【数学】2019届一轮复习北师大版排列与组合学案

【数学】2019届一轮复习北师大版排列与组合学案

第55讲　排列与组合 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1.理解排列、组合的概念．‎ ‎2．能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．‎ ‎3．能用排列与组合解决简单的实际问题.‎ ‎2017·全国卷Ⅱ，6‎ ‎2017·浙江卷，16‎ ‎2016·全国卷Ⅲ，12‎ ‎2016·四川卷，4‎ 两个计数原理与排列、组合的综合问题是高考的热点，以考查基本概念、基本方法(如“含”“不含”问题、相邻问题、相间问题)为主，主要考查分类讨论思想、转化与化归思想、补集思想和逻辑思维能力.‎ 分值：5分 ‎1．排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照__一定的顺序__排成一列 组合 合成一组 ‎2．排列数与组合数 ‎(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用__A__表示．‎ ‎(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__所有不同组合__的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用__C__表示．‎ ‎3．排列数、组合数的公式及性质 公式 A＝__n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)__＝，‎ C＝＝____＝ 性质 ‎0！＝__1__，A＝__n！__，‎ C＝C，C＝__C＋C__‎ ‎1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．‎ ‎(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　×　)‎ ‎(2)A＝n(n－1)(n－2)×…×(n－m)．(　×　)‎ ‎(3)若组合式C＝C，则x＝m成立．(　×　)‎ ‎(4)排列定义规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况．也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了．(　√　)‎ ‎(5)C＋C＋C＋…＋C＝C.(　√　)‎ ‎2．用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为(　C　)‎ A．8　　 B．‎24　‎　‎ C．48　　 D．120‎ 解析 C×A＝2×4×3×2＝48.‎ ‎3．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须在A的右侧(A，B可以不相邻)，那么不同的排法共有(　B　)‎ A．24种　　 B．60种　　‎ C．90种　　 D．120种 解析 可先排C，D，E三人，共有A种，剩余A，B两人只有一种排法．故满足条件的排法共有A×1＝60种．‎ ‎4．方程‎3A＝‎2A＋‎6A的解为__5__.‎ 解析 由排列数公式可知 ‎3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)，‎ ‎∵x≥3且x∈N，∴3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)，‎ 即3x2－17x＋10＝0，(3x－2)(x－5)＝0，∴x＝5.‎ ‎5．已知－＝，则C＝__28__.‎ 解析 由已知得m的取值范围为{m|0≤m≤5，m∈Z}，‎ －＝，‎ 整理可得m2－‎23m＋42＝0，解得m＝21(舍去)或m＝2.‎ 故C＝C＝28.‎ 一　排列问题 ‎(1)‎ 对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．‎ ‎(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法．‎ ‎【例1】 (1)3名男生，4名女生，选其中5人排成一排，则有__2_520__种不同的排法．‎ ‎(2)将某大学4名大四学生安排到某城市的甲、乙、丙、丁四所中学进行教学实习，要求每所学校都分一名学生，且学生A不分到甲校，则不同的实习安排方案共有__18__种．‎ 解析 (1)问题即为从7个元素中选出5个全排出，‎ 有A＝2 520种排法．‎ ‎(2)先将A分配到乙校，再分配另外3个学生，有A种方法，同理可得，将A分配到丙丁各有A种，则共有‎3A＝18(种)．‎ 二　组合问题 ‎(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型．“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．‎ ‎(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型，考虑逆向思维，用间接法处理．‎ ‎【例2】 (1)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法的种数是(　D　)‎ A．60　　 B．‎63　‎　‎ C．65　　 D．66‎ ‎(2)要从12人中选出5人去参加一项活动，A，B，C三人必须入选，则有__36__种不同选法．‎ 解析 (1)因为1,2,3，…，9中共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，故有C＋C＋CC＝66种不同的取法．‎ ‎(2)只需从A，B，C之外的9人中选择2人，即有C＝36种选法．‎ 三　排列组合的综合问题 利用先选后排法解决问题的三个步骤 ‎【例3】 从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，‎ 组成没有重复数字的四位数的个数为(　C　)‎ A．300　　 B．216‎ C．180　　 D．