河南省2020届高三上学期阶段性考试（四）数学（文）试题

河南省2020届高三上学期阶段性考试（四）数学（文）试题

‎2019～2020年度河南省高三阶段性考试（四）数学（文科）‎ 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1.设集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解出集合、，然后利用交集的定义可得出集合.‎ ‎【详解】解不等式，得，则.‎ 解不等式，得，解得，则.‎ 因此，.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集运算，同时也考查了一元二次不等式与指数不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎2.欧拉公式 （是自然对数的底数，是虚数单位）是数学里令人着迷的公式之一，根据欧拉公式可知，（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据欧拉公式和复数的乘法法则可计算出.‎ ‎【详解】根据欧拉公式和复数的乘法法则得 ‎.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查复数的基本运算，解题的关键就是利用欧拉公式将复数化为一般形式，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎3.设，，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 比较、、三个数与和的大小关系，从而可得出、、三个数的大小关系.‎ ‎【详解】对数函数是增函数，则；‎ 对数函数是减函数，则；‎ 指数函数为增函数，则，且.‎ 因此，.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查指数幂、对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性，结合中间值法来得出各数的大小关系，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎4.鸡兔同笼，是中国古代著名的趣味题之一.《孙子算经》中就有这样的记载：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各有几何？设计如右图的算法来解决这个问题，则判断框中应填入的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知为鸡的数量，为兔的数量，为足的数量，根据题意可得出判断条件.‎ ‎【详解】由题意可知为鸡数量，为兔的数量，为足的数量，根据题意知，在程序框图中，当计算足的数量为时，算法结束，因此，判断条件应填入“”.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查算法程序框图中判断条件的填写，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎5.函数的图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析函数的定义域、奇偶性以及函数在和上的函数值符号，可得出正确选项.‎ ‎【详解】自变量满足，解得且，‎ 则函数的定义域为.‎ ‎，则函数为奇函数，‎ 当时，，，当时，，.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查函数图象的识别，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点和函数值符号来进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎6.若非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，得，设，从而可得，由代入即可求解.，‎ ‎【详解】由，得，‎ 即，‎ 设，则 又∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 又∵，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题中考查了向量垂直的表示，由数量积求向量的夹角，重点考查了学生的计算能力，属于中档题.‎ ‎7.临近学期结束，某中学要对本校高中部一线科任教师进行“评教评学”调查，经调查，高一年级名一线科任教师好评率为，高二年级名一线科任教师好评率为，高三年级名一线科任教师好评率为.依此估计该中学高中部一线科任教师的好评率约为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算出高中三个年级好评率的教师总数，再除以高中部一线科任教师总数即可得出结果.‎ ‎【详解】由题意可知，该中学高中部一线科任教师好评率为，‎ 因此，该中学高中部一线科任教师的好评率为.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查古典概型概率的计算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎8.在三棱锥中，底面，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理计算出的外接圆半径，然后利用公式计算出外接球的半径，最后利用球体表面积公式可计算出该三棱锥的外接球的表面积.‎ ‎【详解】在中，设该三角形外接圆半径为，由正弦定理得，‎ 平面，设三棱锥的外接球半径为，则，‎ ‎，因此，该三棱锥的外接球的表面积为.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查三棱锥的外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，选择合适的模型来求出外接球的半径，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎9.已知函数，若在上无极值点，则的取值不可能是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时，计算出，然后对四个选项中的的值进行检验，结合题中条件得出合乎题意的选项.‎ ‎【详解】，.‎ 当时，，此时函数在上无极值；‎ 当时，，此时函数在上无极值；‎ 当时，，此时函数在上无极值；‎ 当时，，此时函数在上有极大值点.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查利用三角函数的极值点求参数的值，在解题时要求出对象角的取值范围，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎10.已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于、两点，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，由题意得出，由椭圆定义得出，利用余弦定理求出的值，设，根据椭圆定义得出，然后利用余弦定理求出的值，由此可得出的值.‎ ‎【详解】设，椭圆的焦距为，由题意得出，椭圆的离心率为，.‎ 由椭圆的定义可得，‎ 由余弦定理得，‎ 设，由椭圆的定义可得，‎ 由余弦定理得，‎ 即，解得.