【数学】2018届一轮复习人教A版5-3 平面向量的数量积 学案

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【数学】2018届一轮复习人教A版5-3 平面向量的数量积 学案

‎1.向量的夹角 已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则∠AOB就是向量a与b的夹角,向量夹角的范围是:[0,π].‎ ‎2.平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a,b的夹角为θ,则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积,记作a·b 投影 ‎|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影,‎ ‎|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积 ‎3.平面向量数量积的性质 设a,b都是非零向量,e是单位向量,θ为a与b(或e)的夹角.则 ‎(1)e·a=a·e=|a|cos θ.‎ ‎(2)a⊥b⇔a·b=0.‎ ‎(3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;‎ 当a与b反向时,a·b=-|a||b|.‎ 特别地,a·a=|a|2或|a|=.‎ ‎(4)cos θ=.‎ ‎(5)|a·b|≤|a||b|.‎ ‎4.平面向量数量积满足的运算律 ‎(1)a·b=b·a;‎ ‎(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ为实数);‎ ‎(3)(a+b)·c=a·c+b·c.‎ ‎5.平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2,由此得到 ‎(1)若a=(x,y),则|a|2=x2+y2或|a|=.‎ ‎(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点间的距离AB=||=.‎ ‎(3)设两个非零向量a,b,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.‎ ‎(4)若a,b都是非零向量,θ是a与b的夹角,则cos θ==.‎ ‎【知识拓展】‎ ‎1.两个向量a,b的夹角为锐角⇔a·b>0且a,b不共线;‎ 两个向量a,b的夹角为钝角⇔a·b<0且a,b不共线.‎ ‎2.平面向量数量积运算的常用公式 ‎(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2.‎ ‎(2)(a+b)2=a2+2a·b+b2.‎ ‎(3)(a-b)2=a2-2a·b+b2.‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向量.( √ )‎ ‎(2)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( √ )‎ ‎(3)由a·b=0可得a=0或b=0.( × )‎ ‎(4)(a·b)c=a(b·c).( × )‎ ‎(5)两个向量的夹角的范围是[0,].( × )‎ ‎1.(教材改编)已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,则k等于(  )‎ A.-12 B.6‎ C.-6 D.12‎ 答案 D 解析 ∵2a-b=(4,2)-(-1,k)=(5,2-k),‎ 由a·(2a-b)=0,得(2,1)·(5,2-k)=0,‎ ‎∴10+2-k=0,解得k=12.‎ ‎2.(2017·南宁质检)已知向量a与b的夹角为30°,且|a|=1,|2a-b|=1,则|b|等于(  )‎ A. B. C. D. 答案 C 解析 由题意可得a·b=|b|cos 30°=|b|,4a2-4a·b+b2=1,即4-2|b|+b2=1,由此求得|b|=,故选C.‎ ‎3.(2015·广东)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,=(1,-2),=(2,1),则·等于(  )‎ A.5 B.4 C.3 D.2‎ 答案 A 解析 ∵四边形ABCD为平行四边形,‎ ‎∴=+=(1,-2)+(2,1)=(3,-1).‎ ‎∴·=2×3+(-1)×1=5.‎ ‎4.(2016·北京)已知向量a=(1,),b=(,1),则a与b夹角的大小为________.‎ 答案  解析 设a与b的夹角为θ,则cos θ====,‎ 又因为θ∈[0,π],所以θ=.‎ ‎5.(2016·厦门模拟)设x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,则|a+b|=________.‎ 答案  解析 ∵a⊥b,∴a·b=0,即x-2=0,‎ ‎∴x=2,∴a=(2,1),∴a2=5,b2=5,‎ ‎∴|a+b|== ‎==.‎ 题型一 平面向量数量积的运算 例1 (1)(2016·天津)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则·的值为(  )‎ A.- B. C. D. ‎(2)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则·的值为________;·的最大值为________.‎ 答案 (1)B (2)1 1‎ 解析 (1)如图,由条件可知=-,‎ =+=+ ‎=+,‎ 所以· ‎=(-)·(+)‎ ‎=2-·-2.‎ 因为△ABC是边长为1的等边三角形,‎ 所以||=||=1,∠BAC=60°,‎ 所以·=--=.‎ ‎(2)方法一 以射线AB,AD为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系,‎ 则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),设 E(t,0),t∈[0,1],则=(t,-1),=(0,-1),所以·=(t,-1)·(0,-1)=1.‎ 因为=(1,0),所以·=(t,-1)·(1,0)=t≤1,‎ 故·的最大值为1.