2017-2018学年吉林省扶余市第一中学高二上学期期中考试数学（理）试题

2017-2018学年吉林省扶余市第一中学高二上学期期中考试数学（理）试题

扶余市第一中学 2017—2018 学年度上学期期中考试 高二数学理科试卷 本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考试结束后，只交答题纸和 答题卡，试题自己保留。满分 150 分，考试时间 120 分钟。 第 I 卷 （选择题 60 分） 注意事项 1．答题前，考生在答题纸和答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色签字笔将自己的班级、 姓名、考号填写清楚。请认真核准考号、姓名和科目。 2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合要求. 1．已知 , ,a b c 都是实数，则命题“若 a b ，则 2 2ac bc ”与它的逆命题、否命题、逆否 命题这四个命题中，真命题的个数是 ( ) A． 4 B． 2 C．1 D． 0 2. 抛物线 axy 2 的准线方程为 2x ，则 a 的值为（ ） A．8 B． 8 C． 4 D． 4 3. 从一批产品中任取 3 件，设 A “三件全是正品”， B “三件全是次品”， C “至 少有一件正品”，则下列结论正确的是 ( ) A. A 与 C 互斥 B. A 与 B 互为对立事件 C. B 与 C 互斥 D. A 与 C 互为对立事件 4．总体由编号为 20,19,,03,02,01  的 20 个个体组成，利用下面的随机数表选取5 个个体， 选取方法从随机数表第1行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出 来的第 5 个个体的编号为 （ ） A． 08 B． 07 C． 02 D． 01 5．用秦九韶算法求多项式 1345.0)( 245  xxxxxf ，当 3x 时，先算的是( ) A． 933  B． 5.121355.0  C． 5.5435.0  D． 5.163)435.0(  6.五张卡片上分别写有 1，2，3，4，5，从这五张卡片中随机抽取一张，事件 A 为“抽出的 卡 片 上的 数 字 为偶 数 ” ， 事 件 B 为 “ 抽 出 的卡 片 上 的数 字 为 1 ”， 则 )( BAP  ( ) A． 5 3 B． 5 1 C． 5 4 D．1 7.某程序框图如图所示，若输出的结果是 62 ，则判断框中可以是( ) A． ?6i B． ?7i C． ?6i D． ?5i 8.实数 0a  是方程 2 2 1 0ax x   至少有一个负数根的（ ） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 9.三棱锥 BCDA  中， 2 ADACAB ， 90BAD ，  30BAC ，则AB → ·CD → 等 于（ ） A． 2 B． 2 C． 32 D． 32 10.在投实心球测试活动中，经过多次测试，小明同学的成绩在 m10~8 之间，小华成绩在 m5.10~5.9 之间，现小明、小华各投一次，则小明投的比小华远的概率是（ ） A． 16 1 B． 4 3 C． 4 1 D． 16 5 11. 小李在做一份调查问卷，有5 道题，其中有两种题型，一种是选择题共3 道，另一种是 填空题，共 2 道，小李从中任选 2 道解答，每一次选1题（有放回），则所选题目是同一种 题型的概率为（ ） A． 25 12 B． 25 13 C． 5 2 D． 5 3 12. 已知椭圆 )0(1: 2 2 2 2  bab y a xC 的左、右焦点分别为 21,FF , P 为椭圆C 上任一点， 且   |||| 21 PFPF 的最大值的取值范围是 ]3,2[ 22 bb ，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A. ]2 2,3 3[ B. ]2 2,0( C． )1,3 6[ D. ]3 6,2 2[ （第 7 题图） 第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把正确答案填在答题纸的横线上，填在 试卷上的答案无效. 13．依次投掷两枚均匀的骰子，则所得的点数之差的绝对值为 4 的概率是_______． 14．已知命题 p：∃x0∈R， 02 1 0 2 0  xax ，若命题 p 是假命题，则实数 a 的取值范围 ________． 15．已知双曲线的渐近线方程是 043  yx ，则双曲线的离心率等于________． 16．已知直线 l： )4(3  xy 与抛物线 xy 162  交于 A、B 两点，F 为抛物线的焦点，则 1 1 | | | |AF BF   ___________． 三、解答题：共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分 10 分） 某公司经营一批进价为每件 4 百元的商品，在市场调查时发现，次商品的销售单价 x（百元） 与日销售量 y （件）之间有如下关系： （1）求 y 关于 x 的回归直线方程； （2）借助回归直线方程，请你预测，销售单价为多少百元（精确到个位数）时，日利润最 大？ 