2018年上海市闵行区高考数学一模试卷

2018年上海市闵行区高考数学一模试卷

‎2018年上海市闵行区高考数学一模试卷 ‎　‎ 一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）‎ ‎1．（4分）集合P={x|0≤x＜3，x∈Z}，M={x|x2≤9}，则P∩M=　 　．‎ ‎2．（4分）计算=　 　．‎ ‎3．（4分）方程的根是　 　．‎ ‎4．（4分）已知是纯虚数（i是虚数单位），则=　 　．‎ ‎5．（4分）已知直线l的一个法向量是，则l的倾斜角的大小是　 　．‎ ‎6．（4分）从4名男同学和6名女同学中选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的不同选法种数是　 　（用数字作答）‎ ‎7．（5分）在（1+2x）5的展开式中，x2项系数为　 　（用数字作答）‎ ‎8．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=BB1，则异面直线A1B与B1C1所成角的大小是　 　（结果用反三角函数表示）‎ ‎9．（5分）已知数列{an}、{bn}满足bn=lnan，n∈N*，其中{bn}是等差数列，且，则b1+b2+…+b1009=　 　．‎ ‎10．（5分）如图，向量与的夹角为120°，，，P是以O为圆心，为半径的弧上的动点，若，则λμ的最大值是　 　．‎ ‎11．（5分）已知F1、F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F1且倾斜角为30°的直线交双曲线的右支于P，若PF2⊥F1F2，则该双曲线的渐近线方程是　 　．‎ ‎12．（5分）如图，在折线ABCD中，AB=BC=CD=4，∠ABC=∠BCD=120°，E、F分别是AB、CD的中点，若折线上满足条件的点P至少有4个，则实数k的取值范围是　 　．‎ ‎　‎ 二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）若空间中三条不同的直线l1、l2、l3，满足l1⊥l2，l2∥l3，则下列结论一定正确的是（　　）‎ A．l1⊥l3 B．l1∥l3‎ C．l1、l3既不平行也不垂直 D．l1、l3相交且垂直 ‎14．（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（　　）‎ A．ad＞bc B．ad＜bc C．ac＞bd D．ac＜bd ‎15．（5分）无穷等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn（n∈N*），则“a1+d＞0”是“{Sn}为递增数列”的（　　）条件．‎ A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 ‎16．（5分）已知函数（n＜m）的值域是[﹣1，1]，有下列结论：‎ ‎①当n=0时，m∈（0，2]；‎ ‎②当时，；‎ ‎③当时，m∈[1，2]；‎ ‎④当时，m∈（n，2]；‎ 其中结论正确的所有的序号是（　　）‎ A．①② B．③④ C．②③ D．②④‎ ‎　‎ 三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）‎ ‎17．（14分）已知函数（其中ω＞0）．‎ ‎（1）若函数f（x）的最小正周期为3π，求ω的值，并求函数f（x）的单调递增区间；‎ ‎（2）若ω=2，0＜α＜π，且，求α的值．‎ ‎18．（14分）如图，已知AB是圆锥SO的底面直径，O是底面圆心，，AB=4，P是母线SA的中点，C是底面圆周上一点，∠AOC=60°．‎ ‎（1）求圆锥的侧面积；‎ ‎（2）求直线PC与底面所成的角的大小．‎ ‎19．（14分）某公司举办捐步公益活动，参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶，再将牛奶捐赠给留守儿童，此活动不但为公益事业作出了较大的贡献，公司还获得了相应的广告效益，据测算，首日参与活动人数为10000人，以后每天人数比前一天都增加15%，30天后捐步人数稳定在第30天的水平，假设此项活动的启动资金为30万元，每位捐步者每天可以使公司收益0.05元（以下人数精确到1人，收益精确到1元）．