2017-2018学年河北省鸡泽一中高二下学期第一次月考数学理试题（解析版）

2017-2018学年河北省鸡泽一中高二下学期第一次月考数学理试题（解析版）

‎2017-2018学年河北省鸡泽一中高二下学期第一次月考数学理试题（解析版）‎ 第Ⅰ卷(选择题　共60分)‎ 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1. 已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)．且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于(　　)‎ A. 0.6 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵P(ξ<4)＝0.8，∴P(ξ>4)＝0.2，‎ 由题意知图象的对称轴为直线x＝2，‎ P(ξ<0)＝P(ξ>4)＝0.2，∴P(0<ξ<4)＝1－P(ξ<0)－P(ξ>4)＝0.6.‎ ‎∴P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<4)＝0.3‎ 视频 ‎2. 已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝(　　)‎ A. －4 B. －3 C. －2 D. －1‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意知：，解得，故选D.‎ ‎【考点定位】本小题主要考查二项展开式,二项式定理在高考中主要以小题的形式考查,属容易题,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.‎ ‎3. 随机变量ξ的概率分布规律为P(X＝n)＝ (n＝1、2、3、4)，其中a为常数，则的值为(　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】，，‎ ‎，故选D．‎ ‎4. 投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋ni)(n－mi)为实数的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 由为实数，所以，‎ ‎ 故，则可以取，共种情形，‎ ‎ 所以概率为，故选C．‎ ‎5. 若，，，则的大小关系为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 由题意，‎ ‎ 因为，所以，故选B．‎ ‎6. 有6张卡片分别标有1、2、3、4、5、6，将其排成3行2列，要求每一行的两张卡片上的数字之和均不等于7，则不同的排法种数是(　)‎ A. 192 B. 384 C. 432 D. 448‎ ‎【答案】B ‎【解析】 由题意，如图所示，‎ 先安排第一行第一列，有种方法，‎ ‎ 在安排第一行第二列，只有种方法，‎ ‎ 接着安排与第一行第二列的数的和为的那个数，‎ ‎ 根据分步计数原理得：共有不同的排法种，故选B．‎ ‎7. 在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．若不等式(x－a)⊗(x＋a)＜1对任意实数x都成立，则(　　)‎ A. B. 0＜a＜2 C. －1＜a＜1 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 由已知，得，‎ 即，‎ 令，只需，‎ 又，由，‎ 所以，即，‎ 解得，故选A．‎ ‎8. 已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题设可知取出的不放回，且每只灯泡被取出的机会相等，因此第一次取出螺口灯泡后剩余9只灯泡，其中有7只是卡口灯泡，故所求事件的概率是，应选答案D。‎ ‎9. 直线 （t为参数）的倾斜角是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题考查直线的斜率，倾斜角的概念，诱导公式以及消参技能.‎ ‎〖思路分析〗设法从参数方程中消去参数，再借助直线斜率的定义求解.‎ ‎〖解答〗由得 ，消去参数得 因为 即有 所以此直线的倾斜角为 故选择 ‎〖评注〗消去参数，得到斜率的表达式并不难，大多数同学都能做到；把转化为进而转化为，是本题的难点.‎ ‎10. 一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设与中至少有一个不闭合的事件为与至少有一个不闭合的事件为，则，所以灯亮的概率为 ， 故选B.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查独立事件、对立事件的概率公式，属于难题.解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性与对立性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要.‎ ‎11. 如图所示，用6种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有(　)‎ A. 400种 B. 480种 C. 460种 D. 496种 ‎【答案】B ‎【解析】 由题意知，只用三种颜色涂色时，有种不同的方法；‎ ‎ 用四种颜色涂色时，有种不同的方法,‎ ‎ 由分类计数原理可知，不同的涂色方法，共有种，故选B．‎ ‎12. 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度（的单位：，的单位：）行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离（单位：）是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 令，即，因为，解得，‎ ‎ 由刹车行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离为：‎ ‎ ，故选C．