【数学】2020届一轮复习（理）通用版7-6数学归纳法学案

【数学】2020届一轮复习（理）通用版7-6数学归纳法学案

第六节数学归纳法 ‎1．数学归纳法的2个步骤 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：‎ ‎(1)归纳奠基 证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立(初始值n0不一定为1)；‎ ‎(2)归纳递推 假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．‎ 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．‎ ‎[注意]　证明当n＝k＋1时命题成立一定会用到归纳假设，即假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，解题时要搞清从n＝k到n＝k＋1增加了哪些项或减少了哪些项．‎ ‎2．数学归纳法的2个步骤的意义 步骤(1)是命题论证的基础，步骤(2)是判断命题的正确性能否递推下去的保证．‎ 这两个步骤缺一不可，如果只有步骤(1)缺少步骤(2)，无法对n取n0后的数时结论是否正确作出判断；如果只有步骤(2)缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)就没有意义了．‎ ‎[小题查验基础]‎ 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)‎ ‎(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．(　　)‎ ‎(2)数学归纳法主要用于研究与正整数有关的数学问题，但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法证明．(　　)‎ ‎(3)证明当n＝k＋1时命题成立用到归纳假设，即n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立．(　　)‎ ‎(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×‎ 二、选填题 ‎1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于(　　)‎ A．1　　　　　　　　　　　　 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：选C　三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n＝3.‎ ‎2．用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn＝na1＋d时，假设当n＝k时，公式成立，则Sk＝(　　)‎ A．a1＋(k－1)d B. C．ka1＋d D．(k＋1)a1＋d 解析：选C　假设当n＝k时，公式成立，只需把公式中的n换成k即可，即Sk＝ka1＋d.‎ ‎3．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则(　　)‎ A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋ B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋ D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ 解析：选D　由f(n)可知，f(n)中共有n2－n＋1项，且n＝2时，f(2)＝＋＋.‎ ‎4．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，n＞1)时，第一步应验证的不等式的左边为________．‎ 答案：1＋＋ ‎5．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＞成立，起始值应取为n＝________.‎ 解析：不等式的左边＝＝2－，当n＜8时，不等式不成立，故起始值应取n＝8.‎ 答案：8‎ 考点一用数学归纳法证明等式[师生共研过关]‎ ‎ [典例精析]‎ 用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＝(n∈N*)．‎ ‎[证明]　(1)当n＝1时，‎ 左边＝＝，‎ 右边＝＝，‎ 左边＝右边，所以等式成立．‎ ‎(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，‎ 即＋＋＋…＋＝，‎ 则当n＝k＋1时，‎ ＋＋＋…＋＋ ‎＝＋ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝.‎ 所以当n＝k＋1时，等式也成立．‎ 由(1)(2)可知，对于一切n∈N*等式都成立．‎ ‎[解题技法]‎ ‎1．数学归纳法证明等式的2个思路 ‎(1)用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．‎ ‎(2)由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程．‎ ‎2．口诀记忆——记牢“4句话”‎ ‎[过关训练]‎ 设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)．求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．‎ 证明：(1)当n＝2时，左边＝f(1)＝1，‎ 右边＝2＝1，左边＝右边，等式成立．