高考数学专题复习：《点、直线、平面之间的位置关系》同步练习1 新人教A版必修2

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‎《点、直线、平面之间的位置关系》同步练习1 新人教A版必修2‎ 一、选择题 ‎1、【04全国Ⅱ·理】已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离为，则球心O到平面ABC的距离为( )‎ A.　　　　　B.　　　 　C.　　　 　　D.‎ ‎2、【04天津·文】如上图，定点A和B都在平面内，定点，，C是内异于A和B的动点，且那么，动点C在平面内的轨迹是( )‎ A. 一条线段，但要去掉两个点 B. 一个圆，但要去掉两个点 C. 一个椭圆，但要去掉两个点 D. 半圆，但要去掉两个点 ‎3、【04天津·理】如图，在棱长为2的正方体中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是、AD的中点，那么异面直线OE和所成的角的余弦值等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4、【04重庆·文】不同直线和不同平面，给出下列命题：‎ ‎① ② ‎ ‎③ ④ ‎ 其中假命题有( )‎ ‎ A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 ‎5、【04重庆·理】设P是的二面角内一点，垂足，则AB的长为( )‎ ‎ A B C D ‎ ‎6、【04上海·理】在下列关于直线l、m与平面α、β的命题中,真命题是( )‎ ‎ A.若lβ且α⊥β,则l⊥α. B. 若l⊥β且α∥β,则l⊥α.‎ C. 若l⊥β且α⊥β,则l∥α. D. 若α∩β=m且l∥m,则l∥α.‎ ‎7、【04全国Ⅳ·理】已知球的表面积为20，球面上有A、B、C三点.如果AB=AC=2，BC=，则球心到平面ABC的距离为( )‎ ‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎8、【04安徽·理】若二面角为1200，直线，则所在平面内的直线与m所成角的取值范围是( )‎ A. B.[300，600] C.[600，900] D.[300，900]‎ ‎9、【04全国Ⅱ·文】正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为( )‎ A.75°　　 B.60°　　　　C.45°　　　　 D.30°‎ ‎10、【04重庆·理】若三棱锥A-BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的面积与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与组成图形可能是 A C B A P P B C C B A B A C P P ‎11、【04湖北理】已知平面所成的二面角为80°，P为、外一定点，过点P的一条直线与、所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有( )‎ ‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 ‎12、【04湖南理】把正方形ABCD沿对角线AC折起，当A、B C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD与平面ABC所成的角的大小为( )‎ ‎ A．90° B．60° C．45° D．30°‎ ‎13、【04福建理】 已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题 ‎①若mα，n∥α，则m∥n；‎ ‎②若m∥α，m∥β，则α∥β；‎ ‎③若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β；‎ ‎④若m⊥α，m⊥β，则α∥β.‎ 其中真命题的个数是（ ）‎ ‎ A．0 B．‎1 ‎ C．2 D．3‎ ‎14、【04福建理】如图，A、B、C是表面积为48π的球面上三点，AB=2，BC=4，‎ ‎∠ABC=60°，O为球心，则直线OA与截面ABC所成的角是（ ）‎ ‎ ‎ A．arcsin B．arccos ‎ C．arcsin D．