【数学】2020届一轮复习苏教版专题三第四讲专题提能——“解析几何”专题提能课学案

【数学】2020届一轮复习苏教版专题三第四讲专题提能——“解析几何”专题提能课学案

第四讲 专题提能——“解析几何”专题提能课 　 失误1‎ 因忽视方程的标准形式而失误 ‎　　[例1]　已知抛物线的方程为y＝2ax2(a<0)，则它的焦点坐标为________．‎ ‎[解析]　y＝2ax2(a<0)可化为x2＝y，则焦点坐标为.‎ ‎[答案]　 ‎[点评]　本题易错如下：由抛物线方程为y＝2ax2，知抛物线的对称轴为y轴，2p＝－2a，所以p＝－a，＝－，所以它的焦点坐标为.求解此类问题的关键是：首先要准确理解概念，正确识记抛物线的标准方程：y2＝2px、y2＝－2px、x2＝2py、x2＝－2py，对于抛物线方程有关的题目要首先将方程变为标准形式，然后在此基础上正确求出抛物线的焦参数p.在求焦参数时要注意p>0，标准方程中一次项系数的绝对值为2p，求出p后再研究抛物线的几何性质，结合图形去考虑.‎ 失误2‎ 因忽视圆方程本身的限制条件而失误 ‎　　[例2]　过定点(1,2)作两直线与圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2－15＝0相切，则k的取值范围是________________．‎ ‎[解析]　把圆的方程化为标准方程得，2＋(y＋1)2＝16－k2，所以16－k2>0，解得－0，即(k－2)(k＋3)>0，解得k<－3或k>2.综上，k的取值范围是∪.‎ ‎[答案]　∪ ‎[点评]　本题易错在于忽略题中方程必须是圆的方程，有些学生不考虑D2＋E2－4F>0.本例应把圆的方程化为标准方程后，根据构成圆的条件得到等号右边的式子大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集，然后由过已知点总可以作圆的两条切线，得到点在圆外，故把点的坐标代入圆的方程中得到一个关于k的关系式，求出不等式的解集，综上，求出两解集的交集即为实数k的取值范围.‎ 失误3‎ 因忽视斜率不存在的情况而失分 ‎　　[例3]　已知过点(1,2)的直线l与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，弦长AB＝2，求直线l的方程．‎ ‎[解]　当过点(1,2)的直线l斜率不存在时，满足要求，所以方程x＝1满足题意；当过点(1,2)的直线l存在斜率时，记l的方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，由弦长为2可得圆心到直线的距离为1，则d＝＝1，解得k＝，所以直线l的方程为y－2＝(x－1)，即3x－4y＋5＝0.所以所求直线l的方程为x＝1和3x－4y＋5＝0.‎ ‎[点评]　本题学生易错在于忽略了斜率不存在的情况，在用斜率研究直线方程首先考虑斜率不存在的情况．给定弦长，一般都有两解，除非弦长值就是直径的值，此时只有一解．‎ 　 策略1‎ 利用对称性解决椭圆中焦点三角形问题 ‎　　[例1]　如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率为________．‎ ‎[解析]　法一：由可得B，‎ C.由F(c,0)，得＝，＝.又∠BFC＝90°，所以·＝0，化简可得2a2＝3c2，即e2＝＝，故e＝.‎ 法二：由可得B，C，所以BC＝a，由椭圆的焦半径公式得BF＝a－exB＝a＋e·a，CF＝a－exC＝a－e·a，‎ 又∠BFC＝90°，所以BF2＋CF2＝BC2，‎ 即2＋2＝(a)2，‎ 式子两边同除以a2可得e2＝，即e＝.‎ ‎[答案]　 ‎[点评]　本题中B，C两点是关于y轴对称，对称性的运用对线段的求解和坐标求解有很大帮助.‎ 策略2‎ 利用有界性处理圆锥曲线中的存在性问题 ‎　　[例2]　若双曲线－＝1(a>0，b>0)右支上存在一点P到左焦点的距离是到右准线距离的6倍，则该双曲线离心率的取值范围为______________．‎ ‎[解析]　记双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，设点P到右准线的距离为d，则由题意得点P到左焦点的距离为PF1＝6d，由于PF1－PF2＝2a，所以PF2＝6d－2a，所以＝，所以d＝，又因为d≥a－，所以 解之得此双曲线的离心率e的取值范围是(1,2]∪[3,6)．