2019届武汉四月调考理科数学(解析版)

2019届武汉四月调考理科数学(解析版)

武汉市 2019 届高中毕业生四月调研测试 理科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1．设复数 z 满足1 2 i1 z z   ，则 z  （ ） A． 1 3 i5 5 B． 1 3 i5 5 C． 1 3 i5 5  D． 1 3 i5 5  1．答案：C 解析： 1 i ( 1 i)(2 i) 1 3i1 2 i(1 ) i i , (2 i) 1 i, 2 i (2 i)(2 i) 5z z z z z                      ． 2．已知集合 2 2{ | 2 0}, { | 3 0}A x x x B x x x       ，则 A B  （ ） A．(0, 2) B．( 1,0) C．( 3, 2) D．( 1,3) 2．答案：B 解析： 2{ | 2 0} { | ( 1)( 2) 0} { | 1 2}A x x x x x x x x            ， 2{ | 3 0} { | ( 3) 0} { | 3 0}B x x x x x x x x          ，所以 ( 1,0)A B   ． 3．等比数列{ }na 中， 1 41, 64a a   ，则数列{ }na 前 3 项和 3S  （ ） A．13 B． 13 C． 51 D．51 3．答案：B 解析： 3 3 4 1 , 64, 4a a q q q       ，所以 3 1 4 16 13S       ． 4．某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：A— 结伴步行，B—自行乘车，C—家人接送，D—其他方式，并将手机的数据整理绘制成如下两幅不完整的统 计图．请根据图中信息，求本次抽查的学生中 A 类人数是（ ） A．30 B．40 C．42 D．48 4．答案：A 解析：总人数为 30 12025%  ，所以本次抽查的学生中 A 类人数是120 42 30 18 30    ． 5．为了得到函数 sin 2y x 的图象，可以将 cos 2 6y x      的图象（ ） A．向右平移 6  个单位长度 B．向右平移 3  个单位长度 C．向左平移 6  个单位长度 D．向左平移 3  个单位长度 5．答案：A 解析： cos 2 sin 2 sin 2 sin 26 6 2 3 6y x x x x                                     ， 所以为了得到函数 sin 2y x 的图象，可以将 cos 2 6y x      的图象向右平移 6  个单位长度． 6．已知两个平面互相垂直，下列命题 ①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 ②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线 ③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面内 ④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 其中正确命题的个数是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 6．答案：C 解析：正确的为②，如果两个平面垂直，则一个平面内．．．．．垂直于交线的直线垂直于另一个平面，所以④错误．如 果两个平面垂直，则一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内垂直于交线的直线，这样的线有无数条， 所以②正确． 7．已知 0a  且 1a  ，函数 , 1( ) 2, 1 xa xf x ax a x      ≥ 在 R 上单调递增，那么实数 a 的取值范围是（ ） A．(1, ) B．(0,1) C．(1,2) D．(1,2] 7．答案：D 解析：因为函数 ( )f x 在 R 上单调递增，所以 1 1 0 1 2 a a a a a         ≥ ，解得1 2a ≤ ． 8．大学生小明与另外 3 名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙 3 个村小学进行支教，若每个村小学至少 分配 1 名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为（ ） A． 1 12 B． 1 2 C． 1 3 D． 1 6 8．答案：C 解析：对于小明而言，他分配到甲、乙、丙 3 个村是等可能的，所以小明恰好分配到甲村小学的概率为 1 3 ． 9．过点 (4,2)P 作一直线 AB 与双曲线 2 2: 12 xC y  相交于 ,A B 两点，若 P 为 AB 的中点，则 AB  （ ） A． 2 2 B． 2 3 C．3 3 D． 4 3 9．答案：D 解析：设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，则 1 2 1 28, 4x x y y    ，又 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y      ，两式相减，得： 1 2 1 2 1 2 1 2( )( ) 2( )( ) 0x x x x y y y y      ，所以 1 2 1 2 1AB y yk x x   ， （或由常用结论： 2 3 11 12 2OP ABk k e      ，又因为 1 2OPk  ，所以 1ABk  ）， 所以直线 AB 的方程为 2y x  ，将其代入 2 22 2 0x y   ，得 2 8 10 0x x   ， 解得 1 24 6, 4 6x x    ， 1 2 2 6x x  ， 2 1 21 2 2 6 4 3AB k x x       ． 