江西省宜春市高安中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学(B)试题

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江西省宜春市高安中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学(B)试题

www.ks5u.com 江西省高安中学2019-2020学年度上学期期中考试 高一年级数学试题(B卷)‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求.‎ ‎1.已知全集,,,那么集合是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得全集,然后对选项逐一分析,由此确定正确选项.‎ ‎【详解】依题意可知,‎ 对于A选项,,故A选项不符合;‎ 对于B选项,,故B选项不符合;‎ 对于C选项,,故C选项不符合;‎ 对于D选项,,故D选项符合.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查集合交集、并集和补集的概念和运算,属于基础题.‎ ‎2.函数的定义域是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分式分母不为零,偶次方根的被开方数为非负数,对数的真数大于零列不等式组,解不等式组求得函数的定义域.‎ ‎【详解】依题意,解得.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法,属于基础题.‎ ‎3.下列各组函数中,表示同一个函数的是(  )‎ A. ,‎ B. ,‎ C. ,‎ D. ,‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由同一函数的概念,根据函数的对应法则和函数的定义域是否相同,逐一判定,即可得到答案.‎ ‎【详解】对于A,由于,两个函数的对应法则不相同,故不是同一个函数;‎ 对于B,,两个函数对应法则相同,定义域相同,故是同一函数;‎ 对于C,,两个函数的定义域不同,故不是同一个函数;‎ 对于D,的定义域不相同,故不是同一个函数.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了同一函数的概念及判定,当两个函数的定义域相同,且它们的对应法则也相同时,两个函数是同一个函数.由此对各个选项分别加以判断,比较其中两个函数的定义域和对应法则,不难得到正确答案.本题给出几组函数,要我们找到同一函数的一组,着重考查了函数的定义域、对应法则等函数的基本概念等知识,属于基础题.‎ ‎4.三个数,,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用“分段法”比较出三个数大小.‎ ‎【详解】依题意,即.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查“分段法”比较指数式和对数式的大小,属于基础题.‎ ‎5.已知点位于第二象限,则角所在的象限是( )‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据点所象限列不等式,结合二倍角公式求得符合,由此判断所在象限.‎ ‎【详解】由于在第二象限,故,即,所以在第四象限.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查各个象限点的坐标的特征,考查二倍角公式,考查三角函数在各个象限的符号,属于基础题.‎ ‎6.已知函数在区间上的值域为,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出函数的图像,根据函数值域,确定的取值范围.‎ ‎【详解】画出的图像如下图所示,注意到函数图像上个关键点:,故当时,,,当时,,.不能取其它值.‎ 综上所述,的取值范围是.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查二次函数的图像与性质,考查数形结合的数学思想方法,考查分类讨论的数学思想方法,属于基础题.‎ ‎7.若函数,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用换元法,求得函数的解析式,并求得定义域.‎ ‎【详解】由于,故,也即,所以函数的定义域为.令,则,所以,令,则.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查换元法求得函数解析式,要注意函数定义域的求法,属于基础题.‎ ‎8.已知函数且,则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数,证明为奇函数,利用,求得的值.‎ ‎【详解】构造函数,所以,也即函数为奇函数,故,也即,而,所以.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性,考查函数值的求法,属于基础题.‎ ‎9.若实数满足,则关于的函数的图象形状大致是 ( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用特例法,分别计算时,的值,进而可得出结果.‎ ‎【详解】当时,排除C,D; 当时,排除A所以应选B.‎ 考点:判断图像形状,特殊值法应用.‎ ‎【点睛】特例法具有简化运算和推理的功效,比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题,但用特例法解选择题时,要注意以下两点:‎ 第一,取特例尽可能简单,有利于计算和推理;‎ 第二,若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符,则应选另一特例情况再检验,或改用其他方法求解.‎ 第三,选择题小题不可大作.‎ ‎10.已知函数且的最大值为,则的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对x进行分类讨论,当x≤2时,f(x)=x﹣1和当x>2时,2+logax≤1.由最大值为1得到a的取值范围.‎ ‎【详解】∵当x≤2时,f(x)=x﹣1,‎ ‎∴f(x)max=f(2)=1‎ ‎∵函数(a>0且a≠1)的最大值为1,‎ ‎∴当x>2时,2+logax≤1.