2018-2019学年重庆市四区高一下学期高中联合调研评估测试（期末）数学试题

2018-2019学年重庆市四区高一下学期高中联合调研评估测试（期末）数学试题

2018-2019 学年重庆市四区高一下学期高中联合调研评估测试 （期末）数学试题 (时间：120 分钟 分值：150 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分) 1.在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 c＝4，a＝4 2，A＝45°，则 sin C 等于( ) A.1 2 B. 2 2 C.1 4 D. 2 4 2.函数 y＝ ln（x＋1） －x2－3x＋4 的定义域为( ) A.(－4，－1) B.(－4，1) C.(－1，1) D.(－1，1] 3.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S1＝1，S4 S2 ＝4，则S6 S4 的值为( ) A.3 2 B.5 4 C.9 4 D.4 4.已知在△ABC 中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，那么 cos C 的值为( ) A.－1 4 B.1 4 C.－2 3 D.2 3 5.已知等差数列{an}的前 n 项和为 18，若 S3＝1，an＋an－1＋an－2＝3，则 n 等于( ) A.9 B.21 C.27 D.36 6.已知点 P(x，y)满足条件 y≥0， y≤x， 2x＋y－9≤0， 则 z＝x－3y 的最小值为( ) A.9 B.－6 C.－9 D.6 7.如图，一轮船从 A 点沿北偏东 70°的方向行驶 10 海里至海岛 B，又从 B 沿北偏东 10°的方向行驶 10 海里至海岛 C，若此轮船从 A 点直接沿直线行 驶至海岛 C，则此船沿________方向行驶________海里至海岛 C( ) A.北偏东 60°；10 2 B.北偏东 40°；10 3 C.北偏东 30°；10 3 D.北偏东 20°；10 2 8.设 x，y 满足约束条件 3x＋2y－6≤0， x≥0， y≥0， 则 z＝x－y 的取值范围是( ) A.[－3，0] B.[－3，2] C.[0，2] D.[0，3] 9.当 x＞0 时，不等式 x2－mx＋9＞0 恒成立，则实数 m 的取值范围是( ) A.(－∞，6) B.(－∞，6] C.[6，＋∞) D.(6，＋∞) 10.设 x，y 满足约束条件 2x－y＋2≥0， 8x－y－4≤0， x≥0，y≥0， 若目标函数 z＝abx＋y(a，b＞0)的最大值为 8，则 a＋b 的最小值为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 11.等差数列{an}满足 a2 4＋a2 7＋2a4a7＝9，则其前 10 项之和为( ) A.－9 B.－15 C.15 D.±15 12.在各项均为正数的等比数列{an}中，公比 q∈(0，1).若 a3＋a5＝5，a2·a6＝4，bn＝log2an， 数列{bn}的前 n 项和为 Sn，则当S1 1 ＋S2 2 ＋…＋Sn n 取最大值时，n 的值为( ) A.8 B.9 C.8 或 9 D.17 二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分) 13.在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，已知 a，b，c 成等比数列，且 a2－c2 ＝ac－bc，则 c bsin B 的值为________. 14.若关于 x 的不等式 x2－ax－a≤－3 有解，则实数 a 的取值范围为________. 15.已知数列{an}满足：a1＝1， an＋1－ an＝1，则使 an＜25 成立的 n 的最大值为________. 16.已知△ABC 的一个内角为 120°，且三边长构成公差为 4 的等差数列，则△ABC 的面积为 ________. 三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分) 17.(10 分)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足(2a－c)cos B＝bcos C. (1)求内角 B 的大小； (2)设 m＝(sin A，cos 2A)，n＝(4k，1)(k＞1)，m·n 的最大值为 5，求 k 的值. 18.(12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn＝2n＋2－4. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝an·log2an，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 19.(12 分)甲乙两地生产某种产品，他们可以调出的数量分别为 300 吨、750 吨.A，B，C 三 地需要该产品数量分别为 200 吨，450 吨，400 吨，甲地运往 A，B，C 三地的费用分别为 6 元/吨、3 元/吨，5 元/吨，乙地运往 A，B，C 三地的费用分别为 5 元/吨，9 元/吨，6 元/ 吨，问怎样调运，才能使总运费最小？ 20.