【数学】2018届一轮复习北师大版第八章平面解析几何学案
第1课时 直线及其方程
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)范围：直线l倾斜角的范围是[0，π)．
2．直线的斜率
(1)定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k＝tan_θ.
(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝.
3．直线方程的五种形式
名称
条件
方程
适用范围
点斜式
斜率k与点(x0，y0)
y－y0＝k(x－x0)
不含直线x＝x0
斜截式
斜率k与截距b
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
两点(x1，y1)，(x2，y2)
＝
不含直线x＝x1(x1＝x2)和直线y＝y1(y1＝y2)
截距式
截距a与b
＋＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
A，B不同时为零
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
平面直角坐标系内的直线都适用
4．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(×)
(2)过点M(a，b)，N(b，a)(a≠b)的直线的倾斜角是45°.(×)
(3)倾斜角越大，斜率越大．(×)
(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k·(x－x0)表示．(×)
(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(√)
(6)直线的截距即是直线与坐标轴的交点到原点的距离．(×)
(7)若直线在x轴，y轴上的截距分别为m，n，则方程可记为＋＝1.(×)
(8)直线Ax＋By＋C＝0表示斜率为－，在y轴上的截距为－的直线．(×)
(9)直线y＝kx＋3表示过定点(0,3)的所有直线．(×)
(10)直线y＝3x＋b表示斜率为3的所有直线．(√)
考点一 直线的倾斜角与斜率
命题点
1.倾斜角与斜率的关系
2.由两点求斜率
[例1] (1)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为( )
A. B．－
C．－ D.
解析：设P(x,1)，Q(7，y)，则＝1，＝－1，
∴x＝－5，y＝－3，即P(－5,1)，Q(7，－3)，故直线l的斜率k＝＝－.
答案：B
(2)直线x＋(a2＋1)y＋1＝0(a∈R)的倾斜角的取值范围是( )
A. B.
C.∪ D.∪
第八章 平面解析几何大一轮复习 数学(理)解析：由直线x＋(a2＋1)y＋1＝0，
得直线的斜率k＝－∈[－1,0)，
设直线的倾斜角为θ，则－1≤tan θ＜0.
因此≤θ＜π.
答案：B
(3)已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB有交点，则直线l的斜率k的取值范围为________．
解析：如图，kPA＝＝－4，kPB＝＝.
要使直线l与线段AB有交点，则有k≥或k≤－4.
答案：k≤－4或k≥
[方法引航] 1.求倾斜角α的取值范围的一般步骤
(1)求出斜率k＝tan α的取值范围；
(2)利用正切函数的单调性，借助图象，数形结合，确定倾斜角α的取值范围．
2．求斜率的常用方法
(1)已知直线上两点时，由斜率公式k＝(x1≠x2)来求斜率．
(2)已知倾斜角α或α的三角函数值时，由k＝tan α(α≠90°)来求斜率．
(3)方程为Ax＋By＋C＝0(B≠0)的直线的斜率为k＝－.
1．若将本例(1)改为：直线y＝1，x＝7与坐标轴的交点分别为P、Q，求直线PQ的斜率．
解：由题意可知P(0,1)，Q(7,0)，
∴kPQ＝＝－.
2．若将本例(2)的直线改为(a2＋1)x＋y＋1＝0，其倾斜角的范围如何？
解：因直线的斜率k＝－a2－1≤－1
设直线的倾斜角为α，∴tan α≤－1，α∈(0，π)，
∴α∈.
3．已知直线PQ的斜率为－，将直线绕点P顺时针旋转60°所得的直线的斜率为( )
A. B．－
C．0 D．1＋
解析：直线PQ的斜率为－，则直线PQ的倾斜角为120°，所以直线的倾斜角为60°，tan 60°＝.
答案：A
考点二 求直线方程
命题点
1.直接法建立直线方程的特殊式
2.设直线方程用待定系数法
[例2] 求适合下列条件的直线方程．
(1)经过点A(3,4)，且在两坐标轴上截距相等的直线方程是________．
解析：设直线在x，y轴上的截距均为a.
①若a＝0，即直线过点(0,0)及(3,4)，
∴直线的方程为y＝x，即4x－3y＝0.
②若a≠0，则设所求直线的方程为＋＝1，
又点(3,4)在直线上，
∴＋＝1，∴a＝7，
∴直线的方程为x＋y－7＝0.
答案：4x－3y＝0或x＋y－7＝0
(2)一条直线经过点A(2，－)，并且它的倾斜角等于直线y＝ x的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是________．
解析：∵直线y＝x的倾斜角α＝30°，
所以所求直线的倾斜角为60°，
斜率k＝tan 60°＝.
又该直线过点A(2，－)，
故所求直线为y－(－)＝(x－2)，
即x－y－3＝0.
答案：x－y－3＝0
(3)过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程为________．
解析：由题设知截距不为0，设直线方程为＋＝1，
又直线过点(－3,4)，
从而＋＝1，解得a＝－4或a＝9.
故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.
答案：4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0
(4)一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．
解：设直线的斜率为k(k≠0)，
则直线方程为y－2＝k(x＋2)，
由x＝0知y＝2k＋2.
由y＝0知x＝.
由|2k＋2|＝1.
解得k＝－或k＝－2.
故直线方程为x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0.
答案：x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0
[方法引航] 求直线方程的两种方法
(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论.
(2)待定系数法，具体步骤为：
①设所求直线方程的某种形式；
②由条件建立所求参数方程(组)；
③解这个方程(组)求出参数；
④把参数的值代入所设直线方程.
1．将本例(1)改为：求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．
解：当直线不过原点时，设所求直线方程为＋＝1，
将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－，
此时，直线方程为x＋2y＋1＝0.
当直线过原点时，斜率k＝－，
直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0.
故所求直线方程为x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.
2．将本例(2)改为：经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍．求该直线方程．
解：由已知：设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.∵tan α＝3，∴tan 2α＝＝－.
又直线经过点(－1，－3)，
∴直线方程为y＋3＝－(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.
3．将本例(4)改为：直线l的斜率为，且与两坐标轴围成的三角形面积为3.求l的方程．
解：设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b，
由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1.
∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
考点三 直线方程的应用
命题点
1.研究函数切线问题
2.直线方程的实际应用
3.求直线方程的参数范围
[例3] (1)已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为－，则切点的横坐标为( )
A．3 B．2
C．1 D.
解析：设切点坐标为(x0，y0)，且x0＞0，
∵y′＝x－，∴k＝x0－＝－，∴x0＝2.
答案：B
(2)若ab＞0，且A(a,0)、B(0，b)、C(－2，－2)三点共线，则ab的最小值为________．
解析：根据A(a,0)、B(0，b)确定直线的方程为＋＝1，
又C(－2，－2)在该直线上，故＋＝1，所以－2(a＋b)＝ab.又ab＞0，故a＜0，b＜0.
根据基本不等式ab＝－2(a＋b)≥4，从而≤0(舍去)或≥4，故ab≥16，当且仅当a＝b＝－4时取等号．即ab的最小值为16.
答案：16
(3)为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝
20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？
解：如图所示，建立平面直角坐标系，
则E(30,0)、F(0,20)，
∴直线EF的方程为＋＝1(0≤x≤30)．
易知当矩形草坪的一个顶点在EF上时，可取最大值，
在线段EF上取点P(m，n)，作PQ⊥BC于点Q，
PR⊥CD于点R，设矩形PQCR的面积为S，
则S＝|PQ|·|PR|
＝(100－m)(80－n)．
又＋＝1(0≤m≤30)，
∴n＝20－m.
∴S＝(100－m)
＝－(m－5)2＋(0≤m≤30)．
∴当m＝5时，S有最大值，这时＝5∶1.
所以当草坪矩形的两边在BC、CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分有向线段EF成5∶1时，草坪面积最大．
[方法引航] 在求直线方程的过程中，若有以直线为载体的面积、距离的最值等问题，一般要结合函数、不等式或利用对称来加以解决.
1．已知函数f(x)＝x－4ln x，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为________．
解析：由f′(x)＝1－，则k＝f′(1)＝－3，又f(1)＝1，故切线方程为y－1＝－3(x－1)，即3x＋y－4＝0.
答案：3x＋y－4＝0
2．直线3x－4y＋k＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k＝________.
解析：令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝－.
则有－＝2，所以k＝－24.
答案：－24
[易错警示]
直线的委屈——被遗忘的特殊情况
[典例] (2017·浙江杭州调研)已知直线l过点P(2，－1)，在x轴和y轴上的截距分别为a，b，且满足a＝3b.则直线l的方程为________．
[正解] ①若a＝3b＝0，则直线过原点(0,0)，
此时直线斜率k＝－，直线方程为x＋2y＝0.
②若a＝3b≠0，设直线方程为＋＝1，即＋＝1.
由于点P(2，－1)在直线上，所以b＝－.
从而直线方程为－x－3y＝1，即x＋3y＋1＝0.
综上所述，所求直线方程为x＋2y＝0或x＋3y＋1＝0.
[答案] x＋2y＝0或x＋3y＋1＝0
[易误] 本题容易忽视直线过原点时的情况．
[警示] 求直线方程时，要注意斜率是否存在，注意截距是否为0；注意区分截距与距离．
[高考真题体验]
1．(2012·高考湖北卷)过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )
A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0
C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0
解析：选A.两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P(1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程为x＋y－2＝0.
2．(2016·高考北京卷)已知A(2,5)，B(4,1)．若点P(x，y)在线段AB上，则2x－y的最大值为( )
A．－1 B．3
C．7 D．8
解析：选C.依题意得kAB＝＝－2，∴线段lAB：y－1＝－2(x－4)，x∈[2,4]，即y＝－2x＋9，x∈[2,4]，故2x－y＝2x－(－2x＋9)＝4x－9，x∈[2,4]．设h(x)＝4x－9，易知h(x)＝4x－9在[2,4]上单调递增，故当x＝4时，h(x)max＝4×4－9＝7.
3．(2015·高考广东卷)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( )
A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D．2x－y＋＝0或2x－y－＝0
解析：选A.设所求直线的方程为2x＋y＋c＝0(c≠1)，则＝，所以c＝±5，故所求直线的方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.
4．(2014·高考安徽卷)过点P(－，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选D.法一：设直线l的倾斜角为θ，数形结合(图略)可知：
θmin＝0，θmax＝2×＝.
法二：因为直线l与x2＋y2＝1有公共点，所以设l：y＋1＝k(x＋)，即l：kx－y＋k－1＝0，则圆心(0,0)到直线l的距离≤1，得k2－k≤0，即0≤k≤，故直线l的倾斜角的取值范围是.
课时规范训练
A组 基础演练
1．直线x＋y＋m＝0(m∈k)的倾斜角为( )
A．30° B．60°
C．150° D．120°
解析：选C.∵直线的斜率k＝－，∴tan α＝－.
又0≤α＜180°，∴α＝150°.
2．如图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则( )
A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2
解析：选D.直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2，故选D.
3．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是( )
A．1 B．－1
C．－2或－1 D．－2或1
解析：选D.由题意得a＋2＝，∴a＝－2或a＝1.
4．过点(2,1)，且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小的直线方程是( )
A．x＝2 B．y＝1
C．x＝1 D．y＝2
解析：选A.∵直线y＝－x－1的斜率为－1，则倾斜角为π.
依题意，所求直线的倾斜角为－＝，斜率不存在，∴过点(2,1)的所求直线方程为x＝2.
5．两条直线l1：－＝1和l2：－＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )
解析：选A.把直线方程化为截距式l1：＋＝1，l2：＋＝1.
假定l1，判断a，b，确定l2的位置，知A项符合．
6．已知A(3,5)，B(4,7)，C(－1，x)三点共线，则x＝________.
解析：因为kAB＝＝2，kAC＝＝－.
A，B，C三点共线，所以kAB＝kAC即－＝2，
解得x＝－3.
答案：－3
7．直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点．则直线l的倾斜角的取值范围为________．
解析：直线l的斜率k＝＝1－m2≤1.
若l的倾斜角为α，则tan α≤1.
答案：∪
8．已知直线l的倾斜角α满足3sin α＝cos α，且它在x轴上的截距为2，则直线l的方程是________．
解析：∵kl＝tan α＝＝，且过点(2,0)，
∴直线方程为y＝(x－2)
即x－3y－2＝0.
答案：x－3y－2＝0
9．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
解：(1)当直线过原点时，在x轴和y轴上的截距为零．
∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.
当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，
∴＝a－2，即a＋1＝1，
∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.
因此直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，
∴或
∴a≤－1.
综上可知a的取值范围是a≤－1.
10．已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．
解：由题意设直线方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，∴＋＝1.
由基本不等式知＋≥2，
即ab≥24(当且仅当＝，即a＝6，b＝4时等号成立)．
又S＝a·b≥×24＝12，
此时直线方程为＋＝1，即2x＋3y－12＝0.
∴△ABO面积的最小值为12，此时直线方程为2x＋3y－12＝0.
B组 能力突破
1．直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么l的斜率为( )
A．－ B．－3
C. D．3
解析：选A.设直线l：Ax＋By＋C＝0，由题意，平移后方程为A(x－3)＋B(y＋1)＋C＝0，即Ax＋By＋C＋B－3A＝0，它与直线l重合，∴B－3A＝0，∴－＝－，即直线l的斜率为－，故选A.
2．在等腰三角形AOB中，AO＝AB，点O(0,0)，A(1,3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为( )
A．y－1＝3(x－3) B．y－1＝－3(x－3)
C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1)
解析：选D.因为AO＝AB，所以直线AB的斜率与直线AO的斜率互为相反数，所以kAB＝－kOA＝－3，所以直线AB的点斜式方程为：y－3＝－3(x－1)．
3．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足( )
A．ab＞0，bc＜0 B．ab＞0，bc＞0
C．ab＜0，bc＞0 D．ab＜0，bc＜0
解析：选A.由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－x－.易知－＜0且－＞0，故ab＞0，bc＜0.
4．直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是________．
解析：当a＝－1时，直线l的倾斜角为90°，符合要求；
当a≠－1时，直线l的斜率为－，只要－＞1或者－＜0即可，
解得－1＜a＜－或者a＜－1或者a＞0.
综上可知，实数a的取值范围是
∪(0，＋∞)．
答案：∪(0，＋∞)
5．已知直线l过点M(1,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．求：
(1)当|OA|＋|OB|取得最小值时，直线l的方程；
(2)当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l的方程．
解：(1)设A(a,0)，B(0，b)(a＞0，b＞0)．
设直线l的方程为＋＝1，则＋＝1，
所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.
(2)设直线l的斜率为k，则k＜0，直线l的方程为y－1＝k(x－1)，则A，B(0,1－k)，所以|MA|2＋|MB|2＝2＋12＋12＋(1－1＋k)2＝2＋k2＋≥2＋2＝4，当且仅当k2＝，即k＝－1时，|MA|2＋|MB|2取得最小值4，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.
第2课时 两直线的位置关系
1．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
①对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2；
②当不重合的两条直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为平行．
(2)两条直线垂直
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1k2＝－1；
②如果l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1与l2的关系为垂直．
2．两条直线的交点
设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，将这两条直线的方程联立，得方程组
(1)若方程组有唯一解，则l1与l2相交，此解就是l1、l2交点的坐标；
(2)若方程组无解，则l1与l2无交点，此时l1∥l2；
(3)若方程组有无数组解，则l1与l2重合．
3．三种距离
点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离
|P1P2|＝
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝
两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离
d＝
4.判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(×)
(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(×)
(3)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.(√)
(4)l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，当k1≠k2时，l1与l2相交．(√)
(5)过l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)．(×)
(6)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(×)
(7)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(√)
(8)直线l关于点P对称的直线l′，则l∥l′.(×)
(9)A、B两点到直线l的距离相等，则AB∥l.(×)
(10)直线x＋(m＋1)y＋2＝0恒过定点(－2,0)．(√)
考点一 两条直线的平行与垂直
命题点
1.判定两条直线的平行与垂直
2.利用平行与垂直关系求参数
3.利用平行与垂直求直线方程
[例1] (1)设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线xsin A＋ay＋c＝0与bx－ysin B＋sin C＝0的位置关系是( )
A．平行 B．重合
C．垂直 D．相交但不垂直
解析：由正弦定理＝，得bsin A－asin B＝0.
∴两直线垂直．
答案：C
(2)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
解析：设所求直线方程为x－2y＋m＝0，由1＋m＝0得m＝－1，所以直线方程为x－2y－1＝0.
答案：A
(3)已知直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0，则“a＝1”是“l1⊥l2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：l1⊥l2的充要条件是(a＋2)(a－1)＋(1－a)·(2a＋3)＝0，即a2－1＝0，故有(a－1)(a＋1)＝0，
解得a＝±1.显然“a＝1”是“a＝±1”的充分不必要条件，故“a＝1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．故选A.
答案：A
(4)已知两直线l1：x＋ysin α－1＝0和l2：2x·sin α＋y＋1＝0，求α的值，使得：
①l1∥l2；
②l1⊥l2.
解：①法一：当sin α＝0时，直线l1的斜率不存在，l2的斜率为0，显然l1不平行于l2.
当sin α≠0时，k1＝－，k2＝－2sin α.
要使l1∥l2，需－＝－2sin α，
即sin α＝±.
所以α＝kπ±，k∈Z，此时两直线的斜率相等．
故当α＝kπ±，k∈Z时，l1∥l2.
法二：由A1B2－A2B1＝0，得2sin2α－1＝0，
所以sin α＝±.
又B1C2－B2C1≠0，所以1＋sin α≠0，即sin α≠－1.
所以α＝kπ±，k∈Z.
故当α＝kπ±，k∈Z时，l1∥l2.
②因为A1A2＋B1B2＝0是l1⊥l2的充要条件，
所以2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0，所以α＝kπ，k∈Z.
故当α＝kπ，k∈Z时，l1⊥l2.
[方法引航] 两直线垂直时，一般先将直线方程化成一般式，l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，然后利用A1A2＋B1B2＝0求解，这样避免出现漏解.如果利用斜截式方程，则需要根据其斜率是否存在分情况讨论，往往容易忽视斜率不存在的情况，导致漏解.
对l1∥l2，用＝≠时，有可能漏解.
1．将本例(1)的两直线改为：l1：bx＋ay＋c＝0，l2：xsin B＋ysin A－sin C＝0，其位置关系如何？
解：由＝≠，∴l1∥l2.
2．将本例(2)改为过点(1,0)与x－2y－2＝0垂直，其直线方程怎样．
解：∵x－2y－2＝0的斜率为，
∴所求直线的斜率为－2，
∴直线方程为y＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0.