相关公式： xbya xnxx yxnyx b n i i n i ii ˆˆ, )( ˆ 1 22 1         . 18．（本小题满分 12 分） 某同学利用国庆节期间进行社会实践活动，在[25，55]岁的人群中随机抽取 n 人进行了一次 生活习惯是否符合低碳生活的调查，若生活习惯符合低碳生活的称为“低碳族”，否则称为 “非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图： 组数 分组 “低碳族”的人数 占本组的频率 第一组 [25，30) 120 0.6 第二组 [30，35) 195 p 第三组 [35，40) 100 0.5 （1）补全频率分布直方图，并求 n，a，p 的值；并利用频率分布直方图估计平均数； （2）从年龄在[40，50)岁的“低碳族”中采用分层抽样的方法抽取 6 人参加户外低碳体验 活动，其中选取 2 人作为领队，求选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在[40，45)岁的概率． 19．（本小题满分 12 分） 已知两点 M(－1，0)、N(1，0)，点 P 为坐标平面内的动点，满足|MN → |·|MP → |＋MN → ·NP → ＝0， 求动点 P(x，y)的轨迹方程． 20．（本小题满分 12 分） 如图，正方体 1111 DCBAABCD  的棱长为 2 ， GFE ,, 分别为 11111 ,, CBDCCC 的中点． （1）求证： DG 平面 BEF ； （2）求直线 AE 与平面 BEF 所成角的正弦值． 21．（本小题满分 12 分） 在四棱锥 ABCDS  中，底面 ABCD 为正方形， SA 平面 SCD ，已知 2 SDSA ， F 为线 段 SD 的中点． 第四组 [40，45) a 0.4 第五组 [45，50) 30 0.3 第六组 [50，55] 15 0.3 A 1A B 1B C 1C D 1D E F G (1) 求证： //SB 平面 ACF ； (2) 求二面角 SBFC  的余弦值． 22．（本小题满分 12 分） 已知椭圆 C : )0(12 2 2 2  bab y a x 的离心率为 2 2 ，直线 2: yl 上的点和椭圆C 上的 点的距离的最小值为1. （1）求椭圆C 的方程； （2）过椭圆 C 的左焦点 1F 且不与坐标轴垂直的直线 m 交椭圆 C 于 BA, 两点，线段 AB 的 垂直平分线与 x 轴交于点 N ，点 N 的横坐标的取值范围是 )0,3 1( ，求 || AB 的取值范围． 高二数学理科答案 一．选择题： BBCDC，ACBCA，BD 二．填空： 13. 14. 15. 16. 三．解答题： 17. 18.(1)第二组的概率为 1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3， 所以 频率 组距＝0.3 5 ＝0.06. 频率分布直方图如下： 第一组的人数为120 0.6＝200，频率为 0.04×5＝0.2，所以 n＝200 0.2＝1 000. 因为第二组的频率为 0.3，所以第二组的人数为 1 000×0.3＝300，所以 p＝195 300＝0.65. 第四组的频率为 0.03×5＝0.15，所以第四组的人数为 1 000×0.15＝150. 所以 a＝150×0.4＝60. 平均数： 岁. (2) 因为年龄在[40，45)岁的“低碳族”与[45，50)岁的“低碳族”的人数的比为 60∶30＝2∶ 1，所以采用分层抽样法抽取 6 人，[40，45)中有 4 人，[45，50)中有 2 人．设[40，45)中的 4 人为 a，b，c，d，[45，50)中的 2 人为 m，n，则选取 2 人作为领队的情况有(a，b)，(a， c)，(a，d)，(a，m)，(a，n)，(b，c)，(b，d)，(b，m)，(b，n)，(c，d)，(c，m)，(c，n)，(d， m)，(d，n)，(m，n)，共 15 种，其中恰有 1 人年龄在[40，45)岁的情况有(a，m)，(a，n)， (b，m)，(b，n)，(c，m)，(c，n)，(d， m)，(d，n)，共 8 种，所以选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在[40，45)岁的概率 P＝ 8 15. 19.解 ， ， 又因为| MN → |·| MP → |＋MN → ·NP →＝0，所以 整理得： 20.(1)如图建立空间直角坐标系，D 为原点， , 又因为 ，所以 平面 . (2) 设平面 的法向量为 因为 所以 令 所以 又因为 设直线 与平面 所成角为 ，所以 . 21.证明：设 AC，BD 相交于点 O，连接 OF， 因为 ABCD 为正方形，所以 O 为 BD 的中点，因为 F 是 SD 的中点， 所以 OF//SB 又因为 所以 平面 ； (2) 以 DS 为 X 轴 ， DC 为 Y 轴 ， 如 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则 ： 设平面 BFS 的法向量为 法二：以 S 为原点，SC 为 y 轴，则 平面 CBF 的法向量为 平面 BFS 的法向量为 结果同上 22. （1）由题知 所以椭圆 的方程： （2）设直线 联立 整理得： 记 线段 中点 可得 故点 直线 方程为 所以， 所以 即 （3）