2017-2018学年湖北省荆州中学高二12月阶段性质量检测数学（文）试题

2017-2018学年湖北省荆州中学高二12月阶段性质量检测数学（文）试题

2017-2018 学年湖北省荆州中学高二 12 月阶段性质量 检测 文科数学卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ） A．至多有一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都不中靶 2．已知直线方程为sin300 x + cos300 y − 3 = 0 ，则直线的倾斜角为（ ） A．60 B．60 或 300 C．30 D．30 或 330 3．圆 上的点可以表示为（ ） A． B． C． D． 4.已知变量 与变量 负相关，且由观测数据计算得到样本的平均数 ，则由该 观测数据算得的线性回归方程可能是 （ ） A． B． C． D． 5.《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大 意：“已知直角三角形两直角边长分别为 步和 步，问其内切圆的直径为多少步？”现 若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ） A． B． C. D． 6.下列说法正确的个数是（ ） ①“若 ，则 中至少有一个不小于 ”的逆命题是真命题 ② 命题“设 ，若 ，则 或 ”是一个真命题 ③“ ”的否定是“ ” ④ 是 的一个必要不充分条件 A． B． C． D． 2 2( 1) 4x y− + = ( 1 cos ,sin )θ θ− + (1 sin ,cos )θ θ+ ( 1 2cos ,2sin )θ θ− + (1 2cos ,2sin )θ θ+ x y 4, 6.5x y= = 2 1.5y x= − 0.8 3.3y x= + 2 14.5y x= − + 0.6 9.1y x= − + 8 15 3 10 π 3 20 π 31 10 π− 31 20 π− 4a b+ ≥ , a b 2 ,a b∈R 6a b+ ≠ 3a ≠ 3b ≠ 2 0 0 0, 0x x x∃ ∈ − R 1a b+ > a b> 0 1 2 3 7.椭圆 和 具有（ ） A．相同的长轴长 B．相同的焦点 C．相同的离心率 D．相同的顶点 8．某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的表面积是( 　) A.2＋ 5 B.4＋ 5 C.2＋2 5 D.5 9．如右图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是（ ） A． B． C． D． 10 ． 已 知 直 线 恒 过 定 点 A ， 点 A 在 直 线 上，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 10 11．过点 作圆 的弦，其中弦长为整数的共有（ ） A.34 条 B.32 条 C.17 条 D.16 条 12 ． 若 是 上 的 减 函 数 , 且 ， 设 ， ，若 的充分不必要条件，则实数 的取值范围 是( ) A． B． C． D． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．点 是点 在坐标平面 内的射影，则 等于 . 2 2 2 2 ( 0)x y m ma b + = > 2 2 2 2 ( 0)( 0, )x y n n a b m na b + = > > > ≠ 1 6 25 24 3 4 11 12 1 3 0,( )kx y k k R− − + = ∈ 1 0( 0, 0)mx ny m n+ + = > > 1 2 m n + 5 2 6+ 5 2 6− 4 6 )2,11(A 01644222 =−−++ yxyx ( )f x R (0) 3, (3) 1f f= = − { }1 ( ) 3P x f x t= − < + < { }( ) 1Q x f x= < − “ ”x P x Q∈ ∈“ ” 是 t 3t ≤ − 3t ≥ − 0t ≤ 0t ≥ B )3,2,1(A yoz || OB 14 ．定义： ，在区域 内任取一点 ，则 满足 的概率为 15．已知 满足约束条件 ，且 的最小值为 ，则常数 _______． 16．已知圆 和点 ，若定点 和常数 满足：对圆 上的任 意一点 ，都有 ，则（1） .（2） . 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．本题满分（12 分） 设 是实数,已知命题 函数 的最小值小于 ；已知命题 ： “方程 表示焦点在 上的椭圆”，若 为真命题， 为假命题， 求实数 的取值范围。 18．本题满分（12 分） 在 中，角 , , 的对边分别为 , , ． （ 1 ） 若 ， 且 为 锐 角 三 角 形 ， , ，求 的值； （2）若 , ，求 的取值范围． 19．