天津市耀华中学2019届高三下学期开学考数学（理）试题

天津市耀华中学2019届高三下学期开学考数学（理）试题

天津市耀华中学2019届高三年级寒假验收考试 理科数学试卷 一､选择题 ‎1.i为虚数单位，则复数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用复数的四则运算法则计算即可.‎ ‎【详解】,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查复数的四则运算,属于基础题.‎ ‎2.若实数，满足，则目标函数的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：首先根据已知的约束条件画出其表示的平面区域，如下图阴影部分所示．然后将目标函数转化为，由图形可知，目标函数在点处取得最大值，即，故应选．‎ 考点：1、简单的线性规划．‎ ‎3.已知命题：，；命题：，则是的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 原命题的的逆否命题是：‎ 若,则，显然不成立，是假命题，‎ 反之，若￢p则￢q成立，‎ 故￢q是￢p的必要不充分条件，‎ 则p是q的必要不充分条件，‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：(1)在判断四种命题的关系时，首先要分清命题的条件与结论，当确定了原命题时，要能根据四种命题的关系写出其他三种命题．‎ ‎(2)当一个命题有大前提时，若要写出其他三种命题，大前提需保持不变．‎ ‎(3)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出反例．‎ ‎(4)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．‎ ‎4.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）‎ A. 14 B. ‎15 ‎C. 16 D. 17‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由程序框图可知，从到得到，因此将输出. 故选C.‎ 考点：程序框图.‎ ‎5.已知为双曲线E的左，右焦点，点M在E的渐近线上， 为等腰三角形，且顶角为，则E的离心率为（ ）‎ A. B. ‎2 ‎C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意求得点坐标,再将之代入渐近线方程,求得与的关系,最后利用双曲线的离心率公式即可求得的离心率.‎ ‎【详解】设双曲线方程为,设在第一象限,‎ 如下图所示:过做交轴于点,‎ 由△为等腰三角形,且顶角为,‎ 则,,‎ ‎,,‎ 点坐标为,‎ 又在双曲线的渐近线上,则,‎ 故双曲线的离心率,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质,考查双曲线的渐近线方程,考查计算能力,属于中档题.‎ ‎6.已知函数的定义域为.当时，；当时，；当时，.则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：当时,,所以当时,函数是周期为的周期函数,所以,又函数是奇函数,所以,故选D．‎ 考点：函数的周期性和奇偶性．‎ ‎7.已知函数，，若在区间内没有零点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简,再根据在区间内没有零点,结合正弦函数图像可知,最后根据不等式组取解集即可.‎ ‎【详解】函数,‎ 由,‎ 若在区间内没有零点,‎ 则,‎ 又,则当时,;当时,,‎ 因此,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质,考查了不等式的解法,考需要学生具备一定的推理与计算能力,属于中档题.‎ ‎8.梯形中，，点在直线 上，点在直线上，且，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平面向量基本定理，将当作两组基底向量，再根据向量线性运算的加法与减法法则，代换出，结合，化简得，将表示成的关系式，再结合基本不等式求解即可 ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，‎ 由，化简得，‎ 则，‎ 当且仅当时取“=”号 故选：A ‎【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，向量的加法与减法的线性运算，基本不等式求最值，运算能力，属于难题 二､填空题 ‎9.设集合，，则_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简集合,,再利用集合并集运算的定义可得答案.‎ ‎【详解】集合,,‎ ‎,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的运算,结合了指数与不等式等相关知识,属于基础题.‎ ‎10.若的展开式中前三项的系数依次成等差数列，则展开式中项的系数为__．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依题意，2，可求得n，由二项展开式的通项公式即可求得x4项的系数．‎ ‎【详解】解：∵的展开式中前三项的系数依次成等差数列，‎ ‎∴2，‎ 即1n，解得n＝8或n＝1（舍）．‎ 设其二项展开式的通项为Tr+1，则Tr+1•x8﹣r••x﹣r••x8﹣2r，‎ 令8﹣2r＝4得r＝2．‎ ‎∴展开式中x4项的系数为•287．