【数学】2019届一轮复习苏教版（理科）第一章集合与常用逻辑用语学案
第一章Error!集合与常用逻辑用语
第一节 集合的概念与运算
1．集合的相关概念
(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．
(2)元素与集合的两种关系：属于，记为 ∈ ；不属于，记为 ∉ .
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
(4)五个特定的集合：
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*或 N＋ Z Q R
2．集合间的基本关系
表示
关系
文字语言 符号语言 记法
子集
集合 A 的任意一个元
素都是集合 B 的元素
x∈A⇒
x∈B
A⊆B 或 B⊇A
真子集
集合 A 是集合 B 的
子集，并且集合 A 与
集合 B 不相等
A⊆B，
且 A≠B
AB 或
BA
基本
关系
相等
集合 A，B 的元素完
全相同
A⊆B，
B⊆A
A＝B
空集
不含任何元素的集
合．空集是任何集合
A 的子集，是任何非
空集合 B 的真子集
∀x，x∉∅，∅⊆A，∅B ∅
3．集合的基本运算
表示
运算
文字语言 符号语言 图形语言 记法
交集
所有属于集合 A 且
属于集合 B 的元素
构成的集合
{x|x∈A，且 x∈B} A∩B
并集
所有属于集合 A 或
者属于集合 B 的元
素构成的集合
{x|x∈A，或 x∈B} A∪B
补集
全 集 U 中 不 属 于
集合 A 的所有元素
构成的集合
{x|x∈U，且 x∉A} ∁UA
4.集合的运算性质
(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B ⊆ A.
(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.
(3)补集的性质：A∪(∁UA)＝U ；A∩(∁UA)＝∅ ；
∁U(∁UA)＝A ；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．
[小题体验]
1．已知全集 U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3,4}，N＝{4,5}，则∁U(M∪N)＝________.
答案：{1,6}
2．设集合 A＝{x|(x＋1)(x－2)<0}，B＝{x|0≤x≤3}，则 A∩B＝________.
答案：{x|0≤x<2}
3．已知集合 A＝{x|－1≤x≤1}，则 A∩Z＝________.
答案：{－1,0,1}
4．设全集 U＝N*，集合 A＝{2,3,6,8,9}，集合 B＝{x|x>3，x∈N*}，则图中阴影部分所
表示的集合是________．
答案：{2,3}
1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他形式)和化简集合是正确求解集合问题的
两个先决条件．
2．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关
系．
3．注意空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．
4．运用数轴图示法注意端点是实心还是空心．
5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为
不满足“互异性”而导致解题错误．
[小题纠偏]
1 ． 已 知 集 合 A ＝ {x ∈ N|x2 － 2x≤0} ， 则 满 足 A ∪ B ＝ {0,1,2} 的 集 合 B 的 个 数 为
________．
解析：由 A 中的不等式解得 0≤x≤2，x∈N，即 A＝{0,1,2}．因为 A∪B＝{0,1,2}，所
以 B 可能为{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，∅，共 8 个．
答案：8
2．已知集合 M＝{1,2}，N＝{3,4,5}，P＝{x|x＝a＋b，a∈M，b∈N}，则集合 P 的元素
个数为________．
解析：因为 a∈M，b∈N，所以 a＝1 或 2，b＝3 或 4 或 5.当 a＝1 时，若 b＝3，则 x＝
4；若 b＝4，则 x＝5；若 b＝5，则 x＝6.同理，当 a＝2 时，若 b＝3，则 x＝5；若 b＝4，
则 x＝6；若 b＝5，则 x＝7，由集合中元素的特性知 P＝{4,5,6,7}，则 P 中的元素共有 4
个．
答案：4
3．设全集 U＝R，集合 A＝{x|7－6x≤0}，集合 B＝{x|y＝lg(x＋2)}，则(∁ UA)∩B＝
________.
解析：依题意得 A＝Error!，∁UA＝Error!；
B＝{x|x＋2>0}＝{x|x>－2}，
因此(∁UA)∩B＝Error!.
答案：(－2，7
6)
4．设集合 A＝{(x，y)|y＝x＋1，x∈R}，B＝{(x，y)|x 2＋y2＝1}，则满足 C⊆(A∩B)的
集合 C 的个数为________．
解析：法一：解方程组Error!得Error!或Error!所以 A∩B＝{(0,1)，(－1,0)}，即 A∩B 中
有 2 个元素．因为 C⊆(A∩B)，所以集合 C 的个数是 4.
法二：在同一平面直角坐标系中画出直线 y＝x＋1 和圆 x2＋y2＝1 的图象，可知，直线
和圆有两个交点，即 A∩B 中有 2 个元素．因为 C⊆(A∩B)，所以集合 C 的个数是 4.
答案：4
考点一 集合的基本概念 (基础送分型考点——自主练透)
[题组练透]
1．(易错题)已知集合 A＝{1,2,4}，则集合 B＝{(x，y)|x∈A，y∈A}中元素的个数为
________．
解析：集合 B 中元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共
9 个．
答案：9
2．已知 a，b∈R，若{a，b
a，1}＝{a2，a＋b,0}，则 a2 018＋b2 018＝________.
解析：由已知得 a≠0，则b
a＝0，所以 b＝0，于是 a2＝1，即 a＝1 或 a＝－1，又根据集
合中元素的互异性可知 a＝1 应舍去，因此 a＝－1，故 a2 018＋b2 018＝(－1)2 018＋02 018＝1.
答案：1
3．若集合 A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则 a＝________.
