高考数学复习课时提能演练(四十) 6_6
课时提能演练(四十)
(45分钟 100分)
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.结论为：xn+yn能被x+y整除，令n=1,2,3,4验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为( )
（A）n∈N* （B）n∈N*且n≥3
（C）n为正奇数 （D）n为正偶数
2.证明不等式（a≥2)所用的最适合的方法是( )
（A）综合法 （B）分析法
（C）间接证法 （D）合情推理法
3.在△ABC中，sinAsinC
ab+bc+ca.
证明过程如下：
∵a、b、c∈R,∴a2+b2≥2ab,
b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,
又∵a,b,c不全相等,
∴以上三式至少有一个“=”不成立,
∴将以上三式相加得2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ac),
∴a2+b2+c2>ab+bc+ca.
此证法是( )
（A）分析法 （B）综合法
（C）分析法与综合法并用 （D）反证法
5.（2012·福州模拟）用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是( )
（A）假设三内角都不大于60度
（B）假设三内角都大于60度
（C）假设三内角至多有一个大于60度
（D）假设三内角至多有两个大于60度
6.设函数f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)>1,则a的取值范围是( )
（A）a< （B）a<且a≠-1
（C）a>或a<-1 （D）-10,则
11.（易错题）已知实数a,b,c,d满足a+b=c+d=1,ac+bd>1,求证:a,b,c,d中至少有一个是负数.
【探究创新】
（16分）凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对D内的任意x1,x2,…,xn都有已知函数f(x)=sinx在(0,π)上是凸函数，则
（1）求△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值.
（2）判断f(x)=2x在R上是否为凸函数.
答案解析
1.【解析】选C.由结论xn+yn能被x+y整除，验证n=1成立，n=2不成立，n=3成立，n=4不成立，故排除A、B、D，只有C满足.
2.【解析】选B.欲比较的大小，只需比较
的大小, =2a-1+
2,只需比较的大小，以上证明可知最适合的方法是分析法，故选B.
3.【解题指南】将不等式移项，对两角和的余弦公式进行逆用，得出角的范围即可.
【解析】选C.由sinAsinC0,
即cos(A+C)>0,∴A+C是锐角,
从而B>，故△ABC必是钝角三角形.
4.【解析】选B.由已知条件入手证明结论成立,满足综合法的定义.
5.【解析】选B.由反证法的定义可知，要否定结论，即至少有一个不大于60°的否定是三内角都大于60°，故选B.
6.【解析】选D.∵f(x)的周期为3，∴f(2)=f(-1),
又f(x)是R上的奇函数，
∴f(-1)=-f(1),则f(2)=f(-1)=-f(1),
再由f(1)>1,可得f(2)<-1,
即解得-1R>Q.
答案：P>R>Q
9.【解析】①中x为直线，y,z为平面，则x⊥z,y⊥z，而xy,∴必有x∥y成立，故①正确.
②中若x,y,z均为平面，由墙角三面互相垂直可知x∥y是错的.
③x、y为直线，z为平面，则x⊥z,y⊥z可知x∥y正确.
④x、y为平面，z为直线，z⊥x,z⊥y，则x∥y成立.
⑤x、y、z均为直线，x⊥z且y⊥z,则x与y还可能异面、垂直，故不成立.
答案：①③④
10.【解题指南】利用分析法证明.由a>0,将不等式两边平方，不等式仍成立，最后利用基本不等式得证.
【证明】要证原不等式成立，只需证
∵a>0,∴两边均大于零.
因此只需证a2++4+≥a2++2+2+
只需证,
只需证2（a2+）≥a2++2,即证a2+≥2,
而a2+≥2显然成立，∴原不等式成立.
【变式备选】已知a>6,
求证：
【证明】方法一：
要证
只需证
(a-3)(a-6)<(a-5)(a-4),
18<20.
因为18<20显然成立，
所以原不等式成立.
方法二：要证
只需证
只需证
∵a>6,∴a-3>a-4>a-5>a-6>0,
则
所以原不等式成立.
11.【证明】假设a,b,c,d都是非负数，因为a+b=c+d=1,
所以a,b,c,d∈［0,1］,
所以
所以
这与已知ac+bd>1相矛盾，所以原假设不成立，即证得a,b,c,d中至少有一个是负数.
【探究创新】
【解析】
(1)∵f(x)=sinx在（0，π)上是凸函数，A、B、C∈(0,π)且A+B+C=π,
∴
即sinA+sinB+sinC≤3sin=.
所以sinA+sinB+sinC的最大值为.
（2）∵f(-1)=,f(1)=2,
而
而
∴
即不满足凸函数的性质定理，故f(x)=2x不是凸函数.
【方法技巧】新定义题的解题技巧
（1）对于新型概念的解题问题，要理解其定义的实质，充分利用定义解题是关键.
（2）要证明一个函数满足定义需利用定义加以证明它满足的条件，若想说明它不满足定义，只需用特例说明即可.
