2020届广东省惠州市高三上学期第三次调研考试数学(理)试题

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文档介绍

2020届广东省惠州市高三上学期第三次调研考试数学(理)试题

‎ 惠州市2020届高三第三次调研考试 ‎ 理科数学 2020.1‎ 全卷满分150分,时间120分钟.‎ 注意事项:‎ ‎1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。‎ ‎2.作答选择题时,选出每个小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,写在本试卷上无效。‎ ‎3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答,答案必须写在答题卡各题指定的位置上,写在本试卷上无效。‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。‎ 在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。‎ ‎1.已知全集,,则( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎2.设i为虚数单位,复数,则在复平面内对应的点在第( )象限.‎ A.一 B.二 C.三 D.四 ‎3.已知,,,则( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎4.在直角坐标系中,已知角θ 的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,‎ 终边落在直线上,则= ( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎5.在平行四边形ABCD中,,,,为的中点,‎ ‎ 则= ( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎6.设,则“”是“直线与直线平行”‎ 的 ( ) 条件.‎ A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 ‎7.数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,……,称为斐波那契数列,它是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”。该数列从第3‎ 项开始,每项等于其前相邻两项之和,即.记该数列的前项和为,则下列结论正确的是( ).‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎8.《易经》是中国传统文化中的精髓之一。右图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦),每一卦由三根线组成(“”表示一根阳线,“ ”表示一根阴线)。从八卦中任取两卦,这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为( ). ‎ A. B. C. D.‎ x y O x y O x y O x y O ‎9.函数的图象的大致形状是( ).‎ A B C D ‎ ‎10.如图,平面过正方体的顶点A,平面平面平面,则m、n所成角的正弦值为( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.已知F为抛物线的焦点,点A、B在该抛物线上且位于x轴的两侧,‎ 其中O为坐标原点,则与面积之和的最小值是( ).‎ A.2 B.3 C. D.‎ ‎12.已知函数满足, ‎ 且在上有最小值,无最大值。给出下述四个结论: ; 若,则;‎ 的最小正周期为3; 在上的零点个数最少为1346个. 其中所有正确结论的编号是( ).‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分,其中第15题第一空2分,第二空3分。‎ ‎13.执行如图所示的程序框图,则输出的n值是________.‎ ‎14.若,‎ 则的值是________.‎ ‎15.设数列的前n项和为,若,,‎ ‎,则______,______.‎ ‎16.已知双曲线的离心率,左、右焦点分别为,其中也是抛物线的焦点,与在第一象限的公共点为.若直线斜率为,则双曲线离心率的值是________.‎ 三、解答题:共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。‎ ‎(一)必考题:共60分。‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 在平面四边形中,,,.‎ C A D B ‎(1)若的面积为,求;‎ ‎(2)若,,‎ 求.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 如图,等腰梯形ABCD中,,,,E为CD中点,以AE为折痕把折起,使点D到达点P的位置平面.‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)若直线PB与平面ABCE所成的角为,求二面角的余弦值.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 为发挥体育核心素养的独特育人价值,越来越多的中学将某些体育项目纳入到学生的必修课程。惠州市某中学计划在高一年级开设游泳课程,为了解学生对游泳的兴趣,某数学研究学习小组随机从该校高一年级学生中抽取了100人进行调查。‎ ‎(1)已知在被抽取的学生中高一班学生有6名,其中3名对游泳感兴趣,现在从这6名学生中随机抽取3人,求至少有2人对游泳感兴趣的概率;‎ ‎(2)该研究性学习小组在调查中发现,对游泳感兴趣的学生中有部分曾在市级或市级以上游泳比赛中获奖,具体获奖人数如下表所示。若从高一班和高一班获奖学生中随机各抽取2人进行跟踪调查,记选中的4人中市级以上游泳比赛获奖的人数为,‎ 求随机变量的分布列及数学期望。‎ 班级 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 市级 比赛获奖人数 ‎2‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎2‎ 市级以上 比赛获奖人数 ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 在平面直角坐标系中,已知过点的直线与椭圆交于不同的两点,,其中.