【数学】2019届一轮复习北师大版参数方程学案

【数学】2019届一轮复习北师大版参数方程学案

第68讲　参数方程 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1.了解参数方程，了解参数的意义．‎ ‎2．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.‎ ‎2017·全国卷Ⅰ，22‎ ‎2016·全国卷Ⅲ，23‎ ‎2016·江苏卷，21(C)‎ 参数方程部分主要考查参数方程与普通方程的互化，并且多与极坐标方程结合考查.‎ 分值：5～10分 ‎1．参数方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上__任意一点__的坐标x，y都是某个变数t的函数：并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参变数，简称__参数__，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做__普通方程__．‎ ‎2．直线、圆、椭圆的参数方程 ‎(1)过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(2)圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(3)①椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程为(φ为参数)．‎ ‎②椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程为(φ为参数)．‎ ‎1．思维辨析(在括号内打“√”或打“×”)．‎ ‎(1)参数方程(t≥1)表示直线．(　×　)‎ ‎(2)参数方程当m为参数时表示直线，当θ为参数时表示的曲线为圆．(　√　)‎ ‎(3)直线 (t为参数)的倾斜角α为30°.(　√　)‎ ‎(4)参数方程表示的曲线为椭圆．(　×　)‎ 解析 (1)∵t≥1，∴x＝t＋1≥2，y＝2－t≤1，故参数方程表示的曲线是直线的一部分．‎ ‎(2)当m为参数时，x＋y＝cos θ＋cos θ表示直线，当θ为参数时，(x－m)2＋(y＋m)2＝1‎ 表示圆．‎ ‎(3)方程可化为表示直线其倾斜角为30°.‎ ‎(4)∵θ∈，∴x≥0，y≥0，方程不表示椭圆．‎ ‎2．参数方程(t为参数)化为普通方程为__3x＋y－4＝0(x∈[0,2))__．‎ 解析 ∵x＝，‎ y＝＝＝4－3×＝4－3x，‎ 又x＝＝＝2－∈[0,2)，‎ ‎∴x∈[0,2)，∴所求的普通方程为3x＋y－4＝0(x∈[0,2))．‎ ‎3．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为和(t为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为__(2,1)__．‎ 解析 由C1得x2＋y2＝5，且①‎ 由C2得x＝1＋y，②‎ ‎∴由①②联立解得或(舍)．‎ ‎4．直线(t为参数)与圆(θ为参数)相切，则切线的倾斜角为__或__.‎ 解析 直线的普通方程为bx－ay－4b＝0，圆的普通方程为(x－2)2＋y2＝3，因为直线与圆相切，则圆心(2,0)到直线的距离为，从而有＝，即‎3a2＋3b2＝4b2，所以b＝±a，而直线的倾斜角α的正切值tan α＝，所以tan α＝±，因此切线的倾斜角为或.‎ ‎5．在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(θ为参数，a>0)有一个公共点在x轴上，则a＝　　.‎ 解析 将曲线C1与C2的方程化为普通方程求解．‎ ‎∵消去参数t得2x＋y－3＝0，‎ 又消去参数θ得＋＝1.‎ 根据题意可知C1与x轴交点在C2上，‎ 则在方程2x＋y－3＝0中，令y＝0得x＝.‎ 将代入＋＝1，得＝1，又a>0，∴a＝.‎ 一　参数方程与普通方程的互化 将参数方程化为普通方程的方法 ‎(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin2θ＋cos2θ＝1等．‎ ‎(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要出现增解．‎ ‎【例1】 将下列参数方程化为普通方程．‎ ‎(1)(t为参数)；‎ ‎(2)(θ为参数)．‎ 解析 (1)2＋2＝1，‎ ‎∴x2＋y2＝1.∵t2－1≥0，∴t≥1或t≤－1.又x＝，‎ ‎∴x≠0.当t≥1时，0＜x≤1，‎ 当t≤－1时，－1≤x＜0，∴所求普通方程为x2＋y2＝1，‎ 其中或 ‎(2)∵y＝－1＋cos 2θ＝－1＋1－2sin 2θ＝－2sin 2θ，sin 2θ＝x－2，‎ ‎∴y＝－2x＋4，∴2x＋y－4＝0.∵0≤sin 2 θ≤1，∴2≤x≤3，‎ ‎∴所求的普通方程为2x＋y－4＝0(2≤x≤3)．‎ 二　直线与圆的参数方程及应用 直线与圆的参数方程中的参数是可以具有几何意义的，如果能正确应用它，可以使问题的解决事半功倍，也可以把直线和圆的方程都普通化，再行解决．‎ ‎【例2】 已知曲线C1：(θ为参数)及曲线C2：(t为参数)．‎ ‎(1)指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；‎ ‎(2)若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C′1，C′2，写出C′1，C′2的参数方程．C′1与C′2公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？‎ 说明你的理由．‎ 解析 (1)C1是圆，C2是直线，C1的普通方程为x2＋y2＝1，‎ 圆心C1(0,0)，半径r＝1.C2的普通方程为x－y＋＝0.‎ 因为圆心到直线x－y＋＝0的距离为1，‎ 所以C1与C2只有一个公共点．‎ ‎(2)压缩后的参数方程分别为 C′1：(θ为参数)，C′2：(t为参数)．‎ 化为普通方程为C′1：x2＋4y2＝1，C′2：y＝x＋，‎ 联立消元得2x2＋2x＋1＝0，其Δ＝(2)2－4×2×1＝0，‎ 故压缩后C′1与C′2仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点个数相同．