【数学】2019届一轮复习人教A版均值不等式学案

【数学】2019届一轮复习人教A版均值不等式学案

一．学习目标 ‎【学习目标】‎ 会应用不等式的基础知识通过不等式建模，分析求解与不等式相关的实际应用问题；会运用不等式的工具性探究函数与方程问题；会通过构造函数解决不等式的综合问题，从而提升思维能力．‎ 二．知识点 ‎【知识要点】‎ ‎1.不等式建模应用问题 实际问题中所涉及的变量之间、变量与常量之间存在不等关系，适合应用不等式知识建模求解；有时问题可能是函数建模后转化化归为不等式解模，此类应用问题的求解思路仍然是：理解问题⇒假设建模⇒求解模型⇒检验评价，而关键和切入点是理解问题情境，建立数学模型.‎ ‎2.不等式综合应用类型 类型1：求函数的定义域、值域、最值及单调性判定问题.‎ 类型2：讨论方程根的存在性、根的分布及根的个数等问题.‎ 类型3：探究直线与圆、圆锥曲线的位置关系，参变量取值范围，最值问题等.‎ 类型4：探究数列的递增(递减)性，前n项和的最值等问题.‎ ‎3．基本不等式 ‎(1)a2＋b2≥2ab；变式：≥ab；当且仅当a＝b时等号成立；‎ ‎(2)如果a≥0，b≥0，则≥；变式：ab≤，当且仅当a＝b时，等号成立，其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．‎ ‎4．(1)若a>0，b>0，且a＋b＝P(定值)，则由ab≤＝可知，当a＝b时，ab有最大值；‎ ‎(2)若a>0，b>0且ab＝S(定值)，则由a＋b≥2＝2可知，当a＝b时，a＋b有最小值2.‎ 三．题型方法规律总结 ‎1.不等式应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值等问题.‎ 不等式的综合题主要是不等式与函数、解析几何、数列、三角等相结合，‎ 解决这些问题的关键是找出综合题中各部分知识之间的转化化归，注意灵活应用数学思想和数学方法.‎ ‎2.建立不等式的主要途径有：利用问题的几何意义；利用判别式；利用函数的有界性；利用函数的单调性；利用均值不等式.‎ ‎3.不等式的实际应用，题源丰富，综合性强，是高考应用题命题的重点内容之一.不等式应用题大都是以函数的面目出现，以最优化的形式展现.在解题过程中涉及均值不等式，常常与集合问题，方程(组)解的讨论，函数定义域、值域的确定，函数单调性的研究，三角、数列、立体几何中的最值问题，解析几何中的直线与圆锥曲线位置关系的讨论等有着密切的关系.‎ ‎4.解答不等式的实际应用问题，一般可分为四个步骤：‎ ‎(1)审题：阅读理解材料.应用题所用语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，而且文字叙述篇幅较长，阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型.这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题的方法.‎ ‎(2)建模：建立数学模型，即根据题意找出常量与变量的不等关系.‎ ‎(3)求解：利用不等式的有关知识解题，即将数学模型转化为数学符号或图形符号.‎ ‎(4)回验：回到实际问题，作出合理的结论.‎ 四．高考题型及命题陷阱 ‎1.均值不等式配常数 例1．若圆关于直线对称，则的最小值为（ ）‎ A. 1 B. 5 C. D. 4‎ ‎【答案】D 练习1．已知，则的最小值为（ ）‎ A. 3 B. 2 C. 4 D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】，当 时等号成立，即的最小值为，故选A.‎ ‎【易错点防范】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.‎ ‎2．已知点在圆和圆的公共弦上，则的最小值为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【方法总结】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.‎ ‎3．在下列函数中，最小值为的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】选项可以是负数. 选项，等号成立时时，在定义域内无法满足. 选项，等号成立时，在实数范围内无法满足.由基本不等式知选项正确.‎ ‎2.“1”的变通 例2. 已知正数x、y满足，则的最小值是 .‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】试题分析：由（当且仅当即时等号成立）.‎ 练习1. 已知， ，且，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎2.若， ，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ‎ ‎【方法总结】：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.