‎ ‎(2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，‎ 即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，‎ 那么，当n＝k＋1时，‎ f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)‎ ‎＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)－k ‎＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，‎ 所以当n＝k＋1时结论仍然成立．‎ 由(1)(2)可知，f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．‎ 考点二用数学归纳法证明不等式[师生共研过关]‎ ‎ [典例精析]‎ 已知函数f(x)＝x－x2，设0＜a1＜，an＋1＝f(an)，n∈N*，证明：an＜.‎ ‎[证明]　(1)当n＝1时，0＜a1＜，显然结论成立．‎ 因为当x∈时，0＜f(x)≤，‎ 所以0＜a2＝f(a1)≤＜.‎ 故n＝2时，原不等式也成立．‎ ‎(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，‎ 不等式0＜ak＜成立．‎ 因为f(x)＝x－x2的对称轴方程为x＝，‎ 所以当x∈时，f(x)为增函数．‎ 所以由0＜ak＜≤，‎ 得0＜f(ak)＜f.‎ 于是，0＜ak＋1＝f(ak)＜－·＋－＝－＜.‎ 所以当n＝k＋1时，原不等式也成立．‎ 由(1)(2)可知，对任何n∈N*，不等式an＜成立．‎ ‎[解题技法]‎ 用数学归纳法证明不等式应注意的2个问题 ‎(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，用其他方法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．‎ ‎(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明．运用放缩法时，要注意放缩的“度”．‎ ‎[过关训练]‎ 设整数p＞1，n∈N*.证明：当x＞－1且x≠0时，(1＋x)p＞1＋px.‎ 证明：(1)当p＝2时，(1＋x)2＝1＋2x＋x2＞1＋2x，原不等式成立．‎ ‎(2)假设p＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式(1＋x)k＞1＋kx成立．‎ 当p＝k＋1时，(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k＞(1＋x)·(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2＞1＋(k＋1)x.‎ 所以当p＝k＋1时，原不等式也成立．‎ 综合(1)(2)可得，当x＞－1，且x≠0时，对一切正整数p＞1，不等式(1＋x)p＞1＋px均成立．‎ 考点三归纳—猜想—证明[师生共研过关]‎ ‎ [典例精析]‎ 已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝＋－1，且an＞0，n∈N*.‎ ‎(1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式；‎ ‎(2)证明通项公式的正确性．‎ ‎[解]　(1)当n＝1时，由已知得a1＝＋－1，‎ 即a＋2a1－2＝0.‎ ‎∴a1＝－1(a1＞0)．‎ 当n＝2时，由已知得a1＋a2＝＋－1，‎ 将a1＝－1代入并整理得a＋2a2－2＝0.‎ ‎∴a2＝－(a2＞0)．同理可得a3＝－.‎ 猜想an＝－(n∈N*)．‎ ‎(2)证明：①由(1)知，当n＝1,2,3时，通项公式成立．‎ ‎②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时，通项公式成立，‎ 即ak＝－.‎ 由于ak＋1＝Sk＋1－Sk＝＋－－，‎ 将ak＝－代入上式，‎ 整理得a＋2 ak＋1－2＝0，‎ ‎∴ak＋1＝－，‎ 即n＝k＋1时通项公式成立．‎ 由①②可知对所有n∈N*，an＝－都成立．‎ ‎[解题技法]‎ 归纳—猜想—证明的应用策略 ‎(1)一般思路：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用．其关键是归纳、猜想出公式．‎ ‎(2)基本步骤：“试验—归纳—猜想—证明”．高中阶段该部分与数列结合的问题是最常见的问题．‎ ‎[过关训练]‎ 已知f(n)＝1＋＋＋＋…＋，g(n)＝－，n∈N*.‎ ‎(1)当n＝1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小；‎ ‎(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．‎ 解：(1)当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝1，所以f(1)＝g(1)；‎ 当n＝2时，f(2)＝，g(2)＝，所以f(2)＜g(2)；‎ 当n＝3时，f(3)＝，g(3)＝，所以f(3)＜g(3)．‎ ‎(2)由(1)猜想f(n)≤g(n)，下面用数学归纳法给出证明．‎ ‎①当n＝1,2,3时，不等式显然成立，‎ ‎②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时不等式成立，‎ 即1＋＋＋＋…＋＜－.‎ 那么，当n＝k＋1时，‎ f(k＋1)＝f(k)＋＜－＋.‎ 因为f(k＋1)－g(k＋1)＜－＋－＝－ ‎＝－＝＜0，‎ 所以f(k＋1)＜g(k＋1)．‎ 由①②可知，对一切n∈N*，都有f(n)≤g(n)成立．‎ ‎ ‎1．若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，则f(1)的值为(　　)‎ A．1　　　　　　　　　　　　　B. C．1＋＋＋＋ D．非以上答案 解析：选C　等式右边的分母是从1开始的连续的自然数，且最大分母为6n－1，则当n＝1时，最大分母为5，故选C.