2020高中数学 第2章 函数概念与基本初等函数I 2

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2020高中数学 第2章 函数概念与基本初等函数I 2

函数的奇偶性和周期性 ‎(答题时间:50分钟)‎ 函数的奇偶性和周期性(一)‎ 一、填空题 ‎1. 设是定义在上的奇函数,且的图象关于直线对称,则_______。‎ ‎2. 已知定义在上的奇函数和偶函数满足().若,则______。‎ ‎3. 已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,比较的大小,用“<”连接。__________________________________。‎ ‎4. 已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=________。‎ ‎5. 设奇函数在上为增函数,且,则不等式的解集为_________。‎ ‎6. 设是定义在R上的周期为2的函数,当时,则 。‎ ‎7. 设函数、的定义域都为R,且是奇函数,是偶函数。则下列结论中正确的是________。‎ ‎①是偶函数; ②是奇函数;‎ ‎③是奇函数; ④是奇函数。‎ 二、解答题 ‎8. 函数是定义在内的奇函数,且。‎ ‎(1)确定函数的解析式;‎ ‎(2)用定义证明在内为增函数;‎ ‎(3)解不等式:。‎ 函数的奇偶性和周期性(二)‎ ‎1. 定义在R上的函数f(x)满足:f(x)·f(x+2)=13,f(1)=2,则f(99)=____。‎ ‎2. 设f(x)是连续的偶函数,且当x>0时是单调函数,则满足的所有x之和为_______。‎ ‎3. 设函数f(x)=x(ex+ae-x)(x∈R)是偶函数,则实数a的值为________。‎ 6‎ ‎4. 已知函数f(x+1)是奇函数,f(x-1)是偶函数,且f(0)=2,则f(4)=________。‎ ‎*5. 设函数f(x)的定义域、值域分别为A、B,且A∩B是单元集,下列命题:‎ ‎①若A∩B={a},则f(a)=a;‎ ‎②若B不是单元集,则满足f[f(x)]=f(x)的x值可能不存在;‎ ‎③若f(x)具有奇偶性,则f(x)可能为偶函数;‎ ‎④若f(x)不是常数函数,则f(x)不可能为周期函数;‎ 其中,正确命题的序号为________。‎ ‎*6. 设函数f(x)(x∈R)为奇函数,f(1)=,f(x+2)=f(x)+f(2),则f(5)=_____。‎ ‎**7. 设函数f(x)的定义域关于原点对称,且满足 ‎①f(x1-x2)=;‎ ‎②存在正常数a,使f(a)=1;‎ 求证:(1)f(x)是奇函数;‎ ‎(2)f(x)是周期函数,并且有一个周期为‎4a。‎ 6‎ 函数的奇偶性和周期性(一)‎ ‎1. 0 ‎ 解析:是定义在上的奇函数,∴;‎ 的图象关于直线对称,∴,‎ 又为奇函数,∴,又的图象关于直线对称,‎ ‎∴;同理可得,,。‎ ‎2. ‎ 解析:①,‎ 又由为奇函数,为偶函数,将代入①式得:‎ ‎②‎ ‎①+②式子得:,‎ ‎∴,,‎ ‎∴。‎ ‎3. ‎ 解析:由f(x-4)=-f(x)得:,8为函数的最小正周期。‎ ‎∴,‎ 由f(x)在上为增函数,且在上为增函数,‎ 所以f(x)在上为增函数。‎ 令,得:‎ 所以。‎ ‎4. ‎ 解析:为定义在R上的奇函数以及f(x-4)=-f(x)可得:‎ 的周期为8,的图象关于原点对称,‎ 由可得的其中一条对称轴为直线,‎ 在区间上为增函数,‎ 画出满足条件的的图象如下图:‎ 6‎ 令四个交点分别为A,B,C,D,对应的点的横坐标分别为x1,x2,x3,x4,‎ 则A,B两点关于直线对称,∴x1x2 ,‎ C,D两点关于直线对称,∴x3x4 ,‎ ‎∴x1+x2+x3+x4=‎ ‎5. (-1,0)∪(0,1)‎ 解析:为奇函数,∴,‎ 由得,‎ ‎∴‎ 又∵在上为增函数,且,‎ ‎∴当时,;当时,;‎ 当时,;当时,;‎ ‎∴原不等式的解集为(-1,0)∪(0,1)。