arccos ‎15、【04北京春招理】两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为‎5cm，‎4cm，‎3cm，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是 （ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎16、【04北京春招理】]一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成的角为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎17、【04北京理】设m、n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：‎ ‎ ①若，，则 ‎ ②若，，，则 ‎ ③若，，则 ‎ ④若，，则 ‎ 其中正确命题的序号是（ ）‎ ‎ A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④‎ ‎18、【04全国Ⅳ·理】 对于直线m、n和平面，下面命题中的真命题是( )‎ ‎ A．如果、n是异面直线，那么 ‎ B．如果、n是异面直线，那么相交 ‎ C．如果、n共面，那么 ‎ D．如果、n共面，那么 ‎19、【04浙江·理】如图，在正三棱柱ABC—A1B‎1C1中已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=．1，若AD与平面AA‎1C1C所成的角为α，则α=（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎ ‎ 二、填空题 ‎20、【04全国Ⅰ·理】已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是 ‎①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线 ‎③同一条直线 ④一条直线及其外一点 在一面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）.‎ ‎21、【04全国Ⅱ·理】下面是关于四棱柱的四个命题：‎ ‎ ①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 ‎②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 ‎③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱 ‎④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱 其中，真命题的编号是　　 　(写出所有真命题的编号)．‎ ‎22、【04全国Ⅲ·理】 用平面截半径为R的球，如果球心到截面的距离为，那么截得 小圆的面积与球的表面积的比值为__________‎ ‎23、【04浙江·理】已知平面α和平面交于直线，P是空间一点，PA⊥α，垂足为A，PB⊥β，垂足为B，且PA=1，PB=2，若点A在β内的射影与点B在α内的射影重合，则点P到的距离为 ‎ ‎24、【04浙江·文】已知平面α⊥β， =，P是空间一点，且P到α、β的距离分别是1、2，则点P到的距离为 ‎ ‎25、【04辽宁】如图，四棱柱ABCD—A1B‎1C1D1的底面ABCD为正方形，侧棱与底面边长均为‎2a，且，则侧棱AA1和截面B1D1DB的距离是 . ‎ 三、解答题 ‎26、【04江苏】 在棱长为4的正方体ABCD-A1B‎1C1D1中，O是正方形A1B‎1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP.‎ ‎·‎ B1‎ P A C D A1‎ C1‎ D1‎ B O H ‎·‎ ‎(Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；‎ ‎(Ⅱ)设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1H⊥AP；‎ ‎(Ⅲ)求点P到平面ABD1的距离.‎ ‎ ‎ ‎27、【04全国Ⅱ·理】 如图，直三棱柱ABC-A1B‎1C1中，∠ACB＝90o，AC＝1，CB＝，侧棱AA1＝1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B‎1C1的中点为M．‎ ‎(Ⅰ)求证：CD⊥平面BDM；‎ ‎(Ⅱ)求面B1BD与面CBD所成二面角的大小．‎ ‎28、【04湖南理】 如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=,点E在PD上，且PE:ED=2:1.‎ ‎（I）证明PA⊥平面ABCD；‎ ‎（II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；‎ ‎（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点F，使BF//平面AEC？证明你的结论.‎ ‎29、【04湖北理】 如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B‎1C1D1中，点E是棱BC 的中点，点F是棱CD上的动点.