3．将本例(3)变为“a＝－1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线x＋ay＋2＝0平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件
D．充要条件
解析：选A.由直线ax＋y＋1＝0与直线x＋ay＋2＝0平行，得a＝－1或1，所以“a＝－1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线x＋ay＋2＝0平行”的充分不必要条件．
4．将本例(4)变为l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，若l1⊥l2且l1过点(－3，－1)，求a，b的值．
解：法一：由题意得即
解得
法二：由已知可得l2的斜率存在，∴k2＝1－a.
若k2＝0，则1－a＝0，a＝1.
∵l1⊥l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b＝0.
又∵l1过点(－3，－1)，∴－3a＋4＝0，即a＝(矛盾)．
∴此种情况不存在，∴k2≠0.
即k1，k2都存在，∵k2＝1－a，k1＝，l1⊥l2，
∴k1k2＝－1，即(1－a)＝－1.①
又∵l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.②
由①②联立，解得a＝2，b＝2.
考点二 两条直线的交点和距离
命题点
1.求两直线的交点
2.求点到直线，两平行间的距离
3.借助距离求参数，求直线方程
[例2] (1)求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．
解：法一：由方程组得l1、l2的交点坐标为(－1,2)，
∵l3的斜率为，∴l的斜率为－，
则直线的点斜式方程l：y－2＝－(x＋1)，
即5x＋3y－1＝0.
法二：设直线l的方程为：3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0，
将其整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0，
其斜率－＝－，解得λ＝，
代入直线系方程即得l的方程为5x＋3y－1＝0.
(2)求过点P(2，－1)且与原点距离为2的直线l的方程．
解：若l的斜率不存在，则直线x＝2满足条件．
若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，
即kx－y－2k－1＝0.
由已知，得＝2，解得k＝.
此时l的方程为3x－4y－10＝0.
综上，可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.
(3)若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则的值为________．
解析：由题意得，＝≠，
∴a＝－4，c≠－2.
则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0.
∴＝，∴解得c＝2或c＝－6.
∴＝1或＝－1.
答案：±1
[方法引航] (1)符合特定条件的某些直线构成一个直线系，常见的直线系有：
①与Ax＋By＋C＝0平行的直线系：Ax＋By＋m＝0(m≠C)；
②与Ax＋By＋C＝0垂直的直线系：Bx－Ay＋m＝0；
③过A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.
(2)y＝kx＋b.
①当b为定值，k变为参数时，表示过定点(0，b)的直线系(除x＝0外)；
②当k为定值，b为参数时，表示斜率为k的平行直线系．
1．已知经过点P(2,2)的直线l与直线ax－y＋1＝0垂直，若点M(1,0)到直线l的距离等于，则a的值是( )
A．－ B．1
C．2 D.
解析：选C.依题意，设直线l的方程为x＋ay＋c＝0，
∵点P(2,2)在l上，且点M(1,0)到l的距离等于.
∴消去c，得a＝2.
2．过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且到点P(0,4)距离为2的直线方程为________．
解析：由得
∴l1与l2交点为(1,2)，
设所求直线y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，
∵P(0,4)到所求直线的距离为2，
∴2＝，解得k＝0或k＝.
∴直线方程为y＝2或4x－3y＋2＝0.
答案：y＝2或4x－3y＋2＝0
3．l1，l2是分别经过点A(1,1)，B(0，－1)的两条平行直线，当l1与l2间的距离最大时，直线l1的方程是________．
解析：当AB⊥l1时，两直线l1与l2间的距离最大，
由kAB＝＝2，知l1的斜率k＝－.
∴直线l1的方程为y－1＝－(x－1)，
即x＋2y－3＝0.
答案：x＋2y－3＝0
考点三 对称问题
命题点
1.点关于直线的对称
2.直线关于点的对称
3.直线关于直线的对称
[例3] (1)(2017·江西南昌二中月考)过点M(0,1)作直线，使它被两条直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M所平分，则此直线方程为________．
解析：法一：过点M且与x轴垂直的直线是x＝0，它和直线l1，l2的交点分别是，(0,8)，显然不符合题意，故可设所求直线方程为y＝kx＋1，其图象与直线l1，l2分别交于A，B两点，则有
①②
由①解得xA＝，由②解得xB＝.
因为点M平分线段AB，所以xA＋xB＝2xM，
即＋＝0，解得k＝－.
故所求的直线方程为y＝－x＋1，即x＋4y－4＝0.
法二：设所求直线与l1交于A(x1，y1)与l2交于B(x2，y2)
且x1＋x2＝0，∴x2＝－x1.
y1＋y2＝2，y2＝2－y1
∴，解得即A(－4,2)
故过M和A的方程为x＋4y－4＝0.
答案：x＋4y－4＝0
(2)A(－1，－2)关于直线l：2x－3y＋1＝0的对称点A′的坐标为________．
解析：设A′(x，y)，再由已知
解得
∴A′.
答案：A′
(3)直线l1：y＝2x＋3关于直线l：y＝x＋1对称的直线l2的方程为________．
解析：由解得直线l1与l的交点坐标为
(－2，－1)，
∴可设直线l2的方程为y＋1＝k(x＋2)，即
kx－y＋2k－1＝0.
在直线l上任取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l1，l2的距离相等，由点到直线的距离公式得
＝，解得k＝(k＝2舍去)，
∴直线l2的方程为x－2y＝0.
答案：x－2y＝0
[方法引航] (1)点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足
(2)解决点关于直线对称问题要把握两点，点M与点N关于直线l对称，则线段MN的中点在直线l上，直线l与直线MN垂直.,
3)若直线l1、l2关于直线l对称，则有如下性质：
①若直线l1与l2相交，则交点在直线l上；②若点B在直线l1上，则其关于直线l的对称点B′在直线l2上.
(4)解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解.
光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．
解：法一：由
得
∴反射点M的坐标为(－1,2)．
又取直线x－2y＋5＝0上一点P(－5,0)，设P关于直线l的对称点P′(x0，y0)，由PP′⊥l可知，kPP′＝－＝.
而PP′的中点Q的坐标为，
Q点在l上，∴3·－2·＋7＝0.
由得
根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x－2y＋33＝0.
法二：设直线x－2y＋5＝0上任意一点P(x0，y0)关于直线l的对称点为P′(x，y)，则＝－，
又PP′的中点Q在l上，
∴3×－2×＋7＝0，
由
可得P点的横、纵坐标分别为
x0＝，y0＝，
代入方程x－2y＋5＝0中，化简得29x－2y＋33＝0，
∴所求反射光线所在的直线方程为29x－2y＋33＝0.
[方法探究]
有关点与直线的最值问题
[典例] (2017·福建泉州模拟)若点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，则m2＋n2的最小值是( )
A．2 B．2
C．4 D．2
[关系探究] 一、从m2＋n2表示的几何意义分析，得出原点到直线的距离．二、从函数角度分析：题意隐含了m与n的约束关系，从而m2＋n2可转化为关于m(n
)的函数求最值．
[解析] 法一：数形结合法
(1)m2＋n2＝(m－0)2＋(n－0)2表示点(m，n)与(0,0)距离的平方，∴表示点(m，n)与(0,0)的距离，其最小值为原点到直线的距离．
当过原点的直线与直线4m＋3n－10＝0垂直时，原点到点(m，n)的距离的最小值为d＝＝2，∴m2＋n2的最小值为4.
(2)由题意知点(m，n)为直线上到原点最近的点，
直线与两坐标轴交于A，B，
在直角三角形OAB中，OA＝，OB＝，
斜边AB＝ ＝，
斜边上的高h即为所求m2＋n2的算术平方根，
∴S△OAB＝·OA·OB＝AB·h，
∴h＝＝＝2，
∴m2＋n2的最小值为h2＝4.
法二：函数法
因点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，
∴4m＋3n－10＝0，∴m＝，
∴m2＋n2＝2＋n2＝＝
2＋4.
当n＝时，m2＋n2的最小值为4.
[答案] C
[回顾反思] 有关点与直线的最值问题，一般有两种方法：一是利用几何意义，采用数形结合法．如(x－a)2＋(y－b)2表示点(x，y)与点(a，b)间距离的平方.表示点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离；再者利用函数求最值．
[高考真题体验]
1．(2012·高考浙江卷)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C.由a＝1可得l1∥l2，反之，由l1∥l2可得a＝1，故选C.
2．(2014·高考福建卷)已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是( )
A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0
解析：选D.依题意，得直线l过点(0,3)，斜率为1，所以直线l的方程为y－3＝x－0，即x－y＋3＝0.故选D.
3．(2014·高考四川卷)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．
解析：易求定点A(0,0)，B(1,3)．当P与A和B均不重合时，不难验证PA⊥PB，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以|PA|·|PB|≤＝5(当且仅当|PA|＝|PB|＝时，等号成立)，当P与A或B重合时，|PA|·|PB|＝0，故|PA|·|PB|的最大值是5.
答案：5
课时规范训练
A组 基础演练
1．直线l过点(－1,2)，且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是( )
A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0
C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0
解析：选A.由题意可得直线l的斜率k＝－，
∴l：y－2＝－(x＋1)，即3x＋2y－1＝0.
2．已知直线l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则l1∥l2的充要条件是a等于( )
A．3 B．1
C．－1 D．3或－1
解析：选C.由题意知，l1∥l2⇔＝≠，即a＝－1.故选C.
3．已知直线l的倾斜角为π，直线l1经过点A(3,2)和B(a，－1)，且l1与l垂直，直线l2的方程为2x＋by＋1＝0，且直线l2与直线l1平行，则a＋b等于( )
A．－4 B．－2
C．0 D．2
解析：选B.∵直线l的斜率为－1，∴直线l1的斜率为1，∴kAB＝＝1，
解得a＝0.∵l1∥l2，∴－＝1，解得b＝－2，∴a＋b＝－2.
4．已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为( )
A．2x＋3y－18＝0
B．2x－y－2＝0
C．3x－2y＋18＝0或x＋2y＋2＝0
D．2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0
解析：选D.设所求直线方程为y－4＝k(x－3)，
即kx－y＋4－3k＝0，
由已知，得＝，
∴k＝2或k＝－.
∴所求直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.
5．从点(2,3)射出的光线沿与向量a＝(8,4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为( )
A．x＋2y－4＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x＋6y－16＝0 D．6x＋y－8＝0
解析：选A.由直线与向量a＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k＝，所以直线的方程为y－3＝(x－2)，其与y轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式可得A正确．
6．过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是________．
解析：由题意知，所求直线与OA垂直，
因kOA＝2，则所求直线的斜率k＝－.
所以直线的方程是y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.
答案：x＋2y－5＝0
7．过点(3,1)，且过直线y＝2x与直线x＋y＝3交点的直线方程为________．
解析：法一：由，得，即两直线交点为(1,2)，依题意，由两点式方程得＝，即x＋2y－5＝0.
法二：设所求直线方程为x＋y－3＋λ(2x－y)＝0.
把点(3,1)代入得λ＝－，故所求直线方程为
x＋y－3－(2x－y)＝0，即x＋2y－5＝0.
答案：x＋2y－5＝0
8．△ABC的三个顶点为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，则边BC的垂直平分线DE的方程为________．
解析：设BC中点D的坐标为(x，y)，则x＝＝0，y＝＝2.BC的斜率k1＝－，则BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2，由斜截式得直线DE的方程为y＝2x＋2.
答案：y＝2x＋2
9．光线从A(－4，－2)点射出，到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1,6)，求BC所在直线的方程．
解：作出草图，如图所示．设A关于直线y＝x的对称点为A′，D关于y轴的对称点为D′，则易得A′(－2，－4)，D′(1,6)．
由入射角等于反射角可得A′D′所在直线经过点B与C.故BC所在的直线方程为＝，即10x－3y＋8＝0.
10．已知直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为，求直线l1的方程．
解：∵l1∥l2，∴＝≠，
∴或
①当m＝4时，直线l1的方程为4x＋8y＋n＝0，把l2的方程写成4x＋8y－2＝0，∴＝，解得n＝－22或n＝18.所以，所求直线的方程为2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0.
②当m＝－4时，直线l1的方程为4x－8y－n＝0，l2的方程为4x－8y－2＝0，∴＝，解得n＝－18或n＝22.所以，所求直线的方程为2x－4y＋9＝0或2
x－4y－11＝0.
B组
1．若三条直线l1：4x＋y＝4，l2：mx＋y＝0，l3：2x－3my＝4不能围成三角形，则实数m的取值最多有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．6个
解析：选C.三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点．若l1∥l2，则m＝4；若l1∥l3，则m＝－；若l2∥l3，则m的值不存在；若三条直线相交于同一点，则m＝－1或，故实数m的取值最多有4个．
2．若曲线y＝2x－x3在横坐标为－1的点处的切线为l，则点P(3,2)到直线l的距离为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.由题意得切点坐标为(－1，－1)．切线斜率为k＝y′|x＝－1＝2－3×(－1)2＝－1，故切线l的方程为y－(－1)＝－1·[x－(－1)]，整理得x＋y＋2＝0.由点到直线的距离公式，得点P(3,2)到直线l的距离为＝.
3．已知b>0，直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－b2y－1＝0互相垂直，则ab的最小值为( )
A．1 B．2
C．2 D．2
解析：选B.由已知两直线垂直得(b2＋1)－ab2＝0，即ab2＝b2＋1.两边同除以b，得ab＝＝b＋.由基本不等式，得b＋≥2＝2当且仅当b＝1时等号成立，故选B.
4．直线y＝2x是△ABC的一个内角平分线所在的直线，若点A(－4,2)，B(3,1)，则点C的坐标为________．
解析：把A，B两点的坐标分别代入y＝2x，可知A，B不在直线y＝2x上，因此
y＝2x为∠ACB的平分线所在的直线，设点A(－4,2)关于直线y＝2x的对称点为A′(a，b)，则kAA′＝，线段AA′的中点坐标为，
由解得∴A′(4，－2)．
∵y＝2x是∠ACB的平分线所在的直线，
∴点A′在直线BC上，
∴直线BC的方程为＝，即3x＋y－10＝0，
由解得 ∴C(2,4)．
答案：(2,4)
5．若直线l过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点，且|AB|＝5，求直线l的方程．
解：过点A(1，－1)与y轴平行的直线为x＝1.
解方程组
求得B点坐标为(1,4)，此时|AB|＝5，
即x＝1为所求．
设过A(1，－1)且与y轴不平行的直线为y＋1＝k(x－1)，
解方程组
得两直线交点为
(k≠－2，否则与已知直线平行)．
则B点坐标为.
由已知2＋2＝52，
解得k＝－，∴y＋1＝－(x－1)，
即3x＋4y＋1＝0.
综上可知，所求直线的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.
第3课时 圆的方程
1．圆的定义及方程
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
标准
方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
(r＞0)
圆心C：(a，b)
半径：r
一般
方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
(D2＋E2－4F＞0)
圆心：
半径：r＝
2．点与圆的位置关系
(1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系．
(2)三种情况
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，
①(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上；
②(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔点在圆外；
③(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔点在圆内．
3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(√)
(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(√)
(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4F＞0.(×)
(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0.(√)
(5)已知圆的方程为x2＋y2－2y＝0，过点A(1,2)作该圆的切线只有一条．(×)
(6)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．(×)
(7)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆心为，半径为
的圆．(×)
(8)过不共线的三点一定有唯一的一个圆．(√)
(9)方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0表示圆心为(－1,1)的圆．(×)
(10)圆x2－4x＋y2＋2y＋1＝0上的点到(2,1)的最长距离为4.(√)
考点一 求圆的方程
命题点
1.直接法求圆的方程
2.待定系数法求圆的标准方程
3.待定系数法求圆的一般方程
[例1] 根据下列条件，求圆的方程：
(1)经过点A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上；
(2)经过P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6；
(3)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)．
解：(1)法一：由题意知kAB＝2，AB的中点为(4,0)，设圆心为C(a，b)，则
AB的垂直平分线为y＝－(x－4)
由得即C(2,1)为圆心．
∴r＝|CA|＝＝，
∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则
解得
故圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
法三：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
则
解得∴所求圆的方程为x2＋y2－4x－2y－5＝0.
(2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将P、Q两点的坐标分别代入得
又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③
设x1，x2是方程③的两根，
由|x1－x2|＝6有D2－4F＝36，④
由①、②、④解得D＝－2，E＝－4，
F＝－8，或D＝－6，E＝－8，F＝0.
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0，或x2＋y2－6x－8y＝0.
(3)法一：如图，设圆心(x0，－4x0)，依题意得＝1，
∴x0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r＝2，故圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
法二：设所求圆的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，根据已知条件得
解得
因此所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
[方法引航] (1)方程选择原则,求圆的方程时，如果由已知条件易求得圆心坐标、半径或需要用圆心坐标列方程，常选用标准方程；如果已知条件与圆心坐标、半径无直接关系，常选用一般方程.
(2)求圆的方程的方法和步骤,确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤如下：
①根据题意，选择标准方程或一般方程；
②根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；,③解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程.
1．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
解析：选A.设圆心为(0，a)，则＝1，
解得a＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
2．若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．
解析：根据题意得点(1,0)关于直线y＝x对称的点(0,1)为圆心，又半径r＝1，
所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.
答案：x2＋(y－1)2＝1
3．圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为________．
解析：设圆C的圆心为(a，b)(b＞0)，由题意得a＝2b＞0，且a2＝()2＋b2，解得a＝2，b＝1.
∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
答案：(x－2)2＋(y－1)2＝4
考点二 与圆有关的最值、范围问题
命题点
1.斜率型m＝的最值
2.截距型t＝ax＋by的最值
3.距离型m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值
[例2] 已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：
(1)的最大值和最小值；
(2)y－x的最小值；
(3)x2＋y2的最大值和最小值．
解：(1)如图，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以为半径的圆．
设＝k，即y＝kx，
则圆心(2,0)到直线y＝kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．
由＝，解得k2＝3，
∴kmax＝，kmin＝－.
(也可由平面几何知识，得OC＝2，CP＝，∠POC＝60°，直线OP的倾斜角为60°，直线OP′的倾斜角为120°)
(2)设y－x＝b，则y＝x＋b，当且仅当直线y＝x＋b与圆切于第四象限时，截距b取最小值，由点到直线的距离公式，
得＝，即b＝－2±，
故(y－x)min＝－2－.
(3)x2＋y2是圆上点与原点的距离的平方，故连接OC，
与圆交于B点，并延长交圆于C′，则
(x2＋y2)max＝|OC′|2＝(2＋)2＝7＋4，
(x2＋y2)min＝|OB|2＝(2－)2＝7－4.
[方法引航] 把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，要注意熟记：(1)形如m＝的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题.
1．在本例条件下，求的取值范围．
解：设y－2＝kx，∴kx－y＋2＝0，
∴≤，∴k2＋8k＋1≤0.
∴－4－≤k≤－4＋
∴的范围为[－4－，－4＋]
2．在本例中，P是直线x－y＋2＝0上的点，过P作圆的切线，求切线长的最小值．
解：因切线长为
当|PC|取最小值时，其切线长最小．
|PC|的最小值是点C到直线x－y＋2＝0的距离d.
