数学文卷·2018届广西南宁市第二中学高三1月月考（期末）（2018

数学文卷·2018届广西南宁市第二中学高三1月月考（期末）（2018

绝密★启用前 南宁二中2018届1月份数学模拟考试 文科数学 ‎（考试时间 120分钟 满分 150分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1． 已知集合，，则（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎【答案】A 解：由得，，所以 ‎2．已知复数（是虚数单位）是实数，则实数（ ）‎ A．0 B． C． D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】是纯虚数，得，故选A．‎ ‎3．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称。在正方形内随机取一点，则此点取自白色部分的概率是（ ）‎ ‎ ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】不妨设正方形边长为a.‎ 由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即所各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，所求概率为=，选D.‎ ‎4.双曲线轴的一个交点是(2，0)，则该双曲线的渐近线方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】双曲线过点，则： ，据此可得： ，则双曲线方程为： ，‎ 双曲线的渐近线满足： ，据此整理可得双曲线的渐近线为： .‎ ‎5.已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵成等比数列，‎ ‎∴，∴，解得。‎ ‎∴。选B。‎ ‎6.设表示不同的直线，表示不同的平面，给出下列四个命题：‎ ‎①若，且，则； ②若，，则；‎ ‎③若，则； ④如果，那么．‎ 则错误的命题个数为（ ）‎ ‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】当∥，且时，由直线与平面垂直的判定定理知，故①正确.当 ‎，，所以或.又因为，所以与的关系平行、相交或异面都有可能.故②错误.当，时，∥或与相交，故③错误. 当，时， 不一定成立，故④错误.‎ ‎7．设，则大小关系为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】，，，所以。故选D ‎ ‎ ‎8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解】‎ 由已知三视图可得，该几何体是一个底面为直角边为的等腰直角三角形，高为的三棱锥，如图，三棱锥 ，故该几何体的体积为，故选B.‎ ‎9．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n=（ ）‎ ‎ ‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ 解：当n=1时，b=4，满足进行循环的条件，‎ 当n=2时，，b=8满足进行循环的条件，‎ 当n=3时，b=16满足进行循环的条件，‎ 当n=4时， b=32不满足进行循环的条件，‎ 故输出的n值为4，故选C．‎ ‎10.已知函数和函数的图像相交于三点，则的面积为（ ）．‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】联立方程与可得，解之得，所以，因为到轴的距离为，所以的面积为，故选B。‎ ‎11．椭圆的半焦距为，若抛物线与椭圆的一个交点的横坐标为，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 答案 B 由题有而，∴，得，由得，故选B．‎ ‎12．函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)＞1，则不等式ex·f(x)‎ ‎＞ex＋1的解集为( )‎ A.{x|x＞0} B.{x|x＜0}‎ C.{x|x＜－1，或x＞1} D.{x|x＜－1，或0＜x＜1}‎ 答案 A 解：构造函数g(x)＝ex·f(x)－ex，‎ 因为g′(x)＝ex·f(x)＋ex·f′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)]－ex＞ex－ex＝0，‎ 所以g(x)＝ex·f(x)－ex为R上的增函数.又因为g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，‎ 所以原不等式转化为g(x)＞g(0)，解得x＞0.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．已知满足不等式，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 由z=x+2y得y=﹣x+z，‎ 平移直线y=﹣x+z由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大，由，即，‎ 即A（0，1），此时z=0+2=2，‎ ‎14.在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠ABC=120°，则的值为 ．‎ 解：在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠ABC=120°，则BC=1．‎ 故答案为：5．‎ ‎15.已知三棱锥的所有棱长都为，则该三棱锥的外接球的表面积为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图，构造正方体ANDM-FBEC.‎ ‎ ‎ 因为三棱锥A-BCD的所有棱长都为，所以正方体ANDM-FBEC的棱长为1.所以该正方体的外接球的半径为.易知三棱锥A-BCD的外接球就是正方体ANDM-FBEC的外接球，所以三棱锥A-BCD的外接球的半径为.所以三棱锥A-BCD的外接球的表面积为S球=4π=3π.‎ ‎16．已知函数且，记表示的前n项和， 则 ‎ ‎【答案】100‎ ‎【解析】根据，以此类推.‎ ‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac.‎ ‎(1)求∠B的大小； (2)求cosA＋cosC的最大值．‎ 解析:(1)由余弦定理及题设，得 cosB＝＝＝....................................3分 ‎ 又0<∠B<π，所以∠B＝....................................5分 ‎ ‎(2)由(1)知∠A＋∠C＝，.............................6分 ‎ 则cosA＋cosC＝cosA＋cos............7分 ‎ ‎＝cosA－cosA＋sinA ‎＝cosA＋sinA ‎＝cos................................................................10分 ‎ 因为0<∠A<，......................................................11分 ‎ 所以当∠A＝时，cosA＋cosC的最大值为1......................................................12分 ‎ ‎ ‎ ‎18.