‎ ‎（I）试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB‎1F；‎ ‎（II）当D1E⊥平面AB‎1F时，求二面角C1—EF—A的大小（结果用反三角函数值表示）.‎ ‎30、【04福建理】 在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥‎ 平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明：AC⊥SB；‎ ‎（Ⅱ）求二面角N—CM—B的大小；‎ ‎（Ⅲ）求点B到平面CMN的距离.‎ ‎31、【04北京春招理】 如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （I）求证； （II）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；‎ ‎ （III）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小 ‎32、【04北京文】 如图，在正三棱柱中，AB＝2，，由顶点B沿棱柱侧面经过棱到顶点的最短路线与的交点记为M，求：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （I）三棱柱的侧面展开图的对角线长 ‎ （II）该最短路线的长及的值 ‎ （III）平面与平面ABC所成二面角（锐角）的大小 ‎33、【04安徽·理】 已知三棱柱ABC－A1B‎1C1中，底面边长和侧棱长均为a，侧面A1ACC1⊥底面ABC，A1B＝a，‎ ‎（Ⅰ）求异面直线AC与BC1所成角的余弦值；‎ ‎（Ⅱ）求证：A1B⊥面AB‎1C.‎ ‎34、【04上海春季】 如图，点为斜三棱柱的侧棱上一点，交于点，交于点.‎ A A1‎ B1‎ B C1‎ C M N P ‎ (1) 求证：；‎ ‎ (2) 在任意中有余弦定理：. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.‎ ‎35、【04广东】如右下图,在长方体ABCD—A1B‎1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1.‎ ‎ (1) 求二面角C—DE—C1的正切值;‎ ‎(2) 求直线EC1与FD1所成的余弦值.‎ ‎36、【04全国Ⅲ·理】 三棱锥P-ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3.‎ ‎ (1)求证 AB⊥BC ；‎ ‎(II)如果 AB=BC=2，求AC与侧面PAC所成角的大小．‎ ‎ ‎ ‎37、【04辽宁】 已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD是菱形，平面ABCD，PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点.‎ ‎ ‎ ‎（1）证明平面PED⊥平面PAB；‎ ‎ ‎ ‎（2）求二面角P—AB—F的平面角的余弦值. ‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、B ‎ ‎2、B ‎ ‎3、B ‎ ‎4、D ‎ ‎5、C ‎6、B ‎ ‎7、A ‎ ‎8、D ‎ ‎9、C ‎ ‎10、D ‎ ‎11、D ‎ ‎12、C ‎13、B ‎ ‎14、D ‎ ‎15、C ‎ ‎16、C ‎ ‎17、A ‎ ‎18、C ‎ ‎19、D ‎ 二、填空题 ‎20、①②④ ‎ ‎21、②④ ‎ ‎22、3:16 ‎ ‎23、 ‎ ‎24、‎ ‎25、a ‎ 三、解答题 ‎26、（1）‎ ‎（2）略 ‎ ‎（3）‎ ‎27、(I)如图，连结CA1、AC1、CM，则CA1=，‎ ‎∵CB=CA1=，∴△CBA1为等腰三角形，‎ 又知D为其底边A1B的中点，∴CD⊥A1B，‎ ‎∵A‎1C1=1，C1B1=，∴A1B1=，‎ 又BB1=1，∴A1B=2，‎ ‎∵△A1CB为直角三角形，D为A1B的中点，CD=A1B=1，CD=CC1‎ 又DM=AC1=，DM=C‎1M，∴△CDN≌△CC‎1M，∠CDM=∠CC‎1M=90°,即CD⊥DM，‎ 因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM ‎(II)设F、G分别为BC、BD的中点，连结B‎1G、FG、B‎1F，‎ 则FG∥CD，FG=CD∴FG=，FG⊥BD.‎ 由侧面矩形BB‎1A1A的对角线的交点为D,知BD=B1D=A1B=1，‎ 所以△BB1D是边长为1的正三角形，于是B‎1G⊥BD，B‎1G=，‎ ‎∴∠B1GF是所求二面角的平面角 又B‎1F2=B1B2+BF2=1+()2=.‎ ‎∴cos∠B1GF=‎ 即所求二面角的大小为π-arccos ‎28、（Ⅰ）证明 因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，所以AB=AD=AC=a， ‎ ‎ 在△PAB中，‎ 由PA2+AB2=‎2a2=PB2 知PA⊥AB.