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南京市2019届高三数学二轮专题复习资料专题07:导数及其应用
南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 1 页 共 53 页 专题 7:导数及其应用 目录 问题归类篇 ............................................................................................................................................................... 2 类型一:切线方程 ........................................................................................................................................... 2 类型二 利用导数研究函数的单调性问题: .................................................................................................... 6 类型三:函数极值与最值 ............................................................................................................................. 13 类型四:不等式恒成立问题 ......................................................................................................................... 24 类型五:方程有解(或解的个数)问题 ..................................................................................................... 33 综合应用篇 ............................................................................................................................................................. 41 一、例题分析 ................................................................................................................................................. 41 二、反馈巩固 ................................................................................................................................................. 45 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 2 页 共 53 页 问题归类篇 类型一:切线方程 一、前测回顾 1.曲线 y=x3 上在点(-1,-1)的切线方程为 . 答案:y=3x+2. 解析:y ′=3x2,则切线的斜率是 3×(-1)2,再利用点斜式求出切线方程. 2.曲线 y=x3-3x2+2x 过点(0,0)的切线方程为 . 答案:y=2x 或 y=-1 4x. 解析:y ′=3x2-6x+2,设切点为(x0,x03-3x02+2x0),则切线的斜率为 3x02-6x0+2. 切线方程为 y-(x03-3x02+2x0)=(3x02-6x0+2)(x-x0),( 0,0)代入,得 x0的值,从而得到切 线方程. 二、方法联想 涉及函数图象的切线问题:如果已知切点,则利用切点求切线;如果不知切点,则先设切点坐标求出 切线方程的一般形式再利用已知条件. 注意:(1)“在”与“过”的区别:“在”表示该点为切点,“过”表示该点不一定为切点. (2)切点的三个作用:①求切线斜率;②切点在切线上;③切点在曲线上. 三、方法应用 例 1.(2018 全国新课标Ⅰ文、理)设函数 f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若 f(x)为奇函数,则曲线 y=f(x) 在点(0,0)处的切线方程为 . 答案:y=x. 解析:∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),即 a=1,, ∴f(x)=x3+x,∴f ′(0)=1,∴切线方程为 y=x. 例 2.(2018·无锡期末)已知函数 f(x)=ex(3x-2),求过点(2,0)与函数 y=f(x)的图像相切的直线方 程; 解析:设切点为(x0,y0),f'(x)=ex(3x+1),则切线斜率为 ex0(3x0+1), 所以切线方程为 y-y0=ex0(3x0+1)(x-x0),因为切线过(2,0), 所以-ex0(3x0-2)=ex0(3x0+1)(2-x0), 化简得 3x02-8x0=0,解得 x0=0,8 3. 