解析：若集合 A 中只有一个元素，则方程 ax2－3x＋2＝0 只有一个实根或有两个相等实
根．当 a＝0 时，x＝2
3，符合题意．
当 a≠0 时，由 Δ＝(－3)2－8a＝0，得 a＝9
8，
所以 a 的值为 0 或9
8.
答案：0 或9
8
4．(易错题)已知集合 A＝{m＋2,2m2＋m}，若 3∈A，则 m 的值为________．
解析：由题意得 m＋2＝3 或 2m2＋m＝3，
则 m＝1 或 m＝－3
2，当 m＝1 时，
m＋2＝3 且 2m2＋m＝3，
根据集合中元素的互异性可知不满足题意；
当 m＝－3
2时，m＋2＝1
2，
而 2m2＋m＝3，
故 m＝－3
2.
答案：－3
2
[谨记通法]
与集合中元素有关问题的求解策略
(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集．(如“题组练透”第 1 题)
(2)看这些元素满足什么限制条件．
(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满
足元素的互异性．(如“题组练透”第 4 题)
考点二 集合间的基本关系 (重点保分型考点——师生共研)对应学生用书 P2
[典例引领]
1．已知集合 M＝{1,2,3,4}，则集合 P＝{x|x∈M 且 2x∉M}的子集有________个．
解析：由题意，得 P＝{3,4}，所以集合 P 的子集有 22＝4 个．
答案：4
2．已知集合 A＝{x|y＝ 1－x2，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则集合 A，B 之间的关
系为________．
解析：由题意知 A＝{x|y＝ 1－x2，x∈R}，所以 A＝{x|－1≤x≤1}．所以 B＝{x|x＝
m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}，所以 BA.
答案：BA
[由题悟法]
判断集合间关系的 3 种方法
列举法
根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集
合之间的关系
结构法
从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进
行判断
数轴法
在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集
合之间的关系
[即时应用]
1．已知集合 A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件 A⊆C
⊆B 的集合 C 的个数为________．
解析：由 x2－3x＋2＝0 得 x＝1 或 x＝2，
所以 A＝{1,2}．
由题意知 B＝{1,2,3,4}，所以满足条件的 C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，故所
求集合 C 的个数为 4.
答案：4
2．已知集合 A＝{x|－1
0 时，因为 A＝{x|－10}，则 AB＝________.
解析：因为 A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y>1}，A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|12}．
答案：{x|0≤x≤1 或 x>2}
[通法在握]
解集合运算问题 4 个技巧
看元素构成
集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问
题的关键
对集合化简
有些集合是可以化简的，先化简集合再研究其关系并进行运算，可使问
题简单明了、易于解决
数形结合 常用的数形结合形式有数轴、坐标系和 Venn 图
新定义型
问题
以集合为依托，对集合的定义、运算、性质加以深入的创新，但最终化
为原来的集合知识和相应数学知识来解决
[演练冲关]
1．(2018·南京高三年级学情调研)若集合 P＝{－1,0,1,2}，Q＝{0,2,3}，则 P∩Q＝________.
解析：由已知可得，P∩Q＝{0,2}．
答案：{0,2}
2．已知 m∈R，集合 M＝{m，－3}，N＝{x|2x 2＋7x＋3<0，x∈Z}，如果 M∩N≠∅，
那么 m 的值为________．
解析：N＝{x|2x2＋7x＋3<0，x∈Z}＝x－3y2，则 x>y”的逆否命题是________．
答案：“若 x≤y，则 x2≤y2”
4．“x≥1”是“x＋1
x≥2”的________条件．
解析：若 x>0，则 x＋1
x≥2 x·1
x＝2，当且仅当 x＝1 时取等号，显然[1，＋∞) (0，＋
∞)，所以 x≥1 是 x＋1
x≥2 的充分不必要条件．
答案：充分不必要
1．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是
只否定命题的结论．
2．易忽视 A 是 B 的充分不必要条件(A⇒B 且 B⇒/ A)与 A 的充分不必要条件是 B(B
⇒A 且 A⇒/ B)两者的不同．
[小题纠偏]