∴d2＝2＝8.
∴切线长的最小值为＝.
考点三 与圆有关的轨迹问题
命题点
1.定义法求轨迹
2.直接法求轨迹
3.代入法求轨迹
[例3] 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
解：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．
因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)．
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
[方法引航] 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程；
(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程；
(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.
如图所示，已知P(4,0)是圆x2＋y2＝36内的一点，A，B是圆上两动点，且满足∠APB＝90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程．
解：设AB的中点为R，坐标为(x，y)，连接OR，PR，
则在Rt△ABP中，|AR|＝|PR|.
又R是弦AB的中点，所以在Rt△OAR中，|AR|2＝|AO|2－|OR|2＝36－(x2＋y2)．
又|AR|＝|PR|＝，所以有(x－4)2＋y2＝36－(x2＋y2)，
即x2＋y2－4x－10＝0.
因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，点Q即在所求的轨迹上运动．
设Q(x，y)，R(x1，y1)，因为R是PQ的中点，
所以x1＝，y1＝，代入方程x2＋y2－4x－10＝0，得2＋2－4×－10＝0，
整理得x2＋y2＝56，此即为所求顶点Q的轨迹方程．
[思想方法]
转化思想、数形结合思想解决圆的方程的应用
[典例] (2017·天津四校联考)已知实数x，y满足x2＋y2－4x＋6y＋12＝0，则|2x－y－2|的最小值是( )
A．5－ B．4－
C.－1 D．5
[思路点拨] 解答本题的关键是将|2x－y－2|转化为与圆上的点到直线2x－y－2＝0的距离有关的最值问题求解．
[解析] 将x2＋y2－4x＋6y＋12＝0化为(x－2)2＋(y＋3)2＝1，|2x－y－2|＝×，从几何意义上讲，上式表示在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上的点到直线2x－y－2＝0的距离的倍，要使其值最小，只需最小即可．由直线和圆的位置关系可知min＝－1＝－1，所以|2x－y－2|的最小值为×(－1)＝5－.
[答案] A
[回顾反思] 本类型题目转化的重点
(1)实数x，y满足关系可转化为圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上的动点(x，y)．
(2)所求表达式的几何意义(代数变形后)，(x，y)到直线2x－y－2＝0的距离．
(3)数形结合求最小值．
[高考真题体验]
1．(2015·高考课标全国卷Ⅱ)已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.法一：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∴
∴
∴△ABC外接圆的圆心为，故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为 ＝.
法二：∵A(1,0)，B(0，)，C(2，)，∴|AB|＝|BC|＝|AC|＝2，△ABC为等边三角形，故△ABC的外接圆圆心是△ABC的中心，
易知△ABC的中心为，故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为＝.
2．(2015·高考课标全国卷Ⅱ)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝( )
A．2 B．8
C．4 D．10
解析：选C.设过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则，解得D＝－2，E＝4，F＝－20，所求圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0，令x＝0，得y2＋4y－20＝0，设M(0，y1)，N(0，y2)，则y1＋y2＝－4，y1y2＝－20，所以|MN|＝|y1－y2|＝＝4.故选C.
3．(2016·高考天津卷)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________．
解析：设圆心为(a,0)(a＞0)，则圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝，得a＝2，半径r＝＝3，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.
答案：(x－2)2＋y2＝9
4．(2013·高考课标全国卷Ⅱ)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.
(1)求圆心P的轨迹方程；
(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．
解：(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.
由题设y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，从而y2＋2＝x2＋3.
故P点的轨迹方程为y2－x2＝1.
(2)设P(x0，y0)．由已知得＝.
又P点在双曲线y2－x2＝1上，
从而得
由得
此时，圆P的半径r＝.
由得
此时，圆P的半径r＝.
故圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3或x2＋(y＋1)2＝3.
课时规范训练
A组 基础演练
1．圆x2＋y2－4x＋8y－5＝0的圆心与半径分别为( )
A．(－2,4)，5 B．(2，－4)，5
C．(－2,4)， D．(2，－4)，
解析：选B.圆心坐标为(2，－4)，
半径r＝ ＝5.
2．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是( )
A．a＜－2或a＞ B．－＜a＜0
C．－2＜a＜0 D．－2＜a＜
解析：选D.由题意知a2＋4a2－4(2a2＋a－1)＞0，解得－2＜a＜.
3．设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0＜a＜1，则原点与圆的位置关系是( )
A．原点在圆上 B．原点在圆外
C．原点在圆内 D．不确定
解析：选B.将圆的一般方程化成标准方程为(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，
因为0＜a＜1，所以(0＋a)2＋(0＋1)2－2a＝(a－1)2＞0，
即＞，所以原点在圆外．
4．以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为( )
A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
B．(x－1)2＋(y－1)2＝2
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8
D．(x－1)2＋(y－1)2＝8
解析：选B.直径的两端点分别为(0,2)，(2,0)，
∴圆心为(1,1)，半径为，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
5．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
解析：选A.设圆心坐标为(0，b)，则由题意知
＝1，解得b＝2，
故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
6．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为________．
解析：由题意可得圆心(－1,0)，圆心到直线x＋y
＋3＝0的距离即为圆的半径，故r＝＝，
所以圆的方程为(x＋1)2＋y2＝2.
答案：(x＋1)2＋y2＝2
7．已知点P(2,1)在圆C：x2＋y2＋ax－2y＋b＝0上，点P关于直线x＋y－1＝0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为________．
解析：因为点P关于直线x＋y－1＝0的对称点也在圆上，∴该直线过圆心，即圆心满足方程x＋y－1＝0，因此－＋1－1＝0，解得a＝0，所以圆心坐标为(0,1)．
答案：(0,1)
8．如果直线l将圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝13平分，那么坐标原点O到直线l的最大距离为________．
解析：由题意，知直线l过圆心C(2，－3)，
当直线OC⊥l时，坐标原点到直线l的距离最大，
|OC|＝＝.
答案：
9．已知直线l：y＝x＋m，m∈R，若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程．
解：法一：依题意，点P的坐标为(0，m)，
因为MP⊥l，所以×1＝－1.
解得m＝2，即点P坐标为(0,2)，
圆的半径r＝|MP|＝＝2，
故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.
法二：设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为(x－2)2＋y2＝r2，
依题意，所求圆与直线l：y＝x＋m相切于点P(0，m)，
则解得
所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.
10．已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值．
解：(1)由C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得
(x－2)2＋(y－7)2＝8，
∴圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2.
又|QC|＝＝4.
∴|MQ|max＝4＋2＝6，
|MQ|min＝4－2＝2.
(2)因为表示直线MQ的斜率，
所以设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0，则＝k.
由题意知直线MQ与圆C有交点，
所以≤2.
可得2－≤k≤2＋，
所以的最大值为2＋，最小值为2－.
B组 能力突破
1．直线x－2y－2k＝0与直线2x－3y－k＝0的交点在圆x2＋y2＝9的外部，则k的取值范围为( )
A．k<－或k> B．－
解析：选A.解方程组得交点坐标为
(－4k，－3k)．由题意知(－4k)2＋(－3k)2>9，解得k>或k<－，故选A.
2．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
解析：选A.设圆上任一点坐标为(x0，y0)，
x＋y＝4，连线中点坐标为(x，y)，
则⇒，
代入x＋y＝4中得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
3．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )
A．π B．4π
C．8π D．9π
解析：选B.设P(x，y)，由题意知有(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，整理得x2－4x＋y2＝0，配方得(x－2)2＋y2＝4.可知圆的面积为4π.
4．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为________．
解析：∵圆的方程为x2＋y2－2x－2y＋1＝0，∴圆心C(1,1)，半径r为1.
根据题意得，当圆心与点P的距离最小，即距离为圆心到直线的距离时，切线长|PA|，|PB|最小，则此时四边形面积最小．又圆心到直线的距离为d＝3，∴|PA|＝|PB|＝＝2.
∴S四边形PACB＝2×|PA|r＝2.
答案：2
5．已知定点M(－3,4)，设动点N在圆x2＋y2＝4上运动，点O是坐标原点，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
解：∵四边形MONP为平行四边形，
∴＝＋，
设点P(x，y)，点N(x0，y0)，则
＝－＝(x，y)－(－3,4)＝(x＋3，y－4)．
又点N在圆x2＋y2＝4上运动，
∴(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
又当OM与ON共线时，O、M、N、P构不成平行四边形．
故动点P的轨迹是圆(x＋3)2＋(y－4)2＝4且除去点和.
第4课时 直线与圆、圆与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系与判断方法
方法
过程
依据
结论
代数法
联立方程组消去x(或y)得一元二次方程，计算Δ＝b2－4ac
Δ＞0
相交
Δ＝0
相切
Δ＜0
相离
几何法
计算圆心到直线的距离d，比较d与半径r的关系．相交时弦长为2
d＜r
相交
d＝r
相切
d＞r
相离
2.圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1＞0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0).
方法
位置关系
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
外离
d＞r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
两组不同的实数解
内切
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
一组实数解
内含
0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2)
无解
3.判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，那么两圆外切．(×)
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，那么两圆相交．(×)
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(×)
(4)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(√)
(5)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．(×)
(6)过点(1,0)的直线与圆(x－2)2＋y2＝1都相切．(×)
(7)若两圆的公共点的横坐标有且只有一个值，则两圆一定是相切．(×)
(8)若两圆有且只有两条公切线，则两圆一定是相交．(√)
(9)若点P(a，b)在圆x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆相离．(×)
(10)直线y＝x－1与圆(x－2)2＋y2＝1相交的弦长为.(√)
考点一 直线与圆的位置关系
命题点
1.位置关系的判定
2.利用位置关系求参数
[例1] (1)(2017·福建泉州四校联考)已知m＝(2cos α，2sin α)，n＝(3cos β，3sin β)，若m与n的夹角为60°，则直线xcos α－ysin α＋＝0与圆(x－cos β)2＋(y＋sin β)2＝的位置关系是( )
A．相交 B．相交且过圆心
C．相切 D．相离
解析：由向量的夹角公式得cos 〈m，n〉＝＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝，圆心(cos β，－sin β)到直线的距离d＝＝1>，
∴直线与圆相离．
答案：D
(2)直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________.
解析：依题意，不妨设直线y＝x＋a与单位圆相交于A，B两点，则∠AOB＝90°.如图，此时a＝1，b＝－1，满足题意，所以a2＋b2＝2.
答案：2
[方法引航] 直线与圆的位置关系要注意直线的特殊性.如直线是否经过定点，斜率k＝0或不存在；点是在圆上，还是圆外或圆内，注意利用方程思想时，方程根的正负与范围等.
1．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
解析：选A.法一：由题意知，圆心(0,1)到直线l的距离d＝＜1＜，故直线l与圆相交．
法二：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆相交．
2．若直线y＝x＋b与曲线x＝恰有一个公共点，则b的取值范围是( )
A．b∈(－1,1] B．b＝－
C．b＝± D．b∈(－1,1]或b＝－
解析：选D.由x＝知，曲线表示半圆(如图所示)，让直线y＝x＋b在图形中运动，可知当－1＜b≤1时，与半圆有一个公共点；当直线与半圆相切时，也与半圆只有一个公共点，此时＝1，求得b＝(舍去)或b＝－.
考点二 圆的切线、弦长问题
命题点
1.求切线方程
2.求弦长
3.利用切线、弦长求参数
[例2] (1)已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是( )
A．－2 B．－4
C．－6 D．－8
解析：由圆的方程x2＋y2＋2x－2y＋a＝0可得，圆心为(－1,1)，半径r＝.圆心到直线x＋y＋2＝0的距离为d＝＝.由r2＝d2＋2得2－a＝2＋4，所以a＝－4.
答案：B
(2)已知P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为( )
A．3 B.
C．2 D．2
解析：如图所示，由题意可得圆C的圆心坐标为(0,1)，半径为1，则由四边形PACB的最小面积为2得2×·|PA|·1＝2，所以|PA|＝2.又PA是圆C的切线，由勾股定理得|PC|＝＝，再由点到直线的距离公式得＝(k>0)，解得k＝2.
答案：D
(3)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A．－或－ B．－或－
C．－或－ D．－或－
解析：由已知，得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，则有d＝＝1，解得k＝－或k＝－.
答案：D
[方法引航] (1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形.
(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题.
1．若将本例(1)改为：已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________.
解析：由题意知，圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离为，因为△ABC为等边三角形，所以|AB|＝|BC|＝2，所以2＋12＝22，解得a＝4±.
答案：4±
2．若将本例(2)改为：已知圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝1(a>0)与直线y＝2x相交于P、Q两点，则当△CPQ的面积最大时，实数a的值为________．
解析：圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝1(a>0)的圆心为C(a，a)，半径为1，圆心到直线的距离d＝＝，半弦长为＝，∴S△CPQ＝×＝＝＝ ，当a2＝时，S取得最大值，最大值为×＝×＝，此时a＝.
答案：
3．将本例(3)改为：直线l过点A(2,4)且与圆x2＋y2＝4相切，则l的方程为( )
A．3x－4y＋10＝0 B．x＝2
C．x－y＋2＝0 D．x＝2或3x－4y＋10＝0
解析：选D.显然x＝2为所求切线之一；
另设y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，
而＝2，k＝，即切线为3x－4y＋10＝0，
∴x＝2或3x－4y＋10＝0为所求．
考点三 圆与圆的位置关系
命题点
1.圆与圆位置关系判定
2.利用圆与圆位置关系求参数
3.利用圆与圆位置关系求圆的方程
[例3] (1)圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，内公切线条数为2.
答案：B
(2)已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
①m取何值时两圆外切？
②m取何值时两圆内切？
③求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
解：两圆的标准方程为：(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
圆心分别为M(1,3)、N(5,6)，半径分别为和
①当两圆外切时，＝＋，解得：m＝25＋10.
②当两圆内切时，因定圆的半径小于两圆圆心距5，故只有－＝5，解得：m＝25－10.
③当m＝45时，两圆的公共弦所在直线方程为
(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，
即4x＋3y－23＝0.
∴公共弦长为2＝2.
[方法引航] (1)处理两圆的位置关系多用圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法.
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到.
1．与圆C1：x2＋y2＋2x－6y－26＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0都相切的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：选A.将已知圆化为圆的标准形式，C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝36，C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝1，两圆圆心距|C1C2|＝＝5，两圆圆心距等于两圆半径之差，故两圆相内切，它们只有一条公切线．
2．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的长为2，则a＝________.
解析：两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x2＋y2＋2ay－6)－(x2＋y2)＝0－4⇒y＝，又a＞0，结合图象(图略)，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知＝ ＝1⇒a＝1.
答案：1
[方法探究]
巧用圆的几何性质
[典例] 已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，N，M分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．5－4 B.－1
C．6－2 D.
[解析] 作圆C1关于x轴的对称圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝1，则|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PN′|，由图可知当C2，M，P，N′，C在同一直线上时，|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PN′|取得最小值，即为|CC2|－1－3＝5－4.故选A.
[答案] A
[方法探究] 利用两圆心的连线的性质与对称特点求得答案，解析几何中涉及圆的问题，要注意强化两种解题意识：一是画图意识，通过画图探求解析，去杂补漏；二是灵活应用圆的几何性质解题的意识．
[高考真题体验]
1．(2016·高考全国乙卷)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________．
解析：圆C的方程可化为x2＋(y－a)2＝a2＋2，可得圆心的坐标为C(0，a)，半径r＝，所以圆心到直线x－y＋2a＝0的距离为＝，所以2＋()2＝()2，解得a2＝2，所以圆C的半径为2，所以圆C的面积为4π.
答案：4π
2．(2016·高考全国丙卷)已知直线l：x－y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．则|CD|＝________.
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3,0)，D(x4,0)，
由x－y＋6＝0，得x＝y－6，
代入圆的方程，并整理，得y2－3y＋6＝0，
解得y1＝2，y2＝，所以x1＝0，x2＝－3，所以直线AC的方程为y－2＝－x，令y＝0得x3＝2，直线BD的方程为y－＝－(x＋3)，令y＝0得x4＝－2，则|CD|＝|x3－x4|＝4.
答案：4
3．(2014·高考课标全国卷Ⅱ)设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N
，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是( )
A．[－1,1] B.
C．[－，] D.
解析：选A.法一：过M作圆O的两条切线MA、MB，切点分别为A、B，若在圆O上存在点N，使∠OMN＝45°，则∠OMB≥∠OMN＝45°，所以∠AMB≥90°，所以－1≤x0≤1，故选A.
法二：过O作OP⊥MN于P，
则|OP|＝|OM|sin 45°≤1，
∴|OM|≤，即≤，
∴x≤1，即－1≤x0≤1，故选A.
4．(2015·高考课标全国卷Ⅰ)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
解：(1)由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1.
因为直线l与圆C交于两点，所以＜1，
解得＜k＜.
所以k的取值范围为.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
将y＝kx＋1代入圆C的方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1
＝＋8.
由题设可得＋8＝12，解得k＝1，所以l的方程为y＝x＋1.
故圆C的圆心(2,3)在l上，所以|MN|＝2.
课时规范训练
A组 基础演练
1．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是( )
A．相离 B．相切
C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心
解析：选C.∵x2＋y2＝2的圆心(0,0)到直线y＝kx＋1的距离d＝＝≤1，又∵r＝，∴0＜d＜r.
∴直线与圆相交但直线不过圆心．
2．直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为( )
A．1 B．2
C．4 D．4
解析：选C.圆的方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心(1,2)到直线x＋2y－5＋＝0的距离d＝1，截得弦长l＝2＝4.
3．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( )
A．21 B．19
C．9 D．－11
解析：选C.圆C2的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.
又圆C1：x2＋y2＝1，∴|C1C2|＝5.
又∵两圆外切，∴5＝1＋，解得m＝9.
4．已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝( )
A．－ B．1
C．2 D.
解析：选C.由题意知圆心为(1,0)，由圆的切线与直线ax－y＋1＝0垂直，可设圆的切线方程为x＋ay＋c＝0，由切线x＋ay＋c＝0过点P(2,2)，∴c＝－2－2a，
∴＝，解得a＝2.
5．过点P(3,1)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )
A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0
C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0
解析：选A.如图所示：由题意知：AB⊥PC，kPC＝，
∴kAB＝－2，∴直线AB的方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0.
6．若圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取值范围为________．
解析：由圆与直线没有公共点，可知圆的圆心到直线的距离大于半径，也就是＞1，解得－＜k＜，即k∈(－，)．
答案：(－，)
7．已知点P(－2，－3)，圆C：(x－4)2＋(y－2)2＝9，过P点作圆C的两条切线，切点分别为A，B，过P，A，C三点的圆的方程为________．
解析：圆C的圆心C(4,2)，∵PA⊥AC，PB⊥BC，∴P，A，B，C
四点共圆，所求圆的圆心O′在PC的中点，即O′，所求圆的半径r′＝＝，∴过P，A，B三点的圆的方程为(x－1)2＋2＝.