本题满分（12 分） 近年来,我国许多省市雾霾天气频发,为增强市民的环境保护意识,某市面向全市征召 名义务 { } ,min , , a a ba b b a b ≤=  > 0 2 0 6 x y ≤ ≤  ≤ ≤ ( , )P x y ,x y { }2 2 2min 2 , 2 4 2x x y x y y x x y+ + + − + = + + ,x y 4 0 2 0 x y x x y k − +   + + ≥ ≤ ≥ 3z x y= + 2 k = 2 2: 1O x y+ = (2,0)A ( ,0)( 2)B b b ≠ λ O M MB MAλ= b = λ = m :p 2 2( ) 2 3 3f x x x m m= − + + − 0 q 2 2 15 1 2 x y m m − =− − x qp ∨ qp ∧ m ABC A B C a b c 223cos cos2 0A A+ = ABC 7a = 6c = b 3a = 3A π= b c+ n 第 20 题图 A′ B′ C′ A D B C E 宣传志愿者,成立环境保护宣传组织.现把该组织的成员按年龄分成 5 组:第 1 组[20,25),第 2 组 [25,30),第 3 组[30,35),第 4 组[35,40),第 5 组[40,45],得到的频率分布直方图如图所示,已知第 2 组有 35 人． （1）求该组织的人数； （2）若在第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参加某社区 的宣传活动,应从第 3,4,5 组各抽取多少名志愿者? （3）在（2）的条件下,该组织决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验,求第 3 组至少有 1 名志愿者被抽中的概率． 20．本题满分（12 分）如图，直三棱柱 中， , ， , 分别为 和 上的点，且 ． （1）当 为 中点时，求证： ； （2）当 在 上运动时，求三棱锥 体积的最小值． 21．本题满分（12 分）． 已知圆 与直线 交于 两点，动圆 过 两点． （1）若圆 圆心在直线 上，求圆 的方程； （2）求动圆 的面积的最小值； （3）若圆 与 轴相交于两点 （点 横坐标大于 1）．若过点 任作的一条与圆 ： 交于 两点直线都有 ，求圆 的方程． ABC A B C′ ′ ′− 5AC BC= = 6AA AB′ = = D E AB BB′ AD BE DB EB = ′ D AB A B CE′ ⊥ D AB A CDE′ − 2 2 0x y x+ − = 1 0x y+ − = ,P Q C ,P Q C 1 2y x= C C C x ,M N N M O 422 =+ yx ,A B BNMANM ∠=∠ C 22．本题满分（10 分） 设直线 的方程为 (1)若 在两坐标轴上的截距相等，求 的方程． (2)若 不经过第二象限，求实数 的取值范围． 荆州中学高二年级 2017～2018 学年上学期联阶段考试（二） 文科数学参考答案 一．选择题 1---12 DADCD CCCDA BA 二．填空题 13. 14. 15. 16.（1） （2） 三．解答题 17. 解： .......................2 分 .......................4 分 真 假 .......................7 分 假 真 .......................10 分 综上得 的范围是 或 .......................12 分 18. 解：（1）∵ ，∴ ，又∵ 为锐 角， ，而 ，即 ，解得 （舍 负）， ∴ ．...............................6 分 （2）方法一：（正弦定理） 由正弦定理可得 ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ．..................12 分 方法二：（余弦定理） l ( 1) 2 0( )a x y a a R+ + + − = ∈ l l l a 13 12 π 2− 1 2 1 2 : 4 1p m− < < 1: 22q m< < p q 14 2m− < ≤ p q 1 2m≤ < m 14 2m− < ≤ 1 2m≤ < 2 2 223cos cos2 23cos 2cos 1 0A A A A+ = + − = 2 1cos 25A = A 1cos 5A = 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 12 13 05b b− − = 5b = 5b = 22(sin sin ) 2(sin sin( )) 2 3sin( )3 6b c B C B B B π π+ = + = + − = + 20 3B π< < 5 6 6 6B π π π< + < 1 sin( ) 12 6B π< + ≤ ( 3,2 3b c + ∈  由余弦定理 可得 ，即 ， ∴ ，又由两边之和大于第三边可得 ， ∴ ．...........................12 分 19. 解： (1)由题意第 2 组的人数为 35=5×0.07×n,得到 n=100,故该组织有 100 人. …… 2 分 (2)第 3 组的人数为 0.06×5×100=30，第 4 组的人数为 0.04×5×100=20， 第 5 组的人数为 0.02×5×100=10，所以第 3,4,5 组共有 60 名志愿者， 所以利用分层抽样的方法在 60 名志愿者中抽取 6 名志愿者， 每组抽取的人数分别为：第 3 组 ；第 4 组 ；第 5 组 ． 所以应从第 3,4,5 组中分别抽取 3 人，2 人，1 人． ………………6 分 (3)记第 3 组的 3 名志愿者为 A1,A2,A3,第 4 组的 2 名志愿者为 B1,B2,第 5 组的 1 名志愿者为 C1, 则从 6 名志愿者中抽取 2 名志愿者有(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1), (A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有 15 种． 