‎ ‎3．已知， ，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵‎ 又∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 令，则 ‎，当且仅当时取等号 ‎∴的最大值为 故答案为 ‎【易错点分析】：本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立.‎ ‎3.恒成立问题 例3. 已知不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】不等式化为：2（x﹣1）+＞﹣m﹣2，‎ ‎∵x＞1，∴2（x﹣1）+≥2×=4，当且仅当x=2时取等号．‎ ‎∵不等式对一切x∈（1，+∞）恒成立，‎ ‎∴﹣m﹣2＜4，‎ 解得m＞﹣6，‎ 故选：D．‎ ‎【方法总结】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误 练习1.若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【方法总结】：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误 ‎2.对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ 所以 ‎ 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.‎ ‎4.不等式与其它知识的综合、‎ 例4. 在中， ， ， 的交点为，过作动直线分别交线段 于两点，若， ，（ ），则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由A,M,D三点共线可知，存在实数t，使得,同理由C,M,B三点共线，存在实数m，使得,所以有 ，解得 ，所以,设，所以 ，所以 ，即 ，所以的最小值为，选D.‎ ‎【方法总结】：本题主要考查平面向量在几何中的应用，三点共线的充要条件，基本不等式的应用，属于中档题。‎ 练习1. 在中， 为的中点，点在线段（不含端点）上，且满足，若不等式对恒成立，则的最小值为（ ）‎ A. -4 B. -2 C. 2 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【方法总结】本题考查了向量共线定理、平面向量基本定理、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．在解决多元的范围或最值问题时，常用的解决方法有：多元化一元，线性规划的应用，均值不等式的应用等。‎ ‎2．已知抛物线： 的焦点为，过点分别作两条直线， ，直线与抛物线交于、两点，直线与抛物线交于、两点，若与的斜率的平方和为1，则的最小值为（ ）‎ A. 16 B. 20 C. 24 D. 32‎ ‎【答案】C ‎【解析】易知直线， 的斜率存在，且不为零，设 ，直线的方程为，联立方程，得， ，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知 ，又 （当且仅当时取等号），的最小值为，故选C.‎ ‎3.设正实数x，y， 满足x2－3xy＋4y2－ ＝0，则当取得最大值时， 的最大值为________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由x2－3xy＋4y2－ ＝0，‎ 得 ＝x2－3xy＋4y2，‎ ‎∴＝＝‎ ‎≤＝1，‎ 当且仅当x＝2y时取等号．‎ 此时 ＝2y2，‎ ‎∴＝‎ ‎＝－()2＋＝－(－1)2＋1≤1.‎ 故答案为：1‎ ‎4.．在各项都为正数的等比数列中，若，则的最小值为______．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】因为等比数列各项都为正数，所以，‎ ‎，故答案为.‎ ‎5.均值不等式的实际应用 例5．十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划. 年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产（百辆），需另投入成本 万元，且.由市场调研知，每辆车售价万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.‎ ‎（1）求出2018年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售额-成本）‎ ‎（2）2018年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.