2018-2019学年天津市第一中学高一上学期期末考试数学试题（解析版）

2018-2019学年天津市第一中学高一上学期期末考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年天津市第一中学高一上学期期末考试数学试题 一、单选题 ‎1．已知点落在角的终边上，且，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】确定点P所在象限，求出值．‎ ‎【详解】‎ 由题意，∴P点在第四象限，‎ 又 ，‎ ‎∴．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查已知角终边上一点坐标，求角问题．解题关键是掌握三角函数的定义．可以先确定点所在象限（即角的象限），然后由三角函数定义求出一个三角函数值，注意角的象限结合三角函数的定义可求角．‎ ‎2．已知，则的值是（ ）‎ A． B． C．-2 D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由已知可得,故 ‎.应选A.‎ ‎【考点】同角三角函数的关系及运用.‎ ‎3．已知，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由条件利用诱导公式化简所给的三角函数式，可得结果．‎ ‎【详解】‎ ‎∵cos（），‎ 则sin（）＝sin[（）-]＝-cos（），‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查诱导公式的应用，关键是建立所求角与已知角的关系，属于基础题．‎ ‎4．已知，点为角的终边上一点，且，则角（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由已知，得出 sin（α﹣β），将β角化为β＝α﹣（α﹣β），根据和差角公式，求出β的某种三角函数值，再求出β．‎ ‎【详解】‎ ‎∵|OP|＝7，∴sinα，cosα．‎ 由已知，，‎ 根据诱导公式即为sinαcosβ﹣cosαsinβ，‎ ‎∴，‎ ‎∵‎ ‎∴0＜α﹣β，∴cos（α﹣β），‎ ‎∴sinβ＝sin[α﹣（α﹣β）]＝sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）‎ ‎，‎ ‎∵，‎ 所以角β 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数诱导公式、和差角公式的应用：三角式求值、求角．运用和差角公式时，角的转化非常关键，注意要将未知角用已知角来表示．常见的角的代换形式：β＝α﹣（α﹣β），2α＝（α﹣β）+（α+β）等．‎ ‎5．在中，三内角的对边分别为，若的面积为，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】首先由三角形面积公式得到S△ABC，再由余弦定理，结合2S＝（a+b）2﹣c2，得出sinC﹣2cosC＝2，然后通过（sinC﹣2cosC）2＝4，求出结果即可．‎ ‎【详解】‎ ‎△ABC中，∵S△ABC，由余弦定理：c2＝a2+b2﹣2abcosC，‎ 且 2S＝（a+b）2﹣c2，∴absinC＝（a+b）2﹣（a2+b2﹣2abcosC），‎ 整理得sinC﹣2cosC＝2，∴（sinC﹣2cosC）2＝4．‎ ‎∴4，化简可得 3tan2C+4tanC＝0．‎ ‎∵C∈（0，180°），∴tanC，‎ ‎∴，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了余弦定理、三角形面积公式、诱导公式的应用，考查了利用同角基本关系对三角函数进行化简求值，注意角C的范围，属于中档题．‎ ‎6．要得到函数的图像，只需将函数的图像上所有的点的（ ）‎ A．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 B．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 ‎【答案】C ‎【解析】∵y＝cosx＝sin(x＋)，∴将y＝sin(2x＋)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到y＝sin(x＋)的图象，再向左平移个单位即可得到y＝sin(x＋)的图象．故选C.‎ ‎7．函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于 A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由于函数与函数均关于点成中心对称，结合图形以点为中心两函数共有个交点，则有，同理有，所以所有交点的横坐标之和为.故正确答案为D.‎ ‎【考点】1.函数的对称性；2.数形结合法的应用.‎ ‎8．已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为对任意恒成立，所以，则或，当时，，则（舍去），当时，，则，符合题意，即，令 ‎，解得，即的单调递减区间是；故选A.‎ ‎9．定义在上的函数满足，当时，，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先将区间[1，3]分解为[1，2]和（2，3]两部分，去绝对值讨论出函数的单调性，依次看选项，利用f（x）＝f（x+2）结合单调性比较大小．