- 2021-06-15 发布 |
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文档介绍
【数学】2019届一轮复习北师大版导数与函数、不等式综合问题学案
2018年高考数学专题复习难点突破名师讲练:导数与函数、不等式综合问题 一、考点突破 函数与不等式解答题是高考命题的重要题型,解答这类题需要用到导数的相关知识。其命题热点经常是与导数知识的综合考查,出现频率较高的题型是最值、范围问题,单调性或方程根的讨论等综合问题。 二、重难点提示 重点:导数的定义和几何意义;和差积商的导数;复合函数的导数。 难点:导数与函数单调性、极值、最值的关系;利用导数解决不等式、函数零点等问题。 一、知识脉络图 二、知识点拨 1. 导数的定义: 2. 导数的几何意义: (1)函数在点处的导数,就是曲线在点处的切线的斜率; (2)函数在点处的导数,就是物体的运动方程在时刻时的瞬时速度; 3. 要熟记求导公式、导数的运算法则、复合函数的导数等。尤其注意: 和。 4. 求函数单调区间的步骤: (1)确定f(x)的定义域 (2)求f(x)的导数 (3)令y′>0(y′<0),解出相应的x的范围。当y′>0时,f(x)在相应区间上是增函数;当y′<0时,f(x)在相应区间上是减函数 5. 求极值常按如下步骤: ①确定函数的定义域; ②求导数; ③求方程=0的根及导数不存在的点,这些根或点也称为可能极值点; ④通过列表法,检查在可能极值点的左右两侧的符号,确定极值点。 6. 设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤如下: (1)求f(x)在(a,b)内的极值; (2)将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值。 7. 最值(或极值)点必在下列各种点之中:导数等于零的点、导数不存在的点、端点。 能力提升类 例1 已知函数其中 (Ⅰ)当时,求曲线处的切线的斜率; (Ⅱ)当时,求函数的单调区间与极值。 一点通: (Ⅰ)把a=0代入f(x)中化简得到f(x)的解析式,求出f '(x),因为曲线的切点为(1,f(1)),所以把x=1代入f '(x)中求出切线的斜率,把x=1代入f(x)中求出f(1)的值得到切点坐标,根据切点和斜率写出切线方程即可; (Ⅱ)令f '(x)=0求出x的值为x=-2a和x=a-2,分两种情况讨论:①当-2a<a-2时和②当-2a>a-2时,讨论f '(x)的正负得到函数的单调区间,根据函数的增减性即可得到函数的最值。 答案:(I) (II) 以下分两种情况讨论。 (1)>,则<。当变化时,的变化情况如下表: + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ (2)<,则>,当变化时,的变化情况如下表: + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 点评:本题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法。 综合运用类 例2 已知函数(),其中。 (Ⅰ)当时,讨论函数的单调性; (Ⅱ)若函数仅在处有极值,求的取值范围; (Ⅲ)若对于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范围。 一点通: (Ⅰ)将a的值代入后对函数f(x)进行求导,当导函数大于0时求原函数的单调递增区间,当导函数小于0时求原函数的单调递减区间。 (Ⅱ)根据函数f(x)仅在x=0处有极值说明f '(x)=0仅有x=0一个根,从而得到答案。 (Ⅲ)根据函数f(x)的单调性求出最大值,然后令最大值小于等于1恒成立,从而求出b的取值范围。 答案: (Ⅰ)。 当时,。 令,解得,,。 当变化时,,的变化情况如下表: 0 2 - 0 + 0 - 0 + ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以在,内是增函数,在,内是减函数。 (Ⅱ),显然不是方程的根。 为使仅在处有极值,必须成立,即有。 解此不等式,得。这时,是唯一的极值。 因此满足条件的的取值范围是。 (Ⅲ)由条件,可知,从而恒成立。 当时,;当时,。 因此函数在上的最大值是与两者中的较大者。 为使对任意的,不等式在上恒成立,当且仅当,即,在上恒成立。 所以,因此满足条件的的取值范围是。 点评:本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力。 例3 已知函数 (I)求在区间上的最大值 (II)是否存在实数使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由。 一点通: (I)本题考查的是定函数与动区间的问题,是一元二次函数中一动一定的问题,解题时要针对二次函数的对称轴与区间的关系进行讨论,即对称轴在区间上,或是在区间的左边或右边。 (II)遇到关于两个函数的图象的交点个数的问题时,一般是构造新函数,将题目转化为研究函数的零点问题,通过导数得到函数的最值,把函数的最值同0进行比较,得到结果。 答案: (I) 当即时,在上单调递增, 当即时, 当时,在上单调递减, 综上, (II)函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点,即函数的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点。 因为 所以, 当时,是增函数; 当时,是减函数; 当时,是增函数; 当或时, 于是, 当充分接近0时,当充分大时, 因此,要使的图象与轴的正半轴有三个不同的交点,必须且只须 即 所以存在实数,使得函数与的图象有且只有三个不同的交点,的取值范围为 点评:本题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识,考查运用导数研究函数性质的方法,考查运算能力,考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。 思维拓展类 例4 设函数,,其中,a、b为常数,已知曲线与在点(2,0)处有相同的切线。 (I)求a、b的值,并写出切线的方程; (II)若方程有三个互不相同的实根0、、,其中,且对任意的,恒成立,求实数m的取值范围。 一点通: (I)利用曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线l,可得f(2)=g(2)=0,f '(2)=g '(2)=1。即为关于a、b的方程,解方程即可。 (II)把方程f(x)+g(x)=mx有三个互不相同的实根转化为、是的两相异实根。求出实数m的取值范围以及、与实数m的关系,再把f(x)+g(x)<m(x-1)恒成立问题转化为求函数f(x)+g(x)-mx在x∈[、]上的最大值问题,综合在一起即可求出实数m的取值范围。 答案: (I),由于曲线与在点(2,0)处有相同的切线l,故有,由此解得:; 切线的方程: (II)由(I)得,依题意得:方程有三个互不相等的根,故是方程的两个相异实根,所以; 又对任意的,恒成立,特别地,取时, 成立,即,由韦达定理知: ,故,对任意的,有 ,则: ;又 所以函数在上的最大值为0,于是当时对任意的,恒成立;综上:的取值范围是。 点评:本题主要考查函数,导数,不等式等基础知识,同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力,以及函数与方程和特殊与一般的思想。 利用导数求出函数的最值(或值域)后,再证明不等式。 利用导数解决不等式恒成立问题 不等式恒成立问题,一般都会涉及求参数范围,往往把变量分离后可以转化为m>f(x) (或m查看更多