‎ ‎∴,‎ 解得a∈[,1)‎ 故答案为:A ‎【点睛】(1)本题主要考查分段函数的最值问题,考查对数函数的图像和性质,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题的解题关键是分析推理出当x>2时,2+logax≤1.‎ ‎11.已知函数,若存在实数使得函数有三个零点,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令,得,画出和的图像,两个函数图像有个交点,结合图像求得的取值范围.‎ ‎【详解】令,得,画出和的图像如下图所示,依题意可知,和的图像有个交点,则.不妨设,根据二次函数对称性可知,当时,令,解得 ,也即 ‎,所以.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数零点问题的求解策略,考查数形结合的数学思想方法,考查二次函数的对称性,属于基础题.‎ ‎12.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有数学王子的美誉,他和阿基米德,牛顿并列为世界三大数学家,用其命名的“高斯函数”为:设用[]表示不超过的最大整数,则称为高斯函数,例如[-3.5]=-4,[2.1]=2,已知函数,则函数的值域为( )‎ A. {0,1} B. {0} C. {-1,0} D. {-1,0,1}‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意首先确定函数的值域,然后求解函数的值域即可.‎ ‎【详解】函数的解析式,‎ 由于,故,‎ 结合函数的定义可得函数的值域为{-1,0}.‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后根据此新定义去解决问题,有时还需要用类比的方法去理解新的定义,这样有助于对新定义的透彻理解.但是,透过现象看本质,它们考查的还是基础数学知识,所以说“新题”不一定是“难题”,掌握好三基,以不变应万变才是制胜法宝.‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.已知幂函数y=的图象经过点,则f(9)=______________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设幂函数,再由题意可得,由此求得的值,可得y=的解析式,从而可求f(9)的值.‎ ‎【详解】设幂函数,再由题意可得,即 ,‎ ‎ ‎ 故答案为 .‎ ‎【点睛】本题主要考查用待定系数法求幂函数的解析式,属于基础题.‎ ‎14.计算__________‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用诱导公式和特殊角的三角函数值计算出表达式的值.‎ ‎【详解】依题意,原式 ‎.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查诱导公式,考查特殊角的三角函数值,属于基础题.‎ ‎15.已知偶函数在单调递减,.若,则的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 因为是偶函数,所以不等式,又因为在上单调递减,所以,解得.‎ 考点:本小题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性,考查绝对值不等式的解法,熟练基础知识是关键.‎ ‎16.函数定义域为,若满足①在内是单调函数;②存在使在上的值域为,那么就称为“域倍函数”,若函数是“域2倍函数”,则的取值范围为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据“域倍函数”的定义列方程组,转化为方程有两个不同正实根,由此列不等式组,解不等式组求得的取值范围.‎ ‎【详解】根据复合函数单调性同增异减可知函数为增函数,由“域倍函数”的定义可知,即方程有两个不同的实根,即方程有两个不同的实根.令,则方程有两个不同正实根,所以,解得.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查新定义函数的理解和运用,考查函数的单调性,考查一元二次方程有两个不同正实根的条件,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.‎ 三、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.计算下列各式的值:‎ ‎(1);‎ ‎(2)‎ ‎【答案】(1)(2)3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据指数运算公式,化简所求表达式.‎ ‎(2)根据对数运算公式,化简所求表达式.‎ ‎【详解】(1)原式 ‎(2)原式 ‎【点睛】本小题主要考查指数运算、考查对数运算,属于基础题.‎ ‎18.已知全集,集合 ‎(1)若,分别求和;‎ ‎(2)若,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)A∪B={x|1<x<7},B∩∁UA={x|4<x<7}(2)a≥5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得集合,‎ ‎(1)当时,根据并集的概念和运算求得,先求得,然后求得.‎ ‎(2)根据列不等式组,解不等式组求得的取值范围.‎ 详解】由解得.‎ ‎(1)若a=4,则B={x|2<x<7},则A∪B={x|1<x<7},‎ ‎∁UA={x|x>4或x≤1},‎ B∩∁UA={x|4<x<7}.‎ ‎(2)若A⊆B,则得,即a≥5,‎ 即实数a的取值范围是a≥5.‎ ‎【点睛】本小题主要考查集合交、并、补运算,考查根据集合的包含关系求参数的取值范围,考查对数不等式的解法,属于基础题.‎ ‎19.已知函数是定义域在上的奇函数,且.‎ ‎(1)用定义证明:函数在上是增函数,‎ ‎(2)若实数满足,求实数的范围.‎ ‎【答案】(1)证明见解析(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据求得,根据单调性的定义,计算,由此证得函数在上为增函数.‎ ‎(2)利用函数的奇偶性化简,再利用函数的单调性结合函数的定义域列不等式组,解不等式组求得的取值范围.