‎ ‎2．下列结论能用数学归纳法证明的是(　　)‎ A．x＞sin x，x∈(0，π)‎ B．ex≥x＋1(x∈R)‎ C．1＋＋＋…＋＝2－n－1(n∈N*)‎ D．sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(α，β∈R)‎ 解析：选C　数学归纳法是用来证明与自然数有关的命题的一种方法，由此可知选项C符合题意．‎ ‎3．已知f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的关系是(　　)‎ A．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2‎ B．f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)2‎ C．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋2)2‎ D．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2‎ 解析：选A　f(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋[2(k＋1)]2＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.‎ ‎4．利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＜f(n)(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了(　　)‎ A．1项 B．k项 C．2k－1项 D．2k项 解析：选D　令不等式的左边为g(n)，则 g(k＋1)－g(k)＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋－＝＋＋…＋，‎ 其项数为2k＋1－1－2k＋1＝2k＋1－2k＝2k.‎ 故左边增加了2k项．‎ ‎5．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(n∈N*，a≠1)，在验证n ‎＝1成立时，左边所得的项为___________．‎ 解析：当n＝1时，n＋1＝2，所以左边＝1＋a＋a2.‎ 答案：1＋a＋a2‎ ‎6．用数学归纳法证明＋＋…＋＞－，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是____________________________________．‎ 解析：观察不等式中分母的变化便知．‎ 答案：＋＋…＋＋＞－ ‎7．用数学归纳法证明等式12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·.‎ 证明：(1)当n＝1时，左边＝12＝1，‎ 右边＝(－1)0×＝1，左边＝右边，原等式成立．‎ ‎(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＝(－1)k－1·.‎ 那么，当n＝k＋1时，‎ ‎12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＋(－1)k·(k＋1)2‎ ‎＝(－1)k－1·＋(－1)k·(k＋1)2‎ ‎＝(－1)k·[－k＋2(k＋1)]‎ ‎＝(－1)k·.‎ ‎∴n＝k＋1时，等式也成立，‎ 由(1)(2)知对任意n∈N*，都有 ‎12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·.‎ ‎8．用数学归纳法证明：1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n(n∈N*)．‎ 证明：(1)当n＝1时，‎ 左边＝1＋，右边＝＋1，‎ 所以≤1＋≤，即命题成立．‎ ‎(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时命题成立，即 ‎1＋≤1＋＋＋…＋≤＋k，‎ 则当n＝k＋1时，‎ ‎1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＞1＋＋2k·＝1＋.‎ 又1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＜＋k＋2k·＝＋(k＋1)，‎ 即n＝k＋1时，命题成立．‎ 由(1)(2)可知，命题对所有n∈N*都成立．‎ ‎9．已知数列{an}满足a1＝a＞2，an＝(n≥2，n∈N*)．‎ ‎(1)求证：对任意n∈N*，an＞2恒成立；‎ ‎(2)判断数列{an}的单调性，并说明你的理由；‎ ‎(3)设Sn为数列{an}的前n项和，求证：当a＝3时，Sn＜2n＋.‎ 解：(1)证明：用数学归纳法证明an＞2(n∈N*)恒成立．‎ ‎①当n＝1时，a1＝a＞2，结论成立；‎ ‎②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即ak＞2，‎ 则n＝k＋1时，ak＋1＝＞＝2，‎ 所以n＝k＋1时，结论成立．‎ 故由①②及数学归纳法，知对一切的n∈N*，都有an＞2成立．‎ ‎(2)数列{an}是单调递减的数列．‎ 因为a－a＝an＋2－a＝－(an－2)(an＋1)，又an＞2，‎ 所以a－a＜0，所以an＋1＜an.‎ 所以{an}是单调递减的数列．‎ ‎(3)证明：由an＋1＝，得a＝an＋2，‎ 所以a－4＝an－2.‎ 根据(1)知an＞2(n∈N*)，‎ 所以＝＜，‎ 所以an＋1－2＜(an－2)＜2(an－1－2)＜…＜n·(a1－2)．‎ 所以当a＝3时，an＋1－2＜n，即an＋1＜n＋2.‎ 当n＝1时，S1＝3＜2＋，‎ 当n≥2时，‎ Sn＝3＋a2＋a3＋…＋an ‎＜3＋＋＋…＋ ‎＝3＋2(n－1)＋ ‎＝2n＋1＋＜2n＋.‎ 综上，当a＝3时，Sn＜2n＋(n∈N*)．‎