当 x0=0 时,切线方程为 y=x-2, 当 x0=8 3时,切线方程为 y=9e 8 3x-18e 8 3. 例 3.(2014 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y=ax2+b x (a,b 为常数)过点 P(2,-5),且该曲 线在点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行,则 a+b 的值是 . 答案:-3 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 3 页 共 53 页 解析:由题意可得-5=4a+b 2 ①,又 f'(x)=2ax-b x2,过点 P(2,-5)的切线的斜率 4a-b 4=-7 2 ②,由① ②解得 a=-1,b=-2,所以 a+b=-3. 例 4、已知函数 f(x)=2x3-3x,若过点 P(1,t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切,求t 的取值范围. 答案:t∈(-3,-1) 解:设切点坐标(x0,y0),切线斜率为 k ,则有 y0=2x30-3x0 k=f'(x0)=6x20-3 切线方程为:y-(2x30-3x0)=(6x20-3)(x-x0) 因为切线过 P(1,t),所以将 P(1,t)代入直线方程可得: t-(2x30-3x0)=(6x20-3)(1-x0) t=(6x20-3)(1-x0)+(2x30-3x0) =6x20-3-6x30+3x0+2x30-3x0=-4x30+6x20-3 所以问题等价于方程 t=-4x30+6x20-3,令 g(x)=-4x3+6x2-3 即直线 y=t 与 g(x)=-4x3+6x2-3 有三个不同交点 g'(x)=-12x2+12x=-12x(x-1) 令 g'(x)>0 解得 0<x<1 所以 g(x)在(-∞,0),(1,+∞)单调递减,在(0,1)单调递增 g(x)=g(1)=-1,g(x)=g(0)=-3 所以若有三个交点,则 t∈(-3,-1) 所以当 t∈(-3,-1)时,过点 P(1,t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切. 四、归类巩固 *1.若曲线 y=1 2x+b 是曲线 y=lnx (x>0)的一条切线,则实数 b 的值为 . (已知切线方程求参数值) 答案:ln2-1, *2.已知函数 f(x)=ax3+x+1 的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则 a=________. (已知切线过定点,求参数) 答案:1 解析:由题意可得 f′(x)=3ax2+1,∴f′(1)=3a+1, 又 f(1)=a+2,∴f(x)=ax3+x+1 的图象在点(1,f(1))处的切线方程为 y-(a+2)=(3a+1)(x-1),又此 切线过点(2,7),∴7-(a+2)=(3a+1)(2-1),解得 a=1. *3.函数 f(x)=alnx-bx2 上一点 P(2,f(2))处的切线方程为 y=-3x+2ln2+2,求 a,b 的值 (已知切线方程求参数) 答案:a=2,b=1, *4.(2018·南京盐城期末·20)设函数 f(x)=lnx,g(x)=ax+b x (a,b∈R),若函数 f(x)与 g(x)的图象在 x= 1 处有相同的切线,求 a,b 的值. (已知两曲线的公共切线,求参数) 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 4 页 共 53 页 答案:a=1 2,b=-1 2. **5.在平面直角坐标系 xOy 中,直线l 与曲线 y=x2(x>0)和 y=x3(x>0)均相切,切点分别为 A(x1,y1) 和 B(x2,y2),则x1 x2 的值是 (已知两曲线的公共切线,求切点) 答案 4 3. 解析:由题设函数 y=x2 在 A(x1,y1)处的切线方程为:y=2x1 x-x12, 函数 y=x3 在 B(x2,y2)处的切线方程为 y=3 x22 x-2x23. 所以 2x1=3x22 x12=2x23 ,解之得:x1=32 27,x2=8 9. 所以 x1 x2 =4 3. **6.若存在过点(1,0)的直线与曲线 y=x3 和 y=ax2+15 4 x-9 都相切,求 a 的值. (已知公切线,求参数的值) 答案:-25 64或-1. 解析:设曲线 y=x3 的切点(x0,x30),则切线方程为 y-x30=3x20 (x-x0), 切线过点(1,0),所以-x30=3x20 (1-x0),所以 x0=0 或 x0=3 2, 则切线为 y=0 或 y=27 4 x-27 4 , 由 y=0 与 y=ax2+15 4 x-9 相切,则 ax2+15 4 x-9=0,所以 a≠0 且△=0; 由或 y=27 4 x-27 4 与 y=ax2+15 4 x-9 相切,则 ax2+15 4 x-9=27 4 x-27 4 ,所以 a≠0 且△=0。 解得 a 的值为-25 64或-1. **7.