其 中 第 3 组 的 3 名 志 愿 者 A1,A2,A3 至 少 有 一 名 志 愿 者 被 抽 中 的 有 (A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1), 共有 12 种． 则第 3 组至少有 1 名志愿者被抽中的概率为 ． …………………12 分 20．解：（1）证明：∵ 为 的中点，故 为 的中点，三棱柱 为直三棱 柱， ∴平行四边形 为正方形，∴ ， ∵ ， 为 的中点，∴ ， ∵三棱柱 为直三棱柱， ∴ 平面 ，又 平面 ，∴ ， 又 ，∴ 平面 ， ∵ 平面 ∴ ． .....................6 分 （2）设 ，则 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 2 3b c bc+ − = 2 23( ) 3 3 ( )4b c bc b c+ − = +≤ 2 3b c+ ≤ 3b c+ > ( 3,2 3b c + ∈  3660 30 =× 2660 20 =× 1660 10 =× 5 4 15 12 = D AB E B B′ ABC A B C′ ′ ′− ABB A′ ′ DE A B′⊥ AC BC= D AB CD AB⊥ ABC A B C′ ′ ′− CD ⊥ ABB A′ ′ A B′ ⊂ ABB A′ ′ CD AB⊥ CD DE D= A B′ ⊥ CDE CE ⊂ CDE A B CE′ ⊥ BE x= , 6 , 6AD x DB x B E x′= = − = − 由已知可得 到平面 的距离即为 的边 所对的高 ， ∴ ∴当 ，即 为 的中点时， 有最小值 18． ................12 分 21. 解：（1）设圆 方程为 ， 圆 方程为 ．...........4 分 （2）圆 与直线 交于 两点， 联立方程求得两个交点坐标为 以线段 为直径的圆面积最小，此时圆的半 径为 ．...........8 分 （3）设圆 方程为 ， 令 设直线 AB 的方程为 ，代入 得， ， 设 从而 因为 而 因为 ，所以 ，即 ，得 ． 当直线 AB 与 轴垂直时，也成立． 圆 的方程为 ．...........12 分 C A DE′ ABC∆ AB 2 2( ) 42 ABh AC= − = 1 ( )3A CDE C A DE AA D DBE A B EABB AV V S S S S h′ ′ ′ ′ ′′ ′− − ∆ ∆ ∆= = − − − ⋅四边形 21 1 2[36 3 (6 ) 3(6 )] ( 6 36)3 2 3x x x x h x x= − − − − − ⋅ = − + 22[( 3) 27] (0 6)3 x x= − + < < 3x = D AB A CDEV ′− C 2 2 1 0x y x x yλ + =+ −+ − ( ) 1 1 1 12 2 2 2 2C , λ λ λ λ λ− − − ∴− = ⋅ ∴ = −   ∴ C 2 2 1 02x y x y− +− =+ 2 2 0x y x+ − = 1 0x y+ − = ,P Q 1 1(1 0),Q( )2 2P , , PQ 2 21 1 1 2 1(1 ) (0 )2 2 2 4 8minS π− + − = ∴ = C 2 2 1 0x y x x yλ + =+ −+ − ( ) 20 ( 1) 0 ( 1) ) 1 1M Ny ,x x - x (x+ = 0,x ,x ,λ λ λ λ λ= + − = ∴ − = = − − > )1( −= xky 422 =+ yx 042)1( 2222 =−+−+ kxkxk ),,(),,( 2211 yxByxA 2 2 212 2 21 1 4,1 2 k kxxk kxx + −=+=+ 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 [( 1)( ) ( 1)( )] ( )( y y k x x x x x x x x ) λ λ λ λ λ λ − + + − ++ =+ + + + 1 2 2 1 1 2 2 1( 1)( ) ( 1)( ) 2 ( 1)( ) 2x x x x x x x xλ λ λ λ− + + − + = − − + + − 2 2 2 2 4 22 ( 1) 21 1 k k k k λ λ−= − − + −+ + 21 82 k a + −= BNMANM ∠=∠ 1 2 1 2 0y y x xλ λ+ =+ + 01 82 2 =+ − k a 4λ = − x ∴ C 2 25 4 4 0x x y y− + − + = 22.解：（1）当直线过原点时，该直线在 轴和 轴上的截距均为 0，显然相等. ∴ ，方程即为 .（2 分） 当直线不过原点时，由截距相等且均不为 0，得 ，即 ， ∴ ，方程即为 . 综上，直线 的方程为 或 ............5 分 （2）将 的方程化为 ， 由题意得 或 ， ∴ . ∴实数 的取值范围是 ............10 分 x y 2a = 3 0x y+ = 2 21 a aa − = −+ 1 1a + = 0a = 2 0x y+ + = l 3 0x y+ = 2 0x y+ + = l ( 1) 2y a x a= − + + − ( 1) 0 2 0 a a − + >  − ≤ ( 1) 0 2 0 a a − + =  − ≤ 1a ≤ − a ( , 1]−∞ −