‎ 点睛：本题主要考查了微积分基本定理的应用，其中解答中根据题意列出积分式，确定被积函数的原函数是解得关键，同时熟记基本初等函数的导数公式是解答的基础，试题有一定难度，属于中档试题．‎ 第Ⅱ卷(非选择题　共90分)‎ 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13. 绍兴臭豆腐闻名全国，一外地学者来绍兴旅游，买了两串臭豆腐，每串3颗(如图)．规定：每串臭豆腐只能自左向右一颗一颗地吃，且两串可以自由交替吃．请问：该学者将这两串臭豆腐吃完，有________种不同的吃法．(用数字作答)‎ ‎【答案】20‎ ‎【解析】试题分析：将思路转化一下：，总共要吃6口，选3口给第一串的3颗臭豆腐，顺序不变，剩下的3口给第二串，顺序不变，因此 考点：排列组合 点评：本题学生不易找到入手点：将6口转化为顺序不变的两个3口问题 ‎14. 已知函数，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 由题意，‎ ‎ 因为表示以原点为圆心，以为半径的圆的面积的四分之一，‎ 所以，‎ 又，‎ 所以．‎ ‎15. 设复数z满足|z－3－4i|＝1，则|z|的最大值是________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】 设，复数满足，‎ ‎ 所以，表示以为圆心，以为半径的圆，‎ ‎ 又表示点圆上点到原点的距离，所以．‎ ‎ 点睛：本题考查了复数的表示与复数的几何意义的应用，对于复数问题的求解时，通常转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可，同时复数与复平面内的点一一对应关系．‎ ‎16. 已知曲线的参数方程为(为参数),在点处的切线为,以坐标原点为极点,‎ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则的极坐标方程为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 把曲线的参数方程，平方相加消去参数可得普通方程为，‎ ‎ 曲线在点处的切线方程为，‎ 又由 ，所以直线化为极坐标方程可得，‎ 即．‎ ‎ 点睛：本题主要考查了参数方程与直角坐标方程，极坐标方程与普通方程的互化的应用，化参数方程为普通方程主要是消参，可以利用加减消元、平方消元、代入法等等；在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题，通常将极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程来解决.‎ 解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17. 已知复数z＝(2＋i)m2－－2(1－i)，当实数m取什么值时，复数z是(1)虚数，(2)纯虚数．‎ ‎【答案】(1) m≠2且m≠1；(2)或.‎ ‎【解析】试题分析：根据复数的有关概念以及复数的几何意义，建立条件关系式，即可得到结论．‎ 试题解析：‎ 题由于m∈R，复数z可表示为 z＝(2＋i)m2－3m(1＋i)－2(1－i)‎ ‎＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i，‎ ‎(1)当m2－3m＋2≠0，‎ 即m≠2且m≠1时，z为虚数．‎ ‎(2)当，即m＝－时，z为纯虚数．‎ 所以当或时，z1，z2互为共轭复数．‎ ‎18. 已知的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．‎ ‎(1)求展开式中的常数项；‎ ‎(2)求展开式中所有整式项．‎ ‎【答案】(1)；(2) x4，－4x3,7x2，－7x，.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出二项展开式的通项公式，再根据前三项的系数的绝对值依次成等差数列，求出的值，再令通项公式中的幂指数为，求出的值，代入即可求解展开式的常数项；‎ ‎（2）要使为整式项，需的幂至少为非负数，结合，求出的值，即可得到展开式中的整式项．‎ 试题解析：‎ ‎(1) Tr＋1＝C·()n－r·()r·(－1)r，‎ ‎∴前三项系数的绝对值分别为C， C， C，‎ 由题意知C＝C＋C，∴n＝1＋n(n－1)，n∈N*，解得n＝8或n＝1(舍去)，‎ ‎∴Tk＋1＝C·()8－k·(－)k＝C·(－)k·x4－k,0≤k≤8，‎ 令4－k＝0得k＝4，∴展开式中的常数项为T5＝C(－)4＝.‎ ‎(2)要使Tk＋1为整式项，需4－k为非负数，且0≤k≤8，∴k＝0,1,2,3,4.‎ ‎∴展开式中的整式项为：x4，－4x3,7x2，－7x，.‎ ‎19. 电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：‎ 将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．‎ ‎(1)根据已知条件完成下面的22列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？‎ 非体育迷 体育迷 合计 男 女 ‎10‎ ‎55‎ 合计 ‎(2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)．‎ 附：.‎ P(K2≥k)‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据所给的频率分布直方图得出数据列出列联表，再代入计算公式，求出的值，即可比较得到结论；‎ ‎（2）由题意，可得从观众中抽取到一名“体育迷”的概率为，由于，从而给出分布列，用公式即可求得数学期望．