新疆博尔塔拉蒙古自治州第五师高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理科）试题

新疆博尔塔拉蒙古自治州第五师高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理科）试题

数学试卷 注意事项：‎ ‎1.本试卷为问答分离式试卷，共8页，其中问卷4页，答卷4页.答题前，请考生务必将自己的学校、姓名、座位号、准考证号等信息填写在答题卡上.‎ ‎2.作答非选择题时须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题卡的指定位置上，作答选择题须用2B铅笔将答题卡上对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，请保持答题卡卡面清洁、不折叠、不破损.‎ 第I卷（选择题共60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.在复平面内，复数对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得：，据此确定复数所在的象限即可.‎ ‎【详解】由题意可得：，‎ 则复数z对应的点为，位于第四象限.‎ 本题选择D选项.‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的运算法则，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎2.若给出演绎推理的“三段论”：大前提：若直线平行于平面，则平行于平面内所有的直线；小前提：已知直线平面，直线平面.（ ）‎ A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 非以上错误 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线面平行的特点可知大前提错误.‎ ‎【详解】若直线平行于平面，则与平面无交点，但与平面内的直线可能异面，大前提错误.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题以三段论为载体考查了线面平行的相关命题，属于基础题.‎ ‎3.物体的运动方程为，则此物体在时的瞬时速度为（ ）‎ A. 2 B. ‎4 ‎C. 6 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数的物理意义和定义可直接求得结果.‎ ‎【详解】当时，，‎ 则，‎ 故物体在时的瞬时速度为.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查导数的物理意义及利用定义求解导数值的问题，属于基础题.‎ ‎4.已知复数 满足的复数的对应点的轨迹是（　　）‎ A. 1个圆 B. 线段 C. 2个点 D. 2个圆 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】因为,所以, (负舍)‎ 因此复数对应点的轨迹是以原点为圆心以3为半径的圆,选A.‎ ‎5.设函数在处存在导数为2，则（ ）.‎ A. B. ‎6 ‎C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数定义，化为导数表达式即可．‎ ‎【详解】根据导数定义，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以选A ‎【点睛】本题考查了导数定义的简单应用，属于基础题．‎ ‎6.两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类.如图中实心点的个数5，9，14，20，…为梯形数.根据图形的构成，记此数列的第2017项为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据梯形数的规律，结合等差数列求和公式可得，代入即可得到结果.‎ ‎【详解】观察梯形数的前几项，得 ‎，，，，‎ ‎，‎ 由此可得.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查数列的应用，关键是能够根据梯形数的规律得到数列的通项公式.‎ ‎7.用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边（ ）‎ A. 增加了一项 B. 增加了两项，‎ C. 增加了A中的一项，但又减少了另一项 D. 增加了B中的两项，但又减少了另一项 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分别写出和时，左边对应的式子，进而可得出结果.‎ ‎【详解】当时，左边，‎ 当时，左边 ‎，‎ 所以，由递推到时，不等式左边增加了，；减少了；‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查数学归纳法的应用，熟记数学归纳法，会求增量即可，属于基础题型.‎ ‎8.已知函数在处取得极大值，则c的值为（ ）‎ A. 2 B. ‎6 ‎C. 4 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用极值点处导函数为零可构造方程求得或，代回验证处是否为极大值可确定最终结果.‎ ‎【详解】由题意得：，‎ 由，解得：或.‎ 当时，，‎ 当时，，单调递增；当时，，单调递减；‎ 在处取得极大值，符合题意；‎ 当时，，‎ 当时，，单调递减；当时，，单调递增；‎ 在处取得极小值，不合题意；‎ 综上所述：.