1．设 a，b 均为非零向量，则“a∥b”是“a 与 b 的方向相同”的________条件．
答案：必要不充分
2 ． “ 在 △ ABC 中 ， 若 ∠ C ＝ 90° ， 则 ∠ A ， ∠ B 都 是 锐 角 ” 的 否 命 题 为 ：
________________.
解析：原命题的条件：在△ABC 中，∠C＝90°，
结论：∠A，∠B 都是锐角．否命题是否定条件和结论．
即“在△ABC 中，若∠C≠90°，则∠A，∠B 不都是锐角”．
答案：在△ABC 中，若∠C≠90°，则∠A，∠B 不都是锐角
考点一 四种命题相互关系及真假判断 (基础送分型考点——自主练透)
[题组练透]
1．已知命题 p：“正数 a 的平方不等于 0”，命题 q：“若 a 不是正数，则它的平方等
于 0”，则 q 是 p 的________命题．
解析：命题 p：“正数 a 的平方不等于 0”可写成“若 a 是正数，则它的平方不等于
0”，从而 q 是 p 的否命题．
答案：否
2 ． (2018· 常 州 一 中 测 试 ) 命 题 “ 若 α ＝ π
4， 则 tan α ＝ 1” 的 逆 否 命 题 是
________________．
解析：命题的条件是 p：α＝π
4，结论是 q：tan α＝1.由命题的四种形式，可知命题“若
p，则 q”的逆否命题是“若非 q，则非 p”，显然非 q：tan α≠1，非 p：α≠π
4，所以该命题
的逆否命题是“若 tan α≠1，则 α≠π
4”．
答案：若 tan α≠1，则 α≠π
4
3．给出以下四个命题：
①“若 x＋y＝0，则 x，y 互为相反数”的逆命题；
②(易错题)“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若 q≤－1，则 x2＋x＋q＝0 有实根”的逆否命题；
④若 ab 是正整数，则 a，b 都是正整数．
其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)
解析：①命题“若 x＋y＝0，则 x，y 互为相反数”的逆命题为“若 x，y 互为相反数，
则 x＋y＝0”，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③
原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若 ab 是正整数，但 a，b 不一定
都是正整数，例如 a＝－1，b＝－3，故④为假命题．
答案：①③
[谨记通法]
1．判断命题真假的 2 种方法
(1)直接判断：判断一个命题是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，
只需举一反例即可．
(2)间接判断(等价转化)：由于原命题与其逆否命题为等价命题，如果原命题的真假不易
直接判断，那么可以利用这种等价性间接地判断命题的真假．
2．谨防 3 类失误
(1)如果原命题是“若 p，则 q”，则否命题是“若綈 p，则綈 q”，而命题的否定是“若
p，则綈 q”，即否命题是对原命题的条件和结论同时否定，命题的否定仅仅否定原命题的结
论(条件不变)．
(2)对于不是“若 p，则 q”形式的命题，需先改写．
(3)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提．
考点二 充分、必要条件的判定 (重点保分型考点——师生共研)
[典例引领]
1．(2018·泰州中学高三学情调研)“a＝0”是“函数 f(x)＝x 3＋ax2(x∈R)为奇函数”的
________条件．
解析：当 a＝0 时，f(x)＝x3，所以函数 f(x)是奇函数，当函数 f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇
函数时，f(－x)＝－x3＋ax2＝－f(x)＝－x3－ax2，所以 2ax2＝0 恒成立，所以 a＝0.所以“a＝
0”是“函数 f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件．
答案：充要
2．已知条件 p：x＋y≠－2，条件 q：x，y 不都是－1，则 p 是 q 的____________条
件．
解析：因为 p：x＋y≠－2，
q：x≠－1 或 y≠－1，
所以綈 p：x＋y＝－2，
綈 q：x＝－1 且 y＝－1，
因为綈 q⇒綈 p 但綈 p⇒ 綈 q，
所以綈 q 是綈 p 的充分不必要条件，即 p 是 q 的充分不必要条件．
答案：充分不必要
[由题悟法]
充分、必要条件的 3 种判断方法
(1)定义法：根据 p⇒q，q⇒p 进行判断；
(2)集合法：根据 p，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命
题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1 或 y≠1”的
某种条件，即可转化为判断“x＝1 且 y＝1”是“xy＝1”的某种条件．
[即时应用]
1．(2018·苏州新区实验中学测试)在△ABC 中，“A≠60°”是“cos A≠1
2”的________
条件．
解析：当 A＝60°时，可以推得 cos A＝1
2；当 cos A＝1
2时，由于 A∈(0，π)，也可以推得
A＝60°，故“A＝60°”是“cos A＝1
2”的充要条件. 即“A≠60°”是“cos A≠1
2”的充要条
件．
答案：充要
2．(2018·启东中学检测)设 p：x2－x－20>0，q：log2(x－5)<2，则 p 是 q 的________条
件．
解析：因为 x2－x－20>0，所以 x>5 或 x<－4，所以 p：x>5 或 x<－4.因为 log 2(x－
5)<2，所以 05 或 x<－4}，所以
p 是 q 的必要不充分条件．
答案：必要不充分
3．(2017·北京高考改编)设 m，n 为非零向量，则“存在负数 λ，使得 m＝λn”是
“m·n<0”的________________条件．
解析：因为 m＝λn，所以 m·n＝λn·n＝λ|n| 2.
当 λ<0，n≠0 时，m·n<0.
反之，由 m·n＝|m||n|cos〈m，n〉<0⇔cos〈m，n〉<0⇔〈m，n〉∈(π
2，π ]，
当〈m，n〉∈(π
2，π )时，m，n 不共线．
故“存在负数 λ，使得 m＝λn”是“m·n<0”的充分不必要条件．
答案：充分不必要
考点三 充分、必要条件的应用 (重点保分型考点——师生共研)
[典例引领]
1．(2018·启东中学高三检测)已知集合 A＝{x|y＝lg(4－x)}，集合 B＝{x|x＜a}，若“x∈
A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是________．
解析：由题意知 A＝{x|x＜4}，且 AB，所以 a＞4.
答案：(4，＋∞)
2．设 n∈N*，一元二次方程 x2－4x＋n＝0 有整数根的充要条件是 n＝________.
解析：由 Δ＝16－4n≥0，得 n≤4，又 n∈N*，则 n＝1,2,3,4.当 n＝1,2 时，方程没有整
数根，当 n＝3 时，方程有整数根 1,3，当 n＝4 时，方程有整数根 2，综上知 n＝3 或 4.
答案：3 或 4
[由题悟法]
根据充分、必要条件求参数的值或范围的关键点
(1)先合理转化条件，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求
出参数的值或取值范围．
(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间
的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易
出现漏解或增解的现象．
[即时应用]
1．已知集合 A＝Error!，B＝{x|－13，即 m>2.