答案：(x－1)2＋2＝
8．已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，则以两圆公共弦为直径的圆的方程是________．
解析：圆C1的圆心为(1，－5)，半径为，圆C2的圆心为(－1，－1)，半径为，则两圆心连线的直线方程为2x＋y＋3＝0，由两圆方程作差得公共弦方程为x－2y＋4＝0，两直线的交点(－2,1)即为所求圆的圆心，由垂径定理可以求得半径为，即所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5.
答案：(x＋2)2＋(y－1)2＝5
9．已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过M点的圆的切线方程；
(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；
(3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值．
解：(1)圆心C(1,2)，半径r＝2，当直线的斜率不存在时，方程为x＝3.
由圆心C(1,2)到直线x＝3的距离d＝3－1＝2＝r知，此时，直线与圆相切．
当直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.
由题意知＝2，解得k＝.
∴圆的切线方程为y－1＝(x－3)，
即3x－4y－5＝0.
故过M点的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.
(2)由题意得＝2，解得a＝0或a＝.
(3)∵圆心到直线ax－y＋4＝0的距离为，
∴2＋2＝4，解得a＝－.
10．已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.
(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；
(2)求直线l被圆C截得的最短弦长．
解：法一：(1)证明：由
消去y得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0，
因为Δ＝(2－4k)2＋28(k2＋1)＞0，
所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．
(2)设直线与圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，
则直线l被圆C截得的弦长
|AB|＝|x1－x2|＝2
＝2 ，
令t＝，则tk2－4k＋(t－3)＝0，
当t＝0时，k＝－，当t≠0时，因为k∈R，
所以Δ＝16－4t(t－3)≥0，解得－1≤t≤4，且t≠0，
故t＝的最大值为4，此时弦长|AB|最小为2.
法二：(1)证明：因为不论k为何实数，直线l总过点P(0,1)，而|PC|＝＜2＝R，所以点P(0,1)在圆C的内部，即不论k为何实数，直线l总经过圆C内部的定点P.
所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．
(2)由平面几何知识知过圆内定点P(0,1)的弦，只有和AC(C为圆心)垂直时才最短，而此时点P(0,1)为弦AB的中点，由勾股定理，知|AB|＝2＝2，
即直线l被圆C截得的最短弦长为2.
B组 能力突破
1．已知直线y＝kx＋b与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，当b＝ 时，·等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将y＝kx＋b代入x2＋y2＝1得(1＋k2)x2＋2kbx＋b2－1＝0，
故x1＋x2＝－，x1x2＝，
从而·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2＝b2－1－＋b2＝－1＝1.
2．圆心在直线x＋y＝0上且过两圆x2＋y2－2x＝0，x2＋y2＋2y＝0的交点的圆的方程为( )
A．x2＋y2－x＋y－＝0
B．x2＋y2＋x－y－＝0
C．x2＋y2－x＋y＝0
D．x2＋y2＋x－y＝0
解析：选C.设所求圆的方程为x2＋y2－2x＋λ(x2＋y2＋2y)＝0(λ≠－1)，
即x2＋y2－x＋y＝0，
∴圆心坐标为.
又∵圆心在直线x＋y＝0上，∴－＝0，
∴λ＝1，∴所求圆的方程为x2＋y2－x＋y＝0，故选C.
3．设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于( )
A．4 B．4
C．8 D．8
解析：选C.由题意易知圆心在直线y＝x上，
设圆的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2，
由于圆过点(4,1)，所以有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，解得a＝5－2或a＝5＋2，
因此圆心C1(5－2，5－2)，C2(5＋2，5＋2)，
从而两圆心的距离
|C1C2|＝＝8.故选C.
4．已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为________．
解析：由x2＋y2＋2x－4y－4＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝9，所以圆C的圆心坐标为C(－1,2)，半径为3，由AC⊥BC可知△ABC是直角边长为3的等腰直角三角形，故可得圆心C到直线x－y＋a＝0的距离为，由点到直线的距离公式可得＝，解得a＝0或a＝6.
答案：0或6
5．已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点．
(1)若Q(1,0)，求切线QA，QB的方程；
(2)求四边形QAMB面积的最小值；
(3)若|AB|＝，求直线MQ的方程．
解：(1)设过点Q的圆M的切线方程为x＝my＋1，
则圆心M到切线的距离为1，
∴＝1，∴m＝－或0，
∴QA，QB的方程分别为3x＋4y－3＝0和x＝1.
(2)∵MA⊥AQ，∴S四边形MAQB＝|MA|·|QA|＝|QA|＝＝≥ ＝.
∴四边形QAMB面积的最小值为.
(3)设AB与MQ交于P，
则MP⊥AB，MB⊥BQ，∴|MP|＝＝.
在Rt△MBQ中，|MB|2＝|MP||MQ|，即1＝|MQ|，
∴|MQ|＝3，∴x2＋(y－2)2＝9.
设Q(x,0)，则x2＋22＝9，
∴x＝±，∴Q(±，0)，
∴MQ的方程为2x＋y－2＝0或2x－y＋2＝0.
第5课时 椭 圆
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a(2a＞|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
2．椭圆的标准方程及其简单几何性质
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
图形
范围
|x|≤a；|y|≤b
|x|≤b；|y|≤a
对称性
曲线关于x轴、y轴、原点对称
曲线关于x轴、y轴、原点对称
顶点
长轴顶点(±a,0) 短轴顶点(0，±b)
长轴顶点(0，±a) 短轴顶点(±b,0)
轴
长轴长2a，短轴长2b
焦点
(±c,0)
(0，±c)
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈(0,1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
3.判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(×)
(2)动点P到两定点A(0，－2)，B(0,2)的距离之和为4，则点P的轨迹是椭圆．(×)
(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(×)
(4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．(√)
(5)方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆．(√)
(6)P为椭圆＋＝1上的任一点，|OP|的最小值为b.(√)
(7)P为椭圆上任一点，F为其焦点，则|PF|∈[a－c，a＋c]．(√)
(8)方程＋＝1，且m＞n表示焦点在x轴上的椭圆．(×)
(9)椭圆＋＝1的离心率e＝.(√)
(10)焦距为8，离心率为0.8的椭圆方程为＋＝1.(×)
考点一 椭圆的定义及应用
命题点
1.利用椭圆定义求椭圆方程
2.利用定义求焦点三角形问题
[例1] (1)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
解析：点P在线段AN的垂直平分线上，
故|PA|＝|PN|.又AM是圆的半径，
∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6＞|MN|，
由椭圆定义知，点P的轨迹是椭圆．
答案：B
(2)(2017·豫东、豫北十校联考)椭圆C：＋y2＝1(a>0)的左右焦点分别为F1、F2、P为椭圆上异于端点的任意一点，PF1，PF2的中点分别为M，N.O为坐标原点，四边形OMPN的周长为2，则△PF1F2的周长是( )
A．2(＋) B.＋2
C.＋ D．4＋2
解析：因为O，M分别为F1F2和PF1的中点，所以OM∥PF2，且|OM|＝|PF2|，同理，ON∥PF1，且|ON|＝|PF1|，所以四边形OMPN为平行四边形，由题意知，|OM|＋|ON|＝，故|PF1|＋|PF2|＝2，即2a＝2，a＝，由a2＝b2＋c2知c2＝a2－b2＝2，c＝，所以|F1F2|＝2c＝2，故△PF1F2的周长为2a＋2c＝2＋2，选A.
答案：A
(3)(2017·江苏徐州模拟)已知F1、F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
解析：设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则
∴2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)＝4a2－4c2＝4b2，
∴S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，∴b＝3.
答案：3
[方法引航] 椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通过整体代入可求其面积等.
1．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
解析：选D.设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16，
∴M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为＋＝1.
2．椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B.当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是________．
解析：如图所示，设椭圆右焦点为F′，直线x＝m与x轴相交于点C.由椭圆的定义，得|AF|＋|AF′|＝|BF|＋|BF′|＝2a＝4.
而|AB|＝|AC|＋|BC|≤|AF′|＋|BF′|，
所以当且仅当AB过点F′时，△ABF的周长最大．
此时，由c＝1，得A，B，即|AB|＝3.
所以S△ABF＝|AB||FF′|＝3.
答案：3
3．(2017·云南昆明名校联考)设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的一点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△PF1F2的面积为( )
A．4 B．6
C．2 D．4
解析：选A.易得|PF1|＝4，|PF2|＝2，|F1F2|＝2，显然，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，故△PF1F2的面积为4.
考点二 求椭圆的标准方程
命题点
1.直接求a，b，c
2.待定系数法求a，b，c
[例2] 求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点；
(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5,3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点；
(3)经过两点，(，)．
解：(1)法一：椭圆＋＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.由椭圆的定义知，
2a＝＋ ，
解得a＝2.
由c2＝a2－b2可得b2＝4.
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二：设所求椭圆方程为＋＝1(k＜9)，将点(，－)的坐标代入可得＋＝1，解得k＝5(k＝21舍去)，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由于焦点的位置不确定，∴设所求的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a
＞b＞0)，
由已知条件得
解得a＝4，c＝2，∴b2＝12.
故椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
(3)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n＞0，m≠n)，
由解得m＝，n＝.
∴椭圆方程为＋＝1.
[方法引航] 求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式.
1．将本例(1)改为与椭圆＋＝1有相同的离心率，其余条件不变，求椭圆的方程．
解：若焦点在x轴设方程为＋＝1，则，∴
所求椭圆方程为＋＝1.
若焦点在y轴上设方程为＋＝1，
则∴
故椭圆方程为y2＋x2＝1.
答案：＋＝1或＋＝1.
2．将本例(2)改为已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P(3,0)，则椭圆的方程为________．
解析：若焦点在x轴上，设方程为＋＝1(a＞b＞0)，
∵椭圆过P(3,0)，∴＋＝1，解得a＝3，
又2a＝3×2b，∴b＝1，椭圆方程为＋y2＝1.
若焦点在y轴上，设方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∵椭圆过点P(3,0)．∴＋＝1，解得b＝3.
又2a＝3×2b，∴a＝9，∴椭圆方程为＋＝1.
∴所求椭圆的方程为＋y2＝1或＋＝1.
答案：＋y2＝1或＋＝1
3．将本例(3)改为若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为1，则椭圆的标准方程为________．
解析：由题意可知∴
∴b2＝a2－c2＝3.
椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
答案：＋＝1或＋＝1
考点三 椭圆的几何性质
命题点
1.求椭圆的几何性质
2.利用椭圆的几何性质求方程
[例3] (1)(2016·高考全国丙卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：法一：设点M(－c，y0)，OE的中点为N，则直线AM的斜率k＝，从而直线AM的方程为y＝(x＋a)，令x＝0，得点E的纵坐标yE＝.
同理，OE的中点N的纵坐标yN＝.
因为2yN＝yE，所以＝，即2a－2c＝a＋c，所以e＝＝.故选A.
法二：如图，设OE的中点为N，由题意知|AF|＝a－c，|BF|＝a＋c，|OF|＝c，|OA|＝|OB|＝a，∵PF∥y轴，
∴＝＝，
＝＝，
又∵＝，即＝，
∴a＝3c，故e＝＝.
答案：A
(2)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A，B
两点到椭圆左、右焦点的距离为4a＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a＝2.
又d＝≥，所以1≤b＜2，所以e＝＝＝ .因为1≤b＜2，所以0＜e≤.
答案：A
(3)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．
解析：不妨设点A在第一象限，∵AF2⊥x轴，∴A(c，b2)(其中c2＝1－b2,0＜b＜1，c＞0)．
又∵|AF1|＝3|F1B|，
∴由＝3得
B，代入
x2＋＝1得
＋＝1，又c2＝1－b2，
∴b2＝.
故椭圆E的方程为x2＋y2＝1.
答案：x2＋y2＝1
[方法引航] (1)求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，既不画出图形，思考时也要联想到图形.当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.
(2)求椭圆离心率问题，应先将e用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e的等式或不等式，从而求出e的值或范围.离心率e与a、b的关系；e2＝＝＝1－ ⇒＝.
1．(2017·贵州七校联考)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )
A．1 B.
C．2 D．2
解析：选D.设a，b，c分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当三角形的高为b时面积最大，所以×2cb＝1，bc＝1，而2a＝2≥2＝2(当且仅当b＝c＝1时取等号)，故选D.
2．(2017·辽宁五校联考)椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且||·||的最大值的取值范围是[2c2,3c2]，其中c＝.则椭圆M的离心率e的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选A.∵|PF1|·|PF2|≤2＝2＝a2，∴2c2≤a2≤3c2，∴2≤≤3，∴≤e2≤，解得≤e≤.
3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选A.由椭圆的性质知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，
∴△AF1B的周长＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4，∴a＝.又e＝，
∴c＝1.∴b2＝a2－c2＝2，∴椭圆的方程为＋＝1.
考点四 直线与椭圆的位置关系
命题点
1.利用位置关系求参数
2.利用直线与椭圆相交研究弦长问题
[例4] (1)在椭圆＋＝1内，通过点M(1,1)，且被这点平分的弦所在的直线方程为( )
A．x＋4y－5＝0 B．x－4y－5＝0
C．4x＋y－5＝0 D．4x－y－5＝0
解析：设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
由①－②，得
＋＝0，
因所以＝－＝－，
所以所求直线方程为y－1＝－(x－1)，
即x＋4y－5＝0.
答案：A
(2)(2016·高考全国甲卷)已知A是椭圆E：＋＝1的左顶点，斜率为k(k＞0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.
①当|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；
②当2|AM|＝|AN|时，证明：＜k＜2.
解：①设M(x1，y1)，则由题意知y1＞0.
由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.
又A(－2,0)，
因此直线AM的方程为y＝x＋2.
将x＝y－2代入＋＝1得7y2－12y＝0.
解得y＝0或y＝，所以y1＝.
因此△AMN的面积S△AMN＝2×××＝.
②证明：将直线AM的方程y＝k(x＋2)(k＞0)代入＋＝1得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0.
由x1·(－2)＝得x1＝，
故|AM|＝|x1＋2|＝.
由题意设直线AN的方程为y＝－(x＋2)，
故同理可得|AN|＝.
由2|AM|＝|AN|得＝，
即4k3－6k2＋3k－8＝0.
设f(t)＝4t3－6t2＋3t－8，则k是f(t)的零点，f′(t)＝12t2－12t＋3＝3(2t－1)2≥0，所以f(t)在(0，＋∞)内单调递增．
又f()＝15－26＜0，f(2)＝6＞0，因此f(t)在(0，＋∞)内有唯一的零点，且零点k在(，2)内，所以＜k＜2.
[规范答题]
椭圆的方程与性质
[典例] (2017·河北保定调研)(本题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)中，
a∶b＝∶1，以原点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆与直线x＋y－2＝0相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点A，B，|AB|＝，设P为椭圆上一点，且满足＋＝t(O为坐标原点)，求实数t的值．
[规范解答] (1)由题易得a＝＝＝，
又a∶b＝∶1，
∴a2＝2，b2＝1.故椭圆C的方程为＋y2＝1.4分
(2)由题意知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k(x－2).5分
显然，当k＝0时，|AB|＝2与已知不符，∴k≠0.6分
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，
由得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0.
Δ＝64k4－4(1＋2k2)(8k2－2)＞0，k2＜，8分
x1＋x2＝，x1·x2＝.
∵|AB|＝，∴|x1－x2|＝，
∴(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝，
∴(4k2－1)(14k2＋13)＝0，即k2＝.10分
又(x1＋x2，y1＋y2)＝t(x，y)，且k≠0，即t≠0，
∴x＝＝，y＝＝[k(x1＋x2)－4k]＝.
∵点P在椭圆上，∴＋2＝2，
又k2＝，∴t＝±.12分
[规范建议] 第一步中，必须有明显求a、b的过程及结果．
第四步中，要写出判别式及根与系数的关系，这是下面转化的依据．
第五步到第七步，根据题意条件，建立t与k的关系，最终求出t值．
[高考真题体验]
1．(2016·高考全国乙卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.由椭圆的对称性，不妨令直线l经过椭圆的上顶点A和右焦点F，则|OA|＝b，|OF|＝c，|AF|＝a，所以点O到直线l的距离为.故＝×2b，所以e＝＝.故选B.
2．(2015·高考课标全国卷Ⅰ)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝( )
A．3 B．6
C．9 D．12
解析：选B.抛物线C：y2＝8x的焦点坐标为(2,0)，准线方程为x＝－2.从而椭圆E的半焦距c＝2.可设椭圆E的方程为＋＝1(a＞b＞0)，因为离心率e＝＝，所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝12.由题意知|AB|＝＝2×＝6.故选B.
3．(2013·高考课标全国卷Ⅱ)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，因为∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2，|F1F2
|＝.所以e＝＝＝.故选D.
4．(2014·高考课标全国卷Ⅱ)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.
解：(1)根据c＝及题设知M，2b2＝3ac.
将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，
解得＝或＝－2(舍去)．
故C的离心率为.
(2)由题意，知原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a，①
由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.
设N(x1，y1)，由题意知y1＜0，则
即
代入C的方程，得＋＝1.②
将①及c＝代入②得＋＝1.
解得a＝7，b2＝4a＝28.故a＝7，b＝2.
课时规范训练
A组 基础演练
1．已知椭圆C的短轴长为6，离心率为，则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为( )
A．9 B．1
C．1或9 D．以上都不对
解析：选C.，解得a＝5，b＝3，c＝4.
∴椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为a＋c＝9或a－c＝1.
2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选D.右焦点为F(1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在x轴上；c＝1.
又离心率为＝，故a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3，
故椭圆的方程为＋＝1.
3．设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为( )
A．4 B．3
C．2 D．5
解析：选A.由题意知|OM|＝|PF2|＝3，
∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2×5－6＝4.
4．已知椭圆＋＝1的焦距为4，则m等于( )
A．4 B．8
C．4或8 D．以上均不对
解析：选C.由，得2＜m＜10，
由题意知(10－m)－(m－2)＝4或(m－2)－(10－m)＝4，解得m＝4或m＝8.
5．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(，0)，直线y＝x与椭圆的一个交点的横坐标为2，则椭圆方程为( )
A.＋y2＝1 B．x2＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选C.依题意，设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则有由此解得a2＝20，b2＝5，因此所求的椭圆方程是＋＝1，选C.
6．椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y＝x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是____________．
解析：设椭圆左焦点为F1，由F关于直线y＝x的对称点Q在椭圆上，得|OQ|＝|OF|，又|OF1|＝|OF|，所以F1Q⊥QF，不妨设|QF1|＝ck，则|QF|＝bk，|F1F|＝ak，因此2c＝ak.又2a＝ck＋bk，由以上二式可得＝k＝，即＝，即a2＝c2＋bc，所以b＝c，e＝.
