人教A数学必修一指数函数对数函数幂函数综合提高知识讲解

人教A数学必修一指数函数对数函数幂函数综合提高知识讲解

指数函数、对数函数、幂函数综合 ‎【学习目标】‎ ‎1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算.‎ ‎2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点。‎ ‎3．理解对数的概念及其运算性质。‎ ‎4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理.‎ ‎5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质.‎ ‎6．知道指数函数与对数函数互为反函数(a＞0，a≠1).‎ ‎【知识框图】‎ ‎【要点梳理】‎ 要点一、指数及指数幂的运算 ‎1.根式的概念 的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中 当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为.‎ 负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.‎ 式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.‎ ‎2.n次方根的性质：‎ ‎(1)当为奇数时，；当为偶数时，‎ ‎(2)‎ ‎3.分数指数幂的意义：‎ ‎；‎ 要点诠释：‎ ‎0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义.‎ ‎4.有理数指数幂的运算性质：‎ ‎(1) (2) (3)‎ 要点二、指数函数及其性质 ‎1.指数函数概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.‎ ‎2.指数函数函数性质：‎ 函数 名称 指数函数 定义 ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ 函数且叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点 图象过定点，即当时，.‎ 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 函数值的 变化情况 变化对图象的影响 在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小.‎ 要点三、对数与对数运算 ‎1.对数的定义 ‎(1)若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数.‎ ‎(2)负数和零没有对数.‎ ‎(3)对数式与指数式的互化：.‎ ‎2.几个重要的对数恒等式 ‎，，.‎ ‎3.常用对数与自然对数 常用对数：，即；自然对数：，即(其中…).‎ ‎4.对数的运算性质 如果，那么 ‎①加法：‎ ‎②减法：‎ ‎③数乘：‎ ‎④‎ ‎⑤‎ ‎⑥换底公式：‎ 要点四、对数函数及其性质 ‎1.对数函数定义 一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域.‎ ‎2.对数函数性质：‎ 函数 名称 对数函数 定义 函数且叫做对数函数 图象 ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ 定义域 值域 过定点 图象过定点，即当时，.‎ 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 函数值的 变化情况 变化对图象的影响 在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小.‎ 要点五、反函数 ‎1.反函数的概念 设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子.如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成.‎ ‎2.反函数的性质 ‎(1)原函数与反函数的图象关于直线对称.‎ ‎(2)函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域.‎ ‎(3)若在原函数的图象上，则在反函数的图象上.‎ ‎(4)一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数.‎ 要点六、幂函数 ‎1.幂函数概念 形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.‎ ‎2.幂函数的性质 ‎(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限. ‎ ‎(2)过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点. ‎ ‎(3)单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数.如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴.‎ ‎(4)奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数.当(其中互质，和)，若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数.‎ ‎(5)图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方.‎ ‎【典型例题】‎ 类型一：指数、对数运算 例1.计算 ‎(1) ； (2)；‎ ‎(3)；(4)‎ ‎【思路点拨】运算时尽量把根式转化为分数指数幂，而小数也要化为分数为好.‎ ‎【答案】(1)；(2)1；(3)3；(4)14。‎ ‎【解析】(1)原式=；‎ ‎(2)原式=‎ ‎ =‎ ‎ =1-+=1‎ ‎ (3)原式=‎ ‎=‎ ‎=2+=3；‎ ‎(4)令，两边取常用对数得 ‎=‎ ‎ =‎ ‎ =‎ 即=14。‎ ‎【总结升华】这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】=（ ）‎ A.0 　B‎.1 C.2 D.4‎ ‎【答案】C ‎【解析】=。‎ ‎【变式2】(1)；(2)。‎ ‎【答案】(1)2；(2)。‎ ‎【解析】(1) 原式 ‎ ；‎ ‎(2) 原式 ‎ 。‎ 类型二：指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质 例2.设偶函数满足，则= ( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】 B ‎【解析】且是偶函数.‎ 或 或 解得或，故选B。‎ ‎【总结升华】考查解不等式组及函数解析式，考查函数性质的综合运用.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】已知函数若，则的取值范围是（ ）．‎ A. B. 或 C. D. 或 ‎【答案】A ‎【解析】依题意或即或，所以，故选A。‎ 例3.设函数 若，则实数的取值范围是( ) ．‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】解法一：①若，则，‎ ‎，得，得，解得。‎ ‎②若则，‎ ‎，‎ 解得 由①②可知 解法二：特殊值验证 令 ‎，满足，故排除A、D。‎ 令，，‎ 不满足，故排除B。‎ ‎【总结升华】本题考查了分段函数的性质、分类思想的应用.‎ ‎【高清课堂：幂指对函数综合377495 例1】‎ 例4．函数的单调递增区间是（　）‎ A．（3，+∞） B．（－∞，3） C．（4，+∞） D．（－∞，2）‎ ‎【思路点拨】这是一个内层函数是二次函数，外层函数是对数函数的复合函数，其单调性由这两个函数的单调性共同决定，即“同增异减”。‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数是由复合而成的，‎ 是减函数，在上单调递增，在上单调递减，由对数函数的真数必须大于零，即，解得或，所以原函数的单调递增区间是，故选D。‎ 例5. 若函数的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是( )‎ A.m≤-1 B.-1≤m<‎0 ‎ C.m≥1 D.01，故 ‎ 上式对一切均成立，从而判别式 ‎【总结升华】对于含指数式、对数式等式的形式，解题思路是转化为不含指数、对数因式的普通等式或方程的形式，再来求解.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】已知函数，（a＞0，且a≠1）．‎ ‎（1）求函数f（x）的定义域；‎ ‎（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；‎ ‎（3）设，解不等式f（x）＞0．‎ ‎【解析】（1）依题意知，解得 函数f（x）的定义域为。‎ ‎（2）函数是奇函数 任取，，所以 ‎ =0‎ 所以函数是奇函数。‎ ‎（3）因为，所以 由，得 解得 ‎。‎ ‎【高清课堂：幂指对综合377495 例5】‎ 例7．设（其中a为实数），如果当时恒有成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【思路点拨】由题意知，原不等式转化成在上恒成立，只要求出不等式右边部分的最大值就可以了。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意，在上恒成立。‎ 则设 只需求的最大值 任取且 ‎ =‎ 由于是单调递减函数 ‎，即在上是单调递增的，‎ ‎【总结升华】解决本题的关键是把转化成，转化成，这种问题以后还会碰到，希望同学们多注意。‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】设函数。‎ ‎（1）求的定义域；‎ ‎（2）求使在上恒成立的实数的取值范围。‎ ‎【解析】（1），即 若，则的定义域为；‎ 若，则的定义域为；‎ 若，则的定义域为。‎ ‎（2）①当时，在的定义域内，等价于，即，于是问题等价于在上恒成立。‎ 令，则在上递减，在上递增，，即。‎ 另一方面要使在上恒成立，则必是定义域的子集，由（1）可知 由且可知。‎ ‎②当时，在的定义域内，等价于，于是问题等价于在上恒成立。‎ 显然这样的实数不存在。‎ 综上所求的的取值范围为。‎