‎ ‎(1)若,求的面积;‎ ‎(2)在x轴上是否存在定点T,使得直线TA、TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形。‎ ‎21.(本题满分12分)‎ 已知实数,设函数.‎ ‎(1)求函数的单调区间;‎ ‎(2)当时,若对任意的,均有,‎ 求的取值范围。‎ 注:为自然对数的底数。‎ ‎(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。‎ ‎22.(本小题满分10分)[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ 在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,若极坐标系内异于的三点,,都在曲线上.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)若过,两点的直线参数方程为(为参数),‎ 求四边形的面积.‎ ‎23.(本小题满分10分)[选修4-5:不等式选讲] ‎ 已知函数.‎ ‎(1)求不等式的解集;‎ ‎(2)若对任意恒成立,求的取值范围.‎ 惠州市2020届高三第三次调研考试 理科数学参考答案及评分细则 一、 选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D B D A C A D D A D B C ‎1.【解析】,,故选D.‎ ‎2.【解析】,所以对应的点在第二象限,故选B.‎ ‎3.【解析】,,,所以.故选D.‎ ‎4.【解析】因为角θ终边落在直线上,所以,,‎ 所以故选A.‎ ‎5.【解析】如图所示,=-=-=-(+)‎ ‎=-(+)=--.故选C.‎ ‎6.【解析】依题意,知-=-,且-≠,解得a=±.故选A.‎ ‎7.【解析】‎ ‎,所以,故选D.‎ ‎8.【解析】故选D.‎ ‎9.【解析】是偶函数,排除C、D,又故选A.‎ ‎10.【解析】如图:面,面,面,可知,,因为△是正三角形,所成角为60°.‎ 则m、n所成角的正弦值为.故选D.‎ ‎11.【解析】设直线AB的方程为:,点,, 直线AB与x轴的交点为, 由,根据韦达定理有, ,, 结合及,得,点A、B位于x轴的两侧,‎ ‎,故.不妨令点A在x轴上方,则,又, . 当且仅当,即时,取“”号,与面积之和的最小值是3.故选B.‎ ‎12.【解析】区间中点为,根据正弦曲线的对称性知,正确。 若,则,即,不妨取,此时,满足条件,但为上的最大值,不满足条件,故错误。‎ 不妨令,,两式相减得, 即函数的周期,故正确。 区间的长度恰好为673个周期,当时,即时,在开区间上零点个数至少为,故错误。 故正确的是,故选C.‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分,其中第15题第一空2分,第二空3分。‎ ‎13、6 14、3 15、 1(2分);121(3分) 16、 ‎ ‎13.【解析】①②③故答案为6.‎ ‎14.【解析】令,得,令,则.所以 ‎15.【解析】由时,,可得,又,即,即有,解得;由,可得,由,可得,,.‎ ‎16.【解析】因为是双曲线的右焦点且是抛物线的焦点,所以,‎ 解得,所以抛物线的方程为:;‎ 由,,‎ 如图过作抛物线准线的垂线,垂足为,设,,‎ 则,∴.‎ 由,可得 在△中,,,,‎ 由余弦定理得 即,化简得 ‎,又,.故答案为.‎ 三、解答题:共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ ‎【解析】(1)在中,因为,,‎ ‎,……………………………………1分 所以,解得.………………………………………2分 在中,由余弦定理得,……4分 因为,所以. …………………………………………………5分 ‎(2)设,则. ………………6分 在中,因为,所以. ……………7分 在中,, ………………………8分 ‎ 由正弦定理得,即,……9分 所以,所以, …………10分 即, …………………………………………………………11分 所以,即. ……………………………………12分 ‎18.(本小题满分12分)‎ ‎【解析】(1)证明:连接BD,设AE的中点为O,,,‎ 四边形ABCE为平行四边形,………………………………1分 ‎,为等边三角形,……………………2分 又,平面POB,平面POB …3分【注】无写出此步骤不得分。‎ 平面POB ……………………………………………………………4分 又平面POB,. …………………………………………5分 ‎(2)【解法一】向量法 在平面POB内作平面ABCE,垂足为Q,则Q在直线OB上,‎ 直线PB与平面ABCE夹角为,又,,‎ ‎、Q两点重合,即平面ABCE, ……………6分 ‎【注】无证明此得分点不给分。 以O为原点,OE为x轴,OB为y轴,OP为z轴,建立如图空间直角坐标系, 则0,,0,,,0,,………………7分 设平面PCE的一个法向量为y,,则,即, ……………8分 令,得 ………………………………………………9分 又平面PAE,1,为平面PAE的一个法向量 ……………………10分 设二面角为,则 ……11分 易知二面角为钝角,所以二面角的余弦值为.…………12分 F ‎【解法二】几何法 在平面POB内作平面ABCE,垂足为Q,则Q在直线OB上,‎ 直线PB与平面ABCE夹角为,又,,‎ ‎、Q两点重合,即平面ABCE,……………6分 ‎【注】无证明此得分点不给分。‎ 过点C作CH⊥AE交于点H,连结PH,则二面角A-PE-C与二面角H-PE-C互为补角。‎ 又因为CH⊥PO,所以CH⊥面PAE,‎ 过H作HF⊥PE交于点F,连结CF,由三垂线定理知CF⊥PE 所以∠CFH为二面角H-PE-C的平面角。……………………………………………7分 在Rt△CHE中,∠CEH=60°,CE=1,所以HE=,CE=,……………………8分 在Rt△HFE中,∠FEH=60°,HE=,所以HF=……………………………………9分 在Rt△CHF中,由勾股定理知CF=…………………………………………………10分 故cos∠CFH== ……………………………………………………………………11分 所以二面角的余弦值为.………………………………………………12分 ‎19.