162‎ 解析 分两类：第1类，不取0，即从1,2,3,4,5中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可知，共有CCA＝72(个)没有重复数字的四位数；‎ 第2类，取0，此时2和4只能取一个，再取两个奇数，组成没有重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可知，共有CC(A－A)＝108(个)没有重复数字的四位数．根据分类加法计数原理可知，满足题意的四位数共有72＋108＝180(个)．‎ 四　分组分配问题 分组分配问题的处理策略 ‎(1)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配，在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的差异．‎ ‎(2)对于相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“隔板法”．‎ ‎【例4】 (1)(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有(　D　)‎ A．12种　　 B．18种　　‎ C．24种　　 D．36种 ‎(2)(2017·浙江卷)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__660__种不同的选法(用数字作答)．‎ 解析 (1)因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作．先把4项工作分成3组，即2,1,1，有C＝6种，再分配给3个人，有A＝6种，所以不同的安排方式共有6×6＝36(种)．‎ ‎(2)分两步，第一步，选出4人，由于至少1名女生，故有C－C＝55种不同的选法；第二步，从4人中选出队长、副队长各1人，有A＝12种不同的选法．根据分步乘法计算原理知共有55×12＝660种不同的选法．‎ ‎1．从0,1,2,3,4,5这6个数字中任意取4个数字组成一个没有重复数字且能被3整除的四位数，这样的四位数有__96__个．‎ 解析 依题意，只需组成的四位数各位数字的和能被3整除．将这6个数字按照被3除和余数分类，共分为3类：{0,3}，{1,4}，{2,5}，若四位数含0，则另外3个数字分别为1,4‎ 之一，2,5之一，3，此时有CCCA＝72种；若四位数不含0，则4个数字为1,2,4,5，此时有A＝24种，由分类计数原理，这样的四位数有72＋24＝96个．‎ ‎2．“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1 458)，若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列，则第30个数为__1_359__.‎ 解析 “渐升数”由小到大排列，形如的“渐升数”共有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21个；‎ 形如的“渐升数”共有5个；‎ 形如的“渐升数”共有4个，故此时共有21＋5＋4＝30个，因此按从小到大的顺序排列的四位“渐升数”的第30个数为1 359.‎ ‎3．由0,1,2,3,4,5这六个数字组成的无重复数字的自然数，求：‎ ‎(1)有多少个含有2,3，但它们不相邻的五位数？‎ ‎(2)有多少个数字1,2,3必须由大到小顺序排列的六位数？‎ 解析 (1)先不考虑0是否在首位，0,1,4,5先排三个位置，则有A个，2,3去排四个空位，有A个，即有AA个；‎ 而0在首位时，有AA个，‎ 即有AA－AA＝252个含有2,3，但它们不相邻的五位数．‎ ‎(2)在六个位置先排0,4,5，先不考虑0是否在首位，则有A个，去掉0在首位，即有A－A个，0,4,5三个元素排在六个位置上留下了三个空位，1,2,3必须由大到小进入相应位置，并不能自由排列，所以有A－A＝100个六位数.‎ ‎4．从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数，试问：‎ ‎(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？‎ ‎(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有几个？‎ ‎(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？‎ 解析 (1)分三步完成：第一步，在4个偶数中取3个，有C种情况；第二步，在5个奇数中取4个，有C种情况；第三步，3个偶数，4个奇数进行排列，有A种情况．所以符合题意的七位数有CCA＝100 800个．‎ ‎(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有CCAA＝14 400个．‎ ‎(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有CCAAA＝5 760个．‎ 易错点　错用“隔板法”‎ 错因分析：①不熟悉“隔板”法所处理问题的两个基本特点：元素必须相同；必须保证每组至少1个元素．②当问题不具备这些特点时，不能完成转化．‎ ‎【例1】 (1)12个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种？‎ ‎(2)12个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中，要求每个盒子中的小球数不小于其编号数，问不同的放法有多少种？‎ ‎(3)12个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中，每盒可空，问不同的放法有多少种？‎ 解析 (1)将12个小球排成一排，中间11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若记作“|”看作隔板，则如图00|0000|0000|00隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1,2,3,4四个盒子相应放入2个，4个，4个，2个小球，这样每一种隔板的插法就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以不同放法有C＝165种．即每盒至少有一个小球，有165种不同放法．