【数学】2018届一轮复习人教A版古典概型学案

【数学】2018届一轮复习人教A版古典概型学案

‎1.理解古典概型及其概率计算公式．‎ ‎2．会计算一些随机事件所含的基本事件及事件发生的概率．‎ 知识点一　古典概型 ‎ ‎1．基本事件的特点 ‎(1)任何两个基本事件是______的；‎ ‎(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成________的和．‎ ‎2．古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．‎ ‎(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件__________；‎ ‎(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性________．‎ 答案 ‎1．(1)互斥　(2)基本事件 ‎2．(1)只有有限个　(2)相等 ‎1．判断正误 ‎(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．(　　)‎ ‎(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．(　　)‎ ‎(3)从市场上出售的标准为500±‎5 g的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)×‎ ‎2．一个家庭有两个小孩，则所有可能的基本事件有(　　)‎ A．(男，女)，(男，男)，(女，女)‎ B．(男，女)，(女，男)‎ C．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)‎ D．(男，男)，(女，女)‎ 解析：由于两个孩子出生有先后之分，所以基本事件有四种情况．‎ 答案：C 知识点二　古典概型的概率公式 ‎ P(A)＝ ‎3．(2016·北京卷)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：设5名学生分别为甲、乙、丙、丁、戊，从甲、乙、丙、丁、戊5人中选2人，有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共10种情况，其中甲被选中的情况有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，共4种，所以甲被选中的概率为＝.‎ 答案：B ‎4．(必修③P113练习第2题改编)将一枚骰子先后抛掷3次，则向上的点数之和是5的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：向上的点数之和是5的基本事件有(1,1,3)、(1,3,1)、(3,1,1)、(1,2,2)、(2,1,2)、(2,2,1)，共计6个．而所有的基本事件个数为6×6×6＝216，故向上的点数之和是5的概率为＝.故选C.‎ 答案：C 热点一　较简单的古典概型问题 ‎ ‎【例1】　(1)(2016·新课标全国卷Ⅰ ‎)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)(2016·四川卷)从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率是________．‎ ‎【解析】　(1)从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，共有6种选法．红色和紫色的花不在同一花坛的有4种选法，根据古典概型的概率计算公式，所求的概率为＝.故选C.‎ ‎(2)从2,3,8,9中任取两个不同的数字，(a，b)的所有可能结果有(2,3)，(2,8)，(2,9)，(3,2)，(3,8)，(3,9)，(8,2)，(8,3)，(8,9)，(9,2)，(9,3)，(9,8)，共12种，其中log28＝3，log39＝2为整数，所以logab为整数的概率为.‎ ‎【答案】　(1)C　(2) ‎【总结反思】‎ 计算古典概型的概率可分三步：(1)算出基本事件的总个数n；(2)求出事件A所包含的基本事件个数m；(3)代入公式求出概率P.解题时可根据需要灵活选择列举法、列表法或树形图法.‎ ‎ ‎ 某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如表(单位：人)‎ 参加书法社团 未参加书法社团 参加演讲社团 ‎8‎ ‎5‎ 未参加演讲社团 ‎2‎ ‎30‎ ‎(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率．‎ ‎(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．‎ 解：(1)记“该同学至少参加上述一个社团为事件A”，则P(A)＝＝.所以该同学至少参加上述一个社团的概率为.‎ ‎(2)从5名男同学和3名女同学中各随机选1人的所有基本事件有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A5，B1)，(A5，B2)，(A5，B3)共15种，其中A1被选中且B1未被选中的有(A1，B2)，(A1，B3)共2个，所以A1被选中且B1未被选中的概率为P＝.‎ 热点二　较复杂的古典概型问题 ‎ 考向1　古典概型与平面向量的结合 ‎【例2】　设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，平面向量a＝(m，n)，b＝(1，－3)．‎ ‎(1)求使得事件“a⊥b”发生的概率；‎ ‎(2)求使得事件“|a|≤|b|”发生的概率．‎ ‎【分析】　(1)先根据a⊥b得出m－3n＝0，然后再列举出符合条件的(m，n)的所有可能的结果；(2)根据|a|≤|b|可得m2＋n2≤10，再列举出所有符合题意的(m，n)，即可求解．‎ ‎【解】　(1)由题意知，m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}，故(m，n)所有可能的取法共有36种．(1)若a⊥b，则有m－3n＝0，即m＝3n，符合条件的(m，n)有(3,1)，(6,2)，共2种，所以事件“a⊥b”发生的概率为＝.‎ ‎(2)若|a|≤|b|，则有m2＋n2≤10，符合条件的(m，n)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6种，故所求概率为＝.‎ ‎【总结反思】‎ 古典概型与平面向量交汇问题的处理方法 ‎(1)根据平面向量的知识进行坐标运算，得出事件满足的约束条件；‎ ‎(2)根据约束条件(等式或不等式)列举所有符合的结果；‎ ‎(3)利用古典概型概率计算公式求解概率.‎ 考向2　古典概型与解析几何的结合 ‎【例3】　将一枚骰子先后抛掷两次得到的点数依次记为a，b，则直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2无公共点的概率为(　　)‎ A.　　　