答案：(2，＋∞)
2．已知“命题 p：(x－m)2＞3(x－m)”是“命题 q：x2＋3x－4＜0”成立的必要不充分
条件，则实数 m 的取值范围为________________．
解析：命题 p：x＞m＋3 或 x＜m，
命题 q：－4＜x＜1.
因为 p 是 q 成立的必要不充分条件，
所以 m＋3≤－4 或 m≥1，
故 m≤－7 或 m≥1.
答案：(－∞，－7]∪[1，＋∞)
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1. (2018·海门中学高三测试)已知命题 p：“若|a|＝|b|，则 a≠b”，命题 q：“若 a＝b，
则|a|≠|b|”，则 p 是 q 的________．(填“逆命题”“否命题”“逆否命题”)
答案：逆否命题
2．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充
要”或“既不充分也不必要”)．
解析：若(2x－1)x＝0，则 x＝1
2或 x＝0，即不一定是 x＝0；若 x＝0，则一定能推出(2x－
1)x＝0.故“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的必要不充分条件．
答案：必要不充分
3．已知集合 A＝{1，m2＋1}，B＝{2,4}，则“m＝ 3”是“A∩B＝{4}”的________条
件．
解析：若 A∩B＝{4}，则 m2＋1＝4，所以 m＝± 3，故“m＝ 3”是“A∩B＝{4}”的
充分不必要条件．
答案：充分不必要
4．(2018·南京模拟)有下列命题：
①“若 a＞b，则 a2＞b2”的否命题；
②“若 x＋y＝0，则 x，y 互为相反数”的逆命题；
③“若 x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．
其中真命题的序号是________．
解析：①原命题的否命题为“若 a≤b，则 a2≤b2”，假命题．
②原命题的逆命题为：“若 x，y 互为相反数，则 x＋y＝0”，真命题．
③原命题的逆否命题为“若 x≥2 或 x≤－2，则 x2≥4”，真命题．
答案：②③
5 ． 若 x>5 是 x>a 的 充 分 条 件 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 为
__________________________．
解析：由 x>5 是 x>a 的充分条件知，{x|x>5}⊆{x|x>a}，所以 a≤5.
答案：(－∞，5]
6．(2018·苏州中学检测)已知集合 A＝{x|x(x－3)<0}，B＝{x||x－1|<2}，则“x∈A”是“x
∈B”的________条件．
解析：因为集合 A＝(0,3)，集合 B＝(－1,3)，所以“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条
件．
答案：充分不必要
二保高考，全练题型做到高考达标
1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是________________．
解析：依题意得，原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”．
答案：“若一个数的平方是正数，则它是负数”
2．(2018·南通中学高三测试)已知 a，b 都是实数，命题 p：a＋b＝2；命题 q：直线 x＋
y＝0 与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2 相切，则 p 是 q 的________条件．
解析：圆(x－a)2＋(y－b)2＝2 的圆心为(a，b)，半径 r＝ 2，直线 x＋y＝0 与圆相切，则
圆心到直线的距离 d＝|a＋b|
1＋1
＝ 2，解得|a＋b|＝2.即 a＋b＝±2，所以 p 是 q 的充分不必要条
件．
答案：充分不必要
3．(2018·南通模拟)设 a，b 都是不等于 1 的正数，则“3a>3b>3”是“loga33b>3，所以 a>b>1，此时 loga33b>3，例如当 a＝ 1
2，b＝ 1
3时，loga3b>1.故“3 a>3b>3”是
“loga30，则 x>0 且 y>0”的否命题；
②“矩形的对角线相等”的否命题；
③“若 m≥1，则 mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0 的解集是 R”的逆命题；
④“若 a＋7 是无理数，则 a 是无理数”的逆否命题．
其中正确的是________(填序号)．
解析：①的逆命题为“若 x>0 且 y>0，则 x＋y>0”为真，故否命题为真；
②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题；
③的逆命题为，若 mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0 的解集为 R，则 m≥1.
因为当 m＝0 时，解集不是 R，
所以应有Error! 即 m>1.所以③是真命题；
④原命题为真，逆否命题也为真．
答案：①③④
5．(2018·南通一中高三测试)已知命题 p：a≤x≤a＋1，命题 q：x2－4x<0，若 p 是 q 的
充分不必要条件，则 a 的取值范围是________．
解析：令 M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<0}＝{x|0－3，但 22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假
命题，若 m＝－3，n＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也
是假命题．故假命题的个数为 3.
答案：3
8．(2018·常熟中学测试)给定下列命题：
①若 k>0，则方程 x2＋2x－k＝0 有实数根；
②若 x＋y≠8，则 x≠2 或 y≠6；
③“a＝1”是“直线 x－ay＝0 与直线 x＋ay＝0 互相垂直”的充要条件；
④“若 xy＝0，则 x，y 中至少有一个为零”的否命题．
其中真命题的序号是________．
解析：①因为 Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，所以①是真命题；②其逆否命题为真；故②是
真命题；③“a＝±1”是“直线 x－ay＝0 与直线 x＋ay＝0 互相垂直”的充要条件，故③是
假命题；④否命题：“若 xy≠0，则 x，y 都不为零”是真命题．
答案：①②④
9．下列命题：
①“a>b”是“a2>b2”的必要条件；
②“|a|>|b|”是“a2>b2”的充要条件；
③“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要条件．
其中是真命题的是________(填序号)．
解析：①a>b⇒ a2>b2，且 a2>b2⇒ a>b，故①不正确；
②a2>b2⇔|a|>|b|，故②正确；
③a>b⇒a＋c>b＋c，且 a＋c>b＋c⇒a>b，故③正确．
答案：②③
10．设等比数列{an}的公比为 q，前 n 项和为 Sn，则“|q|＝1”是“S4＝2S2”的________
条件．
解析：因为等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，又 S4＝2S2，
所以 a1＋a2＋a3＋a4＝2(a1＋a2)，所以 a3＋a4＝a1＋a2，
所以 q2＝1⇔|q|＝1，所以“|q|＝1”是“S4＝2S2”的充要条件．
答案：充要
11．已知集合 A＝Error!，B＝{x|x＋m 2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求
实数 m 的取值范围．
解：y＝x2－3
2x＋1＝(x－3
4 )2＋ 7
16，
因为 x∈[3
4，2 ]，所以 7
16≤y≤2，
所以 A＝Error!.
