上海市徐汇区2020届高三上学期第一次模拟考试数学试题 含解析

上海市徐汇区2020届高三上学期第一次模拟考试数学试题 含解析

‎2020年上海市徐汇区高考数学一模试卷 一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）‎ ‎1．已知集合M＝{x|x＞2}，集合N＝{x|x≤1}，则M∪N＝　 　．‎ ‎2．向量在向量方向上的投影为　 　．‎ ‎3．二项式（3x﹣1）11的二项展开式中第3项的二项式系数为　 　．‎ ‎4．复数的共轭复数为　 　．‎ ‎5．已知y＝f（x）是定义在R上的偶函数，且它在[0，+∞）上单调递增，那么使得f（﹣2）≤f（a）成立的实数a的取值范围是　 　．‎ ‎6．已知函数f（x）＝arcsin（2x+1），则f﹣1（）＝　 　．‎ ‎7．已知x∈R，条件p：x2＜x，条件q：≥a（a＞0），若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是　 　．‎ ‎8．已知等差数列{an}的公差d＝3，Sn表示{an}的前n项和，若数列{Sn}是递增数列，则a1的取值范围是　 　．‎ ‎9．数字不重复，且个位数字与千位数字之差的绝对值等于2的四位数的个数为　 　．‎ ‎10．过抛物线C：y2＝2x的焦点F，且斜率为的直线交抛物线C于点M（M在x轴的上方），l为抛物线C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为　 　．‎ ‎11．已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*，Sn＝（﹣1）nan++n﹣3且（a1﹣p）（a2﹣p）＜0，则实数p的取值范围是　 　．‎ ‎12．已知函数f（x）＝关于x的不等式f（x）﹣mx﹣2m﹣2＜0的解集是（x1，x2）∪（x3，+∞），若x1x2x3＞0，则x1+x2+x3的取值范围是　 　．‎ 二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）‎ ‎13．过点（﹣1，0），且与直线＝有相同方向向量的直线的方程为（　　）‎ A．3x+5y﹣3＝0 B．3x+5y+3＝0 C．3x+5y﹣1＝0 D．5x﹣3y+5＝0‎ ‎14．一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，则截得的小棱锥与原棱锥的高之比是（　　）‎ A．1：2 B．1：8 C．：2 D．：4‎ ‎15．若圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0没有公共点，则实数k的取值范围是（　　）‎ A．（﹣9，11） B．（﹣25，﹣9） ‎ C．（﹣∞，﹣9）∪（11，+∞） D．（﹣25，﹣9）∪（11，+∞）‎ ‎16．设H是△ABC的垂心，且3+4+5＝，则cos∠BHC的值为（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣‎ 三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）‎ ‎17．如图所示，圆锥SO的底面圆半径|OA|＝1，母线SA＝3．‎ ‎（1）求此圆锥的体积和侧面展开图扇形的面积；‎ ‎（2）过点O在圆锥底面作OA的垂线交底面圆圆弧于点P，设线段SO中点为M，求异面直线AM与PS所成角的大小．‎ ‎18．设函数f（x）＝x2+|x﹣a|（x∈R，a为实数）．‎ ‎（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值；‎ ‎（2）设a＞，求函数f（x）的最小值（用a表示）．‎ ‎19．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C，景区管委会又开发了风景优美的景点D，经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向8km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上，已知AB＝5km．