10．已知 ,a b  是两个相互垂直的单位向量，且 3, 1c a c b       ，则 b c    （ ） A． 6 B． 7 C． 2 2 D． 2 3 10．答案：B 解析：不妨设 (1,0), (0,1), ( , )a b c x y     ，则 3, 1, ( 3,1), ( 3, 2)c a x c b y c b c                ， 7b c    ． 11．为了提升全面身体素质，学校十分重视学生体育锻炼．某校篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投 进则后一球投进的概率为 3 4 ，若他前一球投不进则后一球投进的概率为 1 4 ．若他第 1 球投进的概率为 3 4 ， 则他第 2 球投进的概率为（ ） A． 3 4 B． 5 8 C． 7 16 D． 9 16 11．答案：B 解析：设第一次投进球为事件 A ，第二次投进球为事件 B ，则 3 3 1 1 10 5( ) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) 4 4 4 4 16 8P B P AB P AB P B A P A P B A P A            ． 12．已知函数 3( )f x x ax b   定义域为[ 1,2] ，记 ( )f x 的最大值为 M ，则 M 的最小值为（ ） A．4 B．3 C．2 D． 3 12．答案：C 解析：解法 1： ( 1) 1 , (1) 1 , (2) 8 2M f a b M f a b M f a b          ≥ ≥ ≥ ， 所以 3 2 1 3 3 16 4 2M M M a b a b a b          ≥ ( 1 ) (3 3 ) (16 4 2 ) 12a b a b a b         ≥ ，所以 2M ≥ ， 当 3, 0a b   时， 3 2( ) 3 , ( ) 3 3 3( 1)( 1)f x x x f x x x x       ，当 ( 1,1)x  时， ( ) 0, ( )f x f x  单调递减，当 (1,3)x 时， ( ) 0, ( )f x f x  单调递增，又 ( 1) 2, (1) 2, (2) 2f f f     ，此时 2M  ， 故 M 的最小值为 2． 解法 2： 2( ) 3 , ( ) 6f x x a f x x    ，令 ( ) 0f x  ，得 0x  ，故 ( )f x 关于 (0, )b 对称， 令 ( 1) (1) (2)f f f    ，得 3, 0a b   ，此时 M 取最小值 2． 解法 3：令 2cos [ 2,2]x    ，则 3( ) 8cos 2 cosf x a b    ， 令 3, 0a b   ，得 3( ) 2cos [ 2, 2]f x    ，即 M 的最小值为 2． 解法 4：由 3x ax b M  ≤ ，得 3M x ax b M  ≤ ≤ ， 所以 3ax b M x ax b M     ≤ ≤ ， 如图， 33 2 03 2 2 aax b M x bax b M x M               = ． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上． 13．已知实数 ,x y 满足约束条件 2 4 0 1 0 2 1 0 x y x y x y         ≥ ≤ ≤ ，则目标函数 z y x  的最小值为 ． 13．答案： 1 解析：作可行域为如图所示的 ABC△ ，其中 7 6( 5, 6), (1,0), ,5 5A B C       ，则 131, 1, 5A B Cz z z     ， 所以目标函数 z y x  的最小值为 1 ． 14．已知过点 (1,0)M 的直线 AB 与抛物线 2 2y x 交于 ,A B 两点，O 为坐标原点，若 ,OA OB 的斜率之 和为 1，则直线 AB 的方程为 ． 14．答案： 2 2y x   8 7 6 5 4 3 2 1 1 2O 3 2y x  3 2y x  (2,8) ( 1,1) x y A B C 解析：设直线 AB 的方程为 1x my  ，将其代入 2 2y x ，得 2 2 2 0y my   ，设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ， 则 1 2 1 22 , 2y y m y y    ，此时 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 21 1 ( 1)( 1)OA OB y y my y y my y yk k my my my my          1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 ( ) 4 2 2 1( ) 1 2 2 1 my y y y m m mm y y m y y m m              ，所以 1 2m   ， 直线 AB 的方程为 1 12x y   ，即 2 2y x   ． 15．已知数列{ }na 前 n 项和 nS 满足 1 13 2 3( 2), 1n n nS S n a    ≥ ，则 4a  ． 15．答案：11 解析： 2 3 4 2 1 3 2 4 33 2 3 2, 3 2 3 1, 3 2 3 10S S S S S S              ，所以 4 4 3 11a S S   ． 16．在四面体 P ABC 中，若 3, 4, 5PA PB PC   ，底面 ABC△ 是边长为 2 3 的正三角形，O 为 ABC△ 的中心，则 PAO 的余弦值为 ． 16．