‎ 三　参数方程与极坐标方程的综合问题 涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．‎ ‎【例3】 在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C：ρsin2θ＝2acos θ(a>0)，过点P(－2，－4)的直线l的参数方程为(t为参数)，l与C分别交于点M，N.‎ ‎(1)写出C的直角坐标方程和l的普通方程；‎ ‎(2)若，，成等比数列，求a的值．‎ 解析 (1)曲线C的直角坐标方程为y2＝2ax(a＞0)；‎ 直线l的普通方程为x－y－2＝0.‎ ‎(2)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立并整理，‎ 得t2－2(4＋a)t＋8(4＋a)＝0，(*)‎ Δ＝‎8a(4＋a)＞0，设点M，N分别对应参数t1，t2，则t1，t2恰为上述方程的两根，则|PM|＝|t1|，|PN|＝|t2|，|MN|＝|t1－t2|.‎ 由题设得(t1－t2)2＝|t1t2|，即(t1＋t2)2－4t1t2＝|t1t2|.‎ 由(*)得t1＋t2＝2(4＋a)，t1t2＝8(4＋a)＞0，‎ 则有(4＋a)2－5(4＋a)＝0，得a＝1或a＝－4.因为a＞0，‎ 所以a＝1.　‎ ‎1．将下列参数方程化为普通方程．‎ ‎(1)(k为参数)；‎ ‎(2)(θ为参数)．‎ 解析 (1)两式相除，得k＝，将其代入x＝得x＝，‎ 化简得所求的普通方程是4x2＋y2－6y＝0(y≠6)．‎ ‎(2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)‎ 得y2＝2－x.又x＝1－sin 2θ∈[0,2]，‎ 得所求的普通方程y2＝2－x，x∈[0,2]．‎ ‎2．设直线l的参数方程为(t为参数，α为倾斜角)，圆C的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(1)若直线l经过圆C的圆心，求直线l的斜率；‎ ‎(2)若直线l与圆C交于两个不同的点，求直线l的斜率的取值范围．‎ 解析 (1)由已知得直线l经过的定点是P(3,4)，而圆C的圆心是C(1，－1)，所以，当直线l经过圆C的圆心时，直线l的斜率为k＝.‎ ‎(2)由圆C的参数方程得圆C的圆心是C(1，－1)，半径为2.‎ 当α≠90°时，设k＝tan α，则直线l的普通方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0.‎ 当直线l与圆C交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径，即＜2，解得k＞，‎ 即直线l的斜率的取值范围为.‎ ‎3．(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；‎ ‎(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.‎ 解析 (1)曲线C的普通方程为＋y2＝1.‎ 当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0，‎ 由解得或 从而C与l的交点坐标为(3,0)，.‎ ‎(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点(3cos θ，sin θ)到l的距离为d＝‎ .‎ 当a≥－4时，dmax＝＝，所以a＝8；‎ 当a<－4时，dmax＝＝，所以a＝－16.‎ 综上，a＝8或a＝－16.‎ ‎4．已知P(x，y)是圆x2＋y2－2y＝0上的动点．‎ ‎(1)求2x＋y的取值范围；‎ ‎(2)若x＋y＋c≥0恒成立，求实数c的取值范围．‎ 解析 方程x2＋y2－2y＝0变形为x2＋(y－1)2＝1.‎ 其参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(1)2x＋y＝2cos θ＋sin θ＋1＝sin (θ＋φ)＋1，‎ 其中φ由sin φ＝，cos φ＝确定，‎ ‎∴1－≤2x＋y≤1＋.‎ ‎(2)若x＋y＋c≥0恒成立，‎ 即c≥－(cos θ＋sin θ＋1)对一切θ∈R恒成立．‎ ‎∵－(cos θ＋sin θ＋1)的最大值是－1，‎ ‎∴当且仅当c≥－1时，x＋y＋c≥0恒成立．‎ 易错点　不清楚直线的参数方程中参数的几何意义 错因分析：只有直线的参数方程中的参数具有几何意义，否则会导致解题错误．因此，需要牢记直线的点斜式参数方程．‎ ‎【例1】 已知直线l过点P(2,0)，斜率为，直线l和抛物线y2＝2x相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求：‎ ‎(1)点P，M两点间的距离；‎ ‎(2)点M的坐标；‎ ‎(3)线段AB的长．‎ 解析 (1)∵直线l过点P(2,0)，斜率为，‎ 设直线的倾斜角为α，tan α＝，sin α＝，cos α＝，‎ ‎∴直线l的参数方程为(t为参数)．(*)‎ ‎∵直线l与抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y2＝2x中，整理得8t2－15t－50＝0，且Δ＝152＋4×8×50＞0，‎ 设这个一元二次方程的两个根为t1，t2，‎ 由根与系数的关系，得t1＋t2＝，t1t2＝－，‎ 由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，‎ 得＝＝.‎ ‎(2)将t中＝＝代入(*)式，‎ 得M点的坐标为.‎ ‎(3)＝＝＝.‎ ‎【跟踪训练1】 (2018·河北衡水中学质检)在平面直角坐标系xOy中，斜率为1的直线l过定点P(－2，－4)，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cos θ＝0.‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程以及直线l的参数方程；‎ ‎(2)两曲线相交于M，N两点，求|PM|＋|PN|的值．