内蒙古呼和浩特市2020届高三下学期第一次质量普查调研考试数学（理）试题

内蒙古呼和浩特市2020届高三下学期第一次质量普查调研考试数学（理）试题

‎2020年呼和浩特市高三年级第一次质量普查调研考试 理科数学 注意事项：‎ ‎1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题部分答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号座位号涂写在答题卡上本试卷满分150分，考试时间120分钟.‎ ‎2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.‎ ‎3.答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.‎ ‎4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.若复数，则当时，复数在复平面内对应的点在（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3.如图是某学校研究性课题《什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类》问题的调查问卷统计图（每个受访者都只能在问卷的5个活动中选择一个），由此可知，以下结论错误的是（ ）‎ A．回答该问卷的总人数不可能是100个 B．回答该问卷的受访者中，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多 C．回答该问卷的受访者中，选择“学校团委会宣传”的人数最少 D．回答该问卷的受访者中，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8个 ‎4.已知，，向量的夹角为，则（ ）‎ A． B．‎1 ‎C．2 D．‎ ‎5.记为数列的前项和，且，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.如图是某空间几何体的三视图，该几何体的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.已知函数，给出下列四个结论：‎ ‎①函数的最小正周期是；‎ ‎②函数在区间内是减函数；‎ ‎③函数的图象关于直线对称；‎ ‎④函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到其中所有正确结论的编号是（ ）‎ A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④‎ ‎8.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：已知且是整数，则满足能被3除余1且被5除余3的所有的取值的和为（ ）‎ A．2020 B．‎2305 ‎C．4610 D．4675‎ ‎9.已知，则下列不等式一定成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.设是双曲线的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，若，则双曲线的离心率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.表面积为的球面上有四点，且是等边三角形，球心到平面的距离为，若平面平面，则三棱锥体积的最大值为（ ）‎ A． B．‎18 ‎C．27 D．‎ ‎12.已知若恰有两个实数根，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~21题为必考题，每个试题考生都必须做答；第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卡的相应位置.）‎ ‎13.的展开式中的常数项为______.‎ ‎14.已知定义在上的奇函数，当时，，则在点处的切线方程为_______.‎ ‎15.若10件产品中包含2件废品，今在其中任取两件，则已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的概率为_______.‎ ‎16.已知抛物线方程，为焦点，为抛物线准线上一点，为线段与抛物线的交点，定义：.已知点，则______；设点，则的值为____.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.如图，已知在中，为上一点，，.‎ ‎（Ⅰ）若，求的值；‎ ‎（Ⅱ）若为的角平分线，且，求的面积.‎ ‎18.如图，在矩形中，，，在边上，且，将沿折到的位置，使得平面平面.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值.‎ ‎19.检验中心为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，对份血液样本，有以下两种检验方式：①逐份检验，需要检验次；②混合检验，即将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，这份的血液全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪几份为阳性，再对这份再逐份检验，此时这份血液的检验次数总共为次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为.‎ ‎（Ⅰ）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；‎ ‎（Ⅱ）现取其中（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为点.当时，根据和的期望值大小，讨论当取何值时，采用逐份检验方式好？‎ ‎（参考数据：，，，，，.）‎ ‎20.已知椭圆的离心率为，、分别是椭圆的左右焦点，点为椭圆上一点，的面积的最大值为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点作关于轴对称的两条不同直线，分别交椭圆于点，，且，证明直线过定点，并求的面积的取值范围.‎ ‎21.已知函数（且）的零点是.‎ ‎（Ⅰ）设曲线在零点处的切线斜率分别为，判断的单调性；‎ ‎（Ⅱ）设是的极值点，求证：.‎ 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.‎ ‎22.已知椭圆的普通方程为：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：，正方形的顶点都在上，且逆时针依次排列，点的极坐标为 ‎（Ⅰ）写出曲线的参数方程，及点的直角坐标；‎ ‎（Ⅱ）设为椭圆上的任意一点，求：的最大值.‎ ‎23.已知函数，‎ ‎（Ⅰ）当时，解关于的不等式；‎ ‎（Ⅱ）已知，若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围.‎ ‎2020年呼和浩特市高三年级第一次质量普查调研考试 理科数学参考答案 一、选择题：A B D C A C C B A B C D 二、填空题：13.240 14. 15. 4，2‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.解：（Ⅰ），可得：‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，可得，‎ ‎，‎ 在中 ‎（Ⅱ）设，则，在中由余弦定理可得：‎ ‎，‎ 解得或 因为，所以 又由（1）知 所以 由（1）知当时 当时 综上的面积为或 ‎18.（Ⅰ）证明：连接交于点，‎ 依题意得，，‎ ‎，‎ 得，则，即，，‎ 又，，平面.‎ 平面，‎ 又平面，‎ ‎；‎ ‎（Ⅱ）平面平面，平面平面，‎ 平面，，‎ 所以平面，‎ 以为原点，建立空间直角坐标系如图所示.‎ 在中，求得，，，‎ ‎，，，‎ 则，，‎ 设平面的法向，‎ 则即解得，‎ 令，得，‎ 显然平面的一个法向量为.‎ ‎，‎ 显然二面角的平面角为锐角，‎ 二面角的平面角的余弦值为.‎ ‎19.解：（1）记恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来为事件，‎ 则.‎ ‎（2），的取值为1，，‎ 计算，，‎ 所以，‎ 又，，所以，‎ 即.‎ 设，，，‎ 当时，，在上单调递增；‎ 当时，，在上单调递减.‎ 且，，‎ 所以的取值大于等于9时采用逐份检验方式好.‎ ‎20.解：（1）由题意 设，则 ‎，‎ 又，解得，.‎ 椭圆的方程为.‎ ‎（2）设的方程为，联立 得，，‎ ‎，，‎ 直线关于轴对称，‎ 即，‎ 即 得.解得.‎ 所以直线得方程为 所以直线过定点 令，，，‎ ‎.‎ ‎21.解：由，得，.‎ 则，，所以.‎ 令.则 所以当时，；当时，‎ 故在单调递增，在递减 ‎（2）法一、令，，‎ 则，‎ 故在上单调递增.‎ ‎.‎ 令，‎ 则.‎ 所以当时，，单调递减；‎ 当时，单调递增.所以，当且仅当时等号成立.‎ 又因为且，‎ 所以 因此.‎ 即.‎ 因为在上单调递增，‎ 所以.‎ 即.‎ 法二、，‎ 在，恒成立，‎ 由题知为的极值点，‎ 所以且在单调递减，在单调递增 故为的极小值点.‎ 令 则 故 因为，所以，所以在单调递减，‎ 所以 所以在单调递减，所以 所以，‎ 不妨设，‎ 所以，又在单调递减，在单调递增 所以，即 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号 ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 ‎（1）（为参数）‎ 点的极坐标分别为，，‎ 点的直角坐标分别为，，，‎ ‎（2）设：则（为参数）‎ 故当且仅当点坐标为或时的最大值为100.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 ‎（1）当时，‎ 即 则的解集为：‎ ‎（2）因为对任意，都有使得成立 所以 又 ‎（当且仅当时取等号）‎ 又 所以 解得或 所以实数的取值范围是