答案：
7．设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为________．
解析：|PF1|＋|PF2|＝10，|PF1|＝10－|PF2|，
|PM|＋|PF1|＝10＋|PM|－|PF2|，
易知M点在椭圆外，连接MF2并延长交椭圆于P点，
此时|PM|－|PF2|取最大值|MF2|，
故|PM|＋|PF1|的最大值为
10＋|MF2|＝10＋ ＝15.
答案：15
8．椭圆Γ：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．
解析：由直线方程为y＝(x＋c)，
知∠MF1F2＝60°，又∠MF1F2＝2∠MF2F1，所以∠MF2F1＝30°，MF1⊥MF2，
所以|MF1|＝c，|MF2|＝c
所以|MF1|＋|MF2|＝c＋c＝2a.
即e＝＝－1.
答案：－1
9．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，其中左焦点F(－2,0)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2＋y2＝1上，求m的值．
解：(1)由题意，得解得
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
线段AB的中点为M(x0，y0)，
由消去y得，3x2＋4mx＋2m2－8＝0，
Δ＝96－8m2＞0，∴－2＜m＜2，
∵x0＝＝－，∴y0＝x0＋m＝，
∵点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，
∴2＋2＝1，∴m＝±.
10．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点为B(0,4)，离心率e＝，直线l交椭圆于M，N两点．
(1)若直线l的方程为y＝x－4，求弦MN的长；
(2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．
解：(1)由已知得b＝4，且＝，即＝，
∴＝，解得a2＝20，
∴椭圆方程为＋＝1.
则4x2＋5y2＝80与y＝x－4联立，
消去y得9x2－40x＝0，∴x1＝0，x2＝，
∴所求弦长|MN|＝|x2－x1|＝.
(2)椭圆右焦点F的坐标为(2,0)，设线段MN的中点为Q(x0，y0)，
由三角形重心的性质知＝2，又B(0,4)，∴(2，－4)＝2(x0－2，y0)，故得x0＝3，y0＝－2，
即得Q的坐标为(3，－2)．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝6，y1＋y2＝－4，
且＋＝1，＋＝1，
以上两式相减得
＋＝0，
∴kMN＝＝－·＝－×＝，
故直线MN的方程为y＋2＝(x－3)，
即6x－5y－28＝0.
B组 能力突破
1．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．(0,1) B.
C. D.
解析：选C.∵满足·＝0的点M在圆x2＋y2＝c2上，
∴圆x2＋y2＝c2在椭圆内部，即c＜b，
∴c2＜b2＝a2－c2,2c2＜a2，
∴e2＜，即e∈.
2．从椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C.由题意可设P(－c，y0)(c为半焦距)，
kOP＝－，kAB＝－，由于OP∥AB，
∴－＝－，y0＝，
把P代入椭圆方程得＋＝1，
而2＝，∴e＝＝.选C.
3.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－2，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选B.设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，右焦点为F′，连接PF′，如图所示．因为
F(－2，0)为C的左焦点，所以c＝2.由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，所以∠PFF′＋∠OF′P＋∠FPO＋∠OPF′＝180°，知∠FPO＋∠OPF′＝90°，即FP⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理得，|PF′|＝＝＝8.由椭圆定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝4＋8＝12，从而a＝6，得a2＝36，于是b2＝a2－c2＝36－(2)2＝16，所以椭圆的方程为＋＝1.
4．设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于________．
解析：由题意知F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝，因为过F2且与x轴垂直的直线为x＝c，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A，B.因为AB平行于y轴，且|F1O|＝|OF2|，所以|F1D|＝|DB|，即D为线段F1B的中点，所以点D的坐标为，又AD⊥F1B，所以kAD·kF1B＝－1，即×
＝－1，整理得b2＝2ac，所以(a2－c2)＝2ac，又e＝，0＜e＜1，所以e2＋2e－＝0，解得e＝(e＝－舍去)．
答案：
5．如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)经过点A(0，－1)，且离心率为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.
解：(1)由题设知e＝＝，b＝1，又a2＝b2＋c2，解得a＝.所以椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)证明：由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y2＝1，得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0.由已知Δ>0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，则x1＋x2＝，x1x2＝.
从而直线AP，AQ的斜率之和kAP＋kAQ＝＋＝＋＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k)＝2k－2(k－1)＝2.
第6课时 双曲线
1．双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M||MF1|－|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a＞0，c＞0.
2．双曲线标准方程
(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)；
(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
3．双曲线的性质
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
4.判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．(×)
(2)平面内到点F1(0,4)，F2
(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(×)
(3)方程－＝1(mn＞0)表示焦点在x轴上的双曲线．(×)
(4)双曲线方程－＝λ(m＞0，n＞0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(√)
(5)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(√)
(6)若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与－＝1(a＞0，b＞0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)．(√)
(7)双曲线－＝1与－＝1有共同的渐近线．(√)
(8)－y2＝1与x2－＝1有相同的离心率．(×)
(9)P是－＝1上的点F1为左焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝1.(×)
(10)双曲线的焦点到其渐近线的距离恒为半虚轴长．(√)
考点一 双曲线定义与标准方程
命题点
1.利用定义判定双曲线或求方程
2.利用定义求解焦点三角形问题
[例1] (1)已知圆C：(x－3)2＋y2＝4，定点A(－3,0)，则过定点A且和圆C外切的动圆圆心M的轨迹方程为________．
解析：设动圆M的半径为R，则|MC|＝2＋R，|MA|＝R，
∴|MC|－|MA|＝2，
由双曲线的定义知，M点的轨迹是以A，C为焦点的双曲线的左支，且a＝1，c＝3，
∴b2＝8，所以动圆圆心M的轨迹方程为x2－＝1(x＜－1)．
答案：x2－＝1(x＜－1)
(2)(2017·陕西师大附中模拟)设过双曲线x2－y2＝9左焦点F1的直线交双曲线的左支于点P，Q，F2为双曲线的右焦点．若|PQ|＝7，则△F2PQ的周长为( )
A．19 B．26
C．43 D．50
解析：如图，由双曲线的定义可得
①＋②得|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝4a，
∴△F2PQ的周长为|PF2|＋|QF2|＋|PQ|
＝4a＋|PQ|＋|PQ|＝4×3＋2×7＝26.
答案：B
(3)已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝( )
A. B.
C. D.
解析：由e＝＝2得，c＝2a，如图，由双曲线的定义得|F1A|－|F2A|＝2a，又|F1A|＝2|F2A|，故|F1A|＝4a，|F2A|＝2a，
∴cos∠AF2F1
＝＝.
答案：A
[方法引航] (1)应用双曲线的定义需注意的问题：,在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”.若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支.同时注意定义的转化应用.
(2)求双曲线方程时一是判断标准形式；二是注意a、b、c的关系易错易混.
1．将本例(1)改为：已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．
解析：如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件，
得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，
所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于|C1C2|.
又根据双曲线的定义，得到点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，
其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
答案：x2－＝1(x≤－1)
2．将本例(2)改为：已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF
的周长为________．
解析：由－＝1得a＝3，b＝4，c＝5.
∴|PQ|＝4b＝16＞2a.
又∵A(5,0)在线段PQ上，∴P，Q在双曲线的右支上，
且PQ所在直线过双曲线的右焦点，
由双曲线定义知
∴|PF|＋|QF|＝28.
∴△PQF的周长是|PF|＋|QF|＋|PQ|＝28＋16＝44.
答案：44
3．设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选A.由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(－5,0)，F2(5,0)，设曲线C2上的一点P，则||PF1|－|PF2||＝8.
由双曲线的定义知：a＝4，b＝3.
故曲线C2的标准方程为－＝1.
考点二 双曲线的几何性质与标准方程
命题点
1.利用性质求标准方程
2.利用方程求双曲线离心率问题
3.利用方程研究渐近线的性质
[例2] (1)(2016·高考天津卷)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为( )
A.－y2＝1 B．x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：由题意得c＝，因为双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，所以＝，则a＝2，b＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1.
答案：A
(2)(2017·甘肃两市六校联考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：因为以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，所以c＝5，＝，又c2＝a2＋b2，所以a＝3，b＝4，所以此双曲线的方程为－＝1.
答案：C
(3)(2016·高考全国乙卷)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( )
A．(－1,3) B．(－1，)
C．(0,3) D．(0，)
解析：由题意得(m2＋n)(3m2－n)＞0，解得－m2＜n＜3m2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m2＋n＋3m2－n＝4，即m2＝1，所以－1＜n＜3.
答案：A
(4)若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：由双曲线的渐近线过点(3，－4)知＝，
∴＝.
又b2＝c2－a2，∴＝，
即e2－1＝，∴e2＝，∴e＝.
答案：D
(5)已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为( )
A．x±y＝0 B.x±y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
解析：C1的离心率e1＝，C2的离心率e2＝.因为e1·e2＝，所以
＝，
即＝，整理可得a＝b.
又双曲线C2的渐近线方程为bx±ay＝0，
所以bx±by＝0，即x±y＝0.
答案：A
[方法引航] (1)求双曲线的离心率，就是求c与a的比值，一般不需要具体求出a，c的值，只需列出关于a，b，c的方程或不等式解决即可.
(2)求双曲线－＝1(a＞0，b＞0)或－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令－＝0，得y＝±x；或令－＝0，得y＝±x.反之，已知渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－＝λ(a＞0，b＞0，λ≠0).
(3)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线y＝±x的斜率±与离心率e的关系：
(4)双曲线的焦点到渐近线的距离是半虚轴长.
1．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，点A(0,1)与双曲线上的点的最小距离是，则该双曲线的方程为( )
A.－y2＝1 B.－y2＝1
C.－y2＝1 D.－＝1
解析：选C.由c＝，知＝＝，解得a＝2b，所以双曲线的方程为－＝1，即为x2－4y2＝4b2.设B(x，y)是双曲线上任意一点，故|AB|2＝x2＋(y－1)2＝4b2＋4y2＋(y－1)2＝52＋4b2＋，当y＝时，|AB|取得最小值 ＝，解得b＝1，所以该双曲线的方程为－y2＝1.
2．已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选A.根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解．
∵－＝1的焦距为10，∴c＝5＝ .①
又双曲线渐近线方程为y＝±x，且P(2,1)在渐近线上，
∴＝1，即a＝2b.②
由①②解得a＝2，b＝，则C的方程为－＝1，故应选A.
3．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为( )
A．－2 B．－
C．1 D．0
解析：选A.由已知可得A1(－1,0)，F2(2,0)，设点P的坐标为(x，y)(x≥1)，则·＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝x2－x－2＋y2，因为x2－＝1，即y2＝3(x2－1)，所以·＝4x2－x－5＝42－，故当x＝1时，·有最小值－2.
4．设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为__________．
解析：不妨设点P在双曲线C的右支上，由双曲线定义知|PF1|－|PF2|＝2a，①
又因为|PF1|＋|PF2|＝6a，②
由①②得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，因为c＞a，
所以在△PF1F2中，∠PF1F2为最小内角，
因此∠PF1F2＝30°，在△PF1F2中，由余弦定理可知，
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos 30°，即4a2＝16a2＋4c2－8ac.
所以c2－2ac＋3a2＝0，两边同除以a2得，
e2－2e＋3＝0.解得e＝.
答案：
考点三 直线与双曲线的位置关系及应用
命题点
1.判断直线与双曲线的位置关系
2.利用位置关系研究性质
3.利用位置关系求直线、弦的问题
[例3] (1)设a，b是关于t的方程t2cos θ＋tsin θ＝0的两个不等实根，则过A(a，a2)，B(b，b2)两点的直线与双曲线－＝1的公共点的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：由根与系数的关系，得a＋b＝－tan θ，ab＝0，则a，b中必有一个为0，另一个为－tan θ.不妨设A(0,0)，B(－tan θ，tan2θ)，则直线AB的方程为y＝－xtan θ.根据双曲线的标准方程，得双曲线的渐近线方程为y＝±xtan θ，显然直线AB是双曲线的一条渐近线，所以直线与双曲线没有公共点．
答案：A
(2)设P为直线y＝x与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)左支的交点，F1是左焦点，PF1垂直于x轴，则双曲线的离心率e＝________.
解析：∵直线y＝x与双曲线－＝1相交，
由消去y得x＝－，
又PF1垂直于x轴，
∴＝c，从而e＝＝.
答案：
(3)若双曲线E：－y2＝1(a＞0)的离心率等于，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．
①求k的取值范围；
②若|AB|＝6，点C是双曲线上一点，且＝m(＋)，求k，m的值．
解：①由得
故双曲线E的方程为x2－y2＝1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.(*)
∵直线与双曲线右支交于A，B两点，
故
即所以1＜k＜.
故k的取值范围是{k|1＜k＜}．
②由(*)得x1＋x2＝，
x1x2＝，
∴|AB|＝·
＝2＝6，
整理得28k4－55k2＋25＝0，
∴k2＝或k2＝，
又1＜k＜，∴k＝，
所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2＝8.
设C(x3，y3)，由＝m(＋)，
得(x3，y3)＝m(x1＋x2，y1＋y2)＝(4m,8m)．
∵点C是双曲线上一点．
∴80m2－64m2＝1，得m＝±.
故k＝，m＝±.
[方法引航] 双曲线的综合问题主要是直线与双曲线的位置关系，解决此类问题的常用方法：①
设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程联立，消元后转化为关于x(或y)的一元方程，注意在二次项系数不为0的情况下，利用Δ讨论方程根的情况决定直线和双曲线交点个数；当二次项系数为0时，得到直线的斜率与双曲线的渐近线的斜率相等，此时直线与双曲线最多只有一个交点.②可以比较直线的倾斜角(或斜率)与渐近线的倾斜角(或斜率)的大小关系，得到直线与双曲线的交点情况.
双曲线C： － ＝1(a＞0，b＞0)的离心率为e＝，实轴长为2.
(1)求双曲线的方程．
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围；
(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值范围．
解：(1)设双曲线C的方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
由已知得：a＝，c＝2，再由a2＋b2＝c2，
得b2＝1，∴双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)设A(xA，yA)、B(xB，yB)，
将y＝kx＋代入－y2＝1，
得：(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由题意知
解得＜k＜1.
∴当＜k＜1时，l与双曲线左支有两个交点．
(3)由(2)得： xA＋xB＝，
∴yA＋yB＝(kxA＋)＋(kxB＋)
＝k(xA＋xB)＋2＝.
∴AB的中点P的坐标为.
设直线l0的方程为：y＝－x＋m，
将P点坐标代入直线l0的方程，得m＝.
∵＜k＜1，∴－2＜1－3k2＜0.
∴m＜－2.∴m的取值范围为(－∞，－2)．
[易错警示]
貌视存在的中点弦
[典例] 已知双曲线2x2－y2＝2，过点B(1,1)能否作直线l，使l与所给双曲线交于点Q1，Q2，且点B是弦Q1Q2的中点，若存在这样的直线l，求出它的方程；若不存在，说明理由．
[错解] 设Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)是双曲线上的两点，
则x1≠x2，且x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，由
两式相减并变形得＝2，
∴l存在且直线方程为y－1＝2(x－1)，
即2x－y－1＝0.
[错因分析] 通过数形分析发现所求得的直线与双曲线不一定有交点，对于这种情况要进行检验，在解析几何中凡是直线与圆锥曲线相交问题先考虑相交的前提，否则易产生错解．
[正解] 由错解可知可能存在的直线l的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0，与双曲线方程联立消去y得2x2－4x＋3＝0，而Δ＝－8<0，则方程无实根，即直线与双曲线无交点，故不存在满足条件的直线．
[警示] 利用“点差法”解题，其过程是无法保证直线与双曲线相交的，因此必须对所得直线方程的存在性进行验证．
[高考真题体验]
1．(2016·高考全国甲卷)已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为( )
A. B.
C. D．2
解析：选A.法一：由MF1⊥x轴，可得M，
∴|MF1|＝.由sin∠MF2F1＝，可得cos∠MF2F1＝＝，又tan∠MF2F1＝＝＝，∴＝，∴b2＝ac，∵c2＝a2＋b2⇒b2＝c2－a2，
∴c2－a2－ac＝0⇒e2－e－1＝0，∴e＝.故选A.
法二：由MF1⊥x轴，得M，∴|MF1|＝，由双曲线的定义可得|MF2|＝2a＋|MF1|＝2a＋，
又sin∠MF2F1＝＝＝⇒a2＝b2⇒a＝b，
∴e＝＝.故选A.
2．(2015·高考课标全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为________．
解析：法一：因为双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，故点(4，)在直线y
＝x的下方．设该双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，所以解得故双曲线方程为－y2＝1.
法二：因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，故可设双曲线为－y2＝λ(λ≠0)，又双曲线过点(4，)，所以－()2＝λ，所以λ＝1，故双曲线方程为－y2＝1.
答案：－y2＝1
3．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m＞0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为( )
A. B.m
C．3 D．3m
解析：选A.双曲线方程为－＝1，焦点F到一条渐近线的距离为b＝.
4．(2016·高考天津卷)已知双曲线－＝1(b＞0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选D.根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD为矩形．双曲线的渐近线方程y＝±x，圆的方程为x2＋y2＝4，不妨设交点A在第一象限，由y＝x，x2＋y2＝4得xA＝，yA＝，故四边形ABCD的面积为4xAyA＝＝2b，解得b2＝12，故所求的双曲线方程为－＝1，选D.
课时规范训练
A组 基础演练
1．已知F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，过F1作垂直于x轴的直线与双曲线相交，其中一个交点为P，则|PF2|＝( )
A．6 B．4
C．2 D．1
解析：选A.由题意令|PF2|－|PF1|＝2a，由双曲线方程可以求出|PF1|＝4，a＝1，所以|PF2|＝4＋2＝6.
2．双曲线x2－＝1的离心率大于的充分必要条件是( )
A．m＞ B．m≥1
C．m＞1 D．m＞2
解析：选C.∵双曲线x2－＝1的离心率e＝，
又∵e＞，∴＞，∴m＞1.
3．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选A.已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则c＝4，a＝2，b2＝12，双曲线方程为－＝1，故选A.
4．已知F1，F2为双曲线Ax2－By2＝1的焦点，其顶点是线段F1F2的三等分点，则其渐近线的方程为( )
A．y＝±2x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x 或y＝±x
解析：选D.依题意c＝3a，∴c2＝9a2.又c2＝a2＋b2，
∴＝8，＝2，＝.故选D.
5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：x＋2y
＋5＝0，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选A.∵双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：x＋2y＋5＝0，双曲线的一个焦点在直线l上，
∴解得a＝2，b＝，
∴双曲线方程为－＝1.故选A.
6．已知(2,0)是双曲线x2－＝1(b>0)的一个焦点，则b＝________.