‎ ‎【详解】‎ x∈[1，2]时，f（x）＝x，故函数f（x）在[1，2]上是增函数，‎ x∈（2，3]时，f（x）＝4﹣x，故函数f（x）在[2，3]上是减函数，‎ 又定义在R上的f（x）满足f（x）＝f（x+2），故函数的周期是2‎ 所以函数f（x）在（0，1）上是减函数，在[1，2]上是增函数，‎ 观察四个选项：A中，由，知，故A不对；‎ B选项中f（cos）＝f（）＝f（），f（sin）＝f（）＝f（2），，∴故B为真命题；‎ C选项中，，所以，故C为假命题；‎ D选项中 ，所以，故D为假命题；‎ 综上，选项B是正确的．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用函数的周期性与函数的单调性来比较大小，属于中档题．将函数的表达式化为分段的形式，再将所给的区间转化到同一单调区间内，进而利用单调性来比较函数值的大小，是处理函数周期性的常用方法．‎ ‎10．（2016新课标全国I理科）已知函数为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为 A．11 B．9‎ C．7 D．5‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：因为为的零点，为图像的对称轴，所以，即，所以，又因为在单调，所以，即，则的最大值为9.故选B.‎ ‎【考点】三角函数的性质 ‎【名师点睛】本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论：①的单调区间长度是最小正周期的一半;②若的图像关于直线对称,则或.‎ 二、填空题 ‎11．已知，且，则的值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由θ的范围，得到cosθ＜sinθ，进而得到所求式子的值为负数，然后把所求式子平方，利用同角三角函数间的基本关系化简后，将sinθcosθ的值代入，开方即可得到值．‎ ‎【详解】‎ 由θ，根据函数正弦及余弦函数图象得到cosθ＜sinθ，即cosθ﹣sinθ＜0，‎ ‎∵sinθcosθ，‎ ‎∴（cosθ﹣sinθ）2＝cos2θ﹣2sinθcosθ+sin2θ＝1﹣2sinθcosθ＝1﹣2，‎ 则cosθ﹣sinθ．‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握同角三角函数间的基本关系是解本题的关键，同时注意根据θ的范围判断所求式子的正负，开方得到满足题意的解．‎ ‎12．已知函数，若，则_____．‎ ‎【答案】-2020‎ ‎【解析】根据题意，设g（x）＝f（x）+1＝asinx+btanx，分析g（x）为奇函数，结合函数的奇偶性可得g（2）+g（﹣2）＝f（2）+1+f（﹣2）+1＝0，计算可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，函数f（x）＝asinx+btanx﹣1，设g（x）＝f（x）+1＝asinx+btanx，‎ 有g（﹣x）＝asin（﹣x）+btan（﹣x）＝﹣（asinx+btanx）＝﹣g（x），‎ 则函数g（x）为奇函数，‎ 则g（2）+g（﹣2）＝f（2）+1+f（﹣2）+1＝0，‎ 又由f（﹣2）＝2018，则f（2）＝﹣2020；‎ 故答案为-2020．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数奇偶性的性质以及应用，构造函数g（x）＝f（x）+1是解题的关键，属于中档题．‎ ‎13．在中，角的对边分别为，已知，，，若，则_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意根据正弦定理得B=2C（舍）或B+2C=π，从而解得C=A，即a=c=3，再利用余弦定理可得b.‎ ‎【详解】‎ 由题意，‎ 根据正弦定理知，‎ 即，‎ ‎∴，‎ 在中，，∴，‎ ‎∴B=2C或B+2C=π，‎ 当B=2C时，B+C=3C>π，（舍）‎ ‎∴B+2C=π，∴C=A，即a=c=3，‎ 又<，∴B<或B>（舍，因为），‎ ‎∴，由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2accosB=3，‎ ‎∴b=.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正、余弦定理及应用，考查了三角形中角的大小关系，考查了正弦函数单调性的应用，属于中档题.‎ ‎14．将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，若在上为增函数，则的最大值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：函数的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）=2sinωx，y=g（x）在上为增函数，所以 ‎，即：ω≤2，所以ω的最大值为：2．‎ ‎【考点】本题考查了图象的变换及周期的运用 点评：熟练掌握三角函数图象变换及性质是解决此类问题的关键，属基础题 ‎15．已知在上有两个不同的零点，则的取值范围是___．‎ ‎【答案】[1，2）‎ ‎【解析】试题分析：因为函数在区间上增，上减，根据题意结合零点存在性定理可知且，且，解得，故答案为[1，2）．‎ ‎【考点】函数的性质与零点存在性定理 ‎16．关于下列命题：‎ ‎①若是第一象限角，且，则；‎ ‎②函数是偶函数；‎ ‎③函数的一个对称中心是；‎ ‎④函数在上是增函数，‎ 所有正确命题的序号是_____．‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】结合相关知识对给出的每个选项分别进行分析、判断可得正确的命题．