‎ 试题解析：‎ ‎(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而22列联表如下：‎ 非体育迷 体育迷 合计 男 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ 女 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ 将22列联表中的数据代入公式计算，得 K2＝＝＝≈3.030.‎ 因为3.030<3.841，所以我们没有充分理由认为“体育迷”与性别有关．‎ ‎(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率.由题意知X～B(3，)，从而X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P E(X)＝np＝3＝.D(X)＝np(1－p)＝3＝‎ ‎20. 从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得.‎ ‎(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程；‎ ‎(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；‎ ‎(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．‎ 附：线性回归方程中，‎ ‎，其中为样本平均值．‎ ‎【答案】(1) y＝0.3x－0.4；(2)正相关；(3)1.7千元.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意，可知，代入公式，求解的值，即可得到回归直线方程；‎ ‎（2）由（1）中的回归直线方程中的回归系数的正负，即可作出判断；‎ ‎（3）把代入（1）中的回归直线方程，即求出对应的值，即可作出预测．‎ 试题解析：‎ ‎ (1)由题意知n＝10，＝i＝＝8，‎ ‎＝i＝＝2，又lxx＝－n2＝720－1082＝80，‎ lxy＝iyi－n＝184－1082＝24，‎ 由此得＝＝＝0.3，＝－＝2－0.38＝－0.4.‎ 故所求线性回归方程为y＝0.3x－0.4.‎ ‎(2)由于变量y的值随x值的增加而增加(b＝0.3>0)，故x与y之间是正相关．‎ ‎(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y＝0.37－0.4＝1.7(千元)．‎ ‎21. 已知曲线C1的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.‎ ‎(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．‎ ‎【答案】(1) ；(2) （），.‎ ‎【解析】试题分析：（1） 先根据同角三角函数关系cos2t＋sin2t=1消参数得普通方程：（x－4）2＋（y－5）2＝25 ，再根据将普通方程化为极坐标方程：（2）将代入得得，也可利用直角坐标方程求交点，再转化为极坐标 试题解析： （1）∵C1的参数方程为 ‎∴（x－4）2＋（y－5）2＝25（cos2t＋sin2t）＝25，‎ 即C1的直角坐标方程为（x－4）2＋（y－5）2＝25，‎ 把代入（x－4）2＋（y－5）2＝25，‎ 化简得：.[Z.X.X.K]‎ ‎（2）C2的直角坐标方程为x2＋y2＝2y，C1的直角坐标方程为（x－4）2＋（y－5）2＝25，‎ ‎∴C1与C2交点的直角坐标为（1，1），（0，2）.‎ ‎∴C1与C2交点的极坐标为.‎ 考点：参数方程化普通方程，直角坐标方程化极坐标方程 视频 ‎22. 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立．‎ ‎(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；‎ ‎(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X的分布列及数学期望．‎ ‎【答案】(1)；(2)答案见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）甲队获胜有三种情形：，，，其每种情形的最后一局肯定是甲队获胜，粉笔求出相应的概率，即可得到结果；（2）的取值可能为，然后利用相互独立事件的概率乘法公式求解相应的概率，列出分布列，最后根据期望的公式即可求解数学期望．‎ 试题解析：（1）记“甲队以3∶0胜利”为事件A1，“甲队以3∶1胜利”为事件A2，‎ ‎“甲队以3∶2胜利”为事件A3，‎ 由题意知，各局比赛结果相互独立，‎ 故P(A1)＝，‎ P(A2)＝，‎ P(A3)＝.‎ 所以甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为，以3∶2胜利的概率为.‎ ‎（2）设“乙队以3∶2胜利”为事件A4，‎ 由题意知，各局比赛结果相互独立，‎ 所以P(A4)＝.‎ 由题意知，随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3，‎ 根据事件的互斥性得 P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝.‎ 又P(X＝1)＝P(A3)＝，‎ P(X＝2)＝P(A4)＝，‎ P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝，‎ 故X的分布列为 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ 考点：相互独立事件的概率；离散型随机变量的分布列．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了相互独立事件的概率的乘法公式，以及离散型随机变量的分布列、数学期望的求解，其中正确理解赛制的最后一局的比赛情况是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的的能力、分类讨论的思想数学思想方法的应用，应该认真试题、仔细解答，试题比较基础，属于基础题．‎