2019-2020学年湖北省宜昌市葛洲坝中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年湖北省宜昌市葛洲坝中学高一上学期期中数学试题（解析版）

‎2019-2020学年湖北省宜昌市葛洲坝中学高一上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．设集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】对于集合M，分n=2k和n=2k-1，k∈Z两种情况讨论即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 对于M，当n=2k，k∈Z时， x=4k-1∈M，x=4k-1∈N， 当n=2k-1，k∈Z时， x=4k-3∈M，x=4k-3N， ∴集合M、N的关系为N⊆M． 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的是判断集合间的关系，在处理集合间的关系时，应该理解和掌握子集和真子集的定义，注意空集在解题时的应用.‎ ‎2．图中阴影表示的集合是（ ）.‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据图中阴影部分直接求集合的运算.‎ ‎【详解】‎ 图中阴影是集合的公共部分，但不包含集合中的元素，‎ 阴影部分表示为.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查了韦恩图的识别，将图象转化为集合的运算是关键.‎ ‎3．下列各组函数中，与相等的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】中，，对应关系不相同，不表示相同的函数；‎ 中，，值域不相同，不是相同的函数；‎ 中，的定义域为的定义域为定义域不同，不表示相同函数；‎ D中，，，定义域、值域、对应关系都相同，与是同一个函数，故选D.‎ ‎4．若函数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得出函数在上的周期为，由此得出，代入即可得出的值.‎ ‎【详解】‎ 因为函数，当时，，‎ 所以，故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抽象函数求值，在求函数值时，若自变量绝对值较大，一般要求结合周期性来进行计算，解题时要结合函数的定义域选择合适的解析式进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎5．已知，且，则等于(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】令，即可求出，由即可求出 ‎【详解】‎ 令，得，所以，故选A。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查赋值法的应用。‎ ‎6．若，则的值为（ ）‎ A．0 B．1 C．-1 D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据集合相等的性质,分情况和讨论,再计算即可.‎ ‎【详解】‎ 由题,若,则解得,又由集合的互异性,,故；‎ 当时, 也满足题意.所以.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的互异性,注意分情况讨论与验证结果是否满足题目条件.‎ ‎7．已知函数，则 A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数 ‎【答案】A ‎【解析】分析：讨论函数的性质，可得答案.‎ 详解：函数的定义域为，且 ‎ 即函数 是奇函数，‎ 又在都是单调递增函数，故函数 在R上是增函数。‎ 故选A.‎ 点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题.‎ ‎8．设，则的大小关系是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意利用指数函数的性质和对数函数的性质确定a,b,c的范围即可比较其大小关系.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知：，则：.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查对数函数的性质，指数函数的性质，实数比较大小的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎9．已知，若在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为函数f(x)在(−∞,+∞)上是增函数，‎ 所以f(x)在(−∞,1)，(1,+∞)上均单调递增，且−12+2a×1⩽(2a−1)×1−3a+6，‎ 故有，解得1⩽a⩽2.‎ 所以实数a的取值范围是[1,2].‎ 故选B ‎ 点睛：分段函数在R上单调递增，则满足条件：（1）在上单调递增，在上单调递增；（2）；同样分段函数在R上单调递减处理方法同上.‎ ‎10．函数的图象大致为（）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据函数的解析式，得到，所以函数为偶函数，图象关于对称，排除B、C；再由函数的单调性，排除A，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，可得，‎ 即，所以函数为偶函数，图象关于对称，排除B、C；‎ 当时，，则＞0，‎ 所以函数在上递增，排除A，‎ 故选.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的奇偶性与函数单调性的应用，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和单调性，进行合理排除是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎11．已知奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意，由奇函数的性质可得，结合函数的单调性分析可得与的解集，又由或，分析可得x的取值范围，即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：根据题意，为奇函数且，则，又由在上单调递减，则在上，，在上，,‎ 又由为奇函数，则在上，，在上，，‎ 则的解集为的解集为；‎ 或，‎ 分析可得：或，‎ 故不等式的解集为；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析与的解集，属于基础题．‎ ‎12．当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是( )‎ A．(−1,2) B．(−4,3) C．(−2,1) D．(−3,4)‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得m2﹣m＜=在x∈（﹣∞，﹣1]时恒成立，则只要m2﹣m＜‎ 的最小值，然后解不等式可m的范围．‎ ‎【详解】‎ ‎∵（m2﹣m）4x﹣2x＜0在x∈（﹣∞，﹣1]时恒成立，‎ ‎∴m2﹣m＜=在x∈（﹣∞，﹣1]时恒成立，‎ 由于f（x）=在x∈（﹣∞，﹣1]时单调递减，‎ ‎∵x≤﹣1，∴f（x）≥2，∴m2﹣m＜2，‎ ‎∴﹣1＜m＜2，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的恒成立问题m≤f（x）恒成立⇔m≤f（x）得最小值（m≥f（x）恒成立⇔m≥f（x）的最大值），体现出函数恒成立与最值的相互转化．