(12 分)某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万 件与年促销费用 m 万元(m≥0)满足 x＝3－ k m＋1 (k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的 年销售量只能是 1 万件.已知年生产该产品的固定投入为 8 万元，每生产 1 万件该产品需要 再投入 16 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍(产品成本包 括固定投入和再投入两部分资金). (1)将该产品的年利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数； (2)该厂家年促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 21.(12 分)在△ABC 中，A，B，C 成等差数列，a，b，c 分别为 A，B，C 的对边，并且 sin A·sin C＝cos2B，S△ABC＝4 3，求 a，b，c. 22.(12 分)已知函数 f(x)＝(x－1)2，g(x)＝4(x－1)，数列{an}满足 a1＝2，an≠1，(an＋1－ an)g(an)＋f(an)＝0. (1)求证 an＋1＝3 4 an＋1 4 ； (2)求数列{an－1}的通项公式； (3)若 bn＝3f(an)－g(an＋1)，求{bn}中的最大项. 2018-2019 学年度上期重庆市高中联合调研评估测试 高一数学 答案 1.解析 由正弦定理得 sin C＝c·sin Aa ＝4×2＝12. 答案 A 2.解析 由题 x＋1＞0，－x2－3x＋4＞0 ⇒ －1＜x＜1. 答案 C 3.解析 设公差为 d，则 S4＝4a1＋6d，S2＝2a1＋d，结合 S4＝4S2 得 d＝2， ∴S4＝16，S6＝36，∴S6S4＝94. 答案 C 4.解析 由题意知，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝3∶2∶4， 设 a＝3k，b＝2k，c＝4k， ∴cos C＝a2＋b2－c22ab ＝（3k）2＋（2k）2－（4k）22·3k·2k ＝－14. 答案 A 5.解析 S3＋an＋an－1＋an－2＝4＝3(a1＋an)， ∴a1＋an＝43， 又 Sn＝n（a1＋an）2 ＝3＝18， ∴n＝27. 答案 C 6.解析 作出可行域如图所示的阴影部分. 由目标函数 z＝x－3y 得：y＝13x－z3， ∴－z3为直线在 y 轴上的截距. ∴平移直线 l0：y＝13x，当直线经过点 A 时，z 取得最小值. ∵ x－y＝0，2x＋y－9＝0，∴x＝3，y＝3，∴A(3，3). ∴zmin＝3－3×3＝－6. 答案 B 7.解析 由已知得在△ABC 中，∠ABC＝180°－70°＋10°＝120°， AB＝BC＝10，故∠BAC＝30°， 所以从 A 到 C 的航向为北偏东 70°－30°＝40°， 由余弦定理得 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝102＋102－2×10×1012＝300， 所以 AC＝10. 答案 B 8.解析 画出不等式组表示的可行域(如图阴影部分所示)，结合目标函数的几何意义可得函 数在点 A(0，3)处取得最小值 z＝0－3＝－3，在点 B(2，0)处取得最大值 z＝2－0＝2. 答案 B 9.解析 由题意得：当 x＞0 时，mx＜x2＋9，即 m＜x＋9x恒成立.又有 x＋9x≥2 9x＝6，当且仅 当 x＝9x，即 x＝3 时，等号成立.则实数 m 的取值范围是(－∞，6). 答案 A 10.解析 原不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当直线 z＝abx＋y(a＞0，b＞0) 过直线 2x－y＋2＝0 与直线 8x－y－4＝0 的交点(1，4)时，目标函数 z＝abx＋y(a＞0，b＞ 0)取得最大值 8，即 8＝ab＋4，即 ab＝4，所以 a＋b≥2＝4，当且仅当 a＝b＝2 时，等号成 立.所以 a＋b 的最小值为 4. 答案 B 11.解析 a24＋a27＋2a4a7＝(a4＋a7)2＝9， ∴a4＋a7＝±3，∴a1＋a10＝±3， ∴S10＝10（a1＋a10）2 ＝±15. 答案 D 12.解析 ∵a2·a6＝a3·a5＝4，且 a3＋a5＝5， ∴a3，a5 是方程 x2－5x＋4＝0 的两个根. 又∵等比数列{an}各项均为正数且 q∈(0，1)， ∴a3＝4，a5＝1. ∴q2＝a5a3＝14，∴q＝12. ∴an＝4·12＝12，∴bn＝log2an＝5－n. ∴Sn＝（9－n）·n2 ，∴Snn ＝9－n2 . Tn＝S11 ＋S22 ＋…＋Snn ＝14(－n2＋17n) ＝142894 . ∴当 n＝8 或 9 时，Tn 取得最大值. 答案 C 13.解析 ∵a，b，c 成等比数列，∴b2＝ac. 又∵c2－a2＝bc－ac，∴b2＋c2－a2＝bc. 在△ABC 中，由余弦定理得 cos A＝b2＋c2－a22bc ＝ bc2bc ＝12，∴A＝60°. 由正弦定理得 asin A＝ bsin B，∴sin B＝3b2a. ∴ cbsin B＝2acb2 ＝23. 答案 33 14.解析 由题意知，只需 y＝x2－ax－a 的最小值不大于－3 即可. 即－4a－a24 ≤－3， 解得 a≤－6 或 a≥2. 答案 (－∞，－6]∪[2，＋∞) 15.