东北三校2013届高三第二次高考模拟考试理科数学试题

东北三校2013届高三第二次高考模拟考试理科数学试题

东北三校2013届高三第二次高考模拟考试 理科数学 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。‎ ‎2．选择题使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色自己的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。‎ ‎3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。‎ ‎4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色自己的签字笔描黑。‎ ‎5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。‎ 第I卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合，，则集合为 A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎2．“a = ‎1”‎是“复数（，i为虚数单位）是纯虚数”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．以下有关线性回归分析的说法不正确的是 A．通过最小二乘法得到的线性回归直线经过样本的中心 B．用最小二乘法求回归直线方程，是寻求使最小的a,b的值 C．相关系数r越小，表明两个变量相关性越弱 D．越接近1，表明回归的效果越好 ‎4．将一枚质地均匀的硬币连掷4次，出现“至少两次正面向上”的概率为 A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎5．已知为等比数列，Sn是它的前n项和。若，且a4与a7的等差中项为，‎ A．35‎ B．33‎ C．31‎ D．29‎ ‎6．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所的图象的函数解析式是 A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎7．某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为 A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎8．已知圆M过定点且圆心M在抛物线上运动，若y轴截圆M所得的弦长为AB，则弦长等于 A．4‎ B．3‎ C．2‎ D．与点M位置有关的值 ‎9．当a > 0时，函数的图象大致是 ‎10．已知椭圆与双曲线有相同的焦点和，若c是a与m的等比中项，n2是‎2m2‎与c2的等差中项，则椭圆的离心率为 A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎11．已知函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是-3，则不等式组所确定的平面区域在内的面积为 A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎12．在底面半径为3，高为的圆柱形有盖容器中，放入一个半径为3的大球后再放入与球面、圆柱侧面及上底面均相切的小球，则放入的小球的个数最多的为 A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 第II卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。‎ ‎13．已知函数，则__________。‎ ‎14．执行如图所示的程序框图，则输出结果S的值为__________。‎ ‎15．平面上三个向量、、，满足，，，，则的最大值是__________。‎ ‎16．已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，若函数在R上有且仅有4个零点，则a的取值范围是__________。‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且，，。‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求ΔABC的面积。‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 某学生社团在对本校学生学习方法开展问卷调查的过程中发现，在回收上来的1000份有效问卷中，同学们背英语单词的时间安排共有两种：白天背和晚上临睡前背。为研究背单词时间安排对记忆效果的影响，该社团以5%的比例对这1000名学生按时间安排类型进行分层抽样，并完成一项实验，实验方法是，使两组学生记忆40个无意义音节（如XIQ、GEH），均要求在刚能全部记清时就停止识记，并在8小时后进行记忆测验。不同的是，甲组同学识记结束后一直不睡觉，8小时后测验；乙组同学识记停止后立刻睡觉，8小时后叫醒测验。‎ 两组同学识记停止8小时后的准确回忆（保持）情况如图（区间含左端点而不含右端点）‎ ‎（1）估计1000名被调查的学生中识记停止后8小时40个音节的保持率大于等于60%的人数；‎ ‎（2）从乙组准确回忆因结束在[12,24)范围内的学生中随机选3人，记能准确回忆20个以上（含20）的人数为随机变量X，求X分布列及数学期望；‎ ‎（3）从本次实验的结果来看，上述两种时间安排方法中哪种方法背英语单词记忆效果更好? 计算并说明理由。‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知四边形ABCD为平行四边形，BC⊥平面ABE，AE⊥BE，BE = BC = 1，AE = ，M为线段AB的中点，N为线段DE的中点，P为线段AE的中点。‎ ‎（1）求证：MN⊥EA；‎ ‎（2）求四棱锥M – ADNP的体积。‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ ‎ 设椭圆C：的两个焦点为F1、F2，点B1为其短轴的一个端点，满足 ‎，。‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）过点M 做两条互相垂直的直线l1、l2设l1与椭圆交于点A、B，l2与椭圆交于点C、D，求的最小值。‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数，。‎ ‎（1）若对任意的实数a，函数与的图象在x = x0处的切线斜率总想等，求x0的值；‎ ‎（2）若a > 0，对任意x > 0不等式恒成立，求实数a的取值范围。‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 选修4 - 1：集合证明选讲 如图，AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D。‎ ‎（1）求证：CE2 = CD · CB；‎ ‎（2）若AB = BC = 2，求CE和CD的长。‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 选修4 - 4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，已知点P，曲线C的参数方程为（φ为参数）。以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为。‎ ‎（1）判断点P与直线l的位置关系，说明理由；‎ ‎（2）设直线l与直线C的两个交点为A、B，求的值。‎ ‎24．（本小题满分10分）‎ 选修4 - 5：不等式选讲 设函数。‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若存在x使不等式成立，求实数a的取值范围。‎ ‎2013年三省三校第二次联合考试理科数学答案 一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ BCCDC BBABA BC 二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 14. 15. 3 16. ‎ 三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.（本题满分12分）‎ 解：（Ⅰ） ‎ ‎（Ⅱ） ‎ ‎18.（本题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）∵，‎ 由甲图知，甲组有（人），∴乙组有20人．‎ 又∵，‎ ‎∴识记停止8小时后40个音节的保持率大于等于60%的在甲组中有1人 乙组有（人）‎ ‎∴‎ 即估计1000名被调查的学生中识记停止8小时后40个音节的保持率大于等于60%的人数为180人．‎ ‎（Ⅱ）由乙图知，乙组在之间有（人）‎ 在之间有（人）‎ ‎∴的可能取值为0,1,2,3‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 数学期望． ‎ ‎（Ⅲ）参考答案：‎ 甲组学生准确回忆音节数共有：个 故甲组学生的平均保持率为 乙组学生准确回忆音节数共有：‎ ‎ 个 故乙组学生平均保持率为，‎ 所以临睡前背单词记忆效果更好. （只要叙述合理都给分）‎ ‎19. 解：方法一：‎ ‎（Ⅰ）取中点，连接，‎ ‎ 又平面，平面，‎ ‎ 又 ‎ 又平面 ‎ ，‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）过作于，连接 平面，‎ 又平面，‎ 又 ‎ 平面 ‎，又，‎ 平面，‎ 二面角为二面角的平面角 ‎ 在中，‎ ‎ ‎ ‎ 二面角的余弦值为 方法二： ‎ ‎（Ⅰ）平面平面，‎ 平面平面，‎ 过作平面，则 以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系 ‎，‎ ‎ （Ⅱ），，设为平面的一个法向量 ‎ 为满足题意的一组解 ‎，，设为平面的一个法向量 ‎ ，为满足题意的一组解， ‎ ‎ 二面角的余弦值为 ‎20. 解：（Ⅰ）不妨设 ‎ 所以椭圆方程为 ‎ ‎（Ⅱ）①当直线与轴重合时，‎ 设，则 ‎②当直线不与轴重合时，设其方程为，设 由得 ‎ 由与垂直知：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当且仅当取到“=”. ‎ 综合①②, ‎ ‎21. 解：(Ⅰ)恒成立，‎ ‎ 恒成立即. ‎ ‎ 方法一：恒成立，则 ‎ 而当时，‎ 则，，在单调递增，‎ 当，， 在单调递减，‎ 则，符合题意.‎ 即恒成立，实数的取值范围为；‎ 方法二：，‎ ‎(1)当时，，，，在单调递减，‎ 当，，在单调递增，‎ 则，不符题意；‎ ‎ (2)当时，，‎ ‎①若，，，，单调递减；当，， 单调递增，则，矛盾，不符题意；‎ ‎②若，‎ ‎（Ⅰ）若，；；‎ ‎ ，在单调递减，在单调递增，在单调递减，不符合题意；‎ ‎（Ⅱ）若时，，，在单调递减，，不符合题意. ‎ ‎（Ⅲ）若，，，，，，，， 在单调递减，在单调递增，在单调递减，，与已知矛盾不符题意.‎ ‎（Ⅳ）若，，，，在单调递增；‎ 当，， 在单调递减，‎ 则，符合题意； ‎ 综上，得恒成立，实数的取值范围为 ‎ (Ⅱ) 由(I)知，当时，有，；于是有 ，.‎ 则当时，有 ‎ 在上式中，用代换，可得 相乘得 选做题：请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所作的第一题记分.‎ ‎22.（本题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 ‎(Ⅰ)证明：连接BE.‎ ‎∵BC为⊙O的切线 ∴∠ABC＝90°，……2分 ‎∵∠AEO＝∠CED ∴∠CED＝∠CBE, ……4分 ‎∵∠C＝∠C∴△CED∽△CBE ‎ ‎∴ ∴CE＝CD•CB……6分 ‎(Ⅱ)∵OB＝1,BC＝2 ∴OC＝‎ ‎∴CE＝OC－OE＝－1 ……8分 由(Ⅰ)CE ＝CD•CB 得(－1)＝2CD ‎∴CD＝3－ ……10分 ‎23.（本题满分10分）选修4－4：极坐标与参数方程 解：（1）直线即直线的直角坐标方程为，点在直线上。‎ ‎（2）直线的参数方程为（为参数），曲线C的直角坐标方程为 将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，‎ 有，设两根为，‎ ‎24.（本题满分10分）选修4－5：不等式选讲 设函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若存在使不等式成立，求的取值范围.‎ 解：（1）‎ 当时，解得不存在 当时，解得 当时，解得 综上不等式的解集为 ‎（2）‎ 当，，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当时，，‎ ‎ ‎ 综上，‎ 另解：‎ 画出的图象，如下所示 若有解，则