‎ 故答案为7．‎ ‎【点睛】本题考查二项式定理，通过等差数列的性质考查二项展开式的通项公式，考查分析与计算能力，属于中档题．‎ ‎11.在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以该直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线的极坐标方程为，则曲线上的点与曲线上的点的最小距离为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 曲线的直角坐标方程为,是圆心为,半径的圆,曲线的直角坐标方程为,求出圆心到曲线的距离,则曲线上的点与曲线上的点的最小距离.‎ ‎【详解】曲线的参数方程为(为参数),‎ 曲线的直角坐标方程为,是圆心为,半径的圆,‎ 曲线的极坐标方程为,即,‎ 曲线的直角坐标方程为,‎ 又圆心到曲线的距离,‎ 曲线上的点与曲线上的点的最小距离,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查直线上一点到圆上一点距离最值的求法,考查直角坐标方程､极坐标方程､参数方程的互化,属于中档题.‎ ‎12.用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有两个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个(用数字作答).‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,按四位数中偶数的个数分3种情况讨论,分别求出每种情况下四位数的数目,由加法原理计算可得答案.‎ ‎【详解】根据题意,分3种情况讨论:‎ ‎①组成的四位数中没有偶数,则其由1､3､5､7､9中的4个数字组成,共有个四位数;‎ ‎②组成的四位数中有1个偶数,此时有个符合题意的四位数;‎ ‎③组成的四位数中有2个偶数,此时有个符合题意的四位数;‎ 因此一共有个符合题意的四位数,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查排列､组合的应用,涉及分类计数原理的应用,属于基础题.‎ ‎13.不等式对任意正数x、y恒成立，则正数的最小值是______‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将条件转化为对任意正数x、y恒成立,利用均值定理求解即可 ‎【详解】由题,则对任意正数x、y恒成立,‎ 因为,‎ 所以,当且仅当时,等号成立,‎ 所以,即,‎ 故答案为：2‎ ‎【点睛】本题考查不等式恒成立问题,考查利用均值定理求最值,考查转化思想 ‎14.已知函数记，若，则实数的取值范围为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，条件可转化为函数，在上存在零点，转化为函数与的图象有交点的横坐标在上，利用数形结合法求解即可.‎ ‎【详解】由题意，条件可转化为函数，在上存在零点，‎ 所以方程有根，所以函数与的图象有交点的横坐标在上，‎ 所以函数的图象为顶点在直线上移动的折线， ‎ 如图所示，可得，即，所以实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的综合应用问题，其中解答中把条件可转化为函数在上存在零点，进而函数与的图象有交点的横坐标在上是解答的关键，着重考查了转化思想方法，以及推理论证能力.‎ 三､解答题 ‎15.在中，角A，B，C为三个内角，已知，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，D为AB的中点，求CD的长及的面积.‎ ‎【答案】（1）.（2），的面积.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由可求出,再利用展开即可得出答案;‎ ‎(2)由正弦定理可得,解出,再结合(1)可得,则,从而求出,然后由余弦定理解出,故在中利用余弦定理可得,最后求出的面积即可.‎ ‎【详解】(1),,‎ ‎,‎ ‎;‎ ‎(2)由正弦定理可得,解得,‎ 由(1)可得:,,‎ ‎,,‎ ‎,‎ 又由余弦定理可得:,解得,‎ 在中,,‎ ‎,‎ 的面积.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的和差公式以及正､余弦定理的应用,考查了同角三角函数基本关系式,需要学生具备一定的推理与计算能力,属于中档题.‎ ‎16.为丰富高三学生的课余生活，提升班级的凝聚力，某校高三年级6个班（含甲、乙）举行唱歌比赛．比赛通过随机抽签方式决定出场顺序．‎ 求：（1）甲、乙两班恰好在前两位出场的概率；‎ ‎（2）比赛中甲、乙两班之间的班级数记为，求的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ ‎4 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）设“甲、乙两班恰好在前两位出场”为事件，则 所以 甲、乙两班恰好在前两位出场概率为 ‎ ‎（2）随机变量的可能取值为.‎ ‎，，，‎ ‎,‎ 随机变量的分布列为：‎ ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ ‎4 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 因此，‎ 即随机变量的数学期望为. ‎ 考点：概率与分布列期望 点评：求分布列的主要步骤：1，找到随机变量可以取的值，2，求出各随机变量值对应的概率，3汇总成分布列，其中求概率考查的是古典概型概率 ‎17.