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文档介绍
2021届新高考版高考数学一轮复习训练:第四章 第三讲 三角函数的图象与性质
第三讲 三角函数的图象与性质 1.[2020武汉市部分学校质量监测]已知曲线C1:y=2sin 2x,C2:y=sin 2x+cos 2x,则下面结论正确的是( ) A.把曲线C1向右平移π8个单位长度,得到曲线C2 B.把曲线C1向左平移π4个单位长度,得到曲线C2 C.把曲线C2向左平移π4个单位长度,得到曲线C1 D.把曲线C2向右平移π8个单位长度,得到曲线C1 2.[2020长春市第一次质量监测]把函数y=f (x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到y=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象(部分图象如图4 - 3 - 1所示),则y=f (x)的解析式为( ) 图4 - 3 - 1 A.f (x)=2sin(2x+π6) B.f (x)=2sin(x+π6) C.f (x)=2sin(4x+π6) D.f (x)=2sin(x - π6) 3.[2020惠州市调考]函数f (x)=2cos2ωx - sin2ωx+2(ω>0)的最小正周期为π,则ω=( ) A.32 B.2 C.1 D.12 4.[2020四省八校联考]图4 - 3 - 2是函数f (x)=3sin(ωx+5π6)(ω>0)的部分图象, 图4 - 3 - 2 若|AB|=4,则f ( - 1)=( ) A. - 1 B.1 C. - 32 D.32 5.[2020成都市高三摸底测试]将函数f (x)=sin(ωx+π3)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度,得到的图象关于y轴对称,则ω的最小值为( ) A.7 B.6 C.5 D.4 6.[2020惠州市二调]已知直线x=π3是函数f (x)=2sin(2x+φ)(|φ|<π2)图象的一条对称轴,则( ) A.φ=π6 B.f (x)在[0,π2]上单调递增 C.f (x)的图象向左平移π6个单位长度可得到y=2sin 2x的图象 D.f (x)的图象向左平移π12个单位长度可得到y=2sin 2x的图象 7.[2020广东四校联考]已知函数f (x)=sin(x - π3),若x1x2>0,且f (x1)+f (x2)=0,则|x1+x2|的最小值为( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3 8.[2019江西红色七校第一次联考]函数y=sin(2x - π6)的图象与函数y=cos(x - π3)的图象( ) A.有相同的对称轴但无相同的对称中心 B.有相同的对称中心但无相同的对称轴 C.既有相同的对称轴也有相同的对称中心 D.既无相同的对称中心也无相同的对称轴 9.[多选题]已知函数f (x)=3sin ωx+cos(π+ωx)(ω>0)的图象上的最高点与最低点之间距离的最小值为π2+642,则下列说法正确的是( ) A.函数f (x)的极大值为3+1 B.[π3,5π6]为函数f (x)的一个单调递减区间 C.函数f (x)的图象关于点( - 5π12,0)对称 D.将函数f (x)的图象向右平移π12个单位长度后,所得函数图象关于原点对称 10.[2020河北模拟]若函数f (x)=3sin(x+π10) - 2在区间[π2,a]上单调,则实数a的最大值是 . 11.[2019浙江高考]设函数f (x)=sin x,x∈R. (1)已知θ∈[0,2π),函数f (x+θ)是偶函数,求θ的值; (2)求函数y=[f (x+π12)]2+[f (x+π4)]2的值域. 12.[2020江西红色七校第一次联考]若函数f (x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|<π2)图象的一个对称中心为点(π3,0),与该对称中心相邻的一条对称轴方程为x=7π12,该对称轴处所对应的函数值为 - 1,为了得到g(x)=cos 2x的图象,则只需将f (x)的图象( ) A.