‎ ‎【详解】‎ 对于①，若α，β是第一象限角，且α>β，可令α=390°，β=30°，则sin α=sin β，所以①错误；‎ 对于②，函数y=sin=-cos πx，f(x)=-cos(πx)=f(x)，则为偶函数，所以②正确；‎ 对于③，令2x-=kπ，解得x=(k∈Z)，所以函数y=sin的对称中心为，‎ 当k=0时，可得对称中心为，所以③正确；‎ 对于④，函数，当时，，所以函数在区间上单调递减，所以④不正确．‎ 综上，命题②③正确．‎ ‎【点睛】‎ 本题综合考查三角函数的有关内容，考查综合运用和解决问题的能力，解题时可根据题中的要求分别进行求解，但由于涉及的内容较多，所以解题时要注意结果的正确性．‎ 三、解答题 ‎17．已知函数，.‎ ‎（1）求函数的最小正周期；‎ ‎（2）求函数在区间上的最大值和最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）最大值为，最小值为-1‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用正弦函数的两角和与差的公式、二倍角的余弦公式与辅助角公式将化为，利用周期公式即可求得函数的最小正周期；（2）可分析得到函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，从而可求得在区间上的最大值和最小值.‎ 试题解析：(1)f(x)＝sin 2x·cos＋cos 2x·sin＋sin 2x·cos－cos 2x·sin＋cos 2x ‎＝sin 2x＋cos 2x＝sin. ‎ 所以，f(x)的最小正周期T＝＝π. ‎ ‎(2)因为f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数．‎ 又，‎ ‎ 故函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－1.‎ ‎18．在中，角的对边分别为，已知.‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若，的面积为，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】(1)先利用正弦定理化简得，再根据和正弦定理求出a的值.(2) 因为的面积为得，由余弦定理可得,所以．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，所以由正弦定理可得，‎ 即，‎ 所以，‎ 因为，所以，则，‎ 因为，所以由正弦定理可得．‎ ‎（2）因为的面积为，所以，得，‎ 因为，所以由余弦定理可得，‎ 所以，即，‎ 因为，所以．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎19．设函数的图像过点.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）已知，，求的值；‎ ‎（3）若函数的图像与的图像关于轴对称，求函数的单调区间.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）单减区间为，‎ 单增区间为.‎ ‎【解析】(1)将P点坐标代入求A，即得结果，(2)先代入得 ，利用平方关系得，再根据诱导公式化简式子，最后代入求结果，(3)先根据对称性得解析式，在根据正弦函数性质求单调区间.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，所以；‎ ‎（2）,‎ ‎ 所以 , =;‎ ‎（3）因为函数的图象与图象关于轴对称，所以，‎ 由得 单减区间为，‎ 由得 单增区间为。‎ ‎【点睛】‎ 函数的性质 ‎(1).‎ ‎(2)周期 ‎(3)由 求对称轴 ‎(4)由求增区间; ‎ 由求减区间 ‎20．函数 的一段图像如图所示：将的图像向右平移个单位，可得函数的图像，且图像关于原点对称.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的最小值，并写出的表达式；‎ ‎（3）设，关于的函数在区间上最小值为-2，求的范围.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）或 ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由函数的图象结合三角函数的性质可得，，.‎ ‎(2)结合(1)的结论可得，据此可得的最小值为，且.‎ ‎(3)由题意结合(2)的结论可得：，结合函数的定义域可得：，据此可得不等式：，求解不等式可得的取值范围是.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由函数的最大值可得，函数的最小正周期为：，‎ 则，当时，，‎ 故：，令可得：.‎ ‎(2)结合(1)的结论可得，‎ 故的最小值为，将函数图象向右平移个单位可得.‎ ‎(3)由题意结合(2)的结论可得：，结合函数的定义域可得：，若函数能取到最小值，则：，其中，‎ 据此可得的取值范围是.‎ 点睛：已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：‎ ‎(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.‎ ‎(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.‎