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查根据函数的极值点求解参数值的问题；关键是明确极值点处的导函数值为零；易错点是忽略验证环节，造成增根出现.‎ ‎9.已知，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用基本不等式和二次函数的值域可求得，，由此可得结果.‎ ‎【详解】（当且仅当，即时取等号）；‎ ‎（当且仅当时取等号），‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查利用基本不等式和二次函数性质求解最值的问题，属于基础题.‎ ‎10.设，，，则大小关系是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三个数的特征，构造函数，求导，判断函数的单调性，利用函数的单调性可以判断出的大小关系.‎ ‎【详解】解:考查函数，则，在上单调递增，，‎ ‎，即，，故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了通过构造函数，利用函数单调性判断三个数大小问题，根据三个数的特征构造函数是解题的关键.‎ ‎11.函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列数值排序正确是（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数的几何意义可对比切线斜率得到，将看作过和的割线的斜率，由图象可得斜率的大小关系，进而得到结果.‎ ‎【详解】由图象可知，在处的切线斜率大于在处的切线斜率，且斜率为正，‎ ‎，‎ ‎，可看作过和的割线的斜率，由图象可知，‎ ‎.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查导数几何意义的应用，关键是能够将问题转化为切线和割线斜率大小关系的比较，进而根据图象得到结果.‎ ‎12.若对于任意的，都有，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由已知有，两边同时除以，化简有，而，构造函数，令 令 ，所以函数在上为增函数，在上为减函数，由对于恒成立，即在为增函数，则，故 的最大值为1，选C.‎ 点睛：本题主要考查了导数在研究函数的单调性上的应用，属于中档题．本题关键是将已知不等式恒等变形为，再根据单调性得出结果．‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知函数，则_________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导后代入即可构造方程求得结果.‎ ‎【详解】，，解得：.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查导数值的求解问题，关键是明确为实数，属于基础题.‎ ‎14.甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖.有人走访了四位歌手,甲说:“乙或丙获奖”.乙说:“甲、丙都未获奖”.丙说:“丁获奖”.丁说:“丙说的不对”.若四位歌手中只有一个人说的是真话,则获奖的歌手是____.‎ ‎【答案】甲 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据“四位歌手中只有一个人说的是真话”，假设某一个人说的是真话，如果与条件不符，说明假设不成立，如果与条件相符，则假设成立的方法解决问题．‎ ‎【详解】若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，不符合题意． 若丙是获奖的歌手，则甲、丁都说真话，不符合题意 若丁是获奖的歌手，则乙、丙都说真话，不符合题意． 若甲是获奖的歌手，则甲、乙、丙都说假话，丁真话，符合题意． 故答案为甲 ‎【点睛】本小题考查逻辑思维和推理能力，属基础题.．‎ ‎15.__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用微积分基本定理可直接求得结果.‎ ‎【详解】.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用微积分基本定理求解积分的问题，属于基础题.‎ ‎16.已知函数在上的图象是连续不断的一条曲线，并且关于原点对称，其导函数为，当时，有不等式成立，若对，不等式恒成立，则正整数的最大值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令先判断函数g(x)的奇偶性和单调性，得到在R上恒成立，再利用导数分析解答即得解.‎ ‎【详解】因为当时，有不等式成立，‎ 所以，‎ 令所以函数g(x)在（0，+∞）上单调递增，‎ 由题得 所以函数g(x)是奇函数，所以函数在R上单调递增.‎ 因为对，不等式恒成立，‎ 所以，‎ 因为a>0,所以当x≤0时，显然成立.‎ 当x＞0时，，‎ 所以，所以函数h(x)在（0,1）单调递减，在（1，+∞）单调递增.‎ 所以，‎ 所以a＜e,‎ 所以正整数的最大值为2.‎ 故答案为2‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的奇偶性及其应用，考查函数单调性的判断及其应用，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.属于中档题.‎ 三、答题：共70分.答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）已知是关于的一元二次实系数方程的一个根，求实数，的值.‎ ‎【答案】（1）；（2），.