‎ ‎（1）求活动开始后第5天的捐步人数，及前5天公司的捐步总收益；‎ ‎（2）活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余？‎ ‎20．（16分）已知椭圆的右焦点是抛物线Γ：y2=2px的焦点，直线l与Γ相交于不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2）．‎ ‎（1）求Γ的方程；‎ ‎（2）若直线l经过点P（2，0），求△OAB的面积的最小值（O为坐标原点）；‎ ‎（3）已知点C（1，2），直线l经过点Q（5，﹣2），D为线段AB的中点，求证：|AB|=2|CD|．‎ ‎21．（18分）对于函数y=f（x）（x∈D），如果存在实数a、b（a≠0，且a=1，b=0不同时成立），使得f（x）=f（ax+b）对x∈D恒成立，则称函数f（x）为“（a，b）映像函数”．‎ ‎（1）判断函数f（x）=x2﹣2是否是“（a，b）映像函数”，如果是，请求出相应的a、b的值，若不是，请说明理由；‎ ‎（2）已知函数y=f（x）是定义在[0，+∞）上的“（2，1）映像函数”，且当x∈[0，1）时，f（x）=2x，求函数y=f（x）（x∈[3，7））的反函数；‎ ‎（3）在（2）的条件下，试构造一个数列{an}，使得当x∈[an，an+1）（n∈N*）时，2x+1∈[an+1，an+2），并求x∈[an，an+1）（n∈N*）时，函数y=f（x）的解析式，及y=f（x）（x∈[0，+∞））的值域．‎ ‎　‎ ‎2018年上海市闵行区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）‎ ‎1．（4分）集合P={x|0≤x＜3，x∈Z}，M={x|x2≤9}，则P∩M=　{0，1，2}　．‎ ‎【解答】解：∵集合P={x|0≤x＜3，x∈Z}={0，1，2}，‎ M={x|x2≤9}={x|﹣3≤x≤3}，‎ ‎∴P∩M={0，1，2}．‎ 故答案为：{0，1，2}．‎ ‎　‎ ‎2．（4分）计算=　　．‎ ‎【解答】解：===，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎3．（4分）方程的根是　10　．‎ ‎【解答】解：∵，即1+lgx﹣3+lgx=0，‎ ‎∴lgx=1，‎ ‎∴x=10．‎ 故答案为：10．‎ ‎　‎ ‎4．（4分）已知是纯虚数（i是虚数单位），则=　　．‎ ‎【解答】解：∵是纯虚数，‎ ‎∴，得sin且cos，‎ ‎∴α为第二象限角，则cos．‎ ‎∴=sinαcos+cosαsin=．‎ 故答案为：﹣．‎ ‎　‎ ‎5．（4分）已知直线l的一个法向量是，则l的倾斜角的大小是　　．‎ ‎【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．‎ 设直线的方向向量为=（x，y），则=x﹣y=0，‎ ‎∴tanθ==，解得θ=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎6．（4分）从4名男同学和6名女同学中选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的不同选法种数是　96　（用数字作答）‎ ‎【解答】解：根据题意，在4名男同学和6名女同学共10名学生中任取3人，有C103=120种，‎ 其中只有男生的选法有C43=4种，只有女生的选法有C63=20种 则选出的3人中男女同学都有的不同选法有120﹣4﹣20=96种；‎ 故答案为：96．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）在（1+2x）5的展开式中，x2项系数为　40　（用数字作答）‎ ‎【解答】解：设求的项为Tr+1=C5r（2x）r，‎ 今r=2，‎ ‎∴T3=22C52x2=40x2．‎ ‎∴x2的系数是40‎ ‎　‎ ‎8．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=BB1，则异面直线A1B与B1C1所成角的大小是　arccos　（结果用反三角函数表示）‎ ‎【解答】解：∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=BB1，‎ BC∥B1C1，‎ ‎∴∠A1BC是异面直线A1B与B1C1所成角，‎ ‎∵A1B===5，‎ A1C===，‎ ‎∴cos∠A1BC===．‎ ‎∴∠A1BC=arccos．