2020年高中数学第三章函数的应用3

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2020年高中数学第三章函数的应用3

‎3.1.1‎‎ 方程的根与函数的零点 ‎[课时作业]‎ ‎[A组 基础巩固]‎ ‎1.若y=f(x)在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是(  )‎ A.若f(a)·f(b)<0,不存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0‎ B.若f(a)·f(b)<0,存在且只存在一个实数c∈(a,b),使得f(c)=0‎ C.若f(a)·f(b)>0,不存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0‎ D.若f(a)·f(b)>0,有可能存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0‎ 解析:由零点存在性定理可知选项A不正确;‎ 对于选项B,可通过反例“f(x)=x(x-1)(x+1)在区间[-2,2]上满足f(-2)·f(2)<0,但其存在三个零点:-1,0,‎1”‎推翻;选项C可通过反例“f(x)=(x-1)·(x+1)在区间[-2,2]上满足 f(-2)·f(2)>0,但其存在两个零点:-1,‎1”‎推翻.‎ 答案:D ‎2.函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是(  )‎ A.(-2,-1) B.(-1,0)‎ C.(0,1) D.(1,2)‎ 解析:因为函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线,又f(-2)=e-2-4<0,f(-1)=e-1-3<0,f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,所以f(0)f(1)<0.故函数的一个零点在(0,1).‎ 答案:C ‎3.若函数y=f(x)在R上递增,则函数y=f(x)的零点(  )‎ A.至少有一个 B.至多有一个 C.有且只有一个 D.可能有无数个 解析:在R上单调的函数最多有一个零点.‎ 答案:B ‎4.若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是(  )‎ A.(-1,1)‎ B.(-2,2)‎ C.(-∞,-2)∪(2,+∞)‎ D.(-∞,-1)∪(1,+∞)‎ 解析:一元二次方程有两个不相等的实根,所以Δ=m2-4>0,‎ 解得m>2或m<-2.‎ 答案:C ‎5.若函数f(x)在区间(0,2)内有零点,则(  )‎ 5‎ A.f(0)>0,f(2)<0‎ B.f(0)·f(2)<0‎ C.在区间(0,2)内,存在x1,x2使f(x1)·f(x2)<0‎ D.以上说法都不正确 解析:函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点,我们并不一定能找到x1,‎ x2∈(a,b),满足f(x1)·f(x2)<0,故A、B、C都是错误的,故选D.‎ 答案:D ‎6.函数f(x)=2-(x∈[-1,1])的零点个数为________.‎ 解析:令2-=0解得x=0,所以函数仅有一个零点.‎ 答案:1‎ ‎7.函数y=x2+2px+1的零点一个大于1,一个小于1,则p的取值范围为________.‎ 解析:解法一:由题设,令f(x)=y=x2+2px+1,则有f(1)<0,‎ 即12+2p+1<0,∴p<-1,‎ ‎∴p的范围为(-∞,-1)‎ 解法二:设y=x2+2px+1的零点为x1,x2‎ 则∴ ‎∴ 得p<-1.‎ ‎∴p的范围为(-∞,-1).‎ 答案:(-∞,-1)‎ ‎8.函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是________(填序号).‎ ‎① (-2,-1);②(-1,0);③(0,1);④(1,2)‎ 解析:∵f(x)=ex+x-2,∴f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0.‎ ‎∴函数f(x)的零点所在的一个区间是(0,1).‎ 答案:③‎ ‎9.求函数f(x)=2x+lg(x+1)-2的零点个数.‎ 解析:解法一:∵f(0)=1+0-2=-1<0,f(2)=4+lg 3-2>0,由零点存在性定理,f(x)在(0,2)上存在实根 又f(x)=2x+lg(x+1)-2在(0,+∞)为增函数,故f(x)有且只有一个零点.‎ 解法二:(数形结合)在同一坐标系中作出g(x)=2-2x和h(x)=lg(x+1)的图象(如图所示),由图象可知有且只有一个交点,即函数f(x)有且只有一个零点.‎ ‎10.关于x的方程2x2-3x+‎2m=0有两实根均在[-1,1]内,求m的取值范围.‎ 解析:方程有两实根,所以Δ≥0,‎ 5‎ 即9-2×‎2m×4≥0,‎ 所以m≤.‎ 因为两根均在[-1,1]内,‎ 所以⇔ 即m≥,‎ 综上:≤m≤.‎ ‎[B组 能力提升]‎ ‎1.已知函数f(x)为奇函数,且该函数有三个零点,则三个零点之和等于(  )‎ A.0 B.1‎ C.-1 D.不能确定 解析:∵奇函数的图象关于原点对称,∴若f(x)有三个零点,则其和必为0.‎ 答案:A ‎2.函数f(x)=x-x的零点个数为(  )‎ A.0 B.1‎ C.2 D.3‎ 解析:因为y=x在x∈[0,+∞)上单调递增,y=x在x∈R上单调递减,所以f(x)=x-x在x∈[0,+∞)上单调递增,又f(0)=-1<0,f(1)=>0,所以f(x)=x-x在定义域内有唯一零点.‎ 答案:B ‎3.若函数f(x)=,则g(x)=f(4x)-x的零点是________.‎ 解析:∵f(x)=,∴g(x)=-x,令g(x)=0,‎ 则有:-x=0,解得x=.‎ 答案: ‎4.下列说法正确的有________:‎ ‎①对于函数f(x)=x2+mx+n,若f(a)>0,f(b)>0,则函数f(x)在区间(a,b)内一定没有零点.‎ ‎②函数f(x)=2x-x2有两个零点.‎ 5‎ ‎③若奇函数、偶函数有零点,其和为0.‎ ‎④当a=1时,函数f(x)=|x2-2x|-a有三个零点.‎ 解析:①错,如图.‎ ‎②错,应有三个零点.‎ ‎③对,奇、偶函数图象与x轴的交点关于原点对称,其和为0.‎ ‎④设u(x)=|x2-2x|=|(x-1)2-1|,如图向下平移1个单位,顶点与x轴相切,图象与x轴有三个交点.∴a=1.‎ 答案:③④‎ ‎5.已知函数f(x)=4x+m·2x+1仅有一个零点,求m的取值范围,并求出零点.‎ 解析:令2x=t(t>0),则在方程t2+mt+1=0中,‎ ‎(1)Δ=0,即m2-4=0,m=±2时,‎ t=1或t=-1(舍去).‎ 由2x=1,得x=0,满足题意,即m=-2时,有唯一的零点0.‎ ‎(2)Δ>0,即m>2或m<-2时,要使函数有一零点,即须满足方程t2+mt+1=0有一正一负两根.‎ 而t1·t2=1>0,故这一情况不会存在.‎ 综上所述,m=-2时,f(x)有唯一的零点0.‎ ‎6.已知关于x的函数y=(m+6)x2+2(m-1)x+m+1恒有零点.‎ ‎(1)求m的范围;‎ ‎(2)若函数有两个不同零点,且其倒数之和为-4,求m的值.‎ 解析:(1)当m+6=0时,函数为y=-14x-5显然有零点,‎ 当m+6≠0时,由Δ=4(m-1)2-4(m+6)(m+1)=-‎9m-5≥0,得m≤-.‎ ‎∴当m≤-且m≠-6时,二次函数有零点.‎ 综上,m≤-.‎ ‎(2)设x1、x2是函数的两个零点,则有 5‎ x1+x2=-,x1x2=.‎ ‎∵+=-4,即=-4,‎ ‎∴-=-4,解得m=-3.‎ 且当m=-3时,m+6≠0,Δ>0符合题意,‎ ‎∴m的值为-3.‎ 5‎
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