B.　　　C.　　　D. ‎【分析】　由题意知本题是一个古典概型，求出试验发生包含的事件的个数及满足条件的基本事件的个数，代入古典概型概率公式即可得到结果．‎ ‎【解析】　直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2无公共点，则有>，即a>b，满足该条件的基本事件有15个，基本事件总数是36个，故所求概率为.‎ ‎【答案】　B ‎【总结反思】‎ 古典概型与直线、圆相结合的处理方法 ‎(1)根据平面几何中直线与圆的知识，构建事件满足的约束条件；‎ ‎(2)根据约束条件(等式或不等式)列举所有符合的结果；‎ ‎(3)利用古典概型概率计算公式求解概率.‎ 考向3　古典概型与统计图形的结合 ‎【例4】　从某工厂抽取50名工人进行调查，发现他们一天加工零件的个数在50至350之间，现按生产的零件的个数将他们分成六组，第一组[50,100)，第二组[100,150)，第三组[150,200)，第四组[200,250)，第五组[250,300)，第六组[300,350]，相应的样本频率分布直方图如图所示．‎ ‎(1)求频率分布直方图中的x的值；‎ ‎(2)设位于第六组的工人为拔尖工，位于第五组的工人为熟练工，现用分层抽样的方法在这两类工人中抽取一个容量为6的样本，从样本中任意取2个，求至少有1名拔尖工的概率．‎ ‎【分析】　(1)由图表所给的信息利用6个小矩形的面积和为1确定x的值；(2)根据抽样比例确定两层分别抽取的人数，再对基本事件进行列举，最后利用古典概型概率计算公式计算出概率．‎ ‎【解】　(1)根据题意，(0.002 4＋0.003 6＋x＋0.004 4＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1，解得x＝0.006 0.‎ ‎(2)由题知50名工人中拔尖工有3人，熟练工有6人，从中抽取容量为6的样本，则其中拔尖工有2人，熟练工有4人．可设拔尖工分别为A1，A2，熟练工分别为B1，B2，B3，B4，则从样本中任取2个的情况有：A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，A‎1A2，B1B2，B1B3，B1B4，B2B3，B2B4，B3B4，共15种．‎ 其中，至少有1名是拔尖工的情况有A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，‎ A‎1A2，共9种，故至少有1名拔尖工的概率是＝.‎ ‎【总结反思】‎ 古典概型与统计图表交汇问题的处理方法 ‎(1)根据统计的相关知识，确定相关事件应满足的条件；‎ ‎(2)列举所有符合条件的基本事件结果；‎ ‎(3)利用古典概型概率计算公式求解概率.‎ ‎ ‎ ‎(1)从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数，记为a，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数，记为b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(1，－1)垂直的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M}，A是集合N中任意一点，O为坐标原点，则直线OA与曲线y＝x2＋1有交点的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎(3)某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/平方米)如下表所示：‎ A B C D E 身高 ‎1.69‎ ‎1.73‎ ‎1.75‎ ‎1.79‎ ‎1.82‎ 体重指标 ‎19.2‎ ‎25.1‎ ‎18.5‎ ‎23.3‎ ‎20.9‎ ‎①从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；‎ ‎②从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．‎ 解析：(1)由题意可知(a，b)可能的情况有(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共12种．因为m⊥n，即m·n＝0，所以有a×1＋b×(－1)＝0，即a＝b，所以满足条件的有(3,3)，(5,5)，共2个，故所求的概率为.‎ ‎(2)易知过点(0,0)与y＝x2＋1相切的直线为y＝2x(斜率小于0的无需考虑)，集合N中共有16个元素，其中使OA 斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，故所求的概率为＝.‎ ‎(3)解：①从身高低于1.80的同学中任取2人，其一切可能的结果组成的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6个．‎ 由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．‎ 选到的2人身高都在1.78以下的事件有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3个．‎ 因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P＝＝.‎ ‎②从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10个．‎ 由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．‎ 选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件有(C，D)，(C，E)，(D，E)，共3个．‎ 因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为P＝.‎ 答案：(1)A　(2)C　(3)　 ‎1．古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包含的基本事件个数时，它们是否是等可能的．‎ ‎2．概率的一般加法公式：‎ P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．‎ 公式使用中要注意：(1)公式的作用是求A∪B的概率，当A∩B＝∅时，A、B互斥，此时P(A∩B)＝0，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；(2)要计算P(A∪B)，需要求P(A)、P(B)，更重要的是把握事件A∩B，并求其概率；(3)该公式可以看作一个方程，知三可求一．‎ ‎3．较复杂事件的概率可灵活运用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式简化运算．‎