‎ ‎[答案]　(1,2]∪[3,6)‎ ‎[点评]　一般地，根据“存在一点…”这样的条件求解离心率的取值范围问题，主要是先利用几何条件建立关于a，b，c的方程，再根据椭圆、双曲线和抛物线上点的坐标的有界性来求解．‎ 　 函数方程思想——解决平面几何中的最值问题 ‎[典例]　在平面直角坐标系xOy中，设曲线C1：＋＝1(a>b>0)所围成的封闭图形的面积为4，曲线C1上的点到原点O的最短距离为.以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为C2.‎ ‎(1)求椭圆C2的标准方程；‎ ‎(2)设AB是过椭圆C2中心O的任意弦，l是线段AB的垂直平分线．若M是l与椭圆C2的交点，求△AMB的面积的最小值．‎ ‎[解]　(1) 由题意得 解得a2＝8，b2＝1. ‎ 所以所求椭圆C2的标准方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)法一：设M(x，y)，则A(λy，－λx)(λ∈R，λ≠0)．‎ 因为点A在椭圆C2上，所以λ2(y2＋8x2)＝8，即y2＋8x2＝.①‎ 又x2＋8y2＝8.②‎ ‎①＋②得x2＋y2＝.‎ 所以S△AMB＝OM·OA＝|λ|(x2＋y2)‎ ‎＝≥.‎ 当且仅当λ＝±1，即kAB＝±1时，(S△AMB)min＝. ‎ 法二：假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线的方程为y＝kx(k≠0)．‎ 解方程组得x＝，y＝，‎ 所以OA2＝x＋y＝＋＝，AB2＝4OA2＝.‎ 又由解得x＝，y＝，所以OM2＝.‎ 由于S＝AB2·OM2＝··＝≥＝＝，‎ 当且仅当1＋8k2＝k2＋8时等号成立，即k＝±1时等号成立，此时△AMB面积的最小值是S△AMB＝.‎ 当k＝0时，S△AMB＝×4×1＝2>； ‎ 当k不存在时，S△AMB＝×2×2＝2>.‎ 综上所述，△AMB面积的最小值为.‎ ‎[点评]　第(2)问中有关三角形面积的计算一般用以下几种方式：(1)以弦长为底，点到弦所在直线距离为高；(2)正弦定理；(3)如果弦所在直线过定点且顶点也为定点，可以将面积进行分割．一般地，如果建立关于k的函数，可以用导数的方法或换元处理后用基本不等式方法；如果建立的关于(x，y)的函数可以直接用基本不等式或消元后转化成二次函数．‎ 　 ‎1．多角度几何条件求解离心率 ‎[例1]　如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，离心率为e，设A，B是椭圆上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，原点O在以线段MN为直径的圆上，设直线AB的斜率为k，若0b，∴a2＝b2＋c2<2c2，‎ ‎∴e＝>.‎ 设A(x，y)，由⇒ ‎∵00，且x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 由AM⊥AN，得·＝－1，‎ 即(k2＋1)x1x2＋(km＋2)(x1＋x2)＋m2＋4＝0，‎ ‎(k2＋1)＋(km＋2)＋m2＋4＝0，‎ 化简得5m2－16km＋12k2＝0，‎ ‎∵k≠0，∴52－16＋12＝0，‎ 解得＝或＝2(舍去)，‎ 直线MN：y＝k，过定点.‎ 法二：设直线AM：y＝k(x＋2)(k≠0)，则直线AN：y＝－(x＋2)．‎ 联立消去y，得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0，‎ 则－2xM＝，∴xM＝，yM＝.‎ 所以点M，‎ 同理点N，‎ 所以kMN＝＝，所以直线MN的方程为y－＝，‎ 令y＝0，得x＝－＝＝－，‎ 所以直线MN过定点.‎ 法三：(考查极端位置、特殊位置确定出定点，从而转化为一般性证明题)‎ 同法二知，xM＝，xN＝，‎ 令＝⇒k2＝1，此时＝－，‎ ‎∴直线MN过定点C.‎ 当k2≠1，kCM＝＝，‎ kCN＝＝.‎ ‎∴kCM＝kCN，∴M，N，C三点共线，即直线MN过定点.