‎ ‎∴异面直线A1B与B1C1所成角的大小是arccos．‎ 故答案为：arccos．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）已知数列{an}、{bn}满足bn=lnan，n∈N*，其中{bn}是等差数列，且，则b1+b2+…+b1009=　2018　．‎ ‎【解答】解：数列{an}、{bn}满足bn=lnan，n∈N*，其中{bn}是等差数列，‎ ‎∴bn+1﹣bn=lnan+1﹣lnan=ln=常数t．‎ ‎∴=常数et=q＞0，‎ 因此数列{an}为等比数列．‎ 且，‎ ‎∴a1a1009=a2a1008==…．‎ 则b1+b2+…+b1009=ln（a1a2…a1009）==lne2018=2018．‎ 故答案为：2018．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）如图，向量与的夹角为120°，，，P是以O为圆心，为半径的弧上的动点，若，则λμ的最大值是　　．‎ ‎【解答】解：如图建立平面直角坐标系，设P（cosθ，sinθ），‎ ‎，，．‎ ‎∵，∴，sinθ=．‎ ‎∴，‎ ‎∴λμ=﹣+=+，‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎11．（5分）已知F1、F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F1且倾斜角为30°的直线交双曲线的右支于P，若PF2⊥F1F2，则该双曲线的渐近线方程是　y=±x　．‎ ‎【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，‎ 在直角△PF1F2中，∠PF1F2=30°，‎ 可得m=2n，‎ 则m﹣n=2a=n，即a=n，‎ ‎2c=n，即c=n，‎ b==n，‎ 可得双曲线的渐近线方程为y=±x，‎ 即为y=±x，‎ 故答案为：y=±x．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）如图，在折线ABCD中，AB=BC=CD=4，∠ABC=∠BCD=120°，E、F分别是AB、CD的中点，若折线上满足条件的点P至少有4个，则实数k的取值范围是　（﹣，﹣2）　．‎ ‎【解答】‎ 解：以BC的垂直平分线为y轴，以BC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，‎ ‎∵AB=BC=CD=4，∠ABC=∠BCD=120°，‎ ‎∴B（﹣2.0），C（2，0），A（﹣4，2），D（4，2），‎ ‎∵E、F分别是AB、CD的中点，‎ ‎∴E（﹣3，），F（3，），‎ 设P（x，y），﹣4≤x≤4，0≤y≤2，‎ ‎∵，‎ ‎∴（﹣3﹣x，﹣y）（3﹣x，﹣y）=x2+（y﹣）+9=k，‎ 即x2+（y﹣）﹣9=k+9，‎ 当k+9＞0时，点P的轨迹为以（0，）为圆心，以为半径的圆，‎ 当圆与直线DC相切时，此时圆的半径r=，此时点有2个，‎ 当圆经过点C时，此时圆的半径为r==，此时点P有4个，‎ ‎∵满足条件的点P至少有4个，结合图象可得，‎ ‎∴＜k+9＜7，‎ 解得﹣＜k＜﹣2，‎ 故实数k的取值范围为（﹣，﹣2），‎ 故答案为：（﹣，﹣2）‎ ‎　‎ 二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）若空间中三条不同的直线l1、l2、l3，满足l1⊥l2，l2∥l3，则下列结论一定正确的是（　　）‎ A．l1⊥l3 B．l1∥l3‎ C．l1、l3既不平行也不垂直 D．l1、l3相交且垂直 ‎【解答】解：∵空间中三条不同的直线l1、l2、l3，满足l1⊥l2，l2∥l3，‎ ‎∴l1⊥l3，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（　　）‎ A．ad＞bc B．ad＜bc C．ac＞bd D．ac＜bd ‎【解答】解：∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0．‎ 又a＞b＞0，‎ 则一定有﹣ac＞﹣bd，可得ac＜bd．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）无穷等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn（n∈N*），则“a1+d＞0”是“{Sn}为递增数列”的（　　）条件．