向右平移π6个单位长度 B.向左平移π12个单位长度 C.向左平移π6个单位长度 D.向右平移π12个单位长度 13.[2020安徽省示范高中名校联考]将函数y=sin(2x - π4)的图象向左平移π4个单位长度,所得图象对应的函数在区间( - m,m)上无极值点,则m的最大值为( ) A.π8 B.π4 C.3π8 D.π2 14.[2020武汉市部分学校质量监测]已知函数f (x)=2sin(ωx+φ)+1(ω>0,|φ|<π2),f (π3)=1且f (π4)= - 1,当ω取最小值时,函数f (x)的单调递减区间为( ) A.[π12+kπ3,π4+kπ3],k∈Z B.[π12+2kπ,π4+2kπ],k∈Z C.[ - π12+kπ3,π12+kπ3],k∈Z D.[ - π12+2kπ,π4+2kπ],k∈Z 15.[2020陕西省百校第一次联考]将函数f (x)=cos 2x的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g(x)的图象,则g(x)具有的性质为( ) A.最大值为1,图象关于直线x=π2对称 B.为奇函数,在(0,π4)上单调递增 C.为偶函数,在( - 3π8,π8)上单调递增 D.最小正周期为π,图象关于点(3π8,0)对称 16.[2019安徽示范高中高三测试]已知函数f (x)=Asin(2x+θ)(A>0,|θ|<π2)的部分图象如图4 - 3 - 3所示, 图4 - 3 - 3 f (a)=f (b)=0,f (a+b)=3,则( ) A.f (x)在( - 5π12,π12)上是减函数 B.f (x)在( - 5π12,π12)上是增函数 C.f (x)在(π3,5π6)上是减函数 D.f (x)在(π3,5π6)上是增函数 17.[2019武汉市部分学校高三调研测试]已知函数f (x)=asin ωx+cos(ωx - π6)(a>0,ω>0),对于任意的x1,x2∈R,都有f (x1)+f (x2) - 23≤0,若f (x)在[0,π]上的值域为[32,3],则实数ω的取值范围为( ) A.[13,12] B.[13,23] C.[14,23] D.[14,12] 18.[2019新疆乌鲁木齐二检]若关于x的方程(sin x+cos x)2+cos 2x=m在区间(0,π]上有两个不同的实数根x1,x2,且|x1 - x2|≥π4,则实数m的取值范围是( ) A.[0,2) B.[0,2] C.[1,2+1] D.[1,2+1) 19.[2019安师大附中最后一卷]如图4 - 3 - 4, 图4 - 3 - 4 已知函数f (x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象与坐标轴交于点A,B,C,点C的坐标为( - 12,0),直线BC交f (x)的图象于另一点D,O是△ABD的重心.则△ACD的外接圆的半径为( ) A.2 B.576 C.573 D.8 20.[双空题]函数f (x)=3cos(x+π4)的图象向右平移π4个单位长度,可得到函数g(x)的图象,则函数 g(x)的解析式为 ,函数h(x)=sin2x+g(x)的值域是 . 21.[2020安徽省示范高中名校联考]已知函数f (x)=asin 2x - 3cos 2x的图象关于直线x= - π12对称,若f (x1)·f (x2)= - 4,则|x1 - x2|的最小值为 . 22.[2020唐山市摸底考试]已知函数f (x)=sin(ωx+π4)(ω>0),若f (x)在[0,2π]上恰有3个极值点,则ω的取值范围是 . 23.[2019四省八校联考]若f (x)=2sin(ωx+φ) - 3(ω>0)对任意x∈R都有f (x+π6)=f (π3 - x)成立,则f (π4)= . 24.[2020合肥市调研检测]已知函数f (x)=cos 2x+sin(2x - π6). (1)求函数f (x)的最小正周期; (2)当x∈[0,π]时,求函数f (x)的单调递增区间. 25.[2019湖南重点高中联考]已知函数f (x)=cos(πx+π3)cos(πx - π3). (1)求f (x)的单调递增区间; (2)若f (x)在区间[13,a]上的值域为[ - 34, - 12],求a的取值范围. 