‎ ‎（1）景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；（结果精确到0.1km）‎ ‎（2）求景点C与景点D之间的距离．（结果精确到0.1km）‎ ‎20．（16分）给正有理数、（i≠j，i，j∈N*，mi，ni，mj，nj∈N*，且mi＝mj和ni＝nj不同时成立），按以下规则P排列：①若mi+ni＜mj+nj，则排在前面；②若mi+ni＝mj+nj，且ni＜nj，则排在的前面，按此规则排列得到数列{an}．（例如：，，，……）．‎ ‎（1）依次写出数列{an}的前10项；‎ ‎（2）对数列{an}中小于1的各项，按以下规则Q排列：①各项不做化简运算；②分母小的项排在前面；③分母相同的两项，分子小的项排在前面，得到数列{bn}，求数列{bn}的前10项的和S10，前2019项的和S2019；‎ ‎（3）对数列{an}中所有整数项，由小到大取前2019个互不相等的整数项构成集合A＝{c1，c2，c3，…，c2019}，A的子集B满足：对任意的x，y∈B，有x+y∉B，求集合B中元素个数的最大值．‎ ‎21．（18分）已知椭圆Γ：+＝1（a＞b＞0），点A为椭圆短轴的上端点，P为椭圆上异于A点的任一点，若P点到A点距离的最大值仅在P点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知b＝2．‎ ‎（1）若a＝，判断椭圆Γ是否为“圆椭圆”；‎ ‎（2）若椭圆Γ是“圆椭圆”，求a的取值范围；‎ ‎（3）若椭圆Γ是“圆椭圆”，且a取最大值，Q为P关于原点O的对称点，Q也异于A点，直线AP、AQ分别与x轴交于M、N两点，试问以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论．‎ ‎2020年上海市徐汇区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）‎ ‎1．已知集合M＝{x|x＞2}，集合N＝{x|x≤1}，则M∪N＝　{x|x≤1或x＞2}　．‎ ‎【解答】解：∵M＝{x|x＞2}，N＝{x|x≤1}，‎ ‎∴M∪N＝{x|x≤1或x＞2}．‎ 故答案为：{x|x≤1或x＞2}．‎ ‎2．向量在向量方向上的投影为　3　．‎ ‎【解答】解：∵向量在向量，‎ ‎∴cos（，）＝＝＝，‎ ‎∴向量在向量方向上的投影为：cos（，）＝5×＝3，‎ 故答案为3；‎ ‎3．二项式（3x﹣1）11的二项展开式中第3项的二项式系数为　55　．‎ ‎【解答】解：二项式（3x﹣1）11的二项展开式的通项公式Tr+1＝•（3x）11﹣r•（﹣1）r，‎ 令r＝2，可得中第3项的二项式系数为＝＝55，‎ 故答案为：55．‎ ‎4．复数的共轭复数为　　．‎ ‎【解答】解：∵＝，‎ ‎∴．‎ 故答案为：．‎ ‎5．已知y＝f（x）是定义在R上的偶函数，且它在[0，+∞）上单调递增，那么使得f（﹣2）≤f（a）成立的实数a的取值范围是　a≤﹣2或a≥2　．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增．‎ ‎∴不等式f（﹣2）≤f（a）等价为f（2）≤f（|a|），‎ 即2≤|a|，‎ ‎∴a≤﹣2或a≥2，‎ 故答案为：a≤﹣2或a≥2．‎ ‎6．已知函数f（x）＝arcsin（2x+1），则f﹣1（）＝　　．‎ ‎【解答】解：令arcsin（2x+1）＝‎ 即sin＝2x+1＝‎ 解得x＝‎ 故答案为：‎ ‎7．已知x∈R，条件p：x2＜x，条件q：≥a（a＞0），若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是　（0，1]　．‎ ‎【解答】解：因为x∈R，条件p：x2＜x，所以p对应的集合为A＝（0，1）；‎ 因为条件q：≥a（a＞0），所以q对应的集合为B＝（0，]；‎ 因为p是q的充分不必要条件，‎ 所以A⫋B，‎ 所以，‎ 所以0＜a≤1，‎ 故答案为：（0，1]．‎ ‎8．已知等差数列{an}的公差d＝3，Sn表示{an}的前n项和，若数列{Sn}是递增数列，则a1的取值范围是　（﹣3，+∞）　．‎ ‎【解答】解：Sn＝na1+．