‎ 二、填空题 ‎13．函数的定义域为______ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据分式分母不为零、被开方数大于等于零、对数的真数大于零列出不等式求解定义域.‎ ‎【详解】‎ 中有：，解得.所以函数的定义域为.‎ ‎【点睛】‎ 常见的定义域求解：（1）分式分母不为零；（2）被开方数大于等于零；（3）对数式的真数大于零；（4）中.‎ ‎14．函数的最小值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先判断函数单调递增，再根据定义域直接求解即可．‎ ‎【详解】‎ 由于t=单调递增，y=2x单调递增，则f（x）单调递增，‎ 又 ‎∴x＝时，函数有最小值，无最大值 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用单调性法求解函数的值域，解题的关键是利用单调性的性质判断函数的单调性，属于基础题．‎ ‎15．函数的单调递增区间是_________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设 ， 或 ‎ ‎ 为增函数，在为增函数，根据复合函数单调性“同增异减”可知：函数 的单调递增区间是.‎ ‎16．已知函数，则满足的实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 是单调递增函数，并且当时，，所以只需满足，求解.‎ ‎【详解】‎ 要使，则 ，解得.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据分段函数的单调性，解抽象不等式，中档题型.‎ 三、解答题 ‎17．计算：（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）；（2）4‎ ‎【解析】由指数幂的运算和对数运算即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）原式 ‎ ‎（2）原式 .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数幂和对数的运算性质的应用，属于简单题.‎ ‎18．已如集合，集合为函数的值域，集合.‎ ‎（1）若，求实数的取值范围：‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）计算出集合和集合，根据交集的定义即可求得结果；（2）由得到，解出集合，根据子集的包含关系可得不等式组，解不等式组求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），‎ ‎ ‎ ‎ ，即:‎ ‎（2） ‎ 又 ‎，解得：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据交集运算结果、集合间的关系求解参数范围的问题，属于基础题.‎ ‎19．若函数为奇函数，当时，‎ ‎（1）求函数的表达式，画出函数的图像；‎ ‎（2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；图像见详解；‎ ‎（2）；‎ ‎【解析】（1）设，，利用函数是奇函数，满足，求函数的解析式；（2）由题意可知，是函数单调递减区间的子集，列不等式求的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设 ，，‎ ‎ 是奇函数，‎ ‎ ‎ ‎，‎ 图像如下：‎ ‎；‎ ‎（2）由图象可知函数的单调递减区间是 ‎ 由题意可知，是函数单调递减区间的子集，‎ 根据图象可知 解得.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据函数的奇偶性，求函数的解析式，以及利用函数的单调性求参数的取值范围，属于基础题型.‎ ‎20．屠呦呦，第一位获得诺贝尔科学奖项的中国本土科学家，在2015年获得诺贝尔生理学或医学奖，理由是她发现了青蒿素.这种药品可以有效降低疟疾患者的死亡率，从青篙中提取的青篙素抗疟性超强，几乎达到100%.据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线．‎ ‎(Ⅰ)写出服药一次后y与t之间的函数关系式；‎ ‎(Ⅱ)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于微克时，治疗有效，求服药一次后治疗有效的时间是多长？‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题意，根据一次函数和指数函数的解析式，结合图象，即可得到函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）当时，求得，当时，求得，即可得到服药一次后治疗有效的时间，得到答案。‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由题意，可得当时，函数满足，当时，函数满足，‎ 所以函数的解析式为。‎ ‎（Ⅱ）由 ‎，所以 服药一次后治疗有效时间是小时。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用图象求解函数的解析式，以及函数的应用问题，其中解答中根据函数的图象，准确求解函数的解析式，在根据函数的解析式合理运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题能力，属于基础题。‎ ‎21．已知函数是定义在上的奇函数，且 .‎ ‎(1)求实数的值；‎ ‎(2)用定义证明在上是增函数；‎ ‎(3)解关于的不等式.‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析；（3）.‎ ‎【解析】(1).是定义在上的奇函数，直接与联立，立马求出参数值；‎ ‎(2).用定义证明单调性要化简到每个都能判断正负的因式相乘（除）；‎ ‎(3).根据上一问中单调性可以得到相应不等式.‎ ‎【详解】‎ 因为函数是定义在上的奇函数∴‎ ‎，综上 ‎(2)证明：因为 设，所以 又∴∴，即 ‎∴在上为增函数．又是定义在上的奇函数，‎ ‎∴在上单调递增．‎ ‎(3)∵‎ ‎∵在上单调递增．‎ ‎∴‎ ‎【点睛】‎ 待定系数法求参数问题,关键在于题目的条件是否有相应多的方程去求出参数值；定义法证明单调性把每一个过程交代清楚，化简到最简为止；借助单调性求参数还要记得在定义域范围内求值.‎ ‎22．已知函数．‎ ‎（1）求的定义域并判断的奇偶性； ‎ ‎（2）求函数的值域；‎ ‎（3）若关于的方程有实根，求实数的取值范围 ‎【答案】（1）定义域为：；为非奇非偶函数；‎ ‎（2）值域为；‎ ‎（3）‎ ‎【解析】（1） ，函数的定义域只需满足，然后判断函数奇偶性；（2）首先函数变形为，根据函数的定义域求的范围，再求函数的值域；（3）若方程有实根，参变分离后可得有实数根，设，转化为求函数的值域.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由得定义域为：‎ 定义域不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数。‎ ‎（2）当时，‎ 所以所以函数的值域为 ‎（3）若方程有实根，即有实根，构造 则 因为函数在上单调递减，而在上单调递增 所以复合函数是上的单调递减函数 所以在上最小值为，‎ 最大值为即，‎ 所以当时，方程有实根.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查判断对数型函数的奇偶性，以及函数的值域和零点问题，属于中档题型，一般函数在区间的零点问题可以采用参变分离，转化为求函数值域的方法，或是有几个零点求参数问题，可以参变分离后根据数形结合求参数的取值范围.‎