解析：由题意得，双曲线焦点在x轴上，且c＝2.根据双曲线的标准方程，可知a2＝1.又c2＝a2＋b2，所以b2＝3.又b＞0，所以b＝.
答案：
7．双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于________．
解析：双曲线的一条渐近线方程为－＝0，即bx－ay＝0，焦点(c,0)到该渐近线的距离为＝＝，故b＝，结合＝2，c2＝a2＋b2得c＝2，则双曲线C的焦距为2c＝4.
答案：4
8．已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．
解析：抛物线y2＝8x的准线x＝－2过双曲线的一个焦点，所以c＝2，又离心率为2，所以a＝1，b＝＝，所以该双曲线的方程为x2－＝1.
答案：x2－＝1
9．过双曲线C：－＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)．求双曲线C的方程．
解：由双曲线C：－＝1，知右顶点(a,0)，不妨设双曲线C的一条渐近线为y＝x.
将x＝a代入上式，得交点A(a，b)，
记双曲线C的右焦点为F，则F(c,0)，
依题意，|OF|＝|FA|＝4，
∴解之得
故双曲线C的标准方程为－＝1.
10．设A，B分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t，求t的值及点D的坐标．
解：(1)由题意知a＝2，
∴一条渐近线为y＝x，即bx－2y＝0.
∴＝，结合c2＝a2＋b2＝b2＋12，
∴b2＝3，∴双曲线的方程为－＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，
则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0，
将直线方程代入双曲线方程得x2－16x＋84＝0，
则x1＋x2＝16，y1＋y2＝12.
∴∴
∴t＝4，点D的坐标为(4，3)．
B组 能力突破
1．以椭圆＋＝1的右焦点为圆心，且与双曲线－＝1的渐近线相切的圆的方程是( )
A．x2＋y2－10x＋9＝0 B．x2＋y2－10x－9＝0
C．x2＋y2＋10x＋9＝0 D．x2＋y2＋10x－9＝0
解析：选A.由于右焦点(5,0)到渐近线4x－3y＝0的距离d＝＝4，
所以所求的圆是圆心坐标为(5,0)，半径为4的圆．即圆的方程为x2＋y2－10x＋9＝0.
2．已知0＜θ＜，则双曲线C1：－＝1与C2：－＝1的( )
A．实轴长相等 B．虚轴长相等
C．焦距相等 D．离心率相等
解析：选D.双曲线C1：e＝＝，
双曲线C2：e＝＝1＋tan2θ＝，
∴C1，C2离心率相等．
3．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦点为F1，F2，且C上的点P满足·＝0，||＝3，||＝4，则双曲线C的离心率为( )
A. B.
C. D．5
解析：选D.由双曲线的定义可得2a＝|||－|||＝1，所以a＝；因为·＝0，所以⊥，所以(2c)2＝||2＋||2＝25，解得c＝.所以此双曲线的离心率为e＝
＝5，故D正确．
4．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为________．
解析：由定义，知|PF1|－|PF2|＝2a.
又|PF1|＝4|PF2|，∴|PF1|＝a，|PF2|＝a.
在△PF1F2中，由余弦定理，
得cos∠F1PF2＝＝－e2.
要求e的最大值，即求cos∠F1PF2的最小值，
∴当cos∠F1PF2＝－1时，得e＝，
即e的最大值为.
答案：
5．直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A、B.
(1)求实数k的取值范围；
(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
解：(1)将直线l的方程y＝kx＋1代入双曲线C的方程2x2－y2＝1后，整理得(k2－2)x2＋2kx＋2＝0.①
依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同的两点，
故
解得k的取值范围是－2＜k＜－.
(2)设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，
则由①式得②
假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0)．
则由FA⊥FB得：(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0.
即(x1－c)(x2－c)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0.
整理得(k2＋1)x1x2＋(k－c)(x1＋x2)＋c2＋1＝0.③
把②式及c＝代入③式化简得5k2＋2k－6＝0.
解得k＝－或k＝∉(－2，－)(舍去)，
可知存在k＝－使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点．
第7课时 抛物线
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程及其简单几何性质
标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
图形
顶点
(0,0)
对称轴
x轴
y轴
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
3.判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(×)
(2)抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是4.(×)
(3)若一抛物线过点P(－2,3)，其标准方程可写为y2＝2px(p＞0)．(×)
(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(×)
(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a＞0)的通径长为2a.(√)
(6)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.(×)
(7)抛物线y2＝2x的对称轴是y轴．(×)
(8)AB为抛物线y2＝2px(p＞0)的过焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.(√)
(9)点M到点F(4,0)的距离比它到直线l：x＋6＝0的距离小2，则M点的轨迹是抛物线，其方程为x2＝16y.(×)
(10)抛物线上的点到焦点的距离与它到准线的距离之比就是抛物线的离心率．(√)
考点一 抛物线的定义及应用
命题点
1.利用定义判断抛物线
2.利用定义转化抛物线上的点与焦点、准线的距离
[例1] (1)(2016·高考全国甲卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝( )
A. B．1
C. D．2
解析：由题意得点P的坐标为(1,2)．把点P的坐标代入y＝(k＞0)得k＝1×2＝2，故选D.
答案：D
(2)(2016·高考浙江卷)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y
轴的距离是________．
解析：由于抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线为x＝－1，设点M的坐标为(x，y)，则x＋1＝10，所以x＝9.故M到y轴的距离是9.
答案：9
(3)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．
解析：如图，过点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.
则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.
即|PB|＋|PF|的最小值为4.
答案：4
[方法引航] 涉及抛物线的焦半径(抛物线上的点与焦点的连线)、焦点弦的问题，应利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即|PF|＝|x|＋(焦点在x轴上)或|PF|＝|y|＋(焦点在y轴上).
1．若将本例(3)中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．
解：由题意可知点(3,4)在抛物线的外部．∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，
∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝＝＝2.即|PB|＋|PF|的最小值为2.
2．若将本例(3)中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值．
解：由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．
点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.
易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为
＝3，所以d1＋d2的最小值为3－1.
3．若将本例(1)改为：设F为抛物线y2＝2x的焦点，A、B、C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则||＋||＋||的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.依题意，设点A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，又焦点F，x1＋x2＋x3＝3×＝，则||＋||＋||＝＋＋＝(x1＋x2＋x3)＋＝＋＝3，选C.
考点二 抛物线的标准方程与性质
命题点
1.根据抛物线方程求焦点、准线
2.根据抛物线性质求其方程
3.抛物线的性质与其它曲线综合应用
[例2] (1)(2016·高考四川卷)抛物线y2＝4x的焦点坐标是( )
A．(0,2) B．(0,1)
C．(2,0) D．(1,0)
解析：∵抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为，
∴抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，故选D.
答案：D
(2)若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为________．
解析：∵c2＝9－5＝4，∴c＝2.∴椭圆＋＝1的右焦点为(2,0)，∴＝2，则抛物线的准线方程为x＝－2.
答案：x＝－2
(3)设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )
A．y2＝±4x B．y2＝±8x
C．y2＝4x D．y2＝8x
解析：直线方程为y＝2，令x＝0，得y＝－，
故有4＝·||·|－|＝，∴a＝±8，∴y2＝±8x.
答案：B
(4)已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|等于( )
A．2∶ B．1∶2
C．1∶ D．1∶3
解析：如图由抛物线定义知M到F的距离等于M到准线l的距离MH.
即|FM|∶|MN|＝|MH|∶|MN|＝|FO|∶|AF|＝1∶.
答案：C
[方法引航] (1)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性.
(2)求抛物线方程应注意的问题
①当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种.
②要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系.
③要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题.
1．抛物线y＝x2的准线方程是( )
A．y＝－1 B．y＝－2
C．x＝－1 D．x＝－2
解析：选A.由y＝x2得x2＝4y，焦点在y轴正半轴上，且2p＝4，即p＝2，因此准线方程为y＝－＝－1.故选A.
2．点M(5,3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是( )
A．x2＝y B．x2＝y或x2＝－y
C．x2＝－y D．x2＝12y或x2＝－36y
解析：选D.将y＝ax2化为x2＝y.
当a＞0时，准线y＝－，则3＋＝6，∴a＝.
当a＜0时，准线y＝－，则＝6，∴a＝－.
所以抛物线方程为x2＝12y或x2＝－36y.
3．如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A、B、C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的标准方程是________．
解析：分别过点A、B作准线的垂线AE、BD交准线于点E、D，则|BF|＝|BD|，
∵|BC|＝2|BF|，
∴|BC|＝2|BD|，∴∠BCD＝30°，又∵|AE|＝|AF|＝3，∴|AC|＝6，即点F为AC的中点，根据题意得p＝，
∴抛物线的标准方程为y2＝3x.
答案：y2＝3x
考点三 直线与抛物线的位置关系
命题点
1.抛物线的焦点弦问题
2.抛物线的一般弦问题
[例3] (1)(2017·河北石家庄二模)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，M为抛物线C的准线与x轴的交点，若tan∠AMB＝2，则|AB|＝( )
A．4 B．8
C．3 D．10
解析：如图，F(1,0)，设l：x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由⇒y2－4my－4＝0，∴y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，∴x1x2＝·＝1，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2，又∵tan∠AMB＝tan(∠AMF＋∠BMF)，
∴＝2.
即＝2⇒y1－y2＝4m2，
∴4＝4m2⇒m2＝1，
∵|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝4m2＋4＝8.
答案：B
(2)(2016·高考全国乙卷)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p＞0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.
①求；
②除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．
解：①由已知得M(0，t)，P.
又N为M关于点P的对称点，故N，
所以ON的方程为y＝x，将其代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0，解得x1＝0，x2＝.
因此H.
所以N为OH的中点，即＝2.
②直线MH与C除H以外没有其他公共点．
理由如下：
直线MH的方程为y－t＝x，即x＝(y－t)．
代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y2＝2t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外，直线MH与C没有其他公共点．
[方法引航] (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.
(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.,提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.
1．过抛物线y2＝8x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交抛物线的准线于C，若|AF|＝6，＝λ，则λ的值为( )
A. B.
C. D．3
解析：选D.设A(x1，y1)(y1＞0)，B(x2，y2)，C(－2，y3)，则x1＋2＝6，解得x1＝4，则y1＝4，则直线AB的方程为y＝2(x－2)，令x＝－2，得C(－2，－8)，
联立
解得或
则B(1，－2)，
∴|BF|＝1＋2＝3，|BC|＝9，∴λ＝3，故选D.
2．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过点C(－2,0)的直线l交抛物线于A、B两点，坐标原点为O，·＝12.
(1)求抛物线的方程；
(2)当以AB为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程．
解：(1)设l：x＝my－2，代入y2＝2px，
得y2－2pmy＋4p＝0.(*)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，则x1x2＝＝4.
因为·＝12，所以x1x2＋y1y2＝12，即4＋4p＝12，
得p＝2，抛物线的方程为y2＝4x.
(2)(1)中(*)式可化为y2－4my＋8＝0，
y1＋y2＝4m，y1y2＝8.
设AB的中点为M，
则|AB|＝2xM＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4， ①
又|AB|＝ |y1－y2|＝ ，②
由①②得(1＋m2)(16m2－32)＝(4m2－4)2，
解得m2＝3，m＝±.
所以，直线l的方程为x＋y＋2＝0或x－y＋2＝0.
[方法探究]
抛物线的“焦点”访谈
直线与抛物线相交，当直线过焦点时，经常用到一些特殊的结论：
设AB为过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦(称为焦点弦)，F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则有：
(1)x1x2＝；
(2)y1y2＝－p2；
(3)弦长|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥2＝p，当且仅当x1＝x2时，弦长最短为2p(称为通径)；
(4)弦长|AB|＝(α为AB的倾斜角)；
(5)＋＝；
(6)以AB为直径的圆与准线相切；
(7)焦点F对A，B在准线上的射影的张角为90°.
[典例] 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为( )
A. B.
C. D．2
[解析] 法一：如图所示，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，又|AF|＝3，由抛物线定义知：点A到准线x＝－1的距离为3，
∴点A的横坐标为2.将x＝2代入y2＝4x得y2＝8，由图知点A的纵坐标y＝2，∴A(2,2)，
∴直线AF的方程为y＝2(x－1)．
联立直线与抛物线的方程
解得或由图知B，
∴S△AOB＝|OF|·|yA－yB|
＝×1×|2＋|＝.故选C.
法二：若得出yA＝2，
∴由yA·yB＝－p2＝－4，∴yB＝－，
S△AOB＝|OF|·|yA－yB|＝.
法三：由题意，抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为l：x＝－1，可得A点的横坐标为2，不妨设A(2，2)，则S△OAF＝，又知00)交于M，N两点．
(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由．
解：(1)由题设可得M(2，a)，N(－2，a)，
或M(－2，a)，N(2，a)．
又y′＝，故y＝在x＝2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为y－a＝(x－2)，
即x－y－a＝0.
y＝在x＝－2处的导数值为－，C在点(－2，a)处的切线方程为y－a＝－(x＋2)，
即x＋y＋a＝0.
故所求切线方程为x－y－a＝0和x＋y＋a＝0.
(2)存在符合题意的点．证明如下：
设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.
将y＝kx＋a代入C的方程，得x2－4kx－4a＝0.
故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a.
从而k1＋k2＝＋
＝＝.
当b＝－a时，有k1＋k2＝0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，
故∠OPM＝∠OPN，所以点P(0，－a)符合题意．
课时规范训练
A组 基础演练
1．抛物线y＝－x2的焦点坐标是( )
A. B.
C. D.
解析：选C.把原方程先化为标准方程x2＝－2y，则2p＝2，∴＝，即焦点坐标为，故选C.
2．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝2，|PQ|＝4，则抛物线的方程是( )
A．y2＝4x B．y2＝8x
C．y2＝2x D．y2＝6x
解析：选A.由抛物线的定义知|PQ|＝x1＋x2＋p＝4，又x1＋x2＝2，所以p＝2，即抛物线的方程是y2＝4x.故选A.
3．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )
A. B．1
C. D.
解析：选C.∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋＝3，
∴xA＋xB＝.
∴线段AB的中点到y轴的距离为＝.
4．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )
A．－ B．－1
C．－ D．－
解析：选C.∵点A(－2,3)在抛物线C的准线上，∴＝2，∴抛物线的焦点F的坐标为(2,0)．
又A(－2,3)，根据斜率公式得kAF＝＝－.
5．抛物线y＝2x2上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称．若2x1x2＝－1，则2m的值是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选A.由＝－1，＝＋m,2x1x2＝－1，以及y1＝2x，y2＝2x可得x2－x1＝y1－y2＝2(x－x)，x1＋x2＝－，2m＝(y1＋y2)－(x1＋x2)＝2(x＋x)＋＝2(x1＋x2)2－4x1x2＋＝2×＋2＋＝3，故选A.
6．若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P的轨迹方程是________．
解析：由题意可知点P到直线y＝－3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y＝－3为准线的抛物线，且p＝6，所以其标准方程为x2＝12y.
答案：x2＝12y
7．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________.
解析：设A(x0，y0)，由抛物线定义知x0＋1＝2，
∴x0＝1，则直线AB⊥x轴，∴|BF|＝|AF|＝2.
答案：2
8．若抛物线x2＝ay过点A，则点A到此抛物线的焦点的距离为________．
解析：由题意可知，点A在抛物线x2＝ay上，所以1＝a，解得a＝4，得x2＝4y.由抛物线的定义可知点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，所以点A到抛物线的焦点的距离为yA＋＝＋1＝.
答案：
9．设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明：直线AC经过原点O.
证明：法一：设AB：x＝my＋，代入y2＝2px，得y2－2pmy－p2＝0.
由根与系数的关系，得yAyB＝－p2，即yB＝－.
∵BC∥x轴，且C在准线x＝－上，∴C.
则kOC＝＝＝＝·＝＝kOA.
∴直线AC经过原点O.
法二：如图，设准线l与x轴的交点为E，过A作AD⊥l，垂足为D.
则AD∥EF∥BC.连接AC交EF于点N，则
＝＝，
＝.
∵|AF|＝|AD|，|BF|＝|BC|，
∴|EN|＝＝＝|NF|，
即N是EF的中点，从而点N与点O重合，故直线AC经过原点O.
10．如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．
解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)．
∵点P(1,2)在抛物线上，∴22＝2p×1，解得p＝2.故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.
(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则kPA＝(x1≠1)，kPB＝(x2≠1)，
∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，∴kPA＝－kPB.
由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得y＝4x1，①
y＝4x2，②
∴＝－，∴y1＋2＝－(y2＋2)．
∴y1＋y2＝－4.
由①－②得，y－y＝4(x1－x2)，
∴kAB＝＝＝－1(x1≠x2)．
B组 能力突破
1．如图，抛物线C1：y2＝2px和圆C2：2＋y2＝，其中p＞0，直线l经过C1的焦点，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则·的值为( )
A．p2 B.
C D.
解析：选B.设抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，D(x2，y2)，则|AB|＝|AF|－|BF|＝x1＋－＝x1，
同理|CD|＝x2.
故·＝|AB||CD|＝x1·x2＝.
2．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝( )
A. B．6
C．12 D．7
解析：选C.∵F为抛物线C：y2＝3x的焦点，∴F，
∴AB的方程为y－0＝tan 30°，即y＝x－.
联立得x2－x＋＝0.
∴x1＋x2＝－＝，即xA＋xB＝.
由于|AB|＝xA＋xB＋p，所以|AB|＝＋＝12.
3．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，直线x－2y＋4＝0与C交于A、B两点，则sin∠AFB＝( )
A. B.
C. D.
解析：选B.由抛物线方程可知焦点F的坐标为(0,1)．联立直线与抛物线方程，得解得或令A(－2,1)，则B(4,4)，∴|AB|＝＝3，|AF|＝＝2，|BF|＝＝5，∴在△ABF中，cos ∠AFB＝＝＝－，∴sin ∠AFB＝ ＝，故选B.
4．已知AB是抛物线x2＝4y的一条焦点弦，若该弦的中点纵坐标是3，则弦AB所在的直线方程是__________．
解析：法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝m(y－1)，由抛物线的定义及题设可得，y1＋y2＝6，直线与抛物线方程联立消去x可得m2y2－(2m2＋4)y＋m2＝0.∴y1＋y2＝，即6＝，可得m＝1或m＝－1.故直线方程为x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.
法二：|AB|＝y1＋y2＋p＝6＋2＝8.
而|AB|＝，∴sin2α＝，即sin α＝.
α＝45°或135°，∴k＝1或－1.
AB的方程为y－1＝x，或y－1＝－x.
答案：y－1＝x或y－1＝－x
5．已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.