‎ ‎【详解】(1)∵函数是定义域为(-1,1)上的奇函数,‎ ‎∴f(0)=0,∴b=0,‎ ‎∴‎ 任取x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,‎ ‎∴f(x1)-f(x2)=-‎ ‎==,‎ ‎∵a>0,-1<x1<x2<1,‎ ‎∴x1-x2<0,1-x1x2>0,1+>0,1+>0,‎ ‎∴函数f(x)在(-1,1)上是增函数.‎ ‎(2)∵f(2t-1)+f(t-1)<0,∴f(2t-1)<-f(t-1),‎ ‎∵函数是定义域为(-1,1)上的奇函数,且a>0.‎ ‎∴f(2t-1)<f(1-t),‎ ‎∵函数f(x)在(-1,1)上是增函数,‎ ‎∴,‎ 解得.‎ 故实数t的范围是.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用单调性的定义证明函数的单调性,考查利用奇偶性和单调性解函数不等式,考查化归与转化的数学思想方法,属于基础题.‎ ‎20.已知函数,其中.‎ ‎(1)当时,求的值域和单调减区间;‎ ‎(2)若存在单调递增区间,求取值范围.‎ ‎【答案】(1)函数的值域为(-∞,0],f(x)的单调递减区间为[2,3)(2)a>‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)当时,先求得的定义域,利用换元法,结合二次函数值域和对数函数值域的求法求得函数的值域;结合复合函数单调性同增异减求得函数的单调区间.‎ ‎(2)对分成和两种情况进行分类讨论,根据复合函数单调性同增异减以及判别式,求得的取值范围.‎ ‎【详解】(1)当a=4时,f(x)=log4(-x2+4x-3)=log4[-(x-2)2+1],‎ 设t=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,‎ 由-x2+4x-3>0,得x2-4x+3<0,得1<x<3,即函数的定义域为(1,3),‎ 此时t=-(x-2)2+1∈(0,1],‎ 则y=log4t≤log41,即函数的值域为(-∞,0],‎ 要求f(x)的单调减区间,等价为求t=-(x-2)2+1的单调递减区间,‎ ‎∵t=-(x-2)2+1的单调递减区间为[2,3),‎ ‎∴f(x)的单调递减区间为[2,3).‎ ‎(2)若f(x)存在单调递增区间,‎ 则当a>1,则函数t=-x2+ax-3存在单调递增区间即可,则判别式△=a2-12>0得a>或a<舍,‎ 当0<a<1,则函数t=-x2+ax-3存在单调递减区间即可,则判别式△=a2-12>0得a>或a<-,此时a不成立,‎ 综上实数a的取值范围是a>.‎ ‎【点睛】本小题主要考查复合函数单调性、复合函数值域的求法,考查分类讨论的数学思想方法,属于中档题.‎ ‎21.已知,满足,且的两实根之积为4.‎ ‎(1)求的解析式;‎ ‎(2)求函数,在上的最大值(用表示).‎ ‎【答案】(1)f(x)=x2-4x+4(2)g(x)max=‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用求得的对称轴,进而求得,利用根与系数关系求得,进而求得函数的解析式.‎ ‎(2)首先化简的解析式,求得其对称轴为,根据对称轴和求解的位置关系对进行分类讨论,结合二次函数在闭区间上的值域的求法,求得在上最大值的表达式.‎ ‎【详解】(1)根据题意,f(x)=x2+ax+b,满足f(-2)=f(6),则其对称轴x=2,‎ 则a=-4,‎ 又由f(x)=0的两实根之积为4,即x2+ax+b=0的两根之积为4,b=4,‎ 则f(x)=x2-4x+4,‎ ‎(2)由(1)的结论,f(x)=x2-4x+4,则g(x)=2mx-f(x)=-x2+(2m+4)x-4=-[x-(m+2)]2+m2+4m,‎ 其对称轴为x=m+2,‎ 分3种情况:‎ 当m+2<0,即m<-2时,g(x)在[0,2]上为减函数,则g(x)max=g(0)=-4,‎ 当0≤m+2≤2,即-2≤m≤0时,则g(x)max=g(m+2)=m2+4m,‎ 当m+2>2,即m>0时,g(x)在[0,2]上为增函数,则g(x)max=g(2)=4m,‎ 故g(x)max=.‎ ‎【点睛】本小题主要考查待定系数法求二次函数解析式,考查二次函数在给定区间上的最大值的求法,考查分类讨论的数学思想方法,属于中档题.‎ ‎22.已知 ‎(1)求函数的解析式及其定义域;‎ ‎(2)若对恒成立,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)f(x)=2x-2-x;定义域为(2)(-∞,-1]‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用换元法,求得函数的解析式,并求得定义域.‎ ‎(2)利用换元法,将原不等式分离常数得到在恒成立,利用二次函数对称轴,求得在上的最小值,进而求得的取值范围.‎ ‎【详解】(1)设log2x=t,t∈R 可得x=2t ‎∴f(t)=,‎ 即f(x)=2x-2-x,定义域为.‎ ‎(2)由8x-8-x-4x+1-41-x+8≥kf(x)对x∈[1,+∞)恒成立,‎ 即8x-8-x-4x+1-41-x+8≥k(2x-2-x)对x∈[1,+∞)恒成立,‎ 可得(2x)3-(2-x)3-4[(2x)2+(2-x)2]+8≥k(2x-2-x)‎ 则(2x-2-x)[(2x)2+(2-x)2+1]-4[(2x)2+(2-x)2]+8≥k(2x-2-x)‎ ‎∴(2x-2-x)[(2x-2-x)2+3]-4[(2x-2-x)2+2]+8≥k(2x-2-x)‎ ‎∴(2x-2-x)[(2x-2-x)2+3]-4(2x-2-x)2≥k(2x-2-x)‎ 设2x-2-x=t,‎ 可得t(t2+3)-4t2≥kt,(t∈R)‎ ‎∵x∈[1,+∞)恒成立,‎ ‎∴t≥‎ 则t2+3-4t≥k在t∈[,+∞)恒成立,‎ 当t=2时,(t2+3-4t)min=-1‎ ‎∴k≤-1;‎ 故得k的取值范围是(-∞,-1];‎ ‎【点睛】本小题主要考查换元法求函数解析式,考查不等式恒成立问题的求解策略,考查二次函数在给定区间上的最小值的求法,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.‎ ‎ ‎
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