由 x＋m2≥1，得 x≥1－m2，
所以 B＝{x|x≥1－m2}．
因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件，
所以 A⊆B，所以 1－m2≤ 7
16，
解得 m≥3
4或 m≤－3
4，
故实数 m 的取值范围是(－∞，－3
4]∪[3
4，＋∞).
12．已知集合 A＝{x mx－1
x < 0}，B＝{x|x2－3x－4≤0}，C＝{x|log x>1}，命题 p：
实数 m 为小于 6 的正整数，q：A 是 B 成立的充分不必要条件，r：A 是 C 成立的必要不充
分条件．若命题 p，q，r 都是真命题，求实数 m 的值．
解：因为命题 p 是真命题，
所以 01}＝{x 0 < x < 1
2}.
因为命题 q，r 都是真命题，所以 AB，CA，
所以Error!②
由①②得 m＝1.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．设{an}是公比为 q 的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的________条件．
解析：当等比数列{an}的首项 a1<0，公比 q>1 时，如 an＝－2n 是递减数列，所以充分性
不成立；
反之，若等比数列{an}为递增数列，
则Error!或Error!所以必要性不成立，即“q>1”是“{a n}为递增数列”的既不充分也不必
要条件．
答案：既不充分也不必要
1
2
1
2
2．(2018·苏州木渎中学测试)若命题“ax 2－2ax－3>0 不成立”是真命题，则实数 a 的
取值范围为________．
解析：由题意知 ax2－2ax－3≤0 恒成立，当 a＝0 时，－3≤0 成立；当 a≠0 时，由Error!
得－3≤a<0，综上，实数 a 的取值范围为[－3,0]．
答案：[－3,0]
3．已知集合 A＝{x|x2－6x＋8<0}，B＝{x|(x－a)(x－3a)<0}．
(1)若 x∈A 是 x∈B 的充分条件，求 a 的取值范围．
(2)若 A∩B＝∅，求 a 的取值范围．
解：A＝{x|x2－6x＋8<0}＝{x|20 时，B＝{x|a0 时，B＝{x|a0
2 ． ( 教 材 习 题 改 编 ) 命 题 “ 任 意 两 个 等 边 三 角 形 都 相 似 ” 的 否 定 为
______________________________．
答案：存在两个等边三角形，它们不相似
3．已知命题 p：对任意 x∈R，总有 2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下
列命题：
①p∨q；②綈 p∧綈 q；③綈 p∨q；④p∧綈 q.其中为真命题的序号是________．
解析：由题设可知：p 是真命题，q 是假命题；所以綈 p 是假命题，綈 q 是真命题；所
以 p∨q 是真命题，綈 p∧綈 q 是假命题，綈 p∨q 是假命题，p∧綈 q 是真命题，故①④正
确．
答案：①④
1．注意命题所含的量词，对于量词有隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行
否定．
2．注意“或”“且”的否定：“或”的否定为“且”，“且”的否定为“或”．
[小题纠偏]
1 ． 命 题 “ 若 ab ＝ 0 ， 则 a ＝ 0 或 b ＝ 0” ， 其 否 定 为
_______________________________．
答案：若 ab＝0，则 a≠0 且 b≠0
2．命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是________．
解析：命题是省略量词的全称命题，所以其否定是：存在两个全等三角形的面积不相
等．
答案：存在两个全等三角形的面积不相等
考点一 全称命题与存在性命题 (基础送分型考点——自主练透)
[题组练透]
1．已知命题 p：∃x∈R，log2(3x＋1)≤0，则命题 p 的否定是“________”．
答案：∀x∈R，log2(3x＋1)>0
2．命题“∀x≥2，x2≥4”的否定是“________________”．
答案：∃x≥2，x2＜4
3．(2018·启东高三测试)已知函数 f(x)＝x＋ 4
x，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈[1
2，1 ]，∃x2∈
[2,3]，使得 f(x1)≥g(x2)，则实数 a 的取值范围是________．
解析：由题意知，f(x)min(x ∈ [1
2，1 ])≥g(x)min(x∈[2,3])，因为 f(x)＝x＋4
x，所以 f′(x)
＝1－ 4
x2，所以 f(x)在[1
2，1 ]上单调递减，所以 f(x)min＝f(1)＝5，又因为 g(x)在[2,3]上的最小
值为 g(2)＝4＋a，所以 5≥4＋a，即 a≤1.