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用复数代数形式的乘除运算化简复数，再由复数求模公式计算得答案； （2）把代入方程中，求解即可得答案．‎ ‎【详解】（1）由，‎ 得；‎ ‎（2）把代入方程中，得到：，‎ 即且，解得，.‎ ‎【点睛】本题考查复数的概念，考查复数的运算性质，考查计算能力，属于常考题.‎ ‎18.已知函数f(x)=x3-bx2+2cx的导函数的图像关于直线x=2对称.‎ ‎(1)求b的值;‎ ‎(2)若函数f(x)无极值,求c的取值范围.‎ ‎【答案】（1）6（2）c≥6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求导函数，根据导函数的图象关于直线对称，可知，从而可求b的值；‎ ‎（2）函数无极值，即导函数为0的方程至多有一解，从而可求c的取值范围.‎ ‎【详解】解:(1)f'(x)=3x2-2bx+‎2c,‎ ‎∵f'(x)的图像关于直线x=2对称,∴=2,解得b=6.‎ ‎(2)由(1)可知,f(x)=x3-6x2+2cx,‎ f'(x)=3x2-12x+‎2c=3(x-2)2+‎2c-12,‎ 当‎2c-12≥0,即c≥6时,f'(x)≥0,此时函数f(x)无极值.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关导数的应用问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有函数的求导公式，应用导数研究函数的极值问题，注意没有极值的等价条件，从而求得结果.‎ ‎19.（1）已知，求证：‎ ‎（2）证明：若均为实数，且，，，求证：中至少有一个大于0．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）详见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）直接利用分析法，即可证明 ，推出即可；‎ ‎（2）利用反证法证明：中至少有一个大于0，写出命题的否定形式，然后推出与假设矛盾的结果即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：要证：，只需证：‎ 只需证：‎ 即证：，‎ 即证：‎ 只需证：，即证：，∵上式显然成立，‎ ‎∴原不等式成立．‎ ‎（2）设都不大于0，即，，，∴‎ 而 ‎∴，这与矛盾，故假设是错误的 故中至少有一个大于0．‎ ‎20.在极坐标系中，圆的方程为，以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系.‎ ‎（1）求圆在直角坐标系下的标准方程；‎ ‎（2）直线的极坐标方程是，射线与圆C的交点为，，与直线的交点为，求线段 的长.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题得，再化成直角坐标方程；（2）设，由题得 ‎，，即得.‎ ‎【详解】解：（1）圆的极坐标方程为，两边同时乘，得，‎ 又，所以有，‎ 于是圆在直角坐标系下的标准方程为.‎ ‎（2）由题意得，设，由圆的极坐标方程得，‎ 由直线l的极坐标方程得，‎ 从而.‎ ‎【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标互化，考查极坐标下线段长度的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）求的单调区间；‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别求得和，从而得到切线方程；‎ ‎（2）求导后，令求得两根，分别在、和三种情况下根据导函数的正负得到函数的单调区间.‎ ‎【详解】（1），，，‎ ‎，又，‎ 在处的切线方程为.‎ ‎（2），‎ 令，解得：，.‎ ‎①当时，若和时，；若时，；‎ 的单调递增区间为，；单调递减区间为；‎ ‎②当时，在上恒成立，‎ 的单调递增区间为，无单调递减区间；‎ ‎③当时，若和时，；若时，；‎ 的单调递增区间为，；单调递减区间为；‎ 综上所述：当时，单调递增区间为，；单调递减区间为；‎ 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；‎ 当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数的几何意义求解曲线在某一点处的切线方程、利用导数讨论含参数函数的单调区间的问题，属于常考题型.‎ ‎22.已知函数．‎ ‎（1）若函数有两个零点，求的取值范围；‎ ‎（2）证明：当时，关于的不等式在上恒成立．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)可得m=lnx-x．令g（x）=lnx-x，可得g（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，则m＜g（1）=-1即可， （2）f（x）+（x-2）ex＜0，可得m＞（x-2）ex+lnx-x．设h（x）=（x-2）ex+lnx-x，x∈，利用导数求h（x）的最值即可得解.‎ ‎【详解】（1）令，；‎ 令，， ‎ 令，解得，令，解得， ‎ 则函数在上单点递增，在上单点递减，．‎ 要使函数有两个零点，则函数的图像与有两个不同的交点．‎ 则，即实数的取值范围为． ‎ ‎（2），；‎ 设，； ‎ 设，，则在上单调递增. ‎ 又，.，使得，即，. ‎ 当时，；当时，； ‎ 在上单调递增，在上单调递减. ‎ ‎.‎ 设，.‎ 当时，恒成立，则在上单调递增，‎ ‎，即当时， ‎ 当时，关于的不等式在上恒成立.‎ ‎【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．‎