2020高中数学 课时分层作业15 等比数列的前n项和 新人教A版必修5

2020高中数学 课时分层作业15 等比数列的前n项和 新人教A版必修5

课时分层作业(十五)　等比数列的前n项和 ‎(建议用时：40分钟)‎ ‎[学业达标练]‎ 一、选择题 ‎1．设数列{(－1)n}的前n项和为Sn，则Sn等于(　　)‎ A.　　　　 B. C. D. D　[Sn＝＝.]‎ ‎2．已知{an}是等比数列，a3＝1，a6＝，则a‎1a2＋a‎2a3＋…＋anan＋1等于(　　)‎ ‎【导学号：91432221】‎ A．16(1－4－n) B．16(1－2－n)‎ C.(1－4－n) D.(1－2－n)‎ C　[∵a3＝1，a6＝，∴q＝，∴a1＝4，‎ ‎∴a‎1a2＋a‎2a3＋…＋anan＋1＝(1－4－n)．]‎ ‎3．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a‎1a5＝1，S3＝7，则S5等于(　　)‎ A. B. C. D. B　[∵{an}是由正数组成的等比数列，且a‎1a5＝1，‎ ‎∴a1·a1q4＝1，‎ 又a1，q>0，∴a1q2＝1，即a3＝1，S3＝7＝＋＋1，‎ ‎∴6q2－q－1＝0，解得q＝，‎ ‎∴a1＝＝4，S5＝＝.]‎ ‎4．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是前n项和，且9S3＝S6，则数列 - 5 -‎ 的前5项和等于(　　)‎ ‎【导学号：91432222】‎ A.或5 B.或5‎ C. D. C　[设数列{an}的公比为q，显然q≠1，由已知得＝，解得q＝2(q＝1舍去)，∴数列是以1为首项，为公比的等比数列，前5项和为＝.]‎ ‎5．已知等比数列{an}中，an＝2×3n－1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和Sn的值为(　　)‎ A．3n－1 B．3(3n－1)‎ C. D. D　[∵an＝2×3n－1，则数列{an}是以2为首项，3为公比的等比数列，由此数列的偶数项所组成的新数列是以6为首项，以9为公比的等比数列，则前n项和为Sn＝＝.]‎ 二、填空题 ‎6．等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝，S6＝，则a8＝________.‎ ‎32　[设{an}的首项为a1，公比为q，则 解得所以a8＝×27＝25＝32.]‎ ‎7．设数列{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，则a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝________.‎ ‎【导学号：91432223】‎ ‎15　[法一：a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝1＋|1×(－2)|＋1×(－2)2＋|1×(－2)3|＝15.‎ 法二：因为a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|，数列{|an|}是首项为1，公比为2的等比数列，故所求代数式的值为＝15.]‎ ‎8．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________.‎ ‎6　[∵a1＝2，an＋1＝2an，‎ ‎∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，‎ 又∵Sn＝126，∴＝126，∴n＝6.]‎ - 5 -‎ 三、解答题 ‎9．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．‎ ‎(1)求{an}的公比q；‎ ‎(2)若a1－a3＝3，求Sn.‎ ‎【导学号：91432224】‎ ‎[解]　(1)依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，‎ 由于a1≠0，故2q2＋q＝0.‎ 又q≠0，从而q＝－.‎ ‎(2)由已知可得a1－a12＝3，‎ 故a1＝4.‎ 从而Sn＝＝.‎ ‎10．已知数列{an}和{bn}满足a1＝2，b1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，b1＋b2＋b3＋…＋bn＝bn＋1－1(n∈N*)．‎ ‎(1)求an与bn；‎ ‎(2)记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn.‎ ‎[解]　(1)由a1＝2，an＋1＝2an，得an＝2n(n∈N*)．‎ 由题意知：‎ 当n＝1时，b1＝b2－1，故b2＝2.‎ 当n≥2时，bn＝bn＋1－bn.‎ 整理得＝，‎ 所以bn＝n(n∈N*)．‎ ‎(2)由(1)知anbn＝n·2n，‎ 因此Tn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，‎ ‎2Tn＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1，‎ 所以Tn－2Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1.‎ 故Tn＝(n－1)2n＋1＋2(n∈N*)．‎ ‎[冲A挑战练]‎ ‎1．在等比数列{an}中，a1＋a2＋…＋an＝2n－1(n∈N*)，则a＋a＋…＋a等于(　　)‎ - 5 -‎ A．(2n－1)2 B.(2n－1)2‎ C．4n－1 D.(4n－1)‎ D　[a1＋a2＋…＋an＝2n－1，即Sn＝2n－1，则Sn－1＝2n－1－1(n≥2)，则an＝2n－2n－1＝2n－1(n≥2)，又a1＝1也符合上式，所以an＝2n－1，a＝4n－1，所以a＋a＋…＋a＝(4n－1)．]‎ ‎2．如图251，作边长为3的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆．如此下去，则前n个内切圆的面积和为(　　)‎ ‎【导学号：91432225】‎ 图251‎ A. B.π C．2π D．3π B　[根据条件，第一个内切圆的半径为×3＝，面积为π，第二个内切圆的半径为，面积为π，…，这些内切圆的面积组成一个等比数列，首项为π，公比为，故面积之和为＝π.]‎ ‎3．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是________．‎ ‎192　[设最下面一层灯的盏数为a1，则公比q＝，n＝7，由＝381，‎ 解得a1＝192.]‎ ‎4．等差数列{an}中，公差d≠0，a＝a‎1a4，若a1，a3，ak1，ak2，…，akn，…成等比数列，则kn＝________.‎ ‎3n＋1　[由题意得(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，‎ - 5 -‎ ‎∴a1＝d，∴q＝＝＝3.‎ ‎∴akn＝‎9a1×3n－1＝kna1，‎ ‎∴kn＝9×3n－1＝3n＋1.]‎ ‎5．设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q.已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.‎ ‎(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎(2)当d＞1时，记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎【导学号：91432226】‎ ‎[解]　(1)由题意有 即 解得或 故或 ‎(2)由d＞1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝，‎ 于是Tn＝1＋＋＋＋＋…＋，①‎ Tn＝＋＋＋＋…＋＋.②‎ ‎①－②可得 Tn＝2＋＋＋…＋－＝3－，‎ 故Tn＝6－.‎ - 5 -‎