‎ ‎[点评]　直线过定点问题，可以设出直线方程y＝kx＋m，得出k与m的关系，从而得到过定点；也可以直接用k表示出新直线的方程，再求过定点；也可以先特殊得出定点，再用三点共线来论证一般情形．‎ ‎[课时达标训练]‎ A组——易错清零练 ‎1．过点P(2，－1)且倾斜角的正弦值为的直线方程为________________________．‎ 解析：设所求直线的倾斜角为α，则由题设知sin α＝，因为0≤α<π，‎ 所以cos α＝±＝±，所以tan α＝＝±，则所求直线方程为y＋1＝±(x－2)，即5x－12y－22＝0或5x＋12y＋2＝0.‎ 答案：5x－12y－22＝0或5x＋12y＋2＝0‎ ‎2．若椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是________．‎ 解析：因为短轴长为2，即b＝1，所以a＝2，则椭圆的中心到其准线的距离是.‎ 答案： ‎3．设双曲线的渐近线为y＝±x，则其离心率为________．‎ 解析：由题意可得＝或＝，从而e＝＝＝或.‎ 答案：或 ‎4．若关于x的方程 ＝a(x－1)＋1有两个不相等的实数根，那么实数a的取值范围是________．‎ 解析：作出函数y＝的图象，它是单位圆的上半部分，作出直线y＝a(x－1)＋1，它是过点A(1,1)的直线，由图象可知，实数a的取值范围是.‎ 答案： B组——方法技巧练 ‎1．已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2，则|CD|＝________.‎ 解析：由直线l：mx＋y＋3m－＝0知其过定点(－3，)，圆心O到直线l的距离为d＝.‎ 由|AB|＝2得2＋()2＝12，解得m＝－.又直线l 的斜率为－m＝，所以直线l的倾斜角α＝.‎ 画出符合题意的图形如图所示，过点C作CE⊥BD，则∠DCE＝.在Rt△CDE中，可得|CD|＝＝2×＝4.‎ 答案：4‎ ‎2.如图，设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．‎ 解析：设F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝，‎ 则可设A(c，b2)，B(x0，y0)，由|AF1|＝3|F1B|，‎ 可得＝3，故 即代入椭圆方程可得＋b2＝1，解得b2＝，故椭圆方程为x2＋＝1.‎ 答案：x2＋y2＝1‎ ‎3．椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y＝x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是________．‎ 解析：法一：设椭圆的另一个焦点F1(－c,0)，如图，连结QF1，QF，设QF与直线y＝x交于点M，又题意知M为线段QF的中点，且OM⊥FQ，O为线段F1F的中点，‎ ‎∴F1Q∥OM，∴F1Q⊥QF，F1Q＝2OM.‎ 在Rt△MOF中，tan∠MOF＝＝，OF＝c.‎ 解得OM＝，MF＝，故QF＝2MF＝，QF1＝2OM＝.‎ 由椭圆的定义QF＋QF1＝＋＝2a，整理得b＝c，∴a＝＝c，‎ 故e＝.‎ 法二：设Q(x0，y0)，则FQ的中点坐标为，kFQ＝.‎ 依题意得 解得 又因为(x0，y0)在椭圆上，所以＋＝1.‎ 令e＝，则4e6＋e2＝1，故离心率e＝.‎ 答案： ‎4．若椭圆＋＝1(a>b>0)上存在一点M，它到左焦点的距离是它到右准线距离的2倍，则椭圆离心率的最小值为________. ‎ 解析：由题意，设点M的横坐标为x，根据焦半径公式得，a＋ex＝2，x＝，有－a≤≤a，不等式各边同除以a，得－1≤≤1，则－1≤e＋2，即e2＋3e－2≥0，又0b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E ‎.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为________．‎ 解析：如图所示，由题意得 A(－a,0)，B(a,0)，F(－c,0)．‎ 设E(0，m)，‎ 由PF∥OE，得＝，‎ 则|MF|＝.①‎ 又由OE∥MF，得＝，‎ 则|MF|＝.②‎ 由①②得a－c＝(a＋c)，即a＝3c，∴e＝＝.‎ 答案： ‎3．