‎ A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 ‎【解答】解：等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn=na1+d，‎ 则Sn+1=（n+1）a1+，‎ 则Sn+1﹣Sn=（n+1）a1+﹣na1﹣d=a1+nd，‎ 若{Sn}为递增数列，a1+nd＞0，‎ ‎∵S2﹣S1=a1+d＞0，‎ ‎∴a1+nd＞0不能推出a1+d＞0‎ 但a1+d能推出a1+nd，‎ 故a1+d＞0”是“{Sn}为递增数列必要非充分，‎ 故选：B ‎　‎ ‎16．（5分）已知函数（n＜m）的值域是[﹣1，1]，有下列结论：‎ ‎①当n=0时，m∈（0，2]；‎ ‎②当时，；‎ ‎③当时，m∈[1，2]；‎ ‎④当时，m∈（n，2]；‎ 其中结论正确的所有的序号是（　　）‎ A．①② B．③④ C．②③ D．②④‎ ‎【解答】解：当x＞1时，x﹣1＞0，f（x）=22﹣x+1﹣3=23﹣x﹣3，单调递减，‎ 当﹣1＜x＜1时，f（x）=22+x﹣1﹣3=21+x﹣3，单调递增，‎ ‎∴f（x）=22﹣|x﹣1|﹣3在（﹣1，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，‎ ‎∴当x=1时，取最大值为1，‎ ‎∴绘出f（x）的图象，如图：‎ ‎①当n=0时，f（x）=，‎ 由函数图象可知：‎ 要使f（x）的值域是[﹣1，1]，‎ 则m∈（1，2]；故①错误；‎ ‎②当时，f（x）=，‎ f（x）在[﹣1，]单调递增，f（x）的最大值为1，最小值为﹣1，‎ ‎∴；故②正确；‎ ‎③当时，m∈[1，2]；故③正确，④错误，‎ 故选C．‎ ‎　‎ 三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）‎ ‎17．（14分）已知函数（其中ω＞0）．‎ ‎（1）若函数f（x）的最小正周期为3π，求ω的值，并求函数f（x）的单调递增区间；‎ ‎（2）若ω=2，0＜α＜π，且，求α的值．‎ ‎【解答】解：（1）函数=sin（ωx），‎ ‎∵函数f（x）的最小正周期为3π，即T=3π=‎ ‎∴ω=‎ 那么：，‎ 由，k∈Z，‎ 得：‎ ‎∴函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z；‎ ‎（2）函数=sin（ωx），‎ ‎∵ω=2‎ ‎∴f（x）=sin（2x），‎ ‎，可得sin（2α）=‎ ‎∵0＜α＜π，‎ ‎∴≤（2α）≤‎ ‎2α=或 解得：α=或α=．‎ ‎　‎ ‎18．（14分）如图，已知AB是圆锥SO的底面直径，O是底面圆心，，AB=4，P是母线SA的中点，C是底面圆周上一点，∠AOC=60°．‎ ‎（1）求圆锥的侧面积；‎ ‎（2）求直线PC与底面所成的角的大小．‎ ‎【解答】解：（1）∵AB是圆锥SO的底面直径，O是底面圆心，，AB=4，‎ P是母线SA的中点，C是底面圆周上一点，∠AOC=60°．‎ ‎∴r==2，l===4，‎ ‎∴圆锥的侧面积S=πrl=π×2×4=8π．‎ ‎（2）过点P作PE⊥圆O，交AO于E，连结CE，则E是AO中点，‎ ‎∴PE=PO=，CE==，‎ ‎∴∠PCE是直线PC与底面所成角，‎ ‎∵PE=CE，PE⊥CE，∴，‎ ‎∴直线PC与底面所成的角为．‎ ‎　‎ ‎19．（14分）某公司举办捐步公益活动，参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶，再将牛奶捐赠给留守儿童，此活动不但为公益事业作出了较大的贡献，公司还获得了相应的广告效益，据测算，首日参与活动人数为10000人，以后每天人数比前一天都增加15%，30天后捐步人数稳定在第30天的水平，假设此项活动的启动资金为30万元，每位捐步者每天可以使公司收益0.05元（以下人数精确到1人，收益精确到1元）．‎ ‎（1）求活动开始后第5天的捐步人数，及前5天公司的捐步总收益；‎ ‎（2）活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余？‎ ‎【解答】解：（1）设第x天的捐步人数为x，则f（x）=．‎ ‎∴第5天的捐步人数为f（5）=10000•（1+15%）4=17490．