答案：(－∞，1]
4．(2018·南通中学调研)已知命题 p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”，命题 q：“∃x∈R，x2＋4x
＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数 a 的取值范围是________．
解析：若命题 p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”为真命题，则 a≥e；若命题 q：“∃x∈R，x2＋
4x＋a＝0”为真命题，则 Δ＝16－4a≥0，即 a≤4，所以若命题“p∧q”是真命题，则实数
a 的取值范围是[e,4]．
答案：[e,4]
[谨记通法]
1．全称命题与存在性命题的否定
(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再
对量词进行改写．
(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．
[注意] 说明全称命题为假命题，只需给出一个反例；说明存在性命题为真命题，只需
找出一个正例．
2．由真假求参要转化
含量词的命题的真假求参数取值问题，关键是根据量词等价转化相应的命题，一般要
将其转化为恒成立或有解问题，进而根据相关知识确定对应条件．
考点二 含有逻辑联结词的命题的真假判断 (重点保分型考点——师生共研)
[典例引领]
(2018·泰州模拟)已知命题 p1：函数 y＝2x－2－x 在 R 上为增函数，p2：函数 y＝2x＋2－x
在 R 上为减函数，则在命题①p1∨p2；②p1∧p2；③(綈 p1)∨p2；④p1∧(綈 p2)中，真命题的
序号是________．
解析：因为 y＝2x 在 R 上为增函数，
y＝2－x＝(1
2 )x 在 R 上为减函数，
所以 y＝－2－x＝－(1
2 )x 在 R 上为增函数，
所以 y＝2x－2－x 在 R 上为增函数，故 p1 是真命题．
y＝2x＋2－x 在 R 上为减函数是错误的，故 p2 是假命题，
所以①p1∨p2 是真命题；②p1∧p2 是假命题；
③(綈 p1)∧p2 是假命题；④p1∧(綈 p2)是真命题．
答案：①④
[由题悟法]
判断含有逻辑联结词命题真假的 2 个步骤
(1)先判断简单命题 p，q 的真假．
(2)再根据真值表判断含有逻辑联结词命题的真假．
[即时应用]
1．(2018·常州前黄中学测试)已知命题 p：∃x∈(－∞，0)，2 x＜3x，命题 q：∀x∈
(0，π
2 )，cos x＜1，则下列命题：
①p∧q；②p∨(綈 q)；③(綈 p)∧q；④p∧(綈 q)；⑤(綈 p)∨(綈 q)．其中真命题的序号
是________．
解析：当 x＜0 时，2x＞3x，所以不存在 x∈(－∞，0)，使得 2x＜3x 成立，即 p 为假命
题；显然对∀x∈(0，π
2 )，恒有 cos x＜1，所以命题 q 为真．所以(綈 p)∧q 和(綈 p)∨(綈 q)
是真命题．
答案：③⑤
2．已知命题 p：若 x>y，则－x<－y；命题 q：若 x>y，则 x2>y2.在命题①p∧q；②p∨
q；③p∧(綈 q)；④(綈 p)∨q 中，是真命题的序号是________．
解析：由不等式的性质可知，命题 p 是真命题，命题 q 为假命题，故①p∧q 为假命题；②
p∨q 为真命题；③綈 q 为真命题，则 p∧(綈 q)为真命题；④綈 p 为假命题，则(綈 p)∨q 为
假命题．
答案：②③
考点三 根据命题的真假求参数的取值范围 (重点保分型考点——师生共研)
[典例引领]
(2018·无锡天一中学月考)已知命题 p：∃m∈[－1，1]，使不等式 a 2－5a＋5≥m＋2 成
立；命题 q：x2＋ax＋2＝0 有两个负数根，若 p∨q 为真，p∧q 为假，求实数 a 的取值范
围．
解：因为 p∨q 为真，p∧q 为假，所以 p，q 一真一假．
由题设知，对于命题 p，因为 m∈[－1,1]，
所以 m＋2∈[1,3]，
所以不等式 a2－5a＋5≥1 成立，
所以 a2－5a＋4≥0，解得 a≤1 或 a≥4.
对于命题 q，因为 x2＋ax＋2＝0 有两个负数根，
所以Error!所以 a≥2 2.
若 p 真 q 假，则 a≤1；若 p 假 q 真，则 2 2≤a＜4，
所以实数 a 的取值范围为(－∞，1]∪[2 2，4)．
[由题悟法]
根据命题真假求参数范围的步骤
(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；
(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；
(3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．
[即时应用]
1．已知 p：∃x∈R，mx 2＋1≤0，q：∀x∈R，x 2＋mx＋1>0，若 p∨q 为假命题，则
实数 m 的取值范围是________．
解析：依题意知，p，q 均为假命题．当 p 是假命题时，mx2＋1>0 恒成立，则有 m≥0；
当 q 是假命题时，
则有 Δ＝m2－4≥0，m≤－2 或 m≥2.
因此由 p，q 均为假命题得Error!即 m≥2.
答案：[2，＋∞)
2．(2018·江苏省百校联盟联考)已知命题：“∃x∈[1,2]，使 x 2＋2x＋a≥0”为真命题，
则实数 a 的取值范围是________．
解析：当 x∈[1,2]时，x2＋2x＝(x＋1)2－1 是增函数，所以 3≤x2＋2x≤8，由题意得 a＋
8≥0，所以 a≥－8.