设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．‎ 解析：依题意，直线MN与圆O有公共点即可，即圆心O到直线MN的距离小于等于1即可，过O作OA⊥MN，垂足为A，在Rt△OMA中，因为∠OMA＝45°，故|OA|＝|OM|sin 45°＝|OM|≤1，所以|OM|≤，则≤，解得－1≤x1≤1.‎ 答案：[－1,1]‎ ‎4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2c，若椭圆上存在点M使得＝，则该椭圆离心率的取值范围为________．‎ 解析：在△MF1F2中，＝，‎ 而＝，‎ ‎∴＝＝.①‎ 又M是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，‎ ‎∴|MF1|＋|MF2|＝2a.②‎ 由①②得，|MF1|＝，|MF2|＝.‎ 显然|MF2|>|MF1|，‎ ‎∴a－c<|MF2|0，∴e2＋2e－1>0，又0b>0)，四点P1(1,1)，P2(0，1)，P3，P4中恰有三点在椭圆C上．‎ ‎(1)求C的方程；‎ ‎(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点．‎ 解：(1)由于P3，P4两点关于y轴对称，‎ 故由题设知椭圆C经过P3，P4两点．‎ 又由＋>＋知，椭圆C不经过点P1，‎ 所以点P2在椭圆C上．‎ 因此解得 故椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)证明：设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.‎ 如果l与x轴垂直，设l：x＝t，由题设知t≠0，且|t|<2，可得A，B的坐标分别为，.‎ 则k1＋k2＝－＝－1，得t＝2，不符合题设．‎ 从而可设l：y＝kx＋m(m≠1)．‎ 将y＝kx＋m代入＋y2＝1得 ‎(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.‎ 由题设可知Δ＝16(4k2－m2＋1)>0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ 而k1＋k2＝＋ ‎＝＋ ‎＝.‎ 由题设k1＋k2＝－1，‎ 故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.‎ 即(2k＋1)·＋(m－1)·＝0.‎ 解得k＝－.‎ 当且仅当m>－1时，Δ>0，于是l：y＝－x＋m，即y＋1＝－(x－2)，所以l过定点(2，－1)．‎ ‎6.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的中心在原点O，右焦点F在x轴上，椭圆与y轴交于A，B两点，其右准线l与x轴交于T点，直线BF交椭圆于C点，P为椭圆上弧AC上的一点．‎ ‎(1)求证：A，C，T三点共线；‎ ‎(2)如果＝3，四边形APCB的面积最大值为，求此时椭圆的方程和P点坐标．‎ 解：(1)证明：设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，①‎ 则A(0，b)，B(0，－b)，T，‎ AT：＋＝1，②‎ BF：＋＝1，③‎ 联立②③，解得交点C，代入①得：‎ ＋＝＝1.‎ 满足①式，则C点在椭圆上，A，C，T三点共线．‎ ‎(2)过C作CE⊥x轴，垂足为E(图略)，则△OBF∽△ECF.‎ ‎∵＝3，CE＝b，EF＝c，则C，代入①得：‎ ＋＝1，∴a2＝2c2，b2＝c2.‎ 设P(x0，y0)，则x0＋2y＝2c2，‎ 此时C，AC＝c，S△ABC＝·2c·＝c2，‎ 直线AC的方程为x＋2y－2c＝0，‎ 点P到直线AC的距离为d＝＝，‎ S△APC＝d·AC＝··c＝·c.‎ 只需求x0＋2y0的最大值．‎ ‎∵(x0＋2y0)2＝x＋4y＋2·2x0y0≤x＋4y＋2(x＋y)＝3(x＋2y)＝6c2，‎ ‎∴x0＋2y0≤c，‎ 当且仅当x0＝y0＝c时，(x0＋2y0)max＝c.‎ ‎∴四边形的面积最大值为c2＋c2＝c2＝，‎ ‎∴c2＝1，a2＝2，b2＝1，‎ 此时椭圆方程为＋y2＝1，P点坐标.‎