答案： 1 36 解析：延长 AO 交 BC 于点 D ，连接 PD ，则 D 为 BC 的中点， 3AD  ，在 PBC△ 中，可得： 2 2 2 2 2( ) 2 (16 25) 12 35 4 2 2 PB PC BCPD        ，在 PAD△ 中，由余弦定理可得： 2 2 2 359 9 12cos 2 2 3 3 36 PA AD PDPAD PA PD          ，即 1cos 36PAO  ． A P C B DO 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17．（本小题满分 12 分） 在 ABC△ 中，角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，若 10cos , 2 , 154A B A b   ． （1）求 a ； （2）已知 M 在边 BC 上，且 1 2 CM MB  ，求 CMA△ 的面积． 17．解析：（1）由 100 , cos 4A A   ，知 6sin 4A  ， 6 10 15sin sin 2 2sin cos 2 4 4 4B A A A       ， 由正弦定理 sin sin sin a b c A A C  ，可知 sin 6sin b Aa B  ．………………………………………（6 分） （2） 2 2 10 1cos cos 2 2cos 1 2 14 4B A A            ， 6 1 10 15 3 6sin sin( ) sin cos cos sin 4 4 4 4 8C A B A B A B         ， 三角形 ABC 的面积 1 1 3 6 9 15sin 6 152 2 8 8ABCS ab C     △ ， 而 1 2 CM MB  ，所以 1 1 9 15 3 15 3 3 8 8CMA ABCS S   △ △ ．…………………………………………12 分 M A CB 18．（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形， 2 2, 60 , 2AB AD DAB PA PC       ， 且平面 ACP  平面 ABCD ． （1）求证：CB PD ； （2）求二面角C PB A  的余弦值． P A B CD 18．解析：（1）连接 ,AC BD 交于点O ，连 PO ，由平面 ACP  平面 ABCD ， 平面 ACP 平面 ABCD AC ．又 PA PC ， ,PO AC PO    平面 ABCD ， 又 BC  平面 ,ABCD PO BC  ，又 2 2 2 cos60 3BD AB AD AB AD       ， 2 2 2BD BC CD   ， BC BD  ，又 ,BD PO O BC   平面 PBD ， PD  平面 ABD ， CB PD  ．………………………………………………………………………6 分 （2）由（1）知 DA DB ，以 D 为坐标原点， DA 为 x 轴， DB 为 y 轴，过点 D 与平面 ADB 垂直的直 线为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由（1）知 PO  平面 ABCD ，则 //PO z 轴． 由平面几何知识易知得 7 3,2 2AO PO  ，则 3 3(1,0,0), (0, 3,0), 0, , , ( 1, 3,0)2 2A B P C      ， 于是 3 3( 1,0,0), 0, , , (1, 3,0)2 2BC BP BA             ， 设平面 PBC 的法向量为 1 ( , , )n x y z  ， 则 1 1 0 3 3 02 2 n BC x n BP y z               ，取 1z  ，则 3y  ，则 1 (0, 3,1)n   ． 同理可求得平面 PBA 的一个法向量为 2 (3, 3,1)n   ，于是 1 2 1 2 1 2 4 2 13cos , 132 13 n nn n n n          ． 分析知二面角C PB A  的余弦值为 2 13 13 ．………………………………………………………12 分 P A B CD O x y z 19．（本小题满分 12 分） 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x y a ba b     经过点 ( 2,1)M  ，且右焦点 ( 3,0)F ． （1）求椭圆 的标准方程； （2）过 (1,0)N 的直线 AB 交椭圆 于 ,A B 两点，记t MA MB    ，若t 的最大值和最小值分别为 1 2,t t ， 求 1 2t t 的值． 19．解析：（1）由椭圆 2 2 2 2 1x y a b  的右焦点为( 3,0) ，知 2 2 3a b  ，即 2 2 3b a  ， 则 2 2 2 2 2 1, 33 x y aa a   ，又椭圆过点 ( 2,1)M  ，则 2 2 4 1 13a a  ，又 2 3a  ，求得 2 6a  ， ∴椭圆方程为 2 2 16 3 x y  ．