2018-2019学年安徽省黄山市八校联盟高一下学期期中数学试题（解析版）

2018-2019学年安徽省黄山市八校联盟高一下学期期中数学试题（解析版）

‎2018-2019学年安徽省黄山市八校联盟高一下学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．化简（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】直接利用两角差的正弦及诱导公式化简求值．‎ ‎【详解】‎ 解：．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查诱导公式及两角差的正弦，属于基础题．‎ ‎2．已知数列的前项和，则（ ）‎ A．15 B．16 C．31 D．32‎ ‎【答案】B ‎【解析】先由求出数列通项公式，即可求出.‎ ‎【详解】‎ 由数列的前项和，当时，，‎ 当时，满足，所以数列的通项公式为，所以.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查求数列通项公式，属于基础题.‎ ‎3．的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用同角三角函数基本关系式及倍角公式化简求值．‎ ‎【详解】‎ 解：‎ ‎．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，属于基础题．‎ ‎4．在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的形状一定是( )‎ A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 ‎【答案】A ‎【解析】利用平方化倍角公式和边化角公式化简得到，结合三角形内角和定理化简得到，即可确定的形状．‎ ‎【详解】‎ 化简得 即 即 是直角三角形 故选A ‎【点睛】‎ 本题考查了平方化倍角公式和正弦定理的边化角公式，在化简时，将边化为角，使边角混杂变统一，还有三角形内角和定理的运用，这一点往往容易忽略．‎ ‎5．已知数列的首项，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步求出数列的具体项对应的值．‎ ‎【详解】‎ 解：数列的首项，，‎ 则：，‎ ‎，‎ ‎，‎ 则：，‎ 所以：，‎ 当时，．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．‎ ‎6．已知的两边长分别为和，它们的夹角的余弦值为，则的外接圆半径为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由条件利用余弦定理求得第三边，再利用正弦定理求得外接圆的半径的值．‎ ‎【详解】‎ 解：设另一条边为，由余弦定理可得，‎ ‎，‎ 或（舍去）．‎ 设，则．‎ 再由正弦定理可得，‎ 外接圆的半径，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查了转化思想，属于基础题．‎ ‎7．在等比数列中，为其前项和，若，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由在等比数列中，为其前项和，，，列方程组求出，，再由，能求出结果．‎ ‎【详解】‎ 解：在等比数列中，为其前项和，，，‎ ‎，解得，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的两项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎8．已知锐角满足，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用同角三角函数的基本关系求得和的值，再利用两角差的余弦公式求得的值．‎ ‎【详解】‎ 解：锐角，满足，．‎ 所以 ‎，，‎ 则，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于基础题．‎ ‎9．如图，已知等边的边长为，的三个顶点分别是三边的中点，的三个顶点分别是三边的中点，…，则的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据三角形的面积比为相似比的平方，即可求出．‎ ‎【详解】‎ 解：等边的边长为1，则其面积为，‎ 由的三个顶点分别是三边的中点，故相似比为2，则面积比为4，‎ 故的面积为，‎ 同理可得的面积为，‎ 故的面积为，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了归纳推理的问题，关键找到规律，属于基础题．‎ ‎10．以表示等差数列的前项和，若，则下列不等关系一定成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，可得，即．再利用数列的求和公式及其单调性即可判断出结论．‎ ‎【详解】‎ 解：由，，．‎ ‎．可能小于0，‎ ‎．，可能小于0．‎ ‎．．因此正确．‎ ‎．，可能小于0．‎ 因此只有正确．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎11．设当时，函数取得最大值，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用辅助角公式将变形，利用三角函数的性质可得．‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ ‎（其中，‎ 当，即，时，取得最大值．‎ 此时，所以．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的最值及辅助角公式的应用，属于中档题．‎ ‎12．在中，角的对边分别为，的面积为，已知，，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知结合三角形的面积公式及余弦定理可得，化简即可求解 ‎【详解】‎ 解：，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 整理可得，，‎ 则 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了余弦定理及三角形的面积公式的简单应用，属于中档题 二、填空题 ‎13．设等差数列的前项和为，已知，，则数列的公差为______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由等差数列的前项和为，，，列方程组求出，，由此能求出数列的公差．‎ ‎【详解】‎ 解：等差数列的前项和为，，，‎ ‎，‎ 解得，，‎ 数列的公差为2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列公差的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎14．一艘船自西向东匀速航行，上午9时到达一座灯塔的南偏西75°距灯塔32海里的M处，下午1时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这艘船的航行速度为________海里/时．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】设灯塔为,根据所给信息构造,再分析边角关系利用正弦定理求解即可.‎ ‎【详解】‎ 设灯塔为,由题意可知,,,∴.‎ 由正弦定理,得,即,‎ 解得.∵船由M行驶到N的时间为4小时,‎ ‎∴船的速度为（海里/时）.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理的实际运用,属于基础题型.