‎ 所以，，，因此，.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆焦点三角形中线段的长度比，同时也涉及了椭圆的定义和余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎11.在中，角、、的对边分别为、、，若，，点是的重心，且，则（ ）‎ A. 或 B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二倍角的余弦公式以及诱导公式求出，可得出或，然后由点是的重心，得出，两边平方后化简得出，然后分或两种情况讨论，求出的值，由余弦定理可求出的值.‎ ‎【详解】，，‎ 整理得，解得或（舍去）.‎ 或.‎ 又点是的重心，则，‎ 等式两边平方得，‎ ‎，，，整理得.‎ ‎①当时，则有，解得，‎ 由余弦定理得，则；‎ ‎②当时，则有，解得，‎ 由余弦定理得，则.‎ 因此，或.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查二倍角的余弦公式、余弦定理解三角形问题，本题涉及三角形的重心问题，在解题时可充分利用向量来处理，可简化计算，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎12.已知函数，若关于的不等式在恒成立，则的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析函数在上的单调性，并作出函数在上的图象，求出函数图象的两个端点、，求出过点、且斜率分别为、的直线与轴的交点坐标，利用数形结合思想可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】当时，，则，令，得.‎ 当时，；当时，.‎ 所以，函数在上单调递减，在上单调递增.‎ 当时，，作出函数的图象如下图所示：‎ 设过函数的图象上的点且斜率为的直线与轴的交点为，则，解得.‎ 设过函数的图象上的点且斜率为的直线与轴的交点为，则，解得.‎ 函数与轴的交点坐标为，由图象可得，解得，因此，实数的取值范围是.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查由函数不等式恒成立求参数的取值范围，在解题时应充分利用数形结合思想找出一些关键点列不等式进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.‎ 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡中的横线上. ‎ ‎13.根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得回归直线方程为，若样本中心点为，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 将样本中心点的坐标代入回归直线方程，可求出实数的值.‎ ‎【详解】将样本中心点的坐标代入回归直线方程，得，即，‎ 解得.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查利用回归直线的应用，解题时应熟悉“回归直线过样本中心点”这一结论的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎14.首项为的等差数列中，、、成等比数列，则的前项和为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等差数列的公差为，根据题中条件求出的值，然后利用等差数列的求和公式可求出数列的前项的和.‎ ‎【详解】设等差数列的公差为，由题意可得，‎ 所以，，，‎ 整理得，解得或.‎ 当时，，舍去；‎ 所以，，因此，数列的前项的和为.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列求和公式的应用，一般要结合已知条件列出有关首项和公差的方程（组），求出等差数列的首项和公差，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎15.设是定义在上的奇函数的导函数，且，当，，则不等式的解集是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，可得出函数为偶函数，且，利用导数分析出函数在上为减函数，再由可得出，由偶函数的性质得出，可得出，解出该不等式即可.‎ ‎【详解】构造函数，函数为奇函数，则函数为偶函数，‎ 所以，，且.‎ 又，当时，，此时，.‎ 所以，函数在上为减函数，由，得，‎ 由于函数为偶函数，则有，，解得或.‎ 因此，不等式的解集为.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查函数不等式的求解，利用导数不等式的结构构造新函数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎16.已知双曲线，、是平面内的两点，关于两焦点的对称点分别为、（与焦点不重合），线段的中点在双曲线上，则_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设双曲线的焦点分别为、，的中点为，连接、，可得出、分别为和的中位线，然后利用双曲线的定义可求出的值.‎ ‎【详解】设双曲线的焦点分别为、，的中点为，连接、，‎ 如下图所示，则、分别为和的中位线，‎ 由双曲线的定义可得，因此，.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的定义以及中位线性质的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ 三、解答题:本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17.已知首项为的等比数列的前项和为. ‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）若，，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）或；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设等比数列的公比为，根据题中条件求出的值，然后利用等比数列的通项公式可求出数列的通项公式；‎ ‎（2）由（1）可得，求出，可得出，然后利用裂项求和法可求出数列的前项和.‎ ‎【详解】（1）设等比数列的公比为，由题意可得，整理得，‎ 解得或，因此，或；‎ ‎（2），，，‎ ‎，‎ 因此，.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解，同时也考查了裂项求和法的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎18.《哪吒之魔童降世》于年月日在中国上映，据统计，年月日点分，《哪吒之魔童降世》超《流浪地球》，升至中国影史票房榜第二位.某电影院为了解观看该影片的观众的年龄构成情况，随机抽取了名观众，得到如下的频数统计图. ‎ ‎（1）估计所调查的名观众年龄的平均数和中位数；‎ ‎（2）在上述名观众中，若从年龄在的范围内选出人进行观后采访，求这人至少有人的年龄在的概率.