如图,在四棱锥中, 平面平面,.‎ ‎（1）求证:平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（3）在棱上是否存在点,使得平面？若存在, 求的值；若不存在, 说明理由.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存，.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）由面面垂直的性质定理知AB⊥平面，根据线面垂直的性质定理可知，再由线面垂直的判定定理可知平面；（Ⅱ）取的中点，连结，以O为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法可求出直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）假设存在，根据A，P，M三点共线，设，根据BM∥平面PCD，即（为平面PCD的法向量），求出的值，从而求出的值.‎ 试题解析：（Ⅰ）因为平面平面，，‎ 所以平面.‎ 所以.‎ 又因为，‎ 所以平面.‎ ‎（Ⅱ）取的中点，连结.‎ 因为，所以.‎ 又因为平面，平面平面，‎ 所以平面.‎ 因为平面，所以.‎ 因为，所以.‎ 如图建立空间直角坐标系.由题意得，‎ ‎.‎ 设平面的法向量为，则 即 令，则.‎ 所以.‎ 又，所以.‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎（Ⅲ）设是棱上一点，则存在使得.‎ 因此点.‎ 因为平面，所以平面当且仅当，‎ 即，解得.‎ 所以棱上存在点使得平面，此时.‎ ‎【考点】空间线面垂直的判定定理与性质定理；线面角的计算；空间想象能力，推理论证能力 ‎【名师点睛】平面与平面垂直的性质定理的应用：当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个平面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系)，构造(寻找)二面角的平面角或得到点到面的距离等.‎ ‎18.已知数列的前n项和为，，且当时，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，证明：.‎ ‎【答案】（1）.（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)对两边取倒数可得:,即,然后利用等差数列的通项公式可得,再利用时,即可得出;‎ ‎(2)时,,再结合,可得,而时,,最后利用裂项相消法证明结论.‎ ‎【详解】(1),且当时,.‎ 两边同时取倒数可得:,即,且,‎ 数列是等差数列,其公差为2,首项为2,‎ ‎,‎ 可得,‎ 时,,‎ 所以;‎ ‎(2)时,,‎ 又时,,对于上式也成立.‎ ‎,‎ 时,,‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了取倒数法求数列的通项公式,考查了裂项求和方法以及放缩法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎19.如图，已知椭圆的左右顶点分别是，离心率为，设点，连接交椭圆于点，坐标原点是．‎ ‎（1）证明： ；‎ ‎（2）设三角形的面积为，四边形的面积为， 若 的最小值为1，求椭圆的标准方程．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据离心率为，可得，联立直线与椭圆的方程即可求出点的坐标，从而可得直线的斜率，再根据直线的斜率，即可证明；（2）由（1）知， ，根据的最小值为1，即可求出的值，从而求出椭圆的标准方程.‎ 试题解析：（1）由 得， .‎ ‎∴ ，即 .‎ ‎∴椭圆的方程为 ， ‎ 由，整理得： ，由 可得 ， 则点的坐标是，故直线的斜率为 ‎∵直线的斜率为 ‎∴‎ ‎∴. ‎ ‎（2）由（1）知， ， ∴. ‎ ‎∴当时，‎ ‎∴ ， ‎ ‎∴椭圆方程为.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）若在，处导数相等，证明：；‎ ‎（2）在（1）的条件下，证明：；‎ ‎（3）若，证明：对于任意，直线与曲线有唯一公共点.‎ ‎【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析.（3）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)对求导后令,化简可得结论;‎ ‎(2)由(1)中结论结合基本不等式得出,再令,利用换元法将的表达式换元得另一个函数,求导得该函数的单调性与最值进而证明结论;‎ ‎(3)设,求导后分类讨论的取值范围,得出函数单调性,再结合零点存在性定理证明直线与曲线有唯一零点.‎ ‎【详解】(1),则,‎ 因为在,处导数相等,‎ 所以,即,‎ 化简得:;‎ ‎(2)由(1)得,‎ 结合基本不等式得,‎ 则,解得,‎ 则,‎ 设,则,,‎ 故在上单调递增,所以,‎ 所以;‎ ‎(3)记,则,‎ 令,记,则,‎ ‎①当时,,有,则在上单调递减,‎ 当,即时,‎ 取,有,‎ 又,‎ 所以有唯一零点;‎ ‎②当时,,‎ 令,解得,,‎ 则当和时,单调递减,‎ 当,单调递增,‎ 记,,‎ 则有,‎ 则,‎ 记,‎ 注意,所以,‎ 又,则在上单调递减,‎ 因此,所以,所以,‎ 又,‎ 所以有唯一零点;‎ 综上可知,若,对于任意,直线与曲线有唯一公共点.‎ ‎【点睛】本题考查用利用导数证明等式与不等式,考查利用导数解决零点问题,属于难题.‎