论最小值的符号，从而确定函数f（x）的零点情况．‎ ‎【解答】解：（1）当a=3时，f（x）=x2﹣3lnx，‎ ‎∴f'（x）=2x﹣（1分）‎ ‎∴fˊ（1）=﹣1‎ 又∵f（1）=1，‎ ‎∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=﹣（x﹣1）．‎ 即x+y﹣2=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣3分 ‎（2）①下面先证明：ea＞a（a≥0）．‎ 设g（a）=ea﹣a（a≥0），则g′（a）=ea﹣1≥e0﹣1=0（a≥0），且仅当g′（a）=0⇔a=0，‎ 所以g（a）在[0，+∞）上是增函数，故g（a）≥g（0）=1＞0．‎ 所以ea﹣a＞0，即ea＞a（a≥0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5分 ‎②因为f（x）=x2﹣a lnx，‎ 所以f′（x）=2x﹣=．‎ 因为当0＜x＜时，fˊ（x）＜0，当x＞时，1，fˊ（x）＞0．‎ 又＜a＜ea＜e2a（a≥0，a＜2a）⇒＜ea，‎ 所以f（x）在（0，]上是减函数，在[，+∞）是增函数．‎ 所以f（x）min=f（）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣9分 ‎（3）下面讨论函数f（x）的零点情况．‎ ‎①当＞0，即0＜a＜2e时，函数f（x）在（1，ea）上无零点；‎ ‎②当=0，即a=2e时，=，则1＜＜ea 而f（1）=1＞0，f（）=0，f（ea）＞0，‎ ‎∴f（x）在（1，ea）上有一个零点；‎ ‎③当＜0，即a＞2e时，ea＞＞＞1，‎ 由于f（1）=1＞0，f（）=＜0．‎ f（ea）=e2a﹣a lnea=e2a﹣a2=（ea﹣a）（ea+a）＞0，‎ 所以，函数f（x）在（1，ea）上有两个零点．（13分）‎ 综上所述，f（x）在（1，ea）上有结论：‎ 当0＜a＜2e时，函数f（x）有、无零点；‎ a=2e时，函数f（x）有一个零点；‎ 当a＞2e时，函数f（x）有两个零点．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣14分．‎ ‎【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数在闭区间上的最值，同时考查了分类讨论的数学思想和计算能力，属于中档题．‎