2018届二轮复习(理)专题八 系列4选讲第1讲 坐标系与参数方程课件(全国通用)

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2018届二轮复习(理)专题八 系列4选讲第1讲 坐标系与参数方程课件(全国通用)

第 1 讲   坐标系与参数方程 专题八   系列 4 选讲 热点分类突破 真题押题精练 Ⅰ 热点分类突破 热点一 极坐标与直角坐标的互化 直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点, x 轴正半轴 作为 极轴 ,且在两坐标系中取相同的长度 单位 . 如 图 , 设 M 是平面内的任意一点,它的直角坐标、极 坐 标 分别为 ( x , y ) 和 ( ρ , θ ) , 例 1   (2017 届江苏省苏北三市 ( 连云港、徐州、宿迁 ) 三模 ) 在极坐标系中,已知点 A , 点 B 在直线 l : ρ cos θ + ρ sin θ = 0(0 ≤ θ <2π) 上 . 当线段 AB 最短时,求点 B 的极坐标 . 解答 思维升华 解  以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴,建立平面直角坐标系, 当线段 AB 最短时,点 B 为直线 x - y + 2 = 0 与直线 l 的交点, 所以点 B 的直角坐标为 ( - 1,1). 思维升华  (1) 在由点的直角坐标化为极坐标时,一定要注意点所在的象限和极角的范围,否则点的极坐标将不唯一 . (2) 在与曲线的方程进行互化时,一定要注意变量的范围,要注意转化的等价性 . 跟踪演练 1   (2017 届河北省唐山市三模 ) 点 P 是曲线 C 1 : ( x - 2) 2 + y 2 = 4 上的动点,以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,以极点 O 为中心,将点 P 逆时针旋转 90° 得到点 Q ,设点 Q 的轨迹方程为曲线 C 2 . (1) 求曲线 C 1 , C 2 的极坐标方程 ; 解答 解  曲线 C 1 的极坐标方程为 ρ = 4cos θ . 所以曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ = 4sin θ . (2) 射线 θ = ( ρ >0) 与曲线 C 1 , C 2 分别交于 A , B 两点,定点 M (2,0) , 求 △ MAB 的面积 . 解答 热点二 参数方程与普通方程的互化 1. 直线的参数方程 2. 圆的参数方程 解答 (1) 若 a =- 1 ,求 C 与 l 的交点坐标; 当 a =- 1 时,直线 l 的普通方程为 x + 4 y - 3 = 0. (2) 若 C 上的点到 l 的距离的最大值 为 , 求 a . 解答 思维升华 综上, a = 8 或 a =- 16. 思维升华  (1) 将参数方程化为普通方程,需要根据参数方程的结构特征,选取适当的消参方法 . 常见的消参方法有代入消参法,加减消参法,平方消参法等 . (2) 将参数方程化为普通方程时,要注意两种方程的等价性,不要增解、漏解,若 x , y 有范围限制,要标出 x , y 的取值范围 . 跟踪演练 2   (2017 届广西柳州市模拟 ) 以直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的单位长度 . 已知直线 l 的 参数 方程是 ( t 为参数 ) ,曲线 C 的极坐标方程是 ρ cos 2 θ = 2sin θ . ( 1) 写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; 解答 消去参数 t ,得直线 l 的普通方程为 x - y + 3 = 0. 由曲线 C 的极坐标方程 ρ cos 2 θ = 2sin θ , 得 ρ 2 cos 2 θ = 2 ρ sin θ , 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x 2 = 2 y . (2) 设直线 l 与曲线 C 相交于 A , B 两点,点 M 为 AB 的中点,点 P 的极坐标 为 , 求 | PM | 的值 . 解答 设 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , 因为 x 1 + x 2 = 2 ,所以 M (1,4) , 又点 P 的直角坐标为 (1,1) , 热点三 极坐标、参数方程的综合应用 解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时,要注意普通方程与参数方程的互化公式,主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题,如最值、范围等 . 例 3   (2017 届福建省泉州市质检 ) 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 1 的 参 数 方程 为 ( α 为参数 ) ;在以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴 的 极坐标 系中,曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ cos 2 θ = sin θ . (1) 求 C 1 的普通方程和 C 2 的直角坐标方程; 解答 思维升华  利用参数方程解决问题,要理解参数的几何意义 . 