26.[多选题]已知函数f (x)=23sin ωxcos ωx+2cos2ωx(ω>0),则下列结论正确的是( ) A.f (x)的最大值为2 B.若f (x)的最小正周期为π,则ω=1 C.方程f (x)= - 2有无数个解 D.若函数f (x)的图象在区间(π2,π)内不存在对称轴,则ω的最大值为23 27.[2020洛阳市第一次联考][开放题]设定义在R上的函数f (x)=sin(ωx+φ)(ω>0, - π12<φ<π2).给 出以下四个论断:①f (x)的最小正周期为π;②f (x)在区间( - π6,0)上是增函数;③f (x)的图象关于点(π3,0)对称;④f (x)的图象关于直线x=π12对称.以其中两个论断作为条件,另两个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题(写成“p⇒q”的形式) .(用到的论断都用序号表示) 28. [2019山东省八所重点中学联考]如图4 - 3 - 5,点A,点B分别是圆心在坐标原点,半径为1和2的圆上的动点. 图4-3-5 动点A从初始位置A0(cos π3,sin π3)开始,按逆时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动,同时点B从初始位置B0(2,0)开始,按顺时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动.记t时刻,点A,点B的纵坐标分别为y1,y2. (1)求t=π4时,A,B两点间的距离; (2)若y=y1+y2,求y关于时间t(t>0)的函数关系式,并求当t∈(0,π2]时,y的取值范围. 第三讲 三角函数的图象与性质 1.D 因为C1:y=2sin 2x,C2:y=sin 2x+cos 2x=2sin(2x+π4)=2sin[2(x+π8)],所以把曲线C2向右平移π8个单位长度,得到曲线C1,选D. 2.C 将(0,1)代入y=2sin(ωx+φ)中,得sin φ=12.又|φ|<π2,所以φ=π6.由“五点作图法”知点(11π12,0)为图象上的第五点,则ω×11π12+π6=2π,解得ω=2,所以y=2sin(2x+π6),将其图象上所有点的横坐标缩短成原来的12,得y=f (x)=2sin(4x+π6)的图象,故选C. 3.C ∵f (x)=2cos2ωx - sin2ωx+2=32cos 2ωx+52(ω>0),∴f (x)的最小正周期T=2π2ω=π,∴ω=1. 4.D 设f (x)的最小正周期为T,则|AB|2=(23)2+(T2)2,即16=12+T24,则T=4,所以T=4=2πω,ω=π2,所以f (x)=3sin(π2x+5π6),所以f ( - 1)=3sin( - π2+5π6)=3sinπ3=3×32=32. 5.C 将函数f (x)=sin(ωx+π3)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后,得到y=sin(ωx - ωπ6+π3)的图象,∵y=sin(ωx - ωπ6+π3)的图象关于y轴对称,∴ - ωπ6+π3=kπ+π2,k∈Z,∴ω= - 6k - 1,k∈Z,又ω>0,∴ω的最小值为5,故选C. 6.D 由题意可得2×π3+φ=kπ+π2(k∈Z),所以φ=kπ - π6(k∈Z),又|φ|<π2,所以φ= - π6,故选项A错误;函数的解析式为f (x)=2sin(2x - π6),若x∈[0,π2],则2x - π6∈[ - π6,5π6],此时函数不具有单调性,故选项B错误;把f (x)的图象向左平移π6个单位长度可得到y=2sin[2(x+π6) - π6]=2sin(2x+π6)的图象,故选项C错误;把f (x)的图象向左平移π12个单位长度可得到y=2sin[2(x+π12) - π6]=2sin 2x的图象,故选项D正确. 