‎ ‎【答案】（1）；（2）当时，即年生产百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为万元.‎ 解析：（1）当时，‎ ‎ ；‎ 当时，‎ ‎ ；‎ ‎∴.‎ ‎（2）当时， ，‎ ‎∴当时， ；‎ 当时， ，‎ 当且仅当，即时， ；‎ ‎∴当时，即年生产百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为万元.‎ 练习1．一种设备的单价为元，设备维修和消耗费用第一年为元，以后每年增加元（是常数）.用表示设备使用的年数，记设备年平均费用为，即 (设备单价设备维修和消耗费用）设备使用的年数.‎ ‎（Ⅰ）求关于的函数关系式；‎ ‎（Ⅱ）当， 时，求这种设备的最佳更新年限.‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）15年 ‎【解析】试题分析：‎ ‎(Ⅰ)由题意可知设备维修和消耗费用构成以为首项， 为公差的等差数列，结合等差数列前n项和公式可得 ‎(Ⅱ)由题意结合均值不等式的结论有，则，当且仅当时，年平均消耗费用取得最小值，即设备的最佳更新年限是15年.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）由题意，设备维修和消耗费用构成以为首项， 为公差的等差数列，‎ 因此年维修消耗费用为 于是 ‎（Ⅱ）∵，所以 ‎， ， ‎ 当且仅当，即， 时，年平均消耗费用取得最小值 所以设备的最佳更新年限是15年 ‎【方法规律】：(1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解．‎ ‎(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解．‎ ‎2．2017年，在国家创新驱动战略下，北斗系统作为一项国家高 技工程，一个开放型的创新平台，1400多个北斗基站遍布全国，上万台套设备组成星地“一张 ”，国内定位精度全部达到亚米级，部分地区达到分米级，最高精度甚至可以达到厘米或毫米级。最近北斗三号工程耗资9万元建成一小型设备，已知这台设备从启用的第一天起连续使用，第天的维修保养费为元，使用它直至“报废最合算”（所谓“报废最合算”是指使用这台仪器的平均每天耗资最少）为止，一共使用了多少天，平均每天耗资多少钱？‎ ‎【答案】使用600天，平均每天耗资。‎ ‎3．设某单位用2160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为层，则每平方米的平均建筑费用为 (单位：元)．‎ ‎(1)写出楼房每平方米的平均综合费用关于建造层数的函数关系式；‎ ‎(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？‎ ‎(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)‎ ‎【答案】（1）y＝560＋48x＋ (x≥10，x∈N*)；（2）该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2000元.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由已知得，楼房每平方米的平均综合费为每平方米的平均建筑费用为560+48x与平均地皮费用的和，由已知中某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋x层，每层2000平方米的楼房，我们易得楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；（2）由（1）中的楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式，要求楼房每平方米的平均综合费用最小值，利用基本不等式，求最小值． ‎ 试题解析：‎ ‎(1)依题意得y＝(560＋48x)＋‎ ‎＝560＋48x＋(x≥10，x∈N*)．‎ ‎(2)∵x>0，∴48x＋≥2＝1440，‎ 当且仅当48x＝，即x＝15时取到“＝”，‎ 此时，平均综合费用的最小值为560＋1440＝2000(元)．‎ ‎∴当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2000元．‎ ‎【解题方法总结】：函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．‎ ‎4．服装厂拟在2017年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用（）万元满足.已知年生产该产品的固定投入为万元，每生产万件该产品需要投入万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.