答案：[－8，＋∞)
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1 ． (2018· 南 通 中 学 高 三 检 测 ) 命 题 “ ∃ x ∈ (0 ， ＋ ∞) ， ln x ＝ x － 1” 的 否 定 是
“________________”．
答案：∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1
2．(2018·镇江模拟)已知命题 p：函数 y＝ax＋1＋1(a>0 且 a≠1)的图象恒过点(－1,2)；命
题 q：已知平面 α∥平面 β，则直线 m∥α 是直线 m∥β 的充要条件，则有下列命题：
①p∧q；②(綈 p)∧(綈 q)；③(綈 p)∧q；④p∧(綈 q)．
其中为真命题的序号是________．
解析：由指数函数恒过点(0,1)知，函数 y＝ax＋1＋1 是由 y＝ax 先向左平移 1 个单位，再
向上平移 1 个单位得到．所以函数 y＝ax＋1＋1 恒过点(－1,2)，故命题 p 为真命题；命题 q：
m 与 β 的位置关系也可能是 m⊆β，故 q 是假命题．所以 p∧(綈 q)为真命题．
答案：④
3 ． 若 “x ∈ [2,5] 或 x ∈ ( － ∞ ， 1) ∪ (4 ， ＋ ∞)” 是 假 命 题 ， 则 x 的 取 值 范 围 是
________．
解析：根据题意得“x∉[2,5]且 x∉(－∞，1)∪(4，＋∞)”是真命题，所以Error!解得 1≤x
＜2，故 x∈[1,2)．
答案：[1,2)
4．(2018·盐城中学检测)已知命题 p：“∀x∈R，∃m∈R 使 4x－2x＋1＋m＝0”，若命题
綈 p 是假命题，则实数 m 的取值范围为________．
解析：命题綈 p 是假命题，即命题 p 是真命题，也就是关于 x 的方程 4x－2x＋1＋m＝0
有实数解，即 m＝－(4x－2x＋1)，令 f(x)＝－(4x－2x＋1)，由于 f(x)＝－(2x－1)2＋1，所以当 x
∈R 时 f(x)≤1，因此实数 m 的取值范围是 m≤1.
答案：(－∞，1]
5．已知函数 f(x)＝x 2＋mx＋1，若命题“∃x>0，f(x)<0”为真，则 m 的取值范围是
________．
解析：因为函数 f(x)＝x2＋mx＋1 的图象过点(0,1)，若命题“∃x>0，f(x)<0”为真，则
函数 f(x)＝x2＋mx＋1 的图象的对称轴必在 y 轴的右侧，且与 x 轴有两个不同交点，所以
Error!解得 m<－2，所以 m 的取值范围是(－∞，－2)．
答案：(－∞，－2)
6．(2018·南京外国语学校模拟)已知命题 p：∃x∈R，使 tan x＝1，命题 q：x2－3x＋2<0
的解集是{x|1n”．
答案：∃n∈N*，f(n)∉N*或 f(n)>n
2．(2018·海安中学测试)若命题“∀x∈[1,2]，x 2－4ax＋3a2≤0”是真命题，则实数 a
的取值范围是________．
解析：令 f(x)＝x2－4ax＋3a2，根据题意可得Error!解得2
3≤a≤1，所以实数 a 的取值范
围是[2
3，1 ].
答案：[2
3，1 ]
3．(2018·南通大学附中月考)已知命题 p：“任意 x∈[1,2]，x 2－a≥0”，命题 q：“存
在 x∈R，使 x 2＋2ax＋2－a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数 a 的取值范围是
________．
解析：由题意知，p：a≤1，q：a≤－2 或 a≥1.因为“p∧q”为真命题，所以 p，q 均
为真命题，所以 a≤－2 或 a＝1.
答案：(－∞，－2]∪{1}
4．已知命题 p：3－2x
x－1 ≥0，命题 q：2x2－5x＋3>0，则綈 p 是 q 的________条件．
解析：p：13
2；q：x<1 或 x>3
2，所以綈 p 是 q 的必要不充分条
件．
答案：必要不充分
5．已知 p：|x－a|<4，q：(x－2)(3－x)>0，若綈 p 是綈 q 的充分不必要条件，则实数 a
的取值范围是________．
解析：由题意知 p：a－40”的否定为假命题，则实数 a 的取值范围是
________．
解析：由“∀x∈R，x2－5x＋15
2 a>0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不
等式 x2－5x＋15
2 a>0 对任意实数 x 恒成立．
设 f(x)＝x2－5x＋15
2 a，则其图象恒在 x 轴的上方．故 Δ＝25－4×15
2 a<0，
解得 a>5
6，即实数 a 的取值范围为(5
6，＋∞).
答案：(5
6，＋∞)
10．(2018·南京一中模拟)给出如下命题：
①“a≤3”是“∃x∈[0,2]，使 x2－a≥0 成立”的充分不必要条件；
②命题“∀x∈(0，＋∞)，2x＞1”的否定是“∃x∈(0，＋∞)，2x≤1”；
③若“p∧q”为假命题，则 p，q 均为假命题．
其中正确的命题是________．(填序号)
解析：对于①，由∃x∈[0,2]，使 x2－a≥0 成立，可得 a≤4，因此为充分不必要条件，①
正确；②显然正确；对于③，若“p 且 q”为假命题，则 p，q 中有一假命题即可，所以③错
误．
答案：①②
11．已知命题 p：“存在 a>0，使函数 f(x)＝ax2－4x 在(－∞，2]上单调递减”，命题 q：
“存在 a∈R，使∀x∈R,16x2－16(a－1)x＋1≠0”．若命题“p∧q”为真命题，求实数 a 的
取值范围．
解：若 p 为真，则对称轴 x＝－
－4
2a ＝2
a在区间(－∞，2]的右侧，即2
a≥2，所以 00 的解集为 R，
则 a>0 且 4－4a2<0，解得 a>1.