‎ ‎6. 1‎ 解析:利用周期性,将转化为定义域在上的函数值。‎ ‎∵是定义在R上的周期为2的函数,‎ ‎∴,‎ 又∵,‎ ‎∴ ‎ ‎。‎ ‎7. ③‎ 解析:①令,‎ 由是奇函数,是偶函数可知 ‎∴,即,又的定义域为,所以是奇函数。‎ ‎②为偶函数,是偶函数,由偶偶=偶(函数)得:是奇函数(定义域为R,关于原点对称)。‎ ‎③是奇函数, 是偶函数故也是偶函数,由奇偶=奇,所以是奇函数(定于域为R)。‎ ‎④,且定义域为R,所以是偶函数。‎ ‎8. 解析:本题考查通过函数的单调性和奇偶性来确定函数的解析式,求的值是解本题的关键。‎ ‎(1)解:由已知得:‎ ‎ 即 6‎ 解得:,‎ ‎∴。‎ ‎(2)证明:任意取 ‎∵,∴‎ ‎∴‎ ‎∴在内是增函数。‎ ‎(3)解:,‎ ‎∵是内的增函数,‎ ‎∴‎ 解得:。‎ 函数的奇偶性和周期性(二)‎ ‎1. 解析:由f(x)·f(x+2)=13,知f(x+2)·f(x+4)=13,所以f(x+4)=f(x),即f(x)是周期函数,周期为4.所以f(99)=f(3+4×24)=f(3)=。‎ ‎2. -8 解析:因为f(x)是连续的偶函数,且当x>0时是单调函数,由偶函数的性质可知若f(x)=,只有两种情况:①x;②x+=0,‎ 由①知x2+3x-3=0,故两根之和为x1+x2=-3,‎ 由②知x2+5x+3=0,故两根之和为x3+x4=-5,‎ 因此满足条件的所有x之和为-8。‎ ‎3. -1 解析:设g(x)=x,h(x)=ex+ae-x,因为函数g(x)=x是奇函数,则由题意知,函数h(x)=ex+ae-x为奇函数,又函数f(x)的定义域为R,∴h(0)=0,解得a=-1。‎ ‎4. -2 解析:依题意有f(-x+1)=-f(x+1),f(-x-1)=f(x-1),所以f(4)=f(-(-3)+1)=-f(-2)=-f(-1-1)=-f(0)=-2。‎ ‎5. ②③ 解析:如f(x)=x+1,A=[-1,0],B=[0,1]满足A∩B={0},但f(0)≠0,且满足f[f(x)]=f(x)的x可能不存在,①错,②正确;如,f(x)=1,A=R,B={1},则f(x)=1,A=R是偶函数,③正确;如f(x)=x-2k+1,A=[2k-1,2k],B=[0,1],k∈Z,f(x)是周期函数,但不是常数函数,所以④错误。‎ ‎6. 解析:∵函数f(x) (x∈R)为奇函数,f(1)=,‎ ‎∴f(-1)=-,f(1)=,f(0)=0,‎ 令x=-1,代入到f(x+2)=f(x)+f(2)中,得:‎ 6‎ f(1)= f(-1)+ f(2),‎ ‎∴f(2)= f(1)- f(-1)=1,‎ ‎∴f(3)= f(1+2)=f(1)+ f(2)= ,‎ ‎∴f(5)= f(2+3)=f(2)+ f(3)= ‎ ‎7. 证明:(1)不妨令x=x1-x2,则 f(-x)=f(x2-x1)=‎ ‎=-=-f(x1-x2)‎ ‎=-f(x),∴f(x)是奇函数;‎ ‎(2)要证f(x+‎4a)=f(x),‎ 可先计算f(x+a),f(x+‎2a),‎ ‎∵f(x+a)=f[x-(-a)]‎ ‎=,(f(a)=1),‎ ‎∴f(x+‎2a)=f[(x+a)+a],‎ ‎==-,‎ ‎∴f(x+‎4a)=f[(x+‎2a)+‎2a]==f(x),‎ 故f(x)是以‎4a为周期的周期函数。‎ 6‎
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