思维升华 可得 ( x - 1) 2 + y 2 = cos 2 α + sin 2 α , 即 C 1 的普通方程为 ( x - 1) 2 + y 2 = 1. 方程 ρ cos 2 θ = sin θ 可化为 ρ 2 cos 2 θ = ρ sin θ , (*) 所以 C 2 的直角坐标方程为 x 2 = y . (2) 若射线 l : y = kx ( x ≥ 0) 分别交 C 1 , C 2 于 A , B 两点 ( A , B 异于原点 ) ,当 k ∈ (1 , ] 时,求 | OA |·| OB | 的取值范围 . 思维升华  解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题,将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程,有助于认识方程所表示的曲线,从而达到化陌生为熟悉的目的,这是转化与化归思想的应用 . 解答 思维升华 思维升华 解答 (1) 求曲线 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程; ρ sin θ - ρ cos θ = 3 ,即 y - x = 3 , 因此直线 l 的直角坐标方程为 x - y + 3 = 0. (2) 设 P 是曲线 C 上的任意一点,求点 P 到直线 l 的距离的最大值 . 解 答 则点 P 到直线 l 的距离为 Ⅱ 真题押题精练 真题体验 1.(2017· 北京 ) 在极坐标系中,点 A 在圆 ρ 2 - 2 ρ cos θ - 4 ρ sin θ + 4 = 0 上,点 P 的坐标为 (1,0) ,则 | AP | 的最小值为 _____. 答案 解析 1 2 1 解析  由 ρ 2 - 2 ρ cos θ - 4 ρ sin θ + 4 = 0 ,得 x 2 + y 2 - 2 x - 4 y + 4 = 0 , 即 ( x - 1) 2 + ( y - 2) 2 = 1 , 圆心坐标为 C (1,2) ,半径长为 1. ∵ 点 P 的坐标为 (1,0) , ∴ 点 P 在圆 C 外 . 又 ∵ 点 A 在圆 C 上, ∴ | AP | min = | PC | - 1 = 2 - 1 = 1. 2.(2017· 全国 Ⅱ ) 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 1 的极坐标方程为 ρ cos θ = 4. (1) M 为曲线 C 1 上的动点,点 P 在线段 OM 上,且满足 | OM |·| OP | = 16 ,求点 P 的轨迹 C 2 的直角坐标方程; 解答 1 2 解  设点 P 的极坐标为 ( ρ , θ )( ρ >0) ,点 M 的极坐标为 ( ρ 1 , θ )( ρ 1 >0) ,由题设知, 由 | OM |·| OP | = 16 ,得 C 2 的极坐标方程 ρ = 4cos θ ( ρ >0). 所以 C 2 的直角坐标方程为 ( x - 2) 2 + y 2 = 4( x ≠ 0). 解答 1 2 解  设点 B 的极坐标为 ( ρ B , α )( ρ B >0). 由题设知 | OA | = 2 , ρ B = 4cos α . 于是 △ OAB 的面积 1 2 1 2 押题预测 解答 押题依据  极坐标方程和参数方程的综合问题一直是高考命题的热点 . 本题考查了等价转换思想,代数式变形能力,逻辑推理能力,是一道颇具代表性的题 . 1 2 1. 已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ = 4cos θ . 以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的非负半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程 是 ( t 是参数 ). (1) 将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; 押题依据 1 2 解  由 ρ = 4cos θ ,得 ρ 2 = 4 ρ cos θ . 因为 x 2 + y 2 = ρ 2 , x = ρ cos θ ,所以 x 2 + y 2 = 4 x , 即曲线 C 的直角坐标方程为 ( x - 2) 2 + y 2 = 4. 押题依据 解答 1 2 (2) 若直线 l 与曲线 C 相交于 A , B 两点,且 | AB | = , 求直线的倾斜角 α 的 值 . 1 2 得 ( t cos α - 1) 2 + ( t sin α ) 2 = 4 , 化简得 t 2 - 2 t cos α - 3 = 0. 设 A , B 两点对应的参数分别为 t 1 , t 2 , 1 2 押题依据  将椭圆和直线的参数方程、圆和射线的极坐标方程相交汇,考查相应知识的理解和运用,解题中,需要将已知条件合理转化,灵活变形,符合高考命题趋势 . (1) 求曲线 C 1 的普通方程; 解答 1 2 押题依据 1 2 得 ρ = a ,即点 P 的极坐标为 ( a , 0) ; 将 θ = 0( ρ ≥ 0) 代入 ρ = 2cos θ ,得 ρ = 2 , 即点 Q 的极坐标为 (2,0 ). 押题依据 1 2 因为 | PQ | = 1 ,所以 | PQ | = | a - 2| = 1 , 所以 a = 1 或 a = 3. 解答 1 2 1 2 1 2
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