‎ 方法二 由图知,‎ 无论E点在哪个位置,在方向上的投影都是CB=1,∴·=||·1=1,‎ 当E运动到B点时,在方向上的投影最大,即为DC=1,‎ ‎∴(·)max=||·1=1.‎ 思维升华 平面向量数量积的三种运算方法 ‎(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a·b=|a||b|cos〈a,b〉.‎ ‎(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.‎ ‎(3)利用数量积的几何意义求解.‎ ‎ (1)(2016·全国丙卷)已知向量=,=,则∠ABC等于(  )‎ A.30° B.45° C.60° D.120°‎ ‎(2)(2015·天津)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.点E和F分别在线段BC和DC上,且=,=,则·的值为________.‎ 答案 (1)A (2) 解析 (1)∵||=1,||=1,‎ cos∠ABC==,‎ 又∵0°≤∠ABC≤180°,∴∠ABC=30°.‎ ‎(2)在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AB=2,BC=1,‎ ‎∠ABC=60°,∴CD=1,=+=+,‎ =+=+,‎ ‎∴·=·=·+·+·+·=2×1×cos 60°+2×+×12×cos 60°+××12×cos 120°=.‎ 题型二 平面向量数量积的应用 命题点1 求向量的模 例2 (1)(2016·西安模拟)已知平面向量a,b的夹角为,且|a|=,|b|=2,在△ABC中,=2a+2b,=2a-6b,D为BC的中点,则||=________.‎ ‎(2)在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足||=1,则|++|的最大值是________.‎ 答案 (1)2 (2)+1‎ 解析 (1)因为=(+)‎ ‎=(2a+2b+2a-6b)‎ ‎=2a-2b,‎ 所以||2=4(a-b)2=4(a2-2b·a+b2)‎ ‎=4×(3-2×2××cos +4)=4,‎ 所以||=2.‎ ‎(2)设D(x,y),由=(x-3,y)及||=1,‎ 知(x-3)2+y2=1,即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆.‎ 又O++=(-1,0)+(0,)+(x,y)‎ ‎=(x-1,y+),‎ ‎∴|++|=.‎ 问题转化为圆(x-3)2+y2=1上的点与点P(1,-)间距离的最大值.‎ ‎∵圆心C(3,0)与点P(1,-)之间的距离为=,‎ 故的最大值为+1.‎ 即|++|的最大值是+1.‎ 命题点2 求向量的夹角 例3 (1)已知单位向量e1与e2的夹角为α,且cos α=,向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为β,则cos β=________.‎ ‎(2)若向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),已知2a-3b与c的夹角为钝角,则k的取值范围是________________.‎ 答案 (1) (2)∪ 解析 (1)因为a2=(3e1-2e2)2‎ ‎=9-2×3×2×12×cos α+4=9,‎ 所以|a|=3,‎ 因为b2=(3e1-e2)2=9-2×3×1×12×cos α+1=8,‎ 所以|b|=2,‎ a·b=(3e1-2e2)·(3e1-e2)‎ ‎=9e-9e1·e2+2e=9-9×1×1×+2=8,‎ 所以cos β===.‎ ‎(2)∵2a-3b与c的夹角为钝角,‎ ‎∴(2a-3b)·c<0,‎ 即(2k-3,-6)·(2,1)<0,‎ ‎∴4k-6-6<0,‎ ‎∴k<3.‎ 又若(2a-3b)∥c,则2k-3=-12,即k=-.‎ 当k=-时,2a-3b=(-12,-6)=-6c,‎ 即2a-3b与c反向.‎ 综上,k的取值范围为∪.‎ 思维升华 平面向量数量积求解问题的策略 ‎(1)求两向量的夹角:cos θ=,要注意θ∈[0,π].‎ ‎(2)两向量垂直的应用:两非零向量垂直的充要条件是:a⊥b⇔a·b=0⇔|a-b|=|a+b|.‎ ‎(3)求向量的模:利用数量积求解长度问题的处理方法有:‎ ‎①a2=a·a=|a|2或|a|=.‎ ‎②|a±b|==.‎ ‎③若a=(x,y),则|a|=.‎ ‎ (1)(2015·湖北)已知向量⊥,||=3,则·=________.‎ ‎(2)在△ABC中,若A=120°,·=-1,则||的最小值是(  )‎ A. B.2‎ C. D.6‎ 答案 (1)9 (2)C 解析 (1)因为⊥,所以·=0.所以·=·(+)=2+·=||2+0=32=9.‎ ‎(2)∵·=-1,‎ ‎∴||·||·cos 120°=-1,‎ 即||·||=2,‎ ‎∴||2=|-|2=2-2·+2‎ ‎≥2||·||-2·=6,‎ ‎∴||min=.‎ 题型三 平面向量与三角函数 例4 (2015·广东)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sin x,cos x),x∈.‎ ‎(1)若m⊥n,求tan x的值;‎ ‎(2)若m与n的夹角为,求x的值.‎ 解 (1)因为m=,n=(sin x,cos x),m⊥n.‎ 所以m·n=0,即sin x-cos x=0,‎ 所以sin x=cos x,所以tan x=1.‎ ‎(2)因为|m|=|n|=1,所以m·n=cos=,‎ 即sin x-cos x=,‎ 所以sin=,‎ 因为04,且tsin θ取最大值4时,求·.‎ 解 (1)由题设知=(n-8,t),‎ ‎∵⊥a,∴8-n+2t=0.‎ 又∵||=||,‎ ‎∴5×64=(n-8)2+t2=5t2,得t=±8.‎ 当t=8时,n=24;当t=-8时,n=-8,‎ ‎∴=(24,8)或=(-8,-8).‎ ‎(2)由题设知=(ksin θ-8,t),‎ ‎∵与a共线,∴t=-2ksin θ+16,‎ tsin θ=(-2ksin θ+16)sin θ ‎=-2k(sin θ-)2+.‎ ‎∵k>4,∴0<<1,‎ ‎∴当sin θ=时,tsin θ取得最大值.‎ 由=4,得k=8,‎ 此时θ=,=(4,8),‎ ‎∴·=(8,0)·(4,8)=32.‎
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