(1)求曲线C的方程；
(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有·<0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：(1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足：－x＝1(x>0)．
化简得y2＝4x(x>0)．
(2)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
设l的方程为x＝ty＋m，由得
y2－4ty－4m＝0，
Δ＝16(t2＋m)>0，于是①
又＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，
·<0⇔
(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2<0.②
又x＝，于是不等式②等价于·＋y1y2－＋1<0⇔＋y1y2－[(y1＋y2)2－2y1y2]＋1<0.③
由①式，不等式③等价于m2－6m＋1<4t2.④
对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2－6m＋1<0，即3－24(为保证有4条，在k存在时，y0≠0)，
所以42，即m2＋n2<4.
∴＋<＋＝1－m2<1，
∴点(m，n)在椭圆＋＝1的内部，
∴过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点有2个，故选B.
2．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a等于( )
A. B.
C. D．4
解析：选C.由得x－ax2－1＝0，∵直线与抛物线相切，∴Δ＝1－4a＝0，∴a＝.
考点二 直线与圆锥曲线相交弦的问题
命题点
1.求弦长问题
2.弦中点问题
[例2] (2017·河南洛阳一模)已知过点M的直线l与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，且·＝－3，其中O为坐标原点．
(1)求p的值；
(2)若圆x2＋y2－2x＝0与直线l相交于C，D(A，C两点均在第一象限)，且线段AC，CD，DB的长构成等差数列，求直线l的方程．
解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l：x＝my＋，代入抛物线方程，消去x，得y2－2pmy－p2＝0，y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2，由于·＝－3，即x1x2＋y1y2＝－3，
x1x2＝·＝，
即有－p2＝－3，解得p＝2.
(2)由(1)得，y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，
则(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝16(1＋m2)，
|AB|2＝(y1－y2)2＋(x1－x2)2
＝(y1－y2)2＋2
＝(y1－y2)2
＝16(1＋m2)2，即有|AB|＝4(1＋m2)，
如图，由于线段AC，CD，DB的长构成等差数列，则2|CD|＝|AC|＋|DB|＝|AC|＋|BC|－|CD|＝|AB|－|CD|，
又CD为圆x2＋y2－2x＝0的直径，即有|CD|＝2，
则4(1＋m2)＝6，解得m＝±，
则直线l的方程是x＋y－＝0或x－y－＝0.
[方法引航] 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.
[例3] (1)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解：因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝(x－3)，代入椭圆方程＋＝1消去y，得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，所以AB的中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，a＝3，选D.
答案：D
(2)已知(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，则l
的方程是________．
解析：设直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则＋＝1，且＋＝1，
两式相减得＝－.
又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，所以＝－，
故直线l的方程为y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0.
答案：x＋2y－8＝0
[方法引航] 处理中点弦问题常用的求解方法,(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率.
(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.
1．如图所示，在直角坐标系xOy中，点P到抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB的中点Q(m，n)在直线OM上．
(1)求曲线C的方程及t的值；
(2)记d＝，求d的最大值．
解：(1)y2＝2px(p＞0)的准线x＝－，
∴1－＝，p＝，
∴抛物线C的方程为y2＝x.
又点M(t,1)在曲线C上，∴t＝1.
(2)由(1)知，点M(1,1)，从而n＝m，即点Q(m，m)，
依题意，直线AB的斜率存在，且不为0，
设直线AB的斜率为k(k≠0)．
且A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2，故k·2m＝1，
所以直线AB的方程为y－m＝(x－m)，
即x－2my＋2m2－m＝0.
由消去x，
整理得y2－2my＋2m2－m＝0，
所以Δ＝4m－4m2＞0，y1＋y2＝2m，y1y2＝2m2－m.
从而|AB|＝ ·|y1－y2|＝·
＝2
∴d＝＝2≤m＋(1－m)＝1，
当且仅当m＝1－m，即m＝时，上式等号成立，
又m＝满足Δ＝4m－4m2＞0.∴d的最大值为1.
2．(2017·江西兴国一模)椭圆ax2＋by2＝1与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.联立椭圆方程与直线方程，得ax2＋b(1－x)2＝1，(a＋b)x2－2bx＋b
－1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，y1＋y2＝1－x1＋1－x2＝2－＝，AB中点坐标为，AB中点与原点连线的斜率＝＝，故选A.
3．椭圆＋y2＝1的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是__________．
解析：设弦的两个端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝1，y1＋y2＝1.
∵A，B在椭圆上，
∴＋y＝1，＋y＝1，两式相减得，
＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
即＝－＝－，
即直线AB的斜率为－.
∴直线AB的方程为y－＝－，
即2x＋4y－3＝0.
答案：2x＋4y－3＝0
考点三 定点、定值问题
命题点
1.求证(探索)量的定值问题
2.求(直线)曲线过定点问题
[例4] (1)(2016·高考北京卷)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，A(a,0) ，B(0，b)，O(0,0)，△OAB的面积为1.
①求椭圆C的方程；
②设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.
求证：|AN|·|BM|为定值．
解：①由题意得解得a＝2，b＝1.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
②证明：由①知，A(2,0)，B(0,1)．
设P(x0，y0)，则x＋4y＝4.
当x0≠0时，直线PA的方程为y＝(x－2)．
令x＝0，得yM＝－，从而|BM|＝|1－yM|＝|1＋|.
直线PB的方程为y＝x＋1.
令y＝0，得xN＝－，从而|AN|＝|2－xN|＝|2＋|.
所以|AN|·|BM|＝·
＝
＝＝4.
当x0＝0时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2，
所以|AN|·|BM|＝4.
综上，|AN|·|BM|为定值．
[方法引航] 求定值问题常见的方法有两种
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
1．如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率是，点P(0,1)在短轴CD上，且·＝－1.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点，是否存在常数λ，使得·＋λ·为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，－b)，(0，b)．
又点P的坐标为(0,1)，且·＝－1，
于是解得a＝2，b＝.
所以椭圆E的方程为＋＝1.
(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1，点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．
联立得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0.
其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)＞0，
所以，x1＋x2＝－，x1x2＝－.
从而，·＋λ·
＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)]
＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1
＝
＝－－λ－2，
所以，当λ＝1时，－－λ－2＝－3.
此时，·＋λ·＝－3为定值．
当直线AB的斜率不存在时，直线AB即直线CD.
此时，·＋λ·＝·＋·＝－2－1＝－3.
故存在常数λ＝1，使得·＋λ·为定值－3.
2．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F(1,0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线OA，OB的斜率之积为－，求证：直线AB过x轴上一定点．
解：(1)因为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为(1,0)，所以＝1，所以p＝2.
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)证明：①当直线AB的斜率不存在时，
设A，B.
因为直线OA，OB的斜率之积为－，
所以·＝－，化简得t2＝32.
所以A(8，t)，B(8，－t)，此时直线AB的方程为x＝8.
②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋b，A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立得化简得ky2－4y＋4b＝0.
根据根与系数的关系得yAyB＝，
因为直线OA，OB的斜率之积为－，
所以·＝－，即xAxB＋2yAyB＝0.
即·＋2yAyB＝0，
解得yAyB＝0(舍去)或yAyB＝－32.
所以yAyB＝＝－32，即b＝－8k，所以y＝kx－8k，
即y＝k(x－8)．
综上所述，直线AB过x轴上一定点(8,0)．
3．(2017·湖南长沙一中月考)已知圆A：x2＋(y＋1)2＝1，圆B：(x－4)2＋(y－3)2＝1.
(1)过A的直线l被圆B所截得的弦长为，求直线l的斜率；
(2)动圆P同时平分圆A与圆B的周长．
①求动圆圆心P的轨迹方程；
②问动圆P是否过定点？若经过，则求出定点坐标；若不经过，请说明理由．
解：(1)设直线l的方程为y＝kx－1，由题意可得圆心B(4,3)到直线l的距离为＝ ，
化简得12k2－25k＋12＝0，
解得k＝或.
(2)①由题意得PA＝PB，则P在AB的中垂线上，所以动圆圆心P的轨迹方程为x＋y－3＝0.
②过定点．设P(m,3－m)，⊙P的半径为r，则r2＝PA2＋12＝m2＋(3－m＋1)2＋1，
故圆P的方程为(x－m)2＋[y＋(m－3)]2＝m2＋(3－m＋1)2＋1，
化简得x2＋y2－6y－8－2m(x－y－1)＝0，由得两个定点为
，.
考点四 存在性与范围问题
命题点
1.探索几何元素的存在性
2.探索结论的存在性
3.求范围问题
[例5] 已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，
l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.
(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
(2)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．
解：(1)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．
将y＝kx＋b代入9x2＋y2＝m2，
得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，
故xM＝＝，
yM＝kxM＋b＝.
于是直线OM的斜率kOM＝＝－，即kOM·k＝－9.
所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
(2)四边形OAPB能为平行四边形．
因为直线l过点，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3.
由(1)得OM的方程为y＝－x.
设点P的横坐标为xP.
由得x＝，即xP＝.
将点的坐标代入直线l的方程得
b＝，
因此xM＝.
四边形OAPB为平行四边形，当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP＝2xM.
于是＝2×，解得
k1＝4－，k2＝4＋.
因为ki＞0，ki≠3，i＝1,2，所以当直线l的斜率为4－或4＋时，四边形OAPB为平行四边形．
[方法引航] 存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.
(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论.
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.
(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径.
[例6] (2017·河南洛阳统考)已知椭圆的中心是坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为，坐标原点O到过右焦点F且斜率为1的直线的距离为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设过右焦点F且与坐标轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点，在线段OF上是否存在点M(m,0)，使得|MP|＝|MQ|？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：(1)设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，F(c,0)(c＞0)，由坐标原点O到直线x－y－c＝0的距离为，
得＝，解得c＝1.
又e＝＝，故a＝，b＝1.
∴所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)假设存在点M(m,0)(0＜m＜1)满足条件，则以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形．
∵直线l与x轴不垂直，
∴设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
Δ＞0恒成立，∴x1＋x2＝，x1x2＝.
设线段PQ的中点为N(x0，y0)，
则x0＝＝，y0＝k(x0－1)＝.
∵|MP|＝|MQ|，∴MN⊥PQ，∴kMN·kPQ＝－1，
即·k＝－1，
∴m＝＝.
∵k2＞0，∴0＜m＜.
[方法引航] 圆锥曲线中最值问题的解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值.
1．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点P(0,1)和点A(m，n)(m≠0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M.
(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)；
(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．
解：(1)由题意得
解得a2＝2.
故椭圆C的方程为＋y2＝1.
设M(xM,0)．
因为m≠0，所以－1＜n＜1，
直线PA的方程为y－1＝x.
所以xM＝，即M.
(2)因为点B与点A关于x轴对称，所以B(m，－n)．
设N(xN,0)，则xN＝.
“存在点Q(0，yQ)使得∠OQM＝∠ONQ”等价于“存在点Q(0，yQ)使得＝”，
即yQ满足y＝|xM||xN|.
因为xM＝，xN＝，＋n2＝1，
所以y＝|xM||xN|＝＝2.
所以yQ＝或yQ＝－.
故在y轴上存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ，且点Q的坐标为(0，)或(0，－)．
2．(2017·贵州贵阳检测)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且椭圆C上的点到一个焦点的距离的最小值为－.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知过点T(0,2)的直线l与椭圆C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E，使∠AEB＝90°，求直线l的斜率k的取值范围．
解：(1)设椭圆的半焦距长为c，则由题设有：
，
解得：a＝，c＝，∴b2＝1，
故椭圆C的方程为＋x2＝1.
(2)由已知可得，以AB为直径的圆与x轴有公共点．
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB中点为M(x0，y0)，
将直线l：y＝kx＋2代入＋x2＝1，得
(3＋k2)x2＋4kx＋1＝0，
Δ＝12k2－12，
∴x0＝＝，y0＝kx0＋2＝，
|AB|＝ ＝，
∴，
解得：k4≥13，即k≥或k≤－.
[易错警示]
相交与相切的争执——同样只有一个交点
[典例] 已知点A(0,2)和双曲线x2－＝1，过点A与双曲线只有一个交点的直线的条数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[正解] 设过点A(0,2)的直线为y＝kx＋2.
由得(4－k2)x2－4kx－8＝0，
当k2＝4即k＝±2时，方程只有一解，即直线与双曲线只有一个交点．
当k2≠4，方程有一解时，
Δ＝(－4k)2－4×(4－k2)×(－8)＝0.
∴k2＝8，∴k＝±2，为切线的斜率．共有4条直线．
[答案] D
[易误] 得出方程(4－k2)x2－4kx－8＝0后，不考虑k2＝4，直接由Δ＝0，得k＝±2.从而错选B.
[警示] 直线与双曲线只有一个交点时，该直线可与双曲线相切(Δ＝0)，也可与其渐近线平行，故一个交点不一定是相切关系，注意数形结合法的应用．
[高考真题体验]
1．(2014·高考课标全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.易知直线AB的方程为y＝，与y2＝3x联立并消去x得4y2－12y－9＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝3，y1y2＝－.S△OAB＝|OF|·|y1－y2|＝×＝
＝.故选D.
2．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选D.直线AB的斜率k＝＝，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
①－②得＝－·.
则k＝－×，
∴＝.③
又a2－b2＝c2＝9，④
由③④得a2＝18，b2＝9.
所以椭圆E的方程为＋＝1，故选D.
3．(2015·高考湖南卷)已知抛物线C1：x2＝4y的焦点F也是椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．
(1)求C2的方程；
(2)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率．
解：(1)由C1：x2＝4y知其焦点F的坐标为(0,1)．因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2－b2＝1.①
又C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x2＝4y，
由此易知C1与C2的公共点的坐标为，所以＋＝1.②
联立①②，得a2＝9，b2＝8.
故C2的方程为＋＝1.
(2)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)．
因与同向，且|AC|＝|BD|，所以＝，从而x3－x1＝x4－x2，即x1－x2＝x3－x4，于是
(x1＋x2)2－4x1x2＝(x3＋x4)2－4x3x4.③
设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1.
由得x2－4kx－4＝0.
而x1，x2是方程的两根，
所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.④
由得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0.
而x3，x4是此方程的两根，
所以x3＋x4＝－，x3x4＝－.⑤
将④⑤代入③，得16(k2＋1)＝＋，
即16(k2＋1)＝，
所以(9＋8k2)2＝16×9，
解得k＝±，即直线l的斜率为±.
4．(2016·高考北京卷)已知椭圆C：＋＝1过A(2,0)，B(0,1)两点．
(1)求椭圆C的方程及离心率；
(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：四边形ABNM的面积为定值．
解：(1)由题意得，a＝2，b＝1.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
又c＝＝，
所以离心率e＝＝.
(2)证明：设P(x0，y0)(x0＜0，y0＜0)，则x＋4y＝4.
又A(2,0)，B(0,1)，
所以，直线PA的方程为y＝(x－2)．
令x＝0，得yM＝－，从而|BM|＝1－yM＝1＋.
直线PB的方程为y＝x＋1.
令y＝0，得xN＝－，
从而|AN|＝2－xN＝2＋.
所以四边形ABNM的面积
S＝|AN|·|BM|
＝
＝
＝＝2.
从而四边形ABNM的面积为定值．
课时规范训练
A组 基础演练
1．设AB为过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为( )
A. B．p
C．2p D．无法确定
解析：选C.当弦AB垂直于对称轴时|AB|最短，
这时x＝，∴y＝±p，|AB|min＝2p.
2．若椭圆＋＝1(m＞n＞0)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有相同的焦点F1和F2，P是两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|＝( )
A．m－a B.
C．m2－a2 D.－
解析：选A.由已知可得|PF1|＋|PF2|＝2，||PF1|－|PF2||＝2，于是，|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝4m，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4a，所以|PF1|·|PF2|＝m－a，故选A.
3．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为( )
A．2 B．2
C．2 D．4
解析：选C.设P(x0，y0)，则|PF|＝x0＋＝4，
∴x0＝3，
∴y＝4x0＝4×3＝24，∴|y0|＝2.
∵F(，0)，∴S△POF＝|OF|·|y0|
＝××2＝2.
4．已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点P在双曲线上，则双曲线的离心率是( )
A．4＋2 B.－1
C. D.＋1
解析：选D.因为MF1的中点P在双曲线上，|PF2|－|PF1|＝2a，
△MF1F2为正三角形，边长都是2c，所以c－c＝2a，
所以e＝＝＝＋1，故选D.
5．经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点，设O为坐标原点，则·等于( )
A．－3 B．－
C．－或－3 D．±
解析：选B.依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y－0＝tan 45°(x－1)，即y＝x－1，代入椭圆方程＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝，所以两个交点坐标分别为A(0，－1)，B，∴·＝－，同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得·＝－.
6．若经过点A(4,0)的直线l与圆(x－2)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为________．
解析：由题可设直线方程为y＝k(x－4)，即：kx－y－4k＝0，因为直线与圆有公共点，所以，圆心到直线的距离小于或等于半径，即：d＝≤1，解得：－≤k≤.
答案：
7．已知F1、F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.
解析：由题意知(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)
＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋2a，
又由a＝5，可得|AB|＋(|BF2|＋|AF2|)＝20，
即|AB|＝8.
答案：8
8．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若＝，则p＝________.
解析：设直线AB的方程为y＝x－，代入y2＝2px得3x2＋(－6－2p)x＋3＝0，
又∵＝，
∴1＋＝xB－1，即xB＝2＋，则yB＝xB－＝p＋，将(xB，yB)代入C：y2＝2px，
得p2＋4p－12＝0，
解得p＝2，p＝－6(舍去)．
答案：2
9．已知抛物线y＝x2上存在两个不同的点M，N关于直线l：y＝－kx＋对称，求k的取值范围．
解：由题意知k≠0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)是曲线上关于直线l对称的两点，则MN的方程可设为y＝x＋b(b＞0)，代入y＝x2，得x2－x－b＝0，
所以Δ＝＋4b＞0，①
x1＋x2＝.
设MN中点的坐标为(x0，y0)，则x0＝，y0＝＋b，
因为(x0，y0)在直线l：y＝－kx＋上，
所以＋b＝－k·＋，所以b＝4－.②
将②代入①，得＋16－＞0.
所以＜16，即k2＞，所以k＞或k＜－.
10．如图，已知抛物线C：x2＝4y，过点M(0,2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)．
(1)证明：动点D在定直线上；
(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y＝2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2.证明：|MN2|2－|MN1|2为定值，并求此定值．
证明：(1)依题意可设直线AB的方程为y＝kx＋2，代入x2＝4y，得x2＝4(kx＋2)，即x2－4kx－8＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2＝－8，
直线AO的方程为y＝x，直线BD的方程为x＝x2.
解得交点D的坐标为，
注意到x1x2＝－8及x＝4y1，则有y＝＝＝－2.
因此D点在定直线y＝－2上(x≠0)．
(2)依题意知，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为y＝ax＋b(a≠0)，代入x2＝4y得x2＝4(ax＋b)，即x2－4ax－4b＝0，由Δ＝0得(4a)2＋16b＝0，化简整理得b＝－a2.