(本小题满分12分)‎ ‎【解析】(1)【解法一】‎ 记事件从6名学生抽取的3人中恰好有i人有兴趣,,1,2,;‎ 则与互斥………………………………………………………………………1分 故所求概率为……………2分 ‎ ‎………………………………3分 ‎;…………………………………4分 ‎【解法二】记事件从6名学生抽取的3人中恰好有i人有兴趣,,1,2,;‎ 则与互斥………………………………………………………………………1分 故所求概率为………2分 ‎ ‎………………………………3分 ‎;…………………………………4分 ‎(2)由题意知,随机变量的所有可能取值有0,1,2,3;………………………………5分 ‎ …………………………………………………………6分 ‎ ‎ ………………………………………………7分 ‎ ………………………………………………8分 ‎ …………………………………………9分 则的分布列为:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ p ‎………10分 ‎【注】无列表此得分点不得分。‎ 数学期望为. ………………………12分 ‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ ‎【解析】(1)当时,代入椭圆方程可得或 ……………………1分 若,此时直线l:…………………………………2分 联立,消x整理可得……………………………3分 解得或,故B ……………………………………………………4分 所以的面积为 . …………………………………………………5分 ‎,由对称性知的面积也是,‎ 综上可知,当时,的面积为.……………………………………6分 ‎(2)【解法一】显然直线l的斜率不为0,设直线l: ……………………………7分 联立,消去x整理得 由,得…………8分 则, ,…………………………9分 因为直线TA、TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形,‎ 所以………………10分 ‎ 设,则, 即,‎ 解得. …………………………………………………………………………………………11分 故x轴上存在定点,使得直线TA、TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形.……12分 ‎【解法二】显然直线l的斜率存在且不为0,设直线l: ………………………7分 联立,消去整理得 由,得,………………………8分 则, ,…………………………………………9分 因为直线TA、TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形,所以……………10分 ‎ 设,则 即,‎ 解得. …………………………………………………………………………………………11分 故x轴上存在定点,使得直线TA、TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形.………12分 ‎21.(本题满分12分)‎ ‎【解析】(1)【解法一】由,解得. ………………1分 若,则当时,,故的单调递增区间为;‎ 当时,,故的单调递减区间为.………2分 若,则当时,,故的单调递增区间为;‎ 当时,,故的单调递减区间为.………3分 综上所述,的单调递增区间为,单调递减区间为.……………4分 ‎【解法二】令其中.令得 ‎ 当 当 ………………1分 又当时,在R上单调递增;‎ 当时,在R上单调递减。……………………………………………2分 由复合函数单调性知,‎ 时,的单调递增区间为,单调递减区间为;‎ 时,的单调递增区间为,单调递减区间为. …………3分 综上所述,的单调递增区间为,单调递减区间为.……………4分。‎ ‎(2),即(﹡).‎ 令,得,则. ……………………………………………………5分 当时,不等式(﹡)显然成立, ‎ 当时,两边取对数,即恒成立. …………………6分 令函数,即在内恒成立.……………7分 由,得.‎ 故当时,,单调递增;‎ 当时,,单调递减. ………………………………………8分 因此. ………………………9分 令函数,其中,‎ 则,得,‎ 故当时,,单调递减;‎ 当时,,单调递增. ……………………10分 又,,‎ 故当时,恒成立,因此恒成立, …………………11分 综上知:当时,对任意的,均有成立……12分 ‎22.(本小题满分10分)‎ ‎【解析】(1)【解法1】由,,,…3分 则 ………………4分 所以……………………………………………………………5分 ‎【解法2】的直角坐标方程为,如图所示,……………1分 假设直线OA、OB、OC的方程为,,,,‎ 由点到直线距离公式可知 在直角三角形OMF中,由勾股定理可知,得……………2分 由直线方程可知,,‎ 所以,得………3分 所以,得……4分 所以……………………………………………………………5分 ‎(2)【解法一】曲线的普通方程为:,……………………………………6分 将直线的参数方程代入上述方程,整理得,解得;………7分 平面直角坐标为………………………………………………………8分 则;又得. ……………………………………9分 即四边形面积为为所求. ………10分 ‎【解法二】由BC的参数方程化为普通方程得:………………………5分 联立解得或,即,…………6分 点A的极坐标为,化为直角坐标为………7分 直线OB的方程为,点A到直线OB的距离为………8分 ‎…………………………10分 ‎23.(本小题满分10分)‎ ‎【解析】(1)当时,原不等式等价于,解得,所以………1分 当时,原不等式等价于,解得,所以此时不等式无解…2分 ‎ 当时,原不等式等价于,解得,所以……3分 综上所述,不等式解集为.……………………………………………5分 ‎(2)由,得,‎ 当时,恒成立,所以; …………………………………………6分 当时,.……7分 因为 ……………………8分 当且仅当即或时,等号成立, …………9分 所以,;‎ 综上,的取值范围是. …………………………………………………10分 ‎【注】①如果本题两个小问通过图象法解答,分别正确作出图象(如下图)各1分,正确写出结果各1分,中间过程可酌情给1-2分,但每小问给分最多不超过4分。‎ ‎ ②如果作图的坐标系没有箭头或的标记,扣除过程分1分。‎ ‎ ‎ 第(1)问图象 第(2)问图象
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