【数学】2018届一轮复习人教A版专题15坐标系与参数方程学案

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【数学】2018届一轮复习人教A版专题15坐标系与参数方程学案

专题15 坐标系与参数方程 ‎【2018年高考考纲解读】‎ 高考对本内容的考查主要有:‎ ‎(1)直线、曲线的极坐标方程;‎ ‎(2)直线、曲线的参数方程;‎ ‎(3)参数方程与普通方程的互化;‎ ‎(4)极坐标与直角坐标的互化 ,本内容的考查要求为B级.‎ ‎【重点、难点剖析】‎ ‎1.直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点,x轴正半轴作为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内的任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(x,y)和(ρ,θ),则 ‎2.直线的极坐标方程 若直线过点M(ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为α,则它的方程为:ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α).‎ 几个特殊位置的直线的极坐标方程 ‎(1)直线过极点:θ=α;‎ ‎(2)直线过点M(a,0)(a>0)且垂直于极轴:ρcos θ=a;‎ ‎(3)直线过M且平行于极轴:ρsin θ=b.‎ ‎3.圆的极坐标方程 若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r的圆方程为:‎ ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ0-r2=0.‎ 几个特殊位置的圆的极坐标方程 ‎(1)当圆心位于极点,半径为r:ρ=r;学! ‎ ‎(2)当圆心位于M(r,0),半径为r:ρ=2rcos θ;‎ ‎(3)当圆心位于M,半径为r:ρ=2rsin θ.‎ ‎(4)圆心在点M(x0,y0),半径为r的圆的参数方程为(θ为参数,0≤θ≤2π).圆心在点A(ρ0,θ ‎0),半径为r的圆的方程为r2=ρ2+ρ0-2ρρ0cos(θ-θ0).‎ ‎4.直线的参数方程 经过点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数).‎ 设P是直线上的任一点,则t表示有向线段的数量.‎ ‎5.圆的参数方程 圆心在点M(x0,y0),半径为r的圆的参数方程为(θ为参数,0≤θ≤2π).‎ ‎6.圆锥曲线的参数方程 ‎(1)椭圆+=1的参数方程为(θ为参数).‎ ‎(2)双曲线-=1的参数方程为(θ为参数).‎ ‎(3)抛物线y2=2px(p>0)的参数方程为(t为参数).‎ ‎【题型示例】‎ 题型一 极坐标方程和参数方程 ‎【例1】【2017天津,理11】在极坐标系中,直线与圆的公共点的个数为___________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】直线为 ,圆为 ,因为 ,所以有两个交点 ‎【变式探究】【2016年高考北京理数】在极坐标系中,直线与圆交于A,B两点,则______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】直线过圆的圆心,因此 ‎【变式探究】(2015·广东,14)已知直线l的极坐标方程为2ρsin=,点A的极坐标为A,则点A到直线l的距离为________.‎ ‎【变式探究】(2015·北京,11)在极坐标系中,点到直线ρ(cos θ+sin θ)=6的距离为________.‎ 解析 在平面直角坐标系下,点化为(1,),直线方程为:x+y=6,∴点(1,)到直线的距离为d===1.‎ 答案 1‎ ‎【举一反三】(2015·安徽,12)在极坐标系中,圆ρ=8sin θ上的点到直线θ=(ρ∈R)距离的最大值是________.‎ 解析 由ρ=8sin θ得x2+y2=8y,即x2+(y-4)2=16,由θ=得y=x,即x-y=0,∴圆心(0,4)到直线y=x的距离为2,圆ρ=8sin θ上的点到直线θ=的最大距离为4+2=6.‎ 答案 6‎ ‎【变式探究】(2014·辽宁)将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原 的2倍,得曲线C.‎ ‎(1)写出C的参数方程;‎ ‎(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.‎ ‎【命题意图】本题主要考查参数方程与普通方程、极坐标方程与普通方程间的转化.结合方程的转化和应用考查考生的应用意识和转化思想.‎ ‎【思路方法】(1)先列方程,再进一步转化为参数方程.‎ ‎(2)解出交点,再求得直线方程,最后转化为极坐标方程.‎ ‎【解析】(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为曲线C上的点(x,y),依题意,得 由x+y=1,得x2+2=1,‎ 即曲线C的方程为x2+=1.‎ 故C的参数方程为(t为参数).‎ ‎【感悟提升】若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x轴正半轴重合,两坐标系的长度单位相同,则极坐标方程与直角坐标方程可以互化.求解与极坐标方程有关的问题时,可以转化为熟悉的直角坐标方程求解.若最终结果要求用极坐标表示,则需将直角坐标转化为极坐标.‎ 题型二 极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的互化 ‎【例2】 【2017·江苏】[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)‎ 在平面坐标系中中,已知直线的参考方程为(为参数),曲线的参数方程为(‎ 为参数).设为曲线上的动点,求点到直线的距离的最小值.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直线的普通方程为.‎ 因为点在曲线上,设,‎ 从而点到直线的的距离,‎ 当时, .‎ 因此当点的坐标为时,曲线上点到直线的距离取到最小值. ‎ ‎【考点】参数方程化普通方程 ‎【变式探究】【2016高考新课标1卷】(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).‎ 在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=.‎ ‎(I)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;学! ‎ ‎(II)直线C3的极坐标方程为,其中满足tan=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.‎ ‎【答案】(I)圆,(II)1‎ ‎【解析】解:(Ⅰ)消去参数得到的普通方程.‎ 是以为圆心,为半径的圆.‎ 将代入的普通方程中,得到的极坐标方程为 ‎.‎ ‎(Ⅱ)曲线的公共点的极坐标满足方程组 若,由方程组得,由已知,‎ 可得,从而,解得(舍去),.‎ 时,极点也为的公共点,在上.所以.