‎ ‎∵数列{Sn}是递增数列，‎ ‎∴Sn+1＞Sn，‎ ‎∴（n+1）a1+×3＞na1+．‎ 化为：a1＞﹣3n，对于∀n∈N*都成立．‎ ‎∴a1＞﹣3．‎ 故答案为：（﹣3，+∞）．‎ ‎9．数字不重复，且个位数字与千位数字之差的绝对值等于2的四位数的个数为　840　．‎ ‎【解答】解：根据题意，0到9十个数字中之差的绝对值等于2的情况有8种：0与2，1与3，2与4，3与5，4与6，5与7，6与8，7与9‎ 分2种情况讨论：‎ ‎①当个位与千位数字为0，2时，只能千位为2，个位为0，有A82＝56种，‎ ‎②当个位与千位数字为1与3，2与4，3与5，4与6，5与7，6与8，7与9时，先排千位数字，再排十位数字，最后排个位与百位，有7×A82×A22＝784种，‎ 共784+56＝840；‎ 故答案为：840．‎ ‎10．过抛物线C：y2＝2x的焦点F，且斜率为的直线交抛物线C于点M（M在x轴的上方），l为抛物线C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为　　．‎ ‎【解答】解：抛物线C：y2＝2x的焦点F（，0），且斜率为的直线方程为，‎ 所以，整理得9x2﹣15x+4＝0，解得，‎ 当x＝时，解得y＝，‎ 设点M（），‎ l为抛物线C的准线，点N在l上且MN⊥l，‎ 所以N（，）．‎ 所以NF的直线方程为，‎ 所以当M（）到直线的距离d＝＝．‎ 故答案为：‎ ‎11．已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*，Sn＝（﹣1）nan++n﹣3且（a1﹣p ‎）（a2﹣p）＜0，则实数p的取值范围是　（）　．‎ ‎【解答】解：数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*，Sn＝（﹣1）nan++n﹣3，‎ 当n＝1时，，解得，‎ 当n＝3时，，整理得，①‎ 当n＝4时，，整理得，②‎ 由①②得：，‎ 所以，整理得，‎ 解得，‎ 所以：实数p的取值范围是（），‎ 故答案为：（）．‎ ‎12．已知函数f（x）＝关于x的不等式f（x）﹣mx﹣2m﹣2＜0的解集是（x1，x2）∪（x3，+∞），若x1x2x3＞0，则x1+x2+x3的取值范围是　[2﹣12，+∞）　．‎ ‎【解答】解：画出函数y＝f（x）的图象，‎ x的不等式f（x）﹣mx﹣2m﹣2＜0，‎ 即为f（x）＜m（x+2）+2，‎ 作出直线y＝m（x+2）+2，其恒过定点（﹣2，2），‎ 由解集是（x1，x2）∪（x3，+∞），‎ 若x1x2x3＞0，‎ 可得x1＜0，x2＜0，x3＞0，‎ 当x≤﹣1时，x1，x2，是方程x2+6x+10﹣mx﹣2m﹣2＝0的两个实根；‎ 即x2+（6﹣m）x+8﹣2m＝0的两个实根，∴x1+x2＝m﹣6；‎ 当x＞﹣1时，x3是方程﹣4x+1﹣mx﹣2m﹣2＝0的实根；‎ ‎∴x3＝；‎ ‎∴结合图象可得m＜0，‎ 当直线y＝m（x+2）+2经过（0，1）时，可得2m+2＝1，‎ 解得m＝﹣；‎ 当直线y＝m（x+2）+2与直线y＝1﹣4x平行时，‎ m＝﹣4．‎ 由直线y＝m（x+2）+2在y＝f（x）的上方，可得 ‎﹣4＜m＜﹣．‎ ‎∴m+4＞0，‎ ‎∴x1+x2+x3＝m﹣6+＝m+4+﹣12≥2﹣12＝2﹣12；‎ 当且仅当m+4＝时，即m＝﹣4+时取等号；‎ 故答案为：[2﹣12，+∞）．‎ 二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）‎ ‎13．过点（﹣1，0），且与直线＝有相同方向向量的直线的方程为（　　）‎ A．3x+5y﹣3＝0 B．3x+5y+3＝0 C．3x+5y﹣1＝0 D．5x﹣3y+5＝0‎ ‎【解答】解：由＝可得，3x+5y+8＝0，即直线的斜率﹣，‎ 由题意可知所求直线的斜率率k＝﹣，‎ 故所求的直线方程为y＝﹣（x﹣1）即3x+5y+3＝0．‎ 故选：B．‎ ‎14．一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，则截得的小棱锥与原棱锥的高之比是（　　）‎ A．1：2 B．1：8 C．：2 D．