故切线l的方程可写为y＝ax－a2.
分别令y＝2，y＝－2得N1、N2的坐标为
N1，N2，
则|MN2|2－|MN1|2＝2＋42－2＝8，
即|MN2|2－|MN1|2为定值8.
B组 能力突破
1．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )
A. B．5
C. D.
解析：选D.双曲线－＝1的一条渐近线为y＝x，由方程组消去y得，x2－x
＋1＝0有唯一解，
所以Δ＝2－4＝0，＝2，
e＝＝＝＝.
2．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为( )
A．2 B.
C. D.
解析：选C.设直线l为y＝x＋t，椭圆与直线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，
则有x1＋x2＝－t，x1x2＝.
∴|AB|＝|x1－x2|
＝·＝，当t＝0时，|AB|max＝.
3．椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选B.椭圆的左顶点为A1(－2,0)、右顶点为A2(2,0)，
设点P(x0，y0)，则＋＝1，得＝－.
又kPA2＝，kPA1＝，
所以kPA2·kPA1＝＝－.
又因为kPA2∈[－2，－1]，
所以kPA1∈.
4．已知双曲线x2－＝1上存在两点M，N关于直线y＝x＋m对称，且MN的中点在抛物线y2＝18x上，则实数m的值为________．
解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，
则
由②－①得(x2－x1)(x2＋x1)＝(y2－y1)·(y2＋y1)，显然x1≠x2.
∴·＝3，即kMN·＝3，
∵M，N关于直线y＝x＋m对称，
∴kMN＝－1，∴y0＝－3x0，
又∵y0＝x0＋m，
∴P，代入抛物线方程得
m2＝18·，
解得m＝0或－8，经检验都符合．
答案：0或－8
5．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个焦点恰好与抛物线y2＝4x的焦点重合．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆的上顶点为A，过点A作椭圆C的两条动弦AB，AC，若直线AB，AC斜率之积为，直线BC是否一定经过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由．
解：(1)设椭圆C的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，则e＝＝，c＝1，故a2＝2，b2＝1，椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知A(0,1)，
当直线BC的斜率不存在时，设BC：x＝x0，设B(x0，y0)，则C(x0，－y0)，
kAB·kAC＝·＝＝＝≠，不合题意．
故直线BC的斜率存在．设直线BC的方程为：y＝kx＋m(m≠1)，并代入椭圆方程，得：
(1＋2k2)x2＋4kmx＋2(m2－1)＝0，①
由Δ＝(4km)2－8(1＋2k2)(m2－1)＞0得
2k2－m2＋1＞0.②
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1，x2是方程①的两根，由根与系数的关系得，
x1＋x2＝－，x1·x2＝，
由kAB·kAC＝·＝得：
4y1y2－4(y1＋y2)＋4＝x1x2，
即(4k2－1)x1x2＋4k(m－1)(x1＋x2)＋4(m－1)2＝0，整理得(m－1)(m－3)＝0，又因为m≠1，所以m＝3，此时直线BC的方程为y＝kx＋3.
所以直线BC恒过一定点(0,3)．
第9课时 曲线与方程
1．曲线与方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．
2．求动点的轨迹方程的一般步骤
(1)建系——建立适当的坐标系．
(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)．
(3)列式——列出动点P所满足的关系式．
(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简．
(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．
3．求动点轨迹方程的常用方法
(1)直接法．即根据题目条件，写出关于动点的几何关系并用坐标表示，再进行整理、化简．
(2)定义法．先根据已知条件判断动点的轨迹形状，然后根据曲线的定义直接求动点的轨迹方程．
(3)代入法．也叫相关点法，其特点是，动点M(x，y)与已知曲线C上的点(x′，y′)相关联，可先用x，y表示x′、y′，再代入曲线C的方程，即得点M的轨迹方程．
(4)参数法．选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标(x，y)，消去参数，即得其普通方程．
4．判断下列结论的正误(正确的打“√”错误的打“×”)
(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．(√)
(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．(×)
(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.(×)
(4)方程y＝与x＝y2表示同一曲线．(×)
(5)y＝kx与x＝y表示同一直线．(×)
(6)＝0表示直线x＋y＋1＝0位于x轴上方的部分．(×)
(7)在△ABC中，A(0,2)，B(－1,0)，C(1,0)则BC边的中线的方程为x＝0.(×)
(8)在Rt△ABC中，斜边BC为定值，直角顶点A的轨迹是以BC为直径的圆．(×)
(9)A(－2,0)，B(1,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|，P点的轨迹是圆．(√)
(10)A(－2,0)，B(1,0)动点P满足|PA|2＋|PB|2＝9，P点的轨迹是椭圆．(×)
考点一 定义法求轨迹(方程)
命题点
圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义
[例1] (1)与y轴相切并与圆C：x2＋y2－6x＝0也相切的圆的圆心的轨迹方程为________．
解析：当动圆在y轴右侧时，如图，动圆圆心P到(3,0)的距离等于P到定直线x＝－3的距离(3＋r)，
所以P点的轨迹是以(3,0)为焦点的抛物线．
其方程为y2＝12x(x＞0)．
当动圆在y轴左侧时，其圆心在x轴的负半轴上，其方程为y＝0(x＜0)．
答案：y2＝12x(x＞0)或y＝0(x＜0)
(2)已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且|O1O2|＝4.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．
解：如图所示，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
由|O1O2|＝4，得O1(－2,0)、O2(2,0)．设动圆M的半径为r，则由动圆M与圆O1内切，有|MO1|＝r－1；
由动圆M与圆O2外切，有|MO2|＝r＋2.
∴|MO2|－|MO1|＝3.
∴点M的轨迹是以O1、O2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支．
∴a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝.
∴点M的轨迹方程为－＝1(x≤－)．
[方法引航] 在利用圆锥曲线定义求轨迹时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程，若所求轨迹是某种圆锥曲线上的特定点的轨迹，则利用圆锥曲线的定义列出等式，化简求得方程，同时注意变量范围.
1．已知点F，直线l：x＝－，点B是l上的动点．若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是( )
A．双曲线 B．椭圆
C．圆 D．抛物线
解析：选D.由已知得，|MF|＝|MB|.由抛物线定义知，点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线．
2．(2017·辽宁沈阳模拟)已知点A(－，0)，点B(，0)，且动点P满足|PA|－|PB|＝2，则动点P的轨迹与直线y＝k(x－2)有两个交点的充要条件为k∈__________.
解析：由已知得动点P的轨迹为一双曲线的右支且2a＝2，c＝，则b＝＝1，∴P点的轨迹方程为x2－y2＝1(x>0)，其一条渐近线方程为y＝x.若P点的轨迹与直线y＝k(x－2)有两个交点，则需k∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)
考点二 直接法求轨迹(方程)
命题点
1.直接利用题设中的等式关系
2.自建等式关系求方程
[例2] (1)(2017·广东深圳调研)已知点F(0,1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且·＝·，则动点P的轨迹C
的方程为( )
A．x2＝4y B．y2＝3x
C．x2＝2y D．y2＝4x
解析：设点P(x，y)，则Q(x，－1)．
∵·＝·，
∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)，即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝4y，∴动点P的轨迹方程为x2＝4y.
答案：A
(2)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.求动圆圆心的轨迹C的方程；
解：如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，得|O1A|＝|O1M|，
当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点，
∴|O1M|＝，
又|O1A|＝，
∴＝ ，
化简得y2＝8x(x≠0)．
又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标为(0,0)也满足方程y2＝8x，
∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.
[方法引航] 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性，通常将步骤简记为：“建系、设点、列式、化简”.同时，要注意检查是否满足曲线与方程的完备性与纯粹性.
1．已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为________．
解析：设A(x，y)，则D，
∴|CD|＝＝3，
化简得(x－10)2＋y2＝36，
由于A、B、C三点构成三角形，
∴A不能落在x轴上，即y≠0.
答案：(x－10)2＋y2＝36(y≠0)
2．如图所示，过点P(2,4)作互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A，l2交y轴于B，求线段AB中点M的轨迹方程．
解：设点M的坐标为(x，y)，
∵M是线段AB的中点，
∴A点的坐标为(2x,0)，B点的坐标为(0,2y)．
∴＝(2x－2，－4)，＝(－2,2y－4)．
由已知·＝0，∴－2(2x－2)－4(2y－4)＝0，
即x＋2y－5＝0.
∴线段AB中点M的轨迹方程为x＋2y－5＝0.
考点三 相关点法求轨迹(方程)
命题点
1.借助向量建立相关点关系
2.借助几何性质建立相关点关系
[例3] (1)设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且＝2，⊥，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程．
解：设M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，
∵⊥，＝(x0，－y0)，＝(1，－y0)，
∴(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，∴x0＋y＝0.
由＝2得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，
∴即
∴－x＋＝0，即y2＝4x.
故所求的点N的轨迹方程是y2＝4x.
(2)设直线x－y＝4a与抛物线y2＝4ax交于两点A，B(a为定值)，C为抛物线上任意一点，求△ABC的重心的轨迹方程．
解：设△ABC的重心为G(x，y)，点C的坐标为C(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由方程组：
消去y并整理得：x2－12ax＋16a2＝0.
∴x1＋x2＝12a，
y1＋y2＝(x1－4a)＋(x2－4a)＝(x1＋x2)－8a＝4a.
由于G(x，y)为△ABC的重心，
∴
∴
又∵(x0，y0)在y2＝4ax上
∴(3y－4a)2＝4a(3x－12a)为重心G的轨迹方程．
[方法引航] 用相关点法求方程轨迹时，一般所求动点设为(x，y)，辅助点设为(x0，y0)，用x，y表示x0，y0.并将x0，y0代入已知曲线方程.
1．P是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的任意一点，F1、F2是它的两个焦点，O为坐标原点，有一动点Q满足＝＋，则动点Q的轨迹方程是________．
解析：∵＋＝2
∴＝2，即＝－2
设P(x0，y0)，Q(x，y)，∴(x，y)＝－2(x0，y0)，
∴代入椭圆方程，得＋＝1.
答案：＋＝1
2．已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左，右焦点，点P为椭圆C上的动点，则△PF1F2的重心G的轨迹方程为( )
A.＋＝1(y≠0) B.＋y2＝1(y≠0)
C.＋3y2＝1(y≠0) D．x2＋＝1(y≠0)
解析：选C.依题意知F1(－1,0)，F2(1,0)，设P(x0，y0)，G(x，y)，则由三角形重心坐标关系可得
即
代入＋＝1得重心G的轨迹方程为＋3y2＝1(y≠0)．
[思想方法]
分类讨论思想在曲线与方程中的应用
[典例] 已知抛物线y2＝2px经过点M(2，－2)，椭圆＋＝1的右焦点恰为抛物线的焦点，且椭圆的离心率为.
(1)求抛物线与椭圆的方程；
(2)若P为椭圆上一个动点，Q为过点P且垂直于x轴的直线上的一点，＝λ(λ≠0)，试求Q的轨迹．
[解] (1)因为抛物线y2＝2px经过点M(2，－2)，
所以(－2)2＝4p，解得p＝2.
所以抛物线的方程为y2＝4x，其焦点为F(1,0)，
即椭圆的右焦点为F(1,0)，得c＝1.
又椭圆的离心率为，所以a＝2，可得b2＝4－1＝3，
故椭圆的方程为＋＝1.
(2)设Q(x，y)，其中x∈[－2,2]，设P(x，y0)，
因为P为椭圆上一点，所以＋＝1，
解得y＝3－x2.由＝λ可得＝λ2，
故＝λ2.
得x2＋λ2y2＝3，x∈[－2,2]．
当λ2＝，即λ＝时，
得y2＝12，点Q的轨迹方程为y＝±2，x∈[－2,2]．
此轨迹是两条平行于x轴的线段；
当λ2＜，即0＜λ＜时，得到＋＝1，
此轨迹表示实轴在y轴上的双曲线满足x∈[－2,2]的部分；
当λ2＞，即λ＞时，得到＋＝1，
此轨迹表示长轴在x轴上的椭圆满足x∈[－2,2]的部分．
[回顾反思] 在Q点的轨迹方程中，含有参数λ，根据方程的特点对λ讨论确定曲线类型．
[高考真题体验]
1．(2016·高考全国乙卷)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；
(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．
解：(1)因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC.
所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.
又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.
由题设得A(－1,0)，B(1,0)，|AB|＝2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|MN|＝|x1－x2|＝.
过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y＝－(x－1)，A到直线m的距离为，
所以|PQ|＝2＝4.
故四边形MPNQ的面积S＝|MN||PQ|＝12.
可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8)．
当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，四边形MPNQ的面积为12.
综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8)．
2．(2015·高考广东卷)已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.
(1)求圆C1的圆心坐标；
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；
(3)是否存在实数k，使得直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．
解：(1)C1：把圆C1化为标准方程得(x－3)2＋y2＝4，圆心坐标C1(3,0)．
(2)由垂径定理知，C1M⊥AB，故点M在以OC1为直径的圆上，即2＋y2＝.
故线段AB的中点M的轨迹C的方程是2＋y2＝在圆C1：(x－3)2＋y2＝4内部的部分，
即2＋y2＝.
(3)联立解得
不妨设其交点为P1，P2，
设直线L：y＝k(x－4)所过定点为P(4,0)，
则kPP1＝－，kPP2＝.
当直线L与圆C相切时，＝，解得k＝±.
故当k∈{－}∪∪{}时，直线L与曲线C只有一个交点．
课时规范训练
A组 基础演练
1．方程x2－y2＝0对应的图象是( )
解析：选C.x2－y2＝0，即x＋y＝0，x－y＝0，对应的是两条直线．
2．“点M在曲线y2＝4x上”是“点M的坐标满足方程2＋y＝0”的( )
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
解析：选B.点M的坐标满足方程2＋y＝0，则点M在曲线y2＝4x上，是必要条件；但当y＞0时，点M在曲线y2＝4x上，点M的坐标不满足方程2＋y＝0，不是充分条件．
3．若M，N为两个定点，且|MN|＝6，动点P满足·＝0，则P点的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
解析：选A.∵·＝0，∴PM⊥PN.
∴点P的轨迹是以线段MN为直径的圆．
4．已知定点A(2,0)，它与抛物线y2＝x上的动点P连线的中点M的轨迹方程为( )
A．y2＝2(x－1) B．y2＝4(x－1)
C．y2＝x－1 D．y2＝(x－1)
解析：选D.设P(x0，y0)，M(x，y)，
则所以由于y＝x0，
所以4y2＝2x－2.即y2＝(x－1)．
5．方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈R)所表示的直线( )
A．恒过定点(－2,3)
B．恒过定点(2,3)
C．恒过点(－2,3)和点(2,3)
D．都是平行直线
解析：选A.把点(－2,3)和点(2,3)的坐标代入方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0.验证知(－2,3)适合方程，而(2,3)不一定适合方程，故选A
6．平面上有三个点A(－2，y)，B，C(x，y)，若⊥，则动点C的轨迹方程是________．
解析：＝，＝，由⊥，得·＝0，即2x＋·＝0，∴动点C的轨迹方程为y2＝8x.
答案：y2＝8x
7．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1，0)，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是__________．
解析：设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，∴|FA|＋|FB|＝4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．即轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
答案：＋＝1(y≠0)
8．在直角坐标平面xOy中，过定点(0,1)的直线l与圆x2＋y2＝4交于A，B两点．若动点P(x，y)满足＝＋，则点P的轨迹方程为________．
解析：设AB的中点为M，则＝，M.又因为OM⊥AB，的方向向量为，＝，所以·＝0，x2＋y(y－2)＝0，即x2＋(y－1)2＝1.
答案：x2＋(y－1)2＝1
9．已知两个定点A1(－2,0)，A2(2,0)，动点M满足直线MA1与MA2的斜率之积是定值(m≠0)．
求动点M的轨迹方程，并指出随m变化时方程所表示的曲线C的形状．
解：设动点M(x，y)，依题意有·＝(m≠0)，
整理得－＝1(x≠±2)，即为动点M的轨迹方程．
当m＞0时，轨迹是焦点在x轴上的双曲线；
当m∈(－4,0)时，轨迹是焦点在x轴上的椭圆；
当m＝－4时，轨迹是圆；
当m∈(－∞，－4)时，轨迹是焦点在y轴上的椭圆．且点A1(－2,0)，A2(2,0)不在曲线上．
10．已知点A，点B是圆F：2＋y2＝4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，求动点P的轨迹方程．
解：如图，连接PA，
依题意可知|PA|＝|PB|.
∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝|BF|＝2＞1.
∴P点轨迹为以A，
F为焦点，长半轴长为1的椭圆．
其方程可设为＋＝1.
又∵c＝，a＝1，∴b2＝a2－c2＝1－＝.
故P点的轨迹方程为x2＋y2＝1.
B组 能力突破
1．设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为( )
A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4
C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2
解析：选D.如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)．连接MA，PM，则MA⊥PA，且|MA|＝1，
又∵|PA|＝1，
∴|PM|＝＝，即|PM|2＝2，∴P点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝2.
2．△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1(x>3) D.－＝1(x>4)
解析：选C.如图，|AD|＝|AE|＝8，|BF
|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.
根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，所以轨迹方程为－＝1(x>3)．
3．在同一坐标系中，方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0(a＞b＞0)表示的曲线大致是( )
解析：选D.a＞b＞0得＞＞0，方程a2x2＋b2y2＝1，
即＋＝1表示的是焦点在y轴上的椭圆；方程ax＋by2＝0，即y2＝－x表示的是焦点在x轴的负半轴上的抛物线上，结合各选项知，选D.
4．如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AM＝AB，点P在平面ABCD上，且动点P到直线A1D1的距离的平方与P到点M的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy中，动点P的轨迹方程是________．
解析：过P作PQ⊥AD于Q，再过Q作QH⊥A1D1于H，连接PH、PM，可证PH⊥A1D1，设P(x，y)，由|PH|2－|PM|2＝1，
得x2＋1－＝1，
化简得y2＝x－.
答案：y2＝x－
5．已知O为坐标原点，P为圆x2＋y2＝20上的动点，过P作直线l垂直x轴于点Q，点M满足＝.
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)若直线l：y＝x＋m(m≠0)与曲线C交于A，B两点，求三角形OAB面积的最大值．
解：(1)设点P(x0，y0)，M(x，y)，则Q(x0,0)，由＝ ，得0＝(x－x0)，y0＝(y－0)，即
x＝x0，y0＝y，
∵x＋y＝20，∴x2＋2y2＝20.
(2)将曲线C与直线l联立得：
消去y得：3x2＋4mx＋2m2－20＝0.
∵直线l与曲线C交于A，B两点，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴Δ＝16m2－4×3×(2m2－20)>0.
又∵m≠0，∴0
查看更多