7.D 由题意可得x1,x2的符号相同,且(x1 - π3)+(x2 - π3)=2kπ,k∈Z,或(x2 - π3) - (x1 - π3)=kπ,k∈Z,所以x1+x2=2kπ+2π3,k∈Z,故|x1+x2|的最小值为2π3,故选D. 8.A 当x=π3+kπ,k∈Z时,cos(x - π3)=±1,所以函数y=cos(x - π3)的图象的对称轴是直线x=π3+kπ,k∈Z,又当2x - π6=π2+kπ,k∈Z,即x=π3+kπ2,k∈Z时,sin(2x - π6)=±1,所以y=sin(2x - π6)的图象的对称轴是直线x=π3+kπ2,k∈Z,所以y=cos(x - π3)的图象的对称轴都是y=sin(2x - π6)的图象的对称轴;当x - π3=π2+kπ,k∈Z,即x=5π6+kπ,k∈Z时,cos(x - π3)=0,所以y=cos(x - π3)的图象的对称中心是点(5π6+kπ,0),k∈Z,又当2x - π6 =kπ,k∈Z,即x=π12+kπ2,k∈Z时,sin(2x - π6)=0,所以y=sin(2x - π6)的图象的对称中心是点(π12+kπ2,0),k∈Z,由此可得,它们的对称中心均不相同.故选A. 9.BC f (x)=3sin ωx - cos ωx=2sin(ωx - π6),其最小正周期T=2πω.由已知得(T2)2+(-2-2)2=(πω)2+42=π2+642,得ω=2,所以f (x)=2sin(2x - π6). A 函数f (x)的极大值为2. 错误 B 由2kπ+π2≤2x - π6≤2kπ+3π2(k∈Z), 解得kπ+π3≤x≤kπ+5π6(k∈Z),所以该函数的单调递减区间为[kπ+π3,kπ+5π6](k∈Z).令k=0,所得区间为[π3,5π6]. 正确 C 令2x - π6=kπ(k∈Z),解得x=kπ2+π12(k∈Z),所以函数f (x)的图象的对称中心为点(kπ2+π12,0)(k∈Z).当k= - 1时,对称中心为点( - 5π12,0). 正确 D 将函数f (x)的图象向右平移π12个单位长度后,所得图象对应的函数的解析式为g(x)=f (x - π12)=2sin[2(x - π12) - π6]=2sin(2x - π3),显然该函数不是奇函数,其图象不关于原点对称. 错误 综上,说法正确的是BC. 10.7π5 解法一 令2kπ+π2≤x+π10≤2kπ+3π2,k∈Z,得2kπ+2π5≤x≤2kπ+7π5,k∈Z,所以函数f (x)在区间[2π5,7π5]上单调递减,所以a的最大值为7π5. 解法二 因为π2≤x≤a,所以π2+π10≤x+π10≤a+π10, 而f (x)在[π2,a]上单调,所以a+π10≤3π2,即a≤7π5,所以a的最大值为7π5. 11.(1)因为f (x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,所以,对任意实数x都有sin(x+θ)=sin( - x+θ), 即sin xcos θ+cos xsin θ= - sin xcos θ+cos xsin θ, 故2sin xcos θ=0, 所以cos θ=0. 又θ∈[0,2π),因此θ=π2或3π2. (2)y=[f (x+π12)]2+[f (x+π4)]2 =sin2(x+π12)+sin2(x+π4) =1-cos(2x+π6)2+1-cos(2x+π2)2 =1 - 12(32cos 2x - 32sin 2x) =1 - 32cos(2x+π3). 因此,函数的值域是[1 - 32,1+32]. 12.B 根据函数f (x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|<π2)的图象过点(π3,0),(7π12, - 1),可得A=1,14·2πω=7π12 - π3,解得ω=2.又由五点作图法可得2×π3+φ=π,解得φ=π3,所以f (x)=sin(2x+π3).因为cos 2x=sin(2x+π2)=sin[2(x+π12)+π3],所以将函数f (x)=sin(2x+π3)的图象向左平移π12个单位长度,可得g(x)=cos 2x的图象,故选B. 13.A 解法一 将函数y=sin(2x - π4)的图象向左平移π4个单位长度后所得图象对应的函数的解析式为y=sin[2(x+π4) - π4]=sin(2x+π4).又此函数在区间( - m,m)上无极值点,所以0<2m≤T2=π2,所以0查看更多