‎ 解析 (1)由ρsin 2θ－4cos θ＝0得ρ2sin 2θ－4ρcos θ＝0，‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为y2＝4x，‎ 直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(2)将直线l的参数方程代入y2＝4x，得t2－12t＋48＝0，‎ 设M，N对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝12，t1·t2＝48，‎ ‎∴|PM|＋|PN|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝12.‎ 课时达标　第68讲 ‎[解密考纲]高考中，主要涉及曲线的极坐标方程、曲线的参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化，两种不同方式的方程的互化是考查的热点，常以解答题的形式出现．‎ ‎1．已知曲线C1：(t为参数)，C2：(θ为参数)．‎ ‎(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；‎ ‎(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，‎ 求PQ中点M到直线C3：(t为参数)距离的最小值．‎ 解析 (1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：＋＝1.‎ C1是圆心为(－4,3)，半径为1的圆．C2是中心为坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．‎ ‎(2)当t＝时，P(－4,4)，Q(8cos θ，3sin θ)，‎ 故M.‎ C3为直线x－2y－7＝0，M到C3的距离 d＝|4cos θ－3sin θ－13|＝|5cos(θ＋φ)－13|≥.‎ 从而当cos θ＝，sin θ＝－时，d取得最小值.‎ ‎2．已知直线l：(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程ρ＝2cos θ.‎ ‎(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)设点M的直角坐标为(5，)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值．‎ 解析 (1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ，①‎ 将ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x代入①，‎ 得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.②‎ ‎(2)将代入②，得t2＋5t＋18＝0，‎ 设这个方程的两个实根分别为t1，t2，‎ 则由参数t的几何意义即知|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.‎ ‎3．在极坐标系中，圆C的圆心为C，半径为2.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，取相同的长度单位建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程；‎ ‎(2)设l与圆的交点为A，B，l与x轴的交点为P，求|PA|＋|PB|.‎ 解析 (1)在直角坐标系中，圆心为C(1，)，所以圆C的方程为(x－1)2＋(y－)2＝4，即x2＋y2－2x－2y＝0，‎ 化为极坐标方程得ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ＝0，‎ 即ρ＝4sin .‎ ‎(2)把代入x2＋y2－2x－2y＝0，得t2＝4，所以点A，B对应的参数分别为t1＝2，t2＝－2.‎ 令＋t＝0得点P对应的参数为t0＝－2.‎ 所以|PA|＋|PB|＝|t1－t0|＋|t2－t0|＝|2＋2|＋|－2＋2|＝2＋2＋(－2＋2)＝4.‎ ‎4．已知曲线C的参数方程是(α为参数)，‎ 直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(1)求曲线C与直线l的普通方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线C相交于P，Q两点，且|PQ|＝，求实数m的值．‎ 解析 (1)由得 ‎①2＋②2得曲线C的普通方程为x2＋(y－m)2＝1.‎ 由x＝1＋t，得t＝x－1，代入y＝4＋t，得y＝4＋2(x－1)，‎ 所以直线l的普通方程为y＝2x＋2.‎ ‎(2)圆心(0，m)到直线l的距离为d＝，‎ 所以2＋2＝1，解得m＝3或m＝1.‎ ‎5．(2016·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.　‎ ‎(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求的最小值及此时P的直角坐标．‎ 解析 (1)C1的普通方程为＋y2＝1，‎ C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.‎ ‎(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos α，sin α)．因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，‎ d(α)＝＝.‎ 当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.‎ ‎6．(2017·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(s为参数)．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．‎ 解析 直线l的普通方程为x－2y＋8＝0.‎ 因为点P在曲线C上，设P(2s2,2s)，‎ 从而点P到直线l的距离d＝＝.‎ 当s＝时，dmin＝.‎ 因此当点P的坐标为(4,4)时，曲线C上点P到直线l的距离取得最小值.‎