解析 易知{}为等差数列， 首项为＝1，公差为 1， ∴＝1＋(n－1)＝n， ∴an＝n2， 令 n2＜25，∴n＜5，∴n≤4. 答案 4 16.解析 不妨设 A＝120°，c＜b，则 a 为最长边，故 a＝b＋4，c＝b－4，由余弦定理，得 a2＝b2＋c2－2bccos A，即 (b＋4)2＝b2＋(b－4)2－2b(b－4)cos 120°， 化简得 b2－10b＝0， ∴b＝10 或 b＝0(舍去)， ∴c＝6， S△ABC＝12bcsin A＝15. 答案 15 17.解 (1)由正弦定理及(2a－c)cos B＝bcos C， 得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C， 整理得 2sin Acos B＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)＝sin A， 因为 A∈(0，π)，所以 sin A≠0， 故 cos B＝12，所以 B＝π3. (2)m·n＝4ksin A＋cos 2A＝－2sin2A＋4ksin A＋1， 其中 A∈2π3 ，设 sin A＝t，t∈(0，1]，则 m·n＝－2t2＋4kt＋1＝－2(t－k)2＋1＋2k2. 又 k＞1，故当 t＝1 时，m·n 取得最大值. 由题意得－2＋4k＋1＝5，解得 k＝32. 18.解 (1)因为 Sn＝2n＋2－4，所以 a1＝S1＝4， n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋2－4－(2n＋1－4)＝2n＋1，显然 a1 也符合该表达式.所以 an＝2n＋1. (2)因为 bn＝an·log2an＝(n＋1)·2n＋1， 所以 Tn＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1，① 2Tn＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n·2n＋1＋(n＋1)·2n＋2，② ②－①得， Tn＝－2·22－23－24－…－2n＋1＋(n＋1)·2n＋2 ＝－23－23（1－2n－1）1－2 ＋(n＋1)·2n＋2 ＝－23－23(2n－1－1)＋(n＋1)·2n＋2 ＝(n＋1)·2n＋2－23·2n－1＝n·2n＋2. 19.解 设从甲到 A 调运 x 吨，从甲到 B 调运 y 吨，从甲到 C 调运(300－x－y)吨，则从乙到 A 调运(200－x)吨，从乙到 B 调运(450－y)吨，从乙到 C 调运(100＋x＋y)吨， 设调运的总费用为 z 元，则 z＝6x＋3y＋5(300－x－y)＋5(200－x)＋9(450－y)＋6(100＋x ＋y)＝2x－5y＋7 150. 由已知得约束条件为 450－y≥0，100＋x＋y≥0， 整理得0≤y≤450，x＋y≤300， 画可行域并平移直线 2x－5y＝0 可得最优解为 x＝0，y＝300. 即从甲到 B 调运 300 吨，从乙到 A 调运 200 吨，从乙到 B 调运 150 吨，从乙到 C 调运 400 吨，总运费最小. 20.解 (1)由题意可知，当 m＝0 时，x＝1(万件)， 所以 1＝3－k，所以 k＝2，所以 x＝3－ 2m＋1， 每件产品的销售价格为 1.5×8＋16xx (万元)， 所以年利润 y＝x·8＋16xx －(8＋16x＋m)＝4＋8x－m ＝4＋8 2m＋1－m＝－ 16＋（m＋1）＋29(m≥0). (2)因为 m≥0 时， 16m＋1＋(m＋1)≥2＝8， 所以 y≤－8＋29＝21，当且仅当 16m＋1＝m＋1， 即 m＝3(万元)时，ymax＝21(万元). 所以厂家年促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大. 21.解 ∵A，B，C 成等差数列，∴A＋C＝2B， 又 A＋B＋C＝180°，∴B＝60°， ∴sin A·sin C＝cos260°＝14.① 又 S△ABC＝4＝12acsin B，∴ac＝16.② 由①②，得 acsin A·sin C＝ asin A＝ csin C＝64， ∴ asin A＝ csin C＝8. ∴b＝asin Bsin A＝8sin B＝8sin 60°＝4， ∵cos B＝a2＋c2－b22ac ＝12， ∴a2＋c2－b2＝ac， ∴(a＋c)2－b2＝3ac， ∴(a＋c)2＝48＋48＝96，∴a＋c＝4.③ 联立③与②解得，a＝2(＋)，c＝2(－)或 a＝2(－)，c＝2(＋). 22.(1)证明 由(an＋1－an)g(an)＋f(an)＝0， g (an)＝4(an－1)，f(an)＝(an－1)2， 得(an－1)·(4an＋1－3an－1)＝0. 又 an≠1，∴an＋1＝34an＋14. (2)解 ∵an≠1， ∴an＋1－1an－1 ＝ －1an－1＝（an－1）an－1 ＝34(n≥1)， ∴{an－1}是公比为34的等比数列. 又 a1－1＝1，∴an－1＝34. (3)解 由(2)知 an＝34＋1， 由(1)知 an＋1＝34an＋14， 则 bn＝3f(an)－g(an＋1)＝3(an－1)2－4(an＋1－1) ＝3(an－1)2－4 1－1＝3a2n－9an＋6 ＝3 3＋1－9 3＋1＋6 ＝334－334. 设 u＝34，y＝bn， 则 y＝3u2－3u＝312－34， ∵当 n≥1 时，0＜u＝34≤1， ∴当 u＝1 时，ymax＝0，此时 n＝1， 则{bn}的最大项为 b1＝0.