‎ 由题意可知前5天的捐步人数成等比数列，其中首项为10000，公比为1.15，‎ ‎∴前5天的捐步总收益为×0.05=3371；‎ ‎（2）设活动第x天后公司捐步总收益可以回收并有盈余，‎ ‎①若1≤x≤30，则×0.05＞300000，‎ 解得x＞log1.1591≈32.3（舍）．‎ ‎②若x＞30，则[+10000•1.1529•（x﹣30）]•0.05＞300000，‎ 解得x＞32.87．‎ ‎∴活动开始后第33天公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余．‎ ‎　‎ ‎20．（16分）已知椭圆的右焦点是抛物线Γ：y2=2px的焦点，直线l与Γ相交于不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2）．‎ ‎（1）求Γ的方程；‎ ‎（2）若直线l经过点P（2，0），求△OAB的面积的最小值（O为坐标原点）；‎ ‎（3）已知点C（1，2），直线l经过点Q（5，﹣2），D为线段AB的中点，求证：|AB|=2|CD|．‎ ‎【解答】（1）解：由椭圆，得a2=10，b2=9，则c=1．‎ ‎∴椭圆的右焦点，即抛物线Γ：y2=2px的焦点为（1，0），‎ 则，p=2，‎ ‎∴Γ的方程为y2=4x；‎ ‎（2）解：设直线l：x=my+2，‎ 联立，得y2﹣4my﹣8=0．‎ 则y1+y2=4m，y1y2=﹣8．‎ ‎∴==，‎ 即△OAB的面积的最小值为；‎ ‎（3）证明：当AB所在直线斜率存在时，设直线方程为y+2=k（x﹣5），即y=kx﹣5k﹣2．‎ 联立，可得ky2﹣4y﹣20k﹣8=0．‎ ‎，．‎ ‎=．‎ ‎=‎ ‎==．‎ ‎∵C（1，2），‎ ‎∴，，‎ 则=（x1﹣1）（x2﹣1）+（y1﹣2）（y2﹣2）=x1x2﹣（x1+x2）+1+y1y2﹣2（y1+y2）+4‎ ‎=，‎ 当AB所在直线斜率不存在时，直线方程为x=5，‎ 联立，可得A（5，﹣），B（5，2），‎ ‎，，有，‎ ‎∴CA⊥CB，又D为线段AB的中点，∴|AB|=2|CD|．‎ ‎　‎ ‎21．（18分）对于函数y=f（x）（x∈D），如果存在实数a、b（a≠0，且a=1，b=0不同时成立），使得f（x）=f（ax+b）对x∈D恒成立，则称函数f（x）为“（a，b）映像函数”．‎ ‎（1）判断函数f（x）=x2‎ ‎﹣2是否是“（a，b）映像函数”，如果是，请求出相应的a、b的值，若不是，请说明理由；‎ ‎（2）已知函数y=f（x）是定义在[0，+∞）上的“（2，1）映像函数”，且当x∈[0，1）时，f（x）=2x，求函数y=f（x）（x∈[3，7））的反函数；‎ ‎（3）在（2）的条件下，试构造一个数列{an}，使得当x∈[an，an+1）（n∈N*）时，2x+1∈[an+1，an+2），并求x∈[an，an+1）（n∈N*）时，函数y=f（x）的解析式，及y=f（x）（x∈[0，+∞））的值域．‎ ‎【解答】解：（1）由f（x）=x2﹣2，可得f（ax+b）=（ax+b）2﹣2=a2x2+2abx+b2﹣2，‎ 由f（x）=f（ax+b），得x2﹣2=a2x2+2abx+b2﹣2，‎ 则，∵a≠0，且a=1，b=0不同时成立，‎ ‎∴a=﹣1，b=0．‎ ‎∴函数f（x）=x2﹣2是“（﹣1，0）映像函数”；‎ ‎（2）∵函数y=f（x）是定义在[0，+∞）上的“（2，1）映像函数”，‎ ‎∴f（x）=f（2x+1），则f（0）=f（1）=f（3），f（1）=f（3）=f（7），‎ ‎∴f（0）=f（3），f（1）=f（7），‎ 而当x∈[0，1）时，f（x）=2x，‎ ‎∴x∈[3，7）时，设f（x）=2sx+t，‎ 由，解得s=，t=﹣．‎ ‎∴x∈[3，7）时，f（x）=．‎ 令y=（3≤x＜7），得，‎ ‎∴x=（1≤y＜2），‎ ‎∴函数y=f（x）（x∈[3，7））的反函数为y=（1≤x＜2）；‎ ‎（3）由（2）可知，构造数列{an}，满足a1=0，an+1=2an+1，‎ 则an+1+1=2（an+1），‎ ‎∴数列{an+1}是以1为首项，以2为公比的等比数列，‎ 则，即．‎ 当x∈[an，an+1）=[2n﹣1﹣1，2n﹣1）．‎ 令，解得s=21﹣n，t=21﹣n﹣1．‎ ‎∴x∈[an，an+1）（n∈N*）时，函数y=f（x）的解析式为f（x）=．‎ 当x∈[0，+∞）时，函数f（x）的值域为[1，2）．‎ ‎　‎