‎ ‎15．已知sin（），则sin（2）＝__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由sin（）可得，可得的值.‎ ‎【详解】‎ 解：由sin（），可得=，‎ 即：，，即：，‎ 即：，‎ 故答案：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查两角和的余弦公式及诱导公式的应用，属于中档题.‎ ‎16．数列的通项公式，其前项和为，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】计算数列的前6项，可得数列中各项的规律，由并项求和，计算可得所求和．‎ ‎【详解】‎ 解：，可得，，，，，，，‎ 即有 ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的求和方法：并项求和，以及正弦函数的周期性的运用，考查化简运算能力，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17．已知各项均为正数的等比数列满足，.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）设等比数列的公比设为，，运用等比数列的通项公式，解方程可得公比，进而得到所求通项公式；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，即有的首项和公比均为，由等比数列的求和公式，可得所求和．‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）各项均为正数的等比数列的公比设为，，‎ ‎，，可得，‎ 解得或（舍），由已知得，故，‎ 则数列的通项公式为；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，‎ 即有的首项和公比均为，‎ 可得．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．‎ ‎18．已知2．‎ ‎（1）求tan（）的值；‎ ‎（2）求3sin2θ+4cos2θ的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）利用齐次式求得tanθ，再利用二倍角求得tan2θ，进而利用两角差的正切求解即可；（2）利用同角三角函数的平方关系结合齐次式求解即可 ‎【详解】‎ ‎（1）∵2，‎ ‎∴tanθ，∴tan2θ．‎ ‎∴tan（）．‎ ‎（2）由（1）知，tanθ，‎ ‎∴3sin2θ+4cos2θ＝6sinθcosθ+4（cos2θ–sin2θ）‎ ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查同角三角函数的基本关系，考查两角差的正切，二倍角公式，熟记公式是关键，是中档题 ‎19．中，角的对边分别为，且.‎ ‎（Ⅰ）求角的值；‎ ‎（Ⅱ）若向量，，，当取得最大值时，求边的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）利用三角恒等变换，正弦、余弦定理求得和的值；‎ ‎（Ⅱ）利用平面向量的数量积，结合三角函数的图象与性质求出取最大值时的值，再利用正弦定理求出的值．‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）由已知条件和，‎ 得，‎ 由正弦定理可得：，‎ 故，‎ 所以.‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎.‎ 故当时，取得最大值.‎ 此时，‎ 由正弦定理得：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量的数量积应用问题，也考查了解三角形的应用问题，属于中档题．‎ ‎20．已知等差数列的公差，且，成等比数列.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列前项和为，且，证明：.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析 ‎【解析】（Ⅰ）等差数列的公差，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得所求通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求得，，再由裂项相消求和和不等式的性质，即可得证．‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）由，得.‎ 由成等比，得，得，‎ 得，由得.‎ 所以.即.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知：.‎ 所以.‎ 故 ‎，‎ 因为，所以，‎ 即成立.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的通项公式和求和公式、等比数列中项性质，考查裂项相消求和，以及化简运算能力，属于中档题．‎ ‎21．设函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的值域；‎ ‎（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为，若，且，求锐角的周长的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）当时，利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数的值域．‎ ‎（Ⅱ）在锐角中，利用正弦定理求得的周长的解析式，再利用三角恒等变换化简为，利用正弦函数的定义域和值域，求得它的范围．‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）‎ ‎.‎ 当时，，，‎ ‎，即的值域为.‎ ‎（Ⅱ）由，得，由，‎ 得，得，得.‎ 故 ‎.‎ 由，得，‎ 得，得，‎ 得，得.‎ 锐角的周长的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，正弦定理的应用，属于中档题．‎ ‎22．已知数列的前项和为，且对任意都成立.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；‎ ‎（Ⅲ）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）证明见解析，（Ⅲ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）由数列的递推式，令，2，计算可得所求值；‎ ‎（Ⅱ）运用数列的递推式，结合等比数列的定义和通项公式，计算可得所求通项公式；‎ ‎（Ⅲ），运用数列的分组求和和错位相减法求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和．‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）当时，有，得，得.‎ 当时，有，得，得.‎ ‎（Ⅱ）由，得.‎ 当时，.‎ 所以，‎ 得.‎ 所以是等比数列，首项为，公比为.‎ 所以，所以.‎ ‎（Ⅲ）.‎ 记数列的前项和为，则.‎ 记数列的前项和为，则 ‎，‎ ‎，‎ 错位相减，得 ‎.‎ 所以.‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查数列的分组求和和裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