（12分）高三一班、二班各有6名学生去参加学校组织的高中数学竞赛选拔考试，成绩如茎叶图所示．‎ ‎ ‎ ‎(Ⅰ)若一班、二班6名学生的平均分相同，求x值；‎ ‎(Ⅱ)若将竞赛成绩在[60,75)，[75,85)，[85,100]内的学生在学校推优时，分别赋1分、2分、3分，现在从一班的6名参赛学生中选两名，求推优时，这两名学生赋分的和为4分的概率；‎ 解析：(Ⅰ)由93＋90＋x＋81＋73＋77＋61＝90＋94＋84＋72＋76＋63，‎ 得x＝4.......................................................4分 ‎ ‎(Ⅱ)由题意知一班赋3,2,1分的学生各有2名，.....................................................5分 ‎ 设赋3分的学生为A1，A2，赋2分的学生为B1，B2，赋1分的学生为C1，C2，.........................................6分 ‎ ‎ ‎ 则从6人抽取两人的基本事件为A1A2，A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1B2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2，C1C2共15种，.....................................................8分 ‎ 其中赋分和为4分的有5种，......................................................10分 ‎ ‎∴这两名学生赋分的和为4的概率P＝＝....................................................12分 ‎ ‎19．（12分）如图，四棱锥中，为正三角形，，，‎ ‎，，、F分别为棱、PA的中点.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若,直线与平面所成角为，求四棱锥的体积.‎ 解：(1) 、F分别为棱、PA的中点 ‎，又，，为平行四边形，.....................1分 ‎ ‎. ‎ 又为正三角形，‎ ‎，......................................................3分 ‎ 又，‎ ‎，平面，....................................................4分 ‎ 又平面，‎ 平面平面. ...................................................5分 ‎ ‎.............6分 ‎ ‎，....7分 ‎ ‎,.................8分 ‎ 而,,‎ ‎,过P作,‎ 得.................9分 ‎ ‎，,...................................10分 ‎ ‎............... .............12分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20.（12分）如图，曲线：与正方形: 的边界相切.‎ ‎(Ⅰ)求的值；‎ ‎(Ⅱ)设直线：交曲线于，，交于，，是否存在这样的曲线，使得，，成等差数列？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由。‎ 解：(Ⅰ)由题，得，......1分 有⊿=，.....2分 化简的......3分 又，所以 从而有；......4分 ‎ (Ⅱ)由，......5分 ‎，即......6分 由， ......7分 由可得且， .....8分 ‎ 所以 .....9分 可得，.....10分 从而 .....11分 所以，即有，符合， 故当实数的取值范围是时，存在直线和曲线，使得，，成等差数列。.....12分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21.（12分）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若, 求函数的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围。‎ 解：（Ⅰ）............................1分 ‎ ‎ 则 ............................2分 ‎ ‎ 当时，，在单调递增，............................3分 ‎ 当时，，在单调递减，............................4分 ‎ ‎，即..........................5分 ‎ ‎（Ⅱ）由，得．‎ 即在上恒成立．............................6分 ‎ 设函数，．‎ 则．............................7分 ‎ 设．‎ 则．............................8分 ‎ 易知当时，．‎ ‎∴在上单调递增，且．............................9分 ‎ 即对恒成立．‎ ‎∴在上单调递增．............................10分 ‎ ‎∴当时，．............................11分 ‎ ‎∴，即的取值范围是．............................12分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系中，点在倾斜角为的直线上．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为．‎ ‎（Ⅰ）写出的参数方程及的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设与相交于，两点，求的最小值．‎ 解:（1）的参数方程为（为参数）．..........................2分 由得，.........................3分 的直角坐标方程是． …………5分 ‎（2）将的参数方程代入的直角坐标方程得． …………6分 因为，，，‎ 所以． …………7分 所以， …………9分 当时等号成立．因此取最小值． …………10分 ‎23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）‎ 已知，，记关于的不等式的解集为.‎ ‎（1）若，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ 解：（1）依题意有：，............................1分 ‎ 若，则，，............................2分 ‎ 若，则，，............................3分 ‎ 若，则，无解，............................4分 ‎ 综上所述，的取值范围为.............................5分 ‎ ‎（2）由题意可知，当时恒成立，‎ 恒成立，............................7分 ‎ 即，............................8分 ‎ 当时恒成立， .............................10分 ‎ ‎ ‎