：4‎ ‎【解答】解：∵在棱锥中，平行于底面的平面截棱锥所得的截面与底面相似，‎ 相似比等于截得的小棱锥与原棱锥对应棱长之比．‎ 又∵一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，‎ ‎∴相似比为1：＝：2．‎ 则截得的小棱锥与原棱锥的高之比是：2．‎ 故选：C．‎ ‎15．若圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0没有公共点，则实数k的取值范围是（　　）‎ A．（﹣9，11） B．（﹣25，﹣9） ‎ C．（﹣∞，﹣9）∪（11，+∞） D．（﹣25，﹣9）∪（11，+∞）‎ ‎【解答】解：化圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25+k，‎ 则k＞﹣25，圆心坐标为（3，4），半径为，‎ 圆C1：x2+y2＝1的圆心坐标为（0，0），半径为1．‎ 要使圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0没有公共点，‎ 则|C1C2|或|C1C2|＜，‎ 即5＞或5，‎ 解得﹣25＜k＜﹣9或k＞11．‎ ‎∴实数k的取值范围是（﹣25，﹣9）∪（11，+∞）．‎ 故选：D．‎ ‎16．设H是△ABC的垂心，且3+4+5＝，则cos∠BHC的值为（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣‎ ‎【解答】解：由三角形垂心性质可得，，不妨设＝x，‎ ‎∵3+4+5＝，‎ ‎∴，‎ ‎∴，同理可求得，‎ ‎∴．‎ 故选：D．‎ 三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）‎ ‎17．如图所示，圆锥SO的底面圆半径|OA|＝1，母线SA＝3．‎ ‎（1）求此圆锥的体积和侧面展开图扇形的面积；‎ ‎（2）过点O在圆锥底面作OA的垂线交底面圆圆弧于点P，设线段SO中点为M，求异面直线AM与PS所成角的大小．‎ ‎【解答】解：（1）圆锥SO的底面圆半径|OA|＝1，母线SA＝3．所以圆锥的高为h＝．‎ 所以，S圆锥侧＝π•1•3＝3π．‎ ‎（2）如图所示：‎ 在圆锥中，作MN∥SP，交OP于N，则异面直线AM与PS所成的角为∠AMN．‎ 依题意：AM＝，MN＝，AN＝，‎ 所以＝，‎ 所以面直线AM与PS所成角的大小．‎ ‎18．设函数f（x）＝x2+|x﹣a|（x∈R，a为实数）．‎ ‎（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值；‎ ‎（2）设a＞，求函数f（x）的最小值（用a表示）．‎ ‎【解答】解：（1）若函数f（x）为偶函数，则f（﹣x）＝f（x）对于任意实数恒成立．‎ 即：x2+|﹣x﹣a|＝x2+|x﹣a|，所以|x+a|＝|x﹣a|恒成立，即a＝0．‎ ‎（2）在的基础上，讨论x﹣a的符号，‎ ‎①当x≥a时，f（x）＝x2+x﹣a，所以函数f（x）的对称轴为x＝，此时．‎ ‎②当x＜a时，f（x）＝x2+x﹣a，所以函数f（x）的对称轴为x＝，此时．‎ 又由于a时，，所以函数f（x）的最小值为．‎ ‎19．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C，景区管委会又开发了风景优美的景点D，经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向8km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上，已知AB＝5km．‎ ‎（1）景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；（结果精确到0.1km）‎ ‎（2）求景点C与景点D之间的距离．