…………………………………………………………………………4 分 （2）当直线 AB 的斜率存在时，设 AB 的方程为 1 1 2 2( 1), ( , ), ( , )y k x A x y B x y  ， 由 2 2 16 3 ( 1) x y y k x       ，得 2 2 22 ( 1) 6x k x   ，即 2 2 2 2(1 2 ) 4 2 6 0k x k x k     ， 因为点(1,0) 在椭圆内部， 0  ， 2 1 2 2 2 1 2 2 4 1 2 2 6 2 1 kx x k kx x k          ① ② 则 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( 2)( 2) ( 1)( 1) 2( ) ( 1)( 1)t MA MB x x y y x x x x kx k kx k                  2 2 2 1 2 1 2(1 ) (2 )( ) 2 5k x x k k x x k k         ………………………………………………………③ 将①②代入③，得： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 4 15 2 1(1 ) (2 ) 2 52 1 2 1 2 1 k k k kt k k k k kk k k                ， 则 2(15 2 ) 2 1 0,t k k t k     R ，则 22 4(15 2 )( 1) 0t t     ≥ ， (2 15)( 1) 1 0t t    ≤ ，即 22 13 16 0t t  ≤ ， 又 1 2,t t 是 22 13 16 0t t   的两根，所以 1 2 13 2t t  ， 当直线 AB 的斜率不存在时，联立 2 2 16 3 1 x y x      ，得 10 2y   ， 不妨设 10 101, , 1,2 2A B             ， 10 103, 1 , 3, 12 2MA MB                   ， 10 159 14 2MA MB       ．可知 1 2 15 2t t  ． 综上， 1 2 13 2t t  ．……………………………………………………………………………………12 分 20．（本小题满分 12 分） 已知函数 1 2 2( ) ln xef x a x x x       （ ,a aR 为常数）在(0, 2) 内有两个极值点 1 2 1 2, ( )x x x x ． （1）求实数 a 的取值范围； （2）求证： 1 2 2(1 ln )x x a   ． 20．解析：（1）由 1 2 2( ) ln xef x a x x x       ，可得 1 3 (2 )( )( ) xx e axf x x    ， 记 1( ) , 0xh x e ax x   ，由题意，知 ( )y h x 在(0, 2) 上存在两个零点． 1( ) xh x e a   ，则 当 0a ≤ 时， ( ) 0h x  ，则 ( )h x 在(0, 2) 上递增， ( )h x 至多有一个零点，不合题意； 当 0a  时，由 ( ) 0h x  ，得 1 lnx a  ． （i）若1 ln 2a  且 (2) 0h  ，即1 2 ea  时， ( )h x 在 (0,1 ln )a 上递减，在(1 ln ,2)a 递增； 则 min( ) (1 ln ) ln 0h x h a a a     ，且 1(2) 0, (0) 0h h e   ， 从而 ( )h x 在 (0,1 ln )a 和(1 ln ,2)a 上各有一个零点． 所以 ( )y h x 在 (0, 2) 上存在两个零点． （ii）若1 ln 2a  ，即 a e 时， ( )h x 在 (0, 2) 上递减， ( )h x 至多有一个零点．舍去． （iii）若1 ln 2a  且 (2) 0h ≤ ，即 2 e a e≤ 时，此时 ( )h x 在 (0,1 ln )a 上有一个零点，而在(1 ln ,2)a 上没有零点．舍去． 综上可知，1 2 ea  ．……………………………………………………………………………………6 分 （2）令 ( ) ( ) (2 2ln ), 0 1 lnH x h x h a x x a       ，则 2 1 2 2ln 1 1 1( ) ( ) (2 2ln ) 2 2 2 0x a x x x aH x h x h a x e a e a e a ae                    ≥ ， 所以， ( )H x 在(0,1 ln )a 上递增，从而 ( ) (1 ln ) 0H x H a   ， 即 ( ) (2 2ln ) 0h x h a x    ， 1 1( ) (2 2ln ) 0h x h a x     ，而 1 2( ) ( )h x h x ，且 ( )h x 在(1 ln ,2)a 递增； 2 1 2 1( ) (2 2ln ) 2 2lnh x h a x x a x        ． 1 2 2(1 ln )x x a    ．………………………………………………………………………………………12 分 21．（本小题满分 12 分） 十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫 奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入逐年增加．为了更好的制定 2019 年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了 2018 年 50 位农民的年收入并制 成如下频率分布直方图： 11 13 15 17 19 21 23 25 收入（千元） 0.02 0.03 0.050.06 0.14 0.18 频率/组距 （1）根据频率分布直方图，估计 50 位农民的年平均收入 x （单位：千元）（同一组数据用该组数据区间 的中点值表示）； （2）由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入 X 服从正态分布 2( , )N   ，其中  近似为年 平均收入 x ， 2 近似为样本方差 2s ，经计算得 2 6.92s  ．利用该正态分布，求： （i）在 2019 年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的 84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定 的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？ （ii）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了 1000 位农民中的年收入 不少于 12.14 千元的人数最有可能是多少？ 附：参考数据与公式： 6.92 2.63 ，若 2( , )X N  ～ ，则 ① ( ) 0.6827P X      ≤ ；② ( 2 2 ) 0.9545P X      ≤ ； ③ ( 3 3 ) 0.9973P X      ≤ ． 21．解析：（1） 12 0.04 14 0.12 16 0.28 18 0.36 20 0.10 22 0.06 23 0.04 17.40x                千元．…………………………………………………………………………………………………………3 分 （2）由题意， (17.40,6.92)X N～ ． （i） 1 0.6827( ) 0.8414, 17.40 2.63 14.772 2P x              时，满足题意， 则最低年收入大约为14.77 千元．…………………………………………………………………………6 分 （ii）由 0.9545( 12.14) ( 2 ) 0.5 0.97732P X P X      ≥ ≥ ，可知每个农民的年收入不少于12.14 千元的事件的概率为0.9773，记 1000 个农民的年收入不少于12.14 千元的人数为 ，则 (1000, )B p～ ，其中 0.9773p  于是恰好有 k 个农民的年收入不少于12.14 千元的事件概率是 1000 1000( ) (1 )k k kP k C p p     ， 由 ( ) (1001 ) 1( 1) (1 ) P k k p P k k p         ，得 1001 978.2773k p  ． 所以当0 978k≤ ≤ 时， ( 1) ( )P k P k     ，当979 1000k≤ ≤ 时， ( 1) ( )P k P k     ， 由此可知，在所走访的 1000 为农民中，年收入不少于12.14 千元的人数最有可能是 978…………12 分 （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分． 22．【选修 4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分） 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 1 2: sin 4 2C       ， 2 2 2 1: 3 4sinC    ． （1）求曲线 1 2,C C 的直角坐标方程； （2）曲线 1C 和 2C 的交点为 ,M N ，求以 MN 为直径的圆与 y 轴的交点坐标． 22．解析：（1）由 2sin 4 2       ，得 2sin cos cos sin4 4 2         ， 将 cos , sinx y     代入上式得 1x y  ．即 1C 的直角坐标方程为： 1x y  ． 同理由 2 2 1 3 4sin   可得 2 23 1x y  ． 2C 的直角坐标方程为 2 23 1x y  ．……………………5 分 （2） PM PN ．先求以 MN 为直径的圆，设 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y ， 由 2 23 1 1 x y x y       ，得 2 23 (1 ) 1x x   ，即 2 1 0x x   ． 1 2 1 2 1 1 x x x x      ，则 MN 中点坐标为 1 3,2 2     ． 2 1 2 1 4( 1)1 1 2 101MN x x          ． 所以以 MN 为直径的圆： 22 21 3 10 2 2 2x y                     ， 令 0x  ，得 21 3 10 4 2 4y      ，即 23 9 , 02 4y y       或 3y  ， 所以所求 P 点的坐标为(0,0) 或(0,3) ．………………………………………………………………10 分 23．【选修 4—5：不等式选讲】（本小题满分 10 分） 已知函数 ( ) 2 1 1f x x x    ． （1）求不等式 ( ) 3f x ≥ 的解集； （2）若直线 y x a  与 ( )y f x 的图象所围成的多边形面积为 9 2 ，求实数 a 的值． 23．解析：（1） 3 , 1 1( ) 2 1 1 2, 12 13 , 2 x x f x x x x x x x               ≥ ≤ ， 由 ( ) 3f x ≥ 可知： （i）当 1x≥ 时，3 3x≥ ，即 1x≥ ； （ii）当 1 12 x   时， 2 3x   ，即 1x≥ ，与 1 12 x   矛盾，舍去； （iii）当 1 2x ≤ 时， 3 3x ≥ ，即 1x ≤ ； 综上可知解集为：{ | 1x x ≤ 或 1}x≥ ………………………………………………………………5 分 （2）画出函数 ( )y f x 的图象，如图所示，其中 1 3, , (1,3)2 2A B    ，由 1ABk  ，知 y x a  图象与直 线 AB 平行，若要围成多边形，则 2a  ． 易得 y x a  与 ( )y f x 图象交于两点 3 3, , ,2 2 4 4 a a a aC D          ，则 3 22 2 4 4 a aCD a    ， 平行线 AB 与CD 间距离 2 2 3 2, 22 2 a ad AB    ， 所以梯形 ABCD 面积 3 2 3 2 3 3 2 92 4 2 4 ( 2) , ( 2)2 2 22 a aaS a a         ， 即 ( 2)( 2) 12, 4a a a     ， 故所求实数 a 的值为 4．………………………………………10 分 6 5 4 3 2 1 2 D C B A O