‎ ‎ 【变式探究】(2015·新课标全国Ⅰ,23)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求C1,C2的极坐标方程;‎ ‎(2)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.‎ ‎【变式探究】在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),M是C1上的动点,P点满足=2,点P的轨迹为曲线C2.‎ ‎(1)求C2的方程;‎ ‎(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线θ=与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求AB.‎ ‎【解析】(1)设P(x,y),则由条件知M,由于M点在C1上,所以即 从而C2的参数方程为(α为参数).‎ ‎(2)曲线C1的极坐标方程为ρ=4sin θ,曲线C2的极坐标方程为ρ=8sin θ.射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1=4sin,射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2=8sin.所以AB=|ρ2-ρ1|=2.‎ ‎【规律方法】解决这类问题一般有两种思路,一是将极坐标方程化为直角坐标方程,求出交点的直角坐标,再将其化为极坐标;二是将曲线的极坐标方程联立,根据限制条件求出极坐标.要注意题目所给的限制条件及隐含条件.‎ ‎【变式探究】(2014·辽宁,23)将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原 的2倍,得曲线C.‎ ‎(1)写出C的参数方程;‎ ‎(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.‎ 解 (1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为C上点(x,y),‎ 依题意,得 由x+y=1得x2+=1,‎ 即曲线C的方程为x2+=1.‎ 故C的参数方程为(t为参数).‎ ‎(2)由解得:或 不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为,所求直线斜率为k=,于是所求直线方程为y-1=,‎ 化为极坐标方程,并整理得 ‎2ρcos θ-4ρsin θ=-3,‎ 即ρ=.‎ 题型三 参数方程及其应用 ‎【例3】 【2017课标1,理22】在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为 ‎.[ :学 ]‎ ‎(1)若a=−1,求C与l的交点坐标;‎ ‎(2)若C上的点到l的距离的最大值为,求a.‎ ‎【答案】(1)与的交点坐标为, ;(2)或.‎ ‎【解析】(1)曲线的普通方程为.‎ 当时,直线的普通方程为.‎ 由解得或.‎ 从而与的交点坐标为, .‎ ‎(2)直线的普通方程为,故上的点到的距离为 ‎.‎ 当时, 的最大值为.由题设得,所以;‎ 当时, 的最大值为.由题设得,所以.‎ 综上, 或.‎ ‎【变式探究】【2016高考新课标2理数】选修4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,圆的方程为.‎ ‎(Ⅰ)以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,求的极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)直线的参数方程是(为参数), 与交于两点,,求的斜率.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).‎ ‎【解析】(I)由可得的极坐标方程[ :Z|xx|k.Com]‎ ‎(II)在(I)中建立的极坐标系中,直线的极坐标方程为 由所对应的极径分别为将的极坐标方程代入的极坐标方程得 于是 ‎ ‎ 由得,‎ 所以的斜率为或.‎ ‎【变式探究】(2015·重庆,15)已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2cos 2θ=4,则直线l与曲线C的交点的极坐标为________.学 ‎ 解析 直线l的直角坐标方程为y=x+2,由ρ2cos 2θ=4得ρ2(cos2θ-sin2θ)=4,直角坐标方程为x2-y2=4,把y=x+2代入双曲线方程解得x=-2,因此交点为(-2,0),其极坐标为(2,π).‎ 答案 (2,π)‎ ‎【变式探究】(2014·福建)已知直线l的参数方程为(t为参数),圆C的参数方程为 ‎(θ为参数).‎ ‎(1)求直线l和圆C的普通方程;‎ ‎(2)若直线l与圆C有公共点,求实数a的取值范围.‎ ‎【命题意图】本小题主要考查直线与圆的参数方程等基础知识,意在考查考生的运算求解能力及化归与转化思想.‎ ‎【解题思路】(1)消去参数,即可求出直线l与圆C的普通方程.‎ ‎(2)求出圆心的坐标,利用圆心到直线l的距离不大于半径,得到关于参数a的不等式,即可求出参数a的取值范围.‎ ‎【解析】(1)直线l的普通方程为2x-y-‎2a=0,‎ 圆C的普通方程为x2+y2=16.‎ ‎(2)因为直线l与圆C有公共点,‎ 故圆C的圆心到直线l的距离d=≤4,‎ 解得-2≤a≤2.‎ ‎【感悟提升】‎ ‎1.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程,常用的消参方法有代入消参、加减消参和三角恒等式消参等,往往需要对参数方程进行变形,为消去参数创造条件.‎ ‎2.在与直线、圆、椭圆有关的题目中,参数方程的使用会使问题的解决事半功倍,尤其是求取值范围和最值问题,可将参数方程代入相关曲线的普通方程中,根据参数的取值条件求解.‎ ‎【变式探究】(2015·福建,21(2))在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为 (t为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)中,直线l的方程为ρsin=m(m∈R). ‎ ‎①求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程;‎ ‎②设圆心C到直线l的距离等于2,求m的值.‎ ‎[ : ]‎ ‎【举一反三】(2015·湖南,16Ⅱ)已知直线l:(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cos θ.‎ ‎(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;‎ ‎(2)设点M的直角坐标为(5,),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|·|MB|的值.‎ 解 (1)ρ=2cos θ等价于ρ2=2ρcos θ.①‎ 将ρ2=x2+y2,ρcos θ=x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.②‎ ‎(2)将代入②式,得t2+5t+18=0.学 ! ‎ 设这个方程的两个实根分别为t1,t2,则由参数t的几何意义即知,‎ ‎|MA|·|MB|=|t1t2|=18.‎ ‎ ‎
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