‎ ‎（1）将2017年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；‎ ‎（2）该服装厂2017年的促销费用投入多少万元时，利润最大？‎ ‎【答案】（1）（）；（2）见解析 ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由题意知：每件产品的销售价格为，即可表示出利润关于促销费用的函数关系式.‎ ‎（2）由（1）中的函数关系式，利用基本不等式求最值，即可得出2017年促销费用多少时，利润最大.‎ 试题解析：‎ 当时，当时， 有最大值；‎ 当时，易证关于为增函数，所以时， 有最大值；‎ 答：当时，该服装厂2017年的促销费用投入万元时，利润最大；‎ 当时，该服装厂2017年的促销费用投入万元时，利润最大.‎ ‎5．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100（单位：千米/时）．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．‎ ‎（1）求这次行车总费用y关于x的表达式；‎ ‎（2）当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．‎ ‎【答案】(1) ，x∈[50，100];(2) 详见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意，总费用包含汽油价格和司机工资，所以可以写出表达式，x∈[50，100]；（2）为对勾函数，则当且仅当，等号成立，解得。‎ 试题解析：‎ ‎（1）设所用时间为，则 ‎，‎ x∈[50，100]．‎ 所以这次行车总费用y关于x的表达式是 ‎，x∈[50，100]．（或，x∈[50，100]．‎ ‎（2），‎ 当且仅当，‎ 即时，等号成立．‎ 故当千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为元．‎ ‎6．已知关于x不等式x2﹣2mx+m+2<0（m∈R）的解集为M．‎ ‎（1）当M为空集时，求m的取值范围；‎ ‎（2）在（1）的条件下，求的最大值；‎ ‎（3）当M不为空集，且M [1，4]时，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】(1) 实数m的取值范围为（﹣1，2）;(2) 的最小值为 ;(3)‎ ‎ a的取值范围为.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1） 为空集时 ，由此求出 的取值范围； (2) 由（1）知 ，则 函数化为 ,利用基本不等式可求出其最大值 ‎（3）设，讨论M为空集和M不为空集时，利用判别式，结合图象求出实数m的取值范围．‎ 试题解析：（1）∵M为空集，‎ ‎∴△=4m2﹣4（m+2）＜0，即m2﹣m﹣2＜0‎ ‎∴实数m的取值范围为（﹣1，2）.‎ ‎（2）由（1）知m∈（﹣1，2），则m+1>0，‎ ‎ ∴f(m)= ‎ ‎ 即f(m)= 当且仅当，即时取等号.‎ ‎ 所以 ‎（3）令f（x）=x2﹣2ax+a+2=（x﹣a）2﹣a2+a+2，‎ 当M不为空集时，由M⊆[1，4]，得 ‎．综上，实数a的取值范围为 ‎7．若函数f(x)＝tx2－(22t＋60)x＋144t(x＞0)．‎ ‎(1)要使f(x)≥0恒成立，求t的最小值；‎ ‎(2)令f(x)＝0，求使t＞20成立的x的取值范围．‎ ‎【答案】（1）30；（2）(9，16).‎ ‎【解析】试题分析：（1）)因为x2－22x＋144＞0，所以要使不等式f(x)≥0恒成立，即tx2－(22t＋60)x＋144t≥0(x＞0)恒成立，等价于t≥ (x＞0)恒成立，求函数最值即可；‎ ‎（2）由f(x)＝0，得t=，即可解＞20即可.‎ 试题解析：‎ ‎(1)因为x2－22x＋144＞0，所以要使不等式f(x)≥0恒成立，即tx2－(22t＋60)x＋144t≥0(x＞0)恒成立，等价于t≥ (x＞0)恒成立，‎ 由＝≤＝30(x＞0)，‎ 当且仅当x＝，即x＝12时，等号成立，‎ 所以当t≥30时，不等式tx2－(22t＋60)x＋144t≥0恒成立，t的最小值为30.‎ ‎(2)由t＞20，得＞20，整理得x2－25x＋144＜0，即(x－16)(x－9)＜0，解得9＜x＜16，所以使t＞20成立的x的取值范围为(9，16).‎ ‎6.函数与不等式 例6. 若不等式对任意， 恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 练习1．已知函数f（x）=ln，若f（）+f（）+…+f（）=503（a+b），则a2+b2的最小值为（ ）‎ A. 6 B. 8 C. 9 D. 12‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可得，所以f（）+f（）+…+f（）=2012=503（a+b），所以，由均值不等式，得，等号成立条件为.选B.‎ ‎2．