‎ ‎(2)先将1个，2个，3个小球分别放在编号为2,3,4的盒子中，再将余下的6个小球分别放在四个盒子中，每个盒子至少一个小球，有C＝10种放法．‎ 所以放球数不小于编号数的放法总数为C＝10种．‎ ‎(3)因为每盒可空，所以隔板之间允许无球，那么插入法就无法应用，现建立如下数学模型：添加4个球与原来的12个球排成一排，中间有15个间隔，从这15个间隔中选出3个，放上“隔板”，有C个放法，隔成4组后，再将每组中去掉一个球即可，所以，允许空盒的放法有C＝455(种)．‎ ‎【跟踪训练1】 (2016·全国卷Ⅲ)定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有‎2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤‎2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，若m＝4，则不同的“规范01数列”共有(　C　)‎ A．18个　　 B．16个　　‎ C．14个　　 D．12个 解析 当m＝4时，数列{an}共有8项，其中4项为0,4项为1，要满足对任意k≤8，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，则必有a1＝0，a8＝1，a2可为0，也可为1.(1)当a2＝0时，分以下3种情况：①若a3＝0，则a4，a5，a6，a7中任意一个为0均可，则有C＝4种情况；②若a3＝1，a4＝0，则a5，a6，a7中任意一个为0均可，有C＝3种情况；③若a3＝1，a4＝1，则a5必为0，a6，a7中任一个为0均可，有C＝2种情况；(2)当a2＝1时，必有a3‎ ‎＝0，分以下2种情况：①若a4＝0，则a5，a6，a7中任一个为0均可，有C＝3种情况；②若a4＝1，则a5必为0，a6，a7中任一个为0均可，有C＝2种情况．综上所述，不同的“规范01数列”共有4＋3＋2＋3＋2＝14个，故选C．‎ 课时达标　第55讲 ‎[解密考纲]本考点考查用排列与组合的知识解决计数问题，一般以选择题或填空题的形式出现．‎ 一、选择题 ‎1．在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有(　C　)‎ A．34种　　 B．48种　　‎ C．96种　　 D．124种 解析 设6个程序分别是A，B，C，D，E，F，A安排在第一步或最后一步，有A种方法．将B和C看作一个元素，它们自身之间有A种方法，与除A外的其他程序进行全排列，有A种方法，由分步计数原理得实验顺序的编排方法共有AAA＝96(种)，故选C．‎ ‎2．甲、乙等5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、中山大学这3所大学就读，则每所大学至少保送1人的不同保送方法种数为(　A　)‎ A．150　　 B．‎180　‎　‎ C．240　　 D．540‎ 解析 分为两类，第一类为2＋2＋1，即有2所大学分别保送2名同学，方法种数为C·C·＝90，第二类为3＋1＋1，即有1所大学保送3名同学，方法种数为C·A＝60，故不同的保送方法种数为150，故选A．‎ ‎3．在5×5的棋盘中，放入3颗黑子和2颗白子，它们均不在同一行且不在同一列，则不同的排列方法种数为(　D　)‎ A．150　　 B．‎200　‎　‎ C．600　　 D．1 200‎ 解析 首先放入3颗黑子，在5×5的棋盘中，选出三行三列，共CC种方法，然后放入3颗黑子，每一行放1颗黑子，共3×2×1种方法，然后在剩下的两行两列放2颗白子，所以不同的方法种数为CC×3×2×1×2×1＝1 200，故选D．‎ ‎4．市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有(　D　)‎ A．180种　　 B．360种 C．720种　　 D．960种 解析 按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二个号码有3种选法，其余三个号码各有4种选法．因此车牌号码可选的所有可能情况有5×3×4×4×4＝960(种)．‎ ‎5．“住房”“医疗”“教育”“养老”“就业”成为现今社会关注的五个焦点．小赵想利用国庆节假期调查一下社会对这些热点的关注度．若小赵准备按照顺序分别调查其中的4个热点，则“住房”作为其中的一个调查热点，但不作为第一个调查热点的种数为(　D　)‎ A．13　　 B．‎24　‎　‎ C．18　　 D．72‎ 解析 可分三步：第一步，先从“医疗”“教育”“养老”“就业”这4个热点中选出3个，有C种不同的选法；第二步，在调查时，“住房”安排的顺序有A种可能情况；第三步，其余3个热点调查的顺序有A种排法．根据分步乘法计数原理可得，不同调查顺序的种数为CAA＝72.‎ ‎6．2017年某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位的数字固定，后四位数从“‎0000”‎到“‎9999”‎共10 000个号码中选择．公司规定：凡卡号的后四位恰带有两个数字“‎6”‎或恰带有两个数字“‎8”‎的一律作为“金鸡卡”享受一定优惠政策．例如后四位数为“‎2663”‎或“‎8685”‎，则为“金鸡卡”，则这组号码中“金鸡卡”的张数为(　C　)‎ A．484　　 B．‎972　‎　‎ C．966　　 D．486‎ 解析 ①当后四位数中有两个“6”时，“金鸡卡”共C×9×9＝486(张)；②当后四位数中有两个“8”时，“金鸡卡”共有C×9×9＝486(张)．但这两种情况都包含了后四位数是由两个“6”和两个“8”组成的这种情况，所以要减掉C＝6(张)，即“金鸡卡”共有486×2－6＝966(张)．‎ 二、填空题 ‎7．4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒中，则恰有1个空盒的放法共有__144__种(用数字作答)．‎ 解析 4个球分成3组，每组至少1个，即分成小球个数分别为2,1,1的3组，有种，然后将3组球放入4个盒中的3个，分配方法有A种，因此，方法共有×A＝144(种)．‎ ‎8．数字1,2,3,4,5,6按如图形式随机排列，设第一行的数为N1，其中N2，N3分别表示第二、三行中的最大数，则满足N1

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