若 q 为真命题，则a
4≥1，即 a≥4.
因为“p∧綈 q”为真命题，所以 p 为真命题且 q 为假命题，
所以实数 a 的取值范围是(1,4)．
(2)解不等式(x－m)(x－m＋2)<0，得 m－20，若 p∨q 为假命题，则实数 m 的取值范围是________．
解析：因为 p∨q 为假命题，所以 p，q 都是假命题．
由 p：∃x∈R，mx 2＋2≤0 为假命题，得綈 p：∀x∈R，mx 2＋2>0 为真命题，所以
m≥0.
由 q：∀x∈R，x2－2mx＋1>0 为假命题，得綈 q：∃x∈R，x2－2mx＋1≤0 为真命题，
所以 Δ＝(－2m)2－4≥0，解得 m≤－1 或 m≥1.
综上，可得 m≥1.
答案：[1，＋∞)
3．设 p：实数 x 满足 x2－5ax＋4a2<0(其中 a>0)，q：实数 x 满足 20，所以 A＝(a,4a)，
又 B＝(2,5]，则 a≤2 且 4a>5，解得5
40”是“S4＋
S6>2S5”的________条件．
解析：因为{an}为等差数列，所以 S4＋S6＝4a1＋6d＋6a1＋15d＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋
20d，S4＋S6－2S5＝d，所以 d>0⇔S4＋S6>2S5.
答案：充要
2．(2016·山东高考改编)已知直线 a，b 分别在两个不同的平面 α，β 内，则“直线 a 和
直线 b 相交”是“平面 α 和平面 β 相交”的________条件．
解析：由题意知 a⊂α，b⊂β，若 a，b 相交，则 a，b 有公共点，从而 α，β 有公共点，
可得出 α，β 相交；反之，若 α，β 相交，则 a，b 的位置关系可能为平行、相交或异面．因
此“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 α 和平面 β 相交”的充分不必要条件．
答案：充分不必要
3．(2017·天津高考改编)设 θ∈R，则“|θ－ π
12|< π
12”是“sin θ<1
2”的________________
条件．
解析：法一：由|θ－ π
12|< π
12，得 0<θ<π
6，
故 sin θ<1
2.由 sin θ<1
2，得－7π
6 ＋2kπ<θ<π
6＋2kπ，k∈Z，推不出“|θ－ π
12|< π
12”．
故“|θ－ π
12|< π
12”是“sin θ<1
2”的充分不必要条件．
法二：|θ－ π
12|< π
12⇒0<θ<π
6⇒sin θ<1
2，而当 sin θ<1
2时，取 θ＝－π
6，|－π
6－ π
12|＝π
4> π
12.
故“|θ－ π
12|< π
12”是“sin θ<1
2”的充分不必要条件．
答案：充分不必要
4．(2016·上海高考)设 a∈R，则“a>1”是“a2>1”的____条件．
解析：由 a>1 可得 a2>1，由 a2>1 可得 a>1 或 a<－1.所以“a>1”是“a2>1”的充分不必要
条件．
答案：充分不必要
5．(2016·天津高考改编)设{an}是首项为正数的等比数列，公比为 q，则“q＜0”是“对
任意的正整数 n，a2n－1＋a2n＜0”的________条件．
解析：设数列{an}的首项为 a1，则 a2n－1＋a2n＝a1q2n－2＋a1q2n－1＝a1q2n－2(1＋q)＜0，即
q＜－1，
故 q＜0 是 q＜－1 的必要不充分条件．
答案：必要不充分
命题点三 命题及其真假性
1.(2012·全国卷)下面是关于复数 z＝ 2
－1＋i的四个命题：
p1：|z|＝2，p2：z2＝2i，
p3：z 的共轭复数为 1＋i，p4：z 的虚部为－1.
其中的真命题为________．
解析：因为复数 z＝ 2
－1＋i＝－1－i，所以|z|＝ 2，z2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i，z 的共轭
复数为－1＋i，z 的虚部为－1，综上可知 p2，p4 是真命题．
答案：p2，p4
2．(2015·山东高考改编)设 m∈R，命题“若 m>0，则方程 x2＋x－m＝0 有实根”的逆
否命题是________．
解析：根据逆否命题的定义，命题“若 m>0，则方程 x2＋x－m＝0 有实根”的逆否命
题是“若方程 x2＋x－m＝0 没有实根，则 m≤0”．
答案：若方程 x2＋x－m＝0 没有实根，则 m≤0
命题点四 全称量词和存在量词
1.(2015·全国卷Ⅰ改编)设命题 p：∃n∈N，n2>2n，则綈 p 为________．
解析：因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，綈 p(x)”，所以命题“∃n∈N，
n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”．
答案：∀n∈N，n2≤2n
2．(2016·浙江高考改编)命题“∀x∈R，∃n∈N * ，使得 n≥x2”的否定形式是
________．
解析：由于存在性命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是存在性命题，所
以“∀x∈R，∃n∈N*，使得 n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得 n＜x2”．
答案：∃x∈R，∀n∈N*，使得 n＜x2
3．(2015·山东高考)若“∀x∈ [0，π
4 ]，tan x≤m”是真命题，则实数 m 的最小值为
________．
解析：由题意，原命题等价于 tan x≤m 在区间[0，π
4 ]上恒成立，即 y＝tan x 在[0，π
4 ]
上的最大值小于或等于 m，又 y＝tan x 在[0，π
4 ]上的最大值为 1，所以 m≥1，即 m 的最小
值为 1.
答案：1