‎ 同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.‎ ‎（Ⅱ）解 作EG//PA交AD于G，‎ 由PA⊥平面ABCD.‎ 知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H，连结EH，‎ 则EH⊥AC，∠EHG即为二面角的平面角.‎ 又PE : ED=2 : 1，所以 从而 ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅲ）解法一 以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面 PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为 所以 ‎ ‎ 设点F是棱PC上的点，‎ 则 ‎ ‎ ‎ 令 ‎ ‎ ‎ ‎ 得 得 即 时，‎ 亦即，F是PC的中点时，、、共面.‎ 又 BF平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC.‎ 解法二 当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC，证明如下，‎ 证法一 取PE的中点M，连结FM，则FM//CE. ①‎ 由 知E是MD的中点.‎ 连结BM、BD，设BDAC=O，则O为BD的中点. ‎ 所以 BM//OE. ②‎ 由①、②知，平面BFM//平面AEC.‎ 又 BF平面BFM，所以BF//平面AEC.‎ 证法二 因为 ‎ ‎ ‎ 所以 、、共面.‎ 又 BF平面ABC，从而BF//平面AEC.‎ ‎29、‎ ‎ 解法一：（I）连结A1B，则A1B是D1E在面ABB‎1A；‎ 内的射影 ‎ ∵AB1⊥A1B，∴D1E⊥AB1，‎ ‎ 于是D1E⊥平面AB1FD1E⊥AF.‎ 连结DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影.‎ ‎ ∴D1E⊥AFDE⊥AF.‎ ‎ ∵ABCD是正方形，E是BC的中点.‎ ‎ ∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，‎ 即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB‎1F. ‎ ‎ （II）当D1E⊥平面AB‎1F时，由（I）知点F是CD的中点.‎ 又已知点E是BC的中点，连结EF，则EF∥BD. 连结AC，‎ 设AC与EF交于点H，则CH⊥EF，连结C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影.‎ ‎ C1H⊥EF，即∠C1HC是二面角C1—EF—C的平面角.‎ 在Rt△C1CH中，∵C‎1C=1，CH=AC=， ∴tan∠C1HC=.‎ ‎∴∠C1HC=arctan，从而∠AHC1=.‎ 故二面角C1—EF—A的大小为.‎ ‎ 解法二：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ‎ （1）设DF=x，则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），‎ ‎ A1（0，0，1），B（1，0，1），D1（0，1，1），E，F（x，1，0）‎ ‎ ‎ ‎ （1）当D1E⊥平面AB‎1F时，F是CD的中点，又E是BC的中点，连结EF，则EF∥BD.‎ ‎ 连结AC，设AC与EF交于点H，则AH⊥EF. 连结C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影.‎ ‎ ∴C1H⊥EF，即∠AHC1是二面角C1—EF—A的平面角.‎ ‎ ‎ ‎30、‎ 解法一：（Ⅰ）取AC中点D，连结SD、DB.‎ ‎∵SA=SC，AB=BC， ∴AC⊥SD且AC⊥BD，‎ ‎∴AC⊥平面SDB，又SB平面SDB，‎ ‎∴AC⊥SB.‎ ‎（Ⅱ）∵AC⊥平面SDB，AC平面ABC，‎ ‎∴平面SDB⊥平面ABC.‎ 过N作NE⊥BD于E，NE⊥平面ABC，‎ 过E作EF⊥CM于F，连结NF，则NF⊥CM.‎ ‎∴∠NFE为二面角N－CM－B的平面角.‎ ‎∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，∴SD⊥平面ABC. ‎ 又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD.‎ ‎∵SN=NB，∴NE=SD===，且ED=EB.‎ 在正△ABC中，由平几知识可求得EF=MB=，在Rt△NEF中，tan∠NFE==2，‎ ‎∴二面角N—CM—B的大小是arctan2.