‎ ‎【答案】（1）平均数为，中位数为；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将每个矩形的中点乘以矩形的高相加后除以，可得出这名观众年龄的平均数，利用中位数左右两边人数都为求出中位数的值；‎ ‎（2）记年龄在的人分别为、、、，记年龄在的人分别为、，列举出所有的基本事件，然后利用古典概型的概率公式和对立事件的概率公式可计算出所求事件的概率.‎ ‎【详解】（1）由频数统计图可知，这名观众年龄的平均数为，‎ 设中位数为，则，解得，‎ 因此，这名观众年龄的中位数为；‎ ‎（2）年龄在有人，分别记为、、、，年龄在有人，分别记为、，从这人中取出人共种情况，分别为：、、、、、、、、、、、、、、，‎ 其中年龄均在的只有一种情况，‎ 因此，至少有人年龄在的概率为.‎ ‎【点睛】本题考查频数统计图中平均数和中位数的计算，同时也考查了古典概型概率的计算，在涉及“至少”问题时，可采用对立事件的概率公式来进行计算，考查收集数据和整理数据的能力，属于中等题.‎ ‎19.在中，角、、的对边分别为、、，且.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由正弦定理边角互化思想得出，，再由，利用两角和的正切公式结合已知条件求出，再对的值进行分类讨论，可得出角的值；‎ ‎（2）由、的值可求出、的值，并利用正弦定理求出、的值，然后利用三角形的面积公式可求出的面积.‎ ‎【详解】（1），由正弦定理得，‎ ‎，，.‎ 在中，，‎ ‎，可得，.‎ 当时，，，‎ 则角、、均为钝角，不合乎题意，舍去.‎ ‎，因此，；‎ ‎（2）由（1）知，，，‎ ‎，同理可得，‎ ‎，，所以，，.‎ 由正弦定理得，解得，，‎ 因此，的面积为.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了三角形面积公式的应用，解题时要结合三角形元素类型合理选择正弦、余弦定理进行求解，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎20.如图，在四棱锥中，平面，，，，，，点为的中点. ‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若三棱锥的体积为，求点到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）延长、交于点，连接，利用余弦定理计算出，得出点为的中点，然后利用中位线的性质可得出，并利用直线与平面平行的判定定理证明出平面；‎ ‎（2）由平面可得知三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，利用等体积法计算出点到平面的距离，由为的中点知点到平面的距离是点到平面的距离的两倍，从而可得出答案.‎ ‎【详解】（1）如图，延长、交于点，连接.‎ 因为，，，‎ 所以中，，，，‎ 在中，，，. ‎ 由余弦定理，可得，‎ 所以或（舍去），所以为的中点. ‎ 又因为点为的中点，所以为的中位线，所以，‎ 又因为平面，平面，所以平面；‎ ‎（2）因为平面，所以三棱锥的体积与三棱锥的体积相等. ‎ 因为平面，平面，，‎ 又，，，所以平面. ‎ 由三棱锥的体积，可得， ‎ 所以，所以的面积，‎ 记点到平面的距离为，由，‎ 得，所以.‎ 因为点到平面的距离是点到平面的距离的倍，‎ 所以点到平面的距离是.‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，同时也考查了点到平面距离的计算，一般利用等体积法来进行计算，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中等题.‎ ‎21.已知抛物线，点为抛物线的焦点，点在抛物线上， 且，过点作斜率为的直线与抛物线交于、两点. ‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）若面积的取值范围为，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用抛物线的定义结合条件可求出值，从而得出抛物线的方程；‎ ‎（2）由题意可得出直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，并列出的面积关于的表达式，再结合题中条件可得出关于的不等式，解出即可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）由抛物线的定义得，得，‎ 因此，抛物线的方程为；‎ ‎（2）设直线的方程为，设点、，‎ 由，得，‎ 由韦达定理，得，.‎ 因为轴，所以，‎ 令，所以，‎ 又的面积的取值范围为，即，‎ 所以，得，即，所以或.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查利用抛物线的定义求抛物线的方程，同时也考查了抛物线中的三角形问题，一般将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理设而不求法来求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）已知方程有且仅有一个实数解，求的取值范围；‎ ‎（3）当时，不等式对于任意的恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入函数的解析式，求出和，然后利用点斜式可得出所求切线方程；‎ ‎（2）解法一：由题意得出关于的方程，转化为直线与曲线有且只有一个公共点，利用导数求出当直线与曲线相切时实数 的值，并利用数形结合思想得出当直线与曲线有一个交点时实数的取值范围，由此可得出实数的取值范围；‎ 解法二：利用参变量分离法得出方程只有一个实数解，构造函数，利用导数分析函数的单调性与极值，利用数形结合思想可求出当直线与函数的图象只有一个交点时，实数的取值范围；‎ ‎（3）构造函数，其中，可得知函数为偶函数，利用导数可分析出函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，由此可得出函数的值域为，根据题中条件可得出关于的不等式组，解出即可.‎ ‎【详解】（1）当时，，则，，所以， ‎ 因此，曲线在点处的切线方程为，‎ 即；‎ ‎（2）（法一）方程有且仅有一个实数解，‎ 即有且仅有一个实数解. ‎ 如图，设直线与曲线相切于点，因为，‎ 所以，解得.‎ 由图可得，直线与曲线有且仅有一个交点，则或，‎ 所以实数的取值范围是；‎ ‎（法二）将方程整理可得.‎ 当时，等式不成立；‎ 当时，，令，‎ ‎，在上，函数单调递增；‎ 在和上，函数单调递减. ‎ 结合图象可知，当时，方程有一解；‎ 当时，，当时，，‎ 所以当时，方程有一解. ‎ 所以实数的取值范围是；‎ ‎（3）由题意知.‎ 令，则， ‎ 易知，又，所以函数是上的偶函数.‎ 对求导，得. ‎ 因为，当时，易知，‎ 所以函数在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以函数在上的值域为.‎ 若不等式对于任意的恒成立，‎ 则有，即，设，则，解得，即，解得.‎ 又，所以，因此，实数取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，同时也考查了利用导数研究函数的零点个数问题以及不等式问题，在解题时要利用导数分析函数的单调性，求出函数的最值，利用最值构造不等式（组）进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.‎ ‎ ‎