若函数，若对任意不同的实数、、，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【方法总结】本题主要考查函数的最大值和最小值，考查对于新概念或定义的理解.解题的突破口在于“对任意不同的实数、、，不等式恒成立”既然是恒成立，也就是左边相加要比右面的最大值还要大，合起来就是要最小值的两倍，比最大值还要大.根据这个分析利用分类讨论，结合基本不等式来求.‎ ‎3.已知函数，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】∵，‎ ‎∴，故．‎ ‎∴，当且仅当，即时等号成立．‎ ‎∴的最小值为3.‎ 答案： ‎ ‎4．已知为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】的导数为，由切线的方程得切线的斜率为，可得，所以切点的横坐标为，切点为，代入，得为正实数，则，当且仅当 时，等号成立， 的最小值为，故答案为.‎ ‎【易错点防范】本题主要考查导数的几何意义以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.‎ ‎5.设函数对任意不等式恒成立，则正数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】对任意，不等式恒成立，则等价为 恒成立， ，当且仅当，即时取等号，即的最小值是，由，则，由得，此时函数为增函数，由得，此时函数为减函数，即当时， 取得极大值同时也是最大值，则的最大值为，则由，得，即，则，故答案为.‎ ‎6.已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求函数的单调区间；‎ ‎(Ⅱ)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）f(x)在(－∞，－ )上单调递减，在(－， )上单调递增，在(，＋∞)上单调递减；（2）实数m的取值范围为[1，＋∞).‎ ‎ (Ⅱ)令， ，‎ 由已知可得，即，下面只要考虑的情况即可．‎ g′(x)＝(2－x2)ex－1－m，令h(x)＝(2－x2)ex－1－m，则h′(x)＝－(x2＋2x－2)ex－1，‎ 因为x≥1，所以x2＋2x－2>0，所以h′(x)<0，‎ 所以h(x)在[1，＋∞)上单调递减，即g′(x)在[1，＋∞)上单调递减，则g′(x)≤g′(1)＝1－m.‎ ‎①当1－m≤0，即m≥1时，此时g′(x)≤0，所以g(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以g(x)≤g(1)＝0，满足条件；‎ ‎②当1－m>0，即－1≤m<1时，此时g′(1)>0，g′(2)＝－2e－m<0，所以存在x0∈(1，2)，使得g′(x0)＝0，则当10；‎ 当x>x0时，g′(x)<0，所以g(x)在[1，x0]上单调递增，在(x0，＋∞)上单调递减，‎ 所以当x∈[1，x0]时，g(x)≥g(1)＝0，此时不满足条件．‎ 综上所述，实数m的取值范围为．‎ ‎7．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）当时，设斜率为的直线与曲线交于、两点，求证： .‎ ‎【答案】(Ⅰ)见解析；（Ⅱ）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：⑴推导，讨论时， 时这两种情况，即可求得的单调性；‎ 解析：（Ⅰ） ‎ 当时， 在上是增函数； ‎ 当时，由，得（取正根）， ‎ 在区间内， 是增函数；在区间内， 是减函数．‎ 综上，当时， 的增区间为，没有减区间；‎ 当时， 的减区间是，增区间是．‎ ‎（Ⅱ）当时， ， ‎ ‎ ‎ 设，∵ ，∴‎ ‎∴ ‎ 设 ‎ ‎ 设，则 ‎∴当时， 恒成立，‎ ‎∴当时， 为增函数，∴ ‎ ‎∴当时， 恒成立，‎ ‎∴当时， 为增函数，‎ ‎∴当时， ‎ ‎∴‎ ‎【方法总结】：本题考查了运用导数求单调区间及证明不等式成立，在证明不等式的时候需要进行转化，将斜率表示为两点的坐标形式，然后化简构造，这一步骤很关键，将二元转化为一元，然后利用导数解答，即可证明 ‎8．已知函数.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调区间；‎ ‎(2)求证：x>1时， .‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 试题解析：‎ ‎（1）依题意知函数的定义域为，因为，故，‎ 所以函数的单调增区间为.‎ ‎（2）证明：设 ‎ ‎∴g′(x)＝2x2－x－，‎ ‎∵当x>1时，g′(x)＝>0，‎ ‎∴g(x)在(1，＋∞)上为增函数，‎ ‎∴g(x)> g(1)＝>0，‎ ‎∴当x>1时， x2＋ln x

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