‎ ‎（Ⅲ）在Rt△NEF中，NF==，‎ ‎∴S△CMN=CM·NF=，S△CMB=BM·CM=2.‎ 设点B到平面CMN的距离为h，‎ ‎∵VB-CMN=VN-CMB，NE⊥平面CMB，∴S△CMN·h=S△CMB·NE，‎ ‎∴h==.即点B到平面CMN的距离为.‎ 解法二：（Ⅰ）取AC中点O，连结OS、OB.‎ ‎∵SA=SC，AB=BC，‎ ‎∴AC⊥SO且AC⊥BO.‎ ‎∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面 ABC=AC ‎∴SO⊥面ABC，∴SO⊥BO.‎ 如图所示建立空间直角坐标系O－xyz.‎ 则A（2，0，0），B（0，2，0），C（－2，0，0），‎ S（0，0，2），M(1，，0)，N(0，，).‎ ‎∴=（－4，0，0），=（0，2，2），‎ ‎∵·=（－4，0，0）·（0，2，2）=0，‎ ‎∴AC⊥SB.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得=（3，，0），=（－1，0，）.设n=（x，y，z）为 平面CMN的一个法向量，‎ ‎ ·n=3x+y=0，‎ 则取z=1，则x=，y=-，‎ ‎·n=－x+z=0，‎ ‎∴n=(，－，1)，‎ 又=(0，0，2)为平面ABC的一个法向量， ‎ ‎∴cos(n，)==.‎ ‎∴二面角N－CM－B的大小为arccos.‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得=（－1，，0），n=（，－，1）为平面CMN的一个法向量，‎ ‎∴点B到平面CMN的距离d==.‎ ‎31、（I）证明：如题图 ‎ 底面ABCD是正方形 ‎ ‎ 底面ABCD DC是SC在平面ABCD上的射影 ‎ 由三垂线定理得 ‎ （II）解 底面ABCD，且ABCD为正方形 可以把四棱锥补形为长方体，如图2‎ ‎ 面ASD与面BSC所成的二面角就是面与面所成的二面角，‎ ‎ ‎ ‎ 又 为所求二面角的平面角 ‎ 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ‎ 即面ASD与面BSC所成的二面角为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（III）解：如图3 ‎ ‎ 是等腰直角三角形 又M是斜边SA的中点 ‎ ‎ 面ASD，SA是SB在面ASD上的射影 ‎ 由三垂线定理得 异面直线DM与SB所成的角为 ‎ ‎ ‎32、（I）正三棱柱的侧面展开图是长为6，宽为2的矩形 其对角线长为 ‎（II）如上图，将侧面绕棱旋转使其与侧面在同一平面上，点B运动到点D的位置，连接交于M，则就是由顶点B沿棱柱侧面经过棱到顶点C1的最短路线，其长为 ‎ ‎ ‎ ， ‎ ‎（III）连接DB，，则DB就是平面与平面ABC的交线 ‎ 在中 ‎ ‎ ‎ 又 ‎ ‎ 由三垂线定理得 ‎ 就是平面与平面ABC所成二面角的平面角（锐角）‎ ‎ 侧面是正方形 ‎ ‎ 故平面与平面ABC所成的二面角（锐角）为 ‎ ‎ ‎33、（Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ）略.‎ ‎34、(1) 证：；‎ ‎ (2) 解：在斜三棱柱中，有 其中为 ‎ 平面与平面所组成的二面角. ‎ 上述的二面角为,‎ 在中，‎ ‎，‎ ‎ ，‎ ‎ .‎ ‎35、（I）以A为原点，分别为x轴，y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系，则有D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2)‎ 于是，设向量与平面C1DE垂 直，则有 ‎（II）设EC1与FD1所成角为β，则 ‎36、⑴证明：取AC中点O, 连结PO、BO.‎ ‎∵PA＝PC　∴PO⊥AC　‎ 又∵侧面PAC⊥底面ABC ‎∴PO⊥底面ABC 又PA＝PB＝PC　∴AO＝BO＝CO ‎∴△ABC为直角三角形　∴AB⊥BC ‎⑵解：取BC的中点为M，连结OM,PM，所以有OM=AB=，AO= ∴‎ 由⑴有PO⊥平面ABC,OM⊥BC，由三垂线定理得PM⊥BC ‎∴平面POM⊥平面PBC，又∵PO=OM=.‎ ‎∴△POM是等腰直角三角形，取PM的中点N，连结ON, NC 则ON⊥PM, 又∵平面POM⊥平面PBC, 且交线是PM, ∴ON⊥平面PBC ‎∴∠ONC即为AC与平面PBC所成的角.‎ ‎ ‎ ‎.‎ 故AC与平面PBC所成的角为. ‎ ‎37、（1）证明：连接BD. ‎ ‎ 为等边三角形.‎ 是AB中点， ‎ 面ABCD，AB面ABCD， ‎ 面PED，PD面PED，面PED. ‎ 面PAB，面PAB. ‎ ‎（2）解：平面PED，PE面PED，‎ 连接EF，PED，‎ 为二面角P—AB—F的平面角. ‎ 设AD=2，那么PF=FD=1，DE=.‎ 在 ‎ ‎ ‎ 即二面角P—AB—F的平面角的余弦值为 ‎