（结果精确到0.1km）‎ ‎【解答】解：（1）如图，过点D作DE⊥AC于点E，过点A作AF⊥DB，交DB的延长线于点F 在Rt△DAF中，∠ADF＝30°，∴AF＝AD＝×8＝4，∴DF＝；‎ 在Rt△ABF中，BF＝＝3，∴BD＝DF﹣BF＝4﹣3‎ sin∠ABF＝，在Rt△DBE中，sin∠DBE＝，‎ ‎∵∠ABF＝∠DBE，∴sin∠DBE＝，∴DE＝BD•sin∠DBE＝×（4﹣3）＝≈3.1（km）‎ ‎∴景点D向公路a修建的这条公路的长约是3.1km；‎ ‎（2）由题意可知∠CDB＝75°，由（1）可知sin∠DBE＝＝0.8，所以∠DBE＝53°，∴∠DCB＝180°﹣75°﹣53°＝52°‎ 在Rt△DCE中，sin∠DCE＝，∴DC＝≈4（km）‎ ‎∴景点C与景点D之间的距离约为4km．‎ ‎20．（16分）给正有理数、（i≠j，i，j∈N*，mi，ni，mj，nj∈N*，且mi＝mj和ni＝nj不同时成立），按以下规则P排列：①若mi+ni＜mj+nj，则排在前面；②若mi+ni＝mj+nj，且ni＜nj，则排在的前面，按此规则排列得到数列{an}．（例如：，，，……）．‎ ‎（1）依次写出数列{an}的前10项；‎ ‎（2）对数列{an}中小于1的各项，按以下规则Q排列：①各项不做化简运算；②分母小的项排在前面；③分母相同的两项，分子小的项排在前面，得到数列{bn}，求数列{bn}的前10项的和S10，前2019项的和S2019；‎ ‎（3）对数列{an}中所有整数项，由小到大取前2019个互不相等的整数项构成集合A＝{c1，c2，c3，…，c2019}，A的子集B满足：对任意的x，y∈B，有x+y∉B，求集合B中元素个数的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）依题意，数列{an}的前10项为：，，，，，，，，‎ ‎，；‎ ‎（2）依题意按规则Q排列后得：{，，，，，，，，，，…}，‎ ‎∴前10项和为：S10＝+++＝5；‎ 求前2019项的和S2019时，先确定最后一个分数的值，令2019＝1+2+3+…+n即＝2019，∴n∈（63，64），‎ 数列分母取慢2﹣64时，共有＝2016项，所有分母为65的还有3项，即：，，，‎ ‎∴数列{bn}前2019项为：{，，，，，，，，，，…，，，，}，‎ 当n∈[2，64]时，对分母为n的小段求和：S＝+++…+＝，‎ ‎∴当n∈[2，64]时，对63个小段相加求和：S′＝+++…+＝•＝1008，‎ S2019＝S′+＝1008，‎ ‎（3）依题意：A＝{1，2，3，…，2019}，B＝{2019，2018，2107，2016，…，1010}共1010项，这种情况B中的元素最多．‎ ‎21．（18分）已知椭圆Γ：+＝1（a＞b＞0），点A为椭圆短轴的上端点，P为椭圆上异于A点的任一点，若P点到A点距离的最大值仅在P点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知b＝2．‎ ‎（1）若a＝，判断椭圆Γ是否为“圆椭圆”；‎ ‎（2）若椭圆Γ是“圆椭圆”，求a的取值范围；‎ ‎（3）若椭圆Γ是“圆椭圆”，且a取最大值，Q为P关于原点O的对称点，Q也异于A点，直线AP、AQ分别与x轴交于M、N两点，试问以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论．‎ ‎【解答】解：（1）由题意得椭圆方程：＝1，所以A（0，2），‎ 设P（x，y）则|PA|2＝x2++（y﹣2）2＝5•（1﹣）+（y﹣2）2＝﹣y2﹣4y+9，y∈[﹣2，2]，‎ 二次函数开口向下，对称轴y＝﹣8，y∈[﹣2，2]上函数单调递减，‎ 所以y＝﹣2时，函数值最大，此时P为椭圆的短轴的另一个端点，‎ ‎∴椭圆是“圆椭圆”；‎ ‎（2）由（1）的方法：椭圆方程：+＝1，A（0，2）设P（（x，y），则|PA|2＝x2+（y﹣2）2＝a2•（1﹣）+（y﹣2）2＝（﹣+1）y2﹣4y+4+a2，y∈[﹣2，2]，由题意得，‎ 当且仅当y＝﹣2时，函数值达到最大，‎ 讨论：①当开口向上时，满足：⇒⇒﹣2＜a＜2（舍）；‎ ‎②当开口向下时，满足⇒2＜a≤2，‎ 综上a的范围：（2，2]．‎ ‎（3）a＝2，椭圆方程：+＝1，由题意：设P（2cosθ，sinθ），θ∈[0，2π]，且，则Q（﹣2cosθ，﹣sinθ），则直线AP：y＝x+2⇒M（，0）‎ 则直线AQ：y＝+2⇒N（，0），‎ MN为直径的圆过定点C（m，n）则，＝0，‎ 所以得定点（0，2）．‎