(2015 新课标 2)已知曲线 y=x+lnx 在点(1,1)处的切线与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切,则 a = . (已知切线方程求参数) 答案:8 解析:∵y'=1+1 x,∴y'|x=1 =2,∴y=x+lnx 在点(1,1)处的切线方程为 y-1=2(x-1),∴y=2x -1,又切线与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切,当 a=0 时,y=2x+1 与 y=2x-1 平行,故 a≠0.∵ y'=2ax+(a-2),∴令 2ax+a+2=2 得 x=-1 2,代入 y=2x-1,得 y=-2,∴点(-1 2,-2)在 y= ax2+(a+2)x+1 的图象上,故-2=a×(-1 2)2+(a+2)×(-1 2)+1,∴a=8. **8.曲线 y=-1 x(x<0)与曲线 y=lnx 公切线(切线相同)的条数为 . 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 5 页 共 53 页 (求两曲线的公切线条数) 答案:1 **9.设直线 l1,l2 分别是函数 f(x)= ln ,0 1, ln , 1, xx xx 图象上点 P1,P2 处的切线,l1 与 l2 垂直相交于点 P,且 l1,l2 分别与 y 轴相交于点 A,B,则△PAB 的面积的取值范围是 . (已知切线的位置关系,求参数的数量关系及范围) 答案:(0,1) 解析:设 1 1 1 2 2 2, ln , , lnP x x P x x (不妨设 121, 0 1xx ),则由导数的几何意义易得切线 12,ll的斜率分别为 12 12 11,.kkxx 由已知得 1 2 1 2 2 1 11, 1, .k k x x x x 切线 1l 的方程 分别为 11 1 1lny x x xx ,切线 2l 的方程为 22 2 1lny x x xx ,即 11 1 1lny x x x x . 分别令 0x 得 110 , 1 ln , 0 ,1 ln .A x B x 又 与 的交点为 2 11 122 11 21, ln11 xxPxxx , 1 1x , 2 11 22 11 211 12 1 1PAB A B P xxS y y x xx , 01PABS . ***10.(2018·苏北四市期末·19)已知函数 2( ) 1 ( ) ln ( )f x x ax g x x a a R, .若存在与函数 f(x),g(x)的图象都相切的直线,求实数 a 的取值范围. (已知公切线,利用零点存在性定理,求参数取值范围) 解析:设函数 f(x)上点(x1,f(x1))与函数 g(x)上点(x2,g(x2))处切线相同, 则 f'(x1)=g'(x2)=f(x1)-g(x2) x1-x2 所以 2x1+a=1 x2 =x12+ax1+1-(lnx2-a) x1-x2 所以 x1= 1 2x2 -a 2,代入x1-x2 x2 =x12+ax1+1-(lnx2-a)得: 1 4x22- a 2x2 +lnx2+a2 4 -a-2=0(*) 设 F(x)= 1 4x2- a 2x+lnx+a2 4 -a-2,则 F'(x)=- 1 2x3+ a 2x2+1 x=2x2+ax-1 2x3 不妨设 2x02+ax0-1=0(x0>0)则当 0<x<x0 时,F'(x)<0,当 x>x0 时,F'(x)>0 所以 F(x)在区间(0,x0)上单调递减,在区间(x0,+∞)上单调递增, 代入 a=1-2x02 x0 =1 x0 -2x0 可得:F(x)min=F(x0)=x02+2x0-1 x0 +lnx0-2 设 G(x)=x2+2x-1 x+lnx-2,则 G'(x)=2x+2+1 x2+1 x>0 对 x>0 恒成立, 所以 G(x)在区间(0,+∞)上单调递增,又 G(1)=0 所以当 0<x≤1 时 G(x)≤0,即当 0<x0≤1 时 F(x0)≤0, 又当 x=ea+2 时 F(x)= 1 4e2a+4- a 2ea+2+lnea+2+a2 4 -a-2 =1 4( 1 ea+2-a)2≥0 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 6 页 共 53 页 因此当 0<x0≤1 时,函数 F(x)必有零点;即当 0<x0≤1 时,必存在 x2 使得(*)成立; 即存在 x1,x2 使得函数 f(x)上点(x1,f(x1))与函数 g(x)上点(x2,g(x2))处切线相同. 又由 y=1 x-2x 得:y'=-1 x2-2<0 所以 y=1 x-2x(0,1)单调递减,因此 a=1-2x02 x0 =1 x0 -2x0∈[-1+∞) 所以实数 a 的取值范围是[-1,+∞). 类型二 利用导数研究函数的单调性问题: 一、前测回顾 1.已知函数 f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1(k>0), (1)若函数 f(x)的单调递减区间是(0,4),则实数 k 的值为____________; (2)若在(0,4)上为减函数,则实数 k 的取值范围是____________. 答案:(1)1 3 (2) 0,1 3 解析:(1)f′(x)=3kx2+6(k-1)x,由题意知 f′(4)=0,解得 k=1 3,检验符合. (2)由 f′(x)=3kx2+6(k-1)x,由题意知 f′(4)≤0,解得 k≤1 3,又 k>0,故 0查看更多
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