2020届高考文科数学大二轮复习冲刺创新专题题型1选填题练熟练稳少丢分第9讲函数的图象与性质练习

2020届高考文科数学大二轮复习冲刺创新专题题型1选填题练熟练稳少丢分第9讲函数的图象与性质练习

第9讲　函数的图象与性质 ‎[考情分析]　高考对函数的图象与性质的考查主要体现在函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性等方面，题型以选择题、填空题为主，一般属于中档题．函数图象考查比较灵活，涉及知识点较多，且每年均有创新，试题考查角度有两个方面，一是函数解析式与函数图象的对应关系；二是利用图象研究函数性质、方程及不等式的解等，综合性较强．函数的零点主要考查零点所在区间、零点个数的判断以及由函数零点的个数求解参数的取值范围；函数的实际应用问题常以实际生活为背景，与最值、不等式、导数等知识综合命题．‎ 热点题型分析 热点1　函数的图象及其应用 ‎1.辨识函数图象的两种方法 ‎(1)直接根据函数解析式作出函数图象，或者是根据图象变换作出函数的图象．此类问题往往需要化简函数解析式，利用函数的性质(单调性、奇偶性、过定点等)判断．‎ ‎(2)利用间接法排除、筛选错误与正确的选项，可以从如下几个方面入手：‎ ‎①由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域(或有界性)，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复；⑤从特殊点出发，排除不符合要求的选项．‎ ‎2.函数图象的应用 ‎(1)利用函数图象研究函数的性质．对于已知或容易画出在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助函数的图象来研究，但一定要注意函数的性质与图象特征的对应关系．‎ ‎(2)利用函数图象研究不等式．当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合思想求解．‎ ‎(3)利用函数图象研究方程根的个数．当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象的交点的横坐标．‎ - 16 -‎ ‎1.(2018·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝的图象大致为(　　)‎ 答案　B 解析　∵x≠0，f(－x)＝＝－f(x)，‎ ‎∴f(x)为奇函数，排除A；‎ ‎∵f(1)＝e－e－1>0，∴排除D；‎ ‎∵f′(x)＝ ‎＝，‎ ‎∴x>2，f′(x)>0，∴排除C；因此选B.‎ ‎2.(2019·山西大学附中诊断)函数 f(x)＝的零点个数为(　　)‎ A.0 B．1 C．2 D．3‎ 答案　C 解析　对于求函数f(x)＝ln (x＋1)－x2＋2x的零点个数，可以转化为方程ln (x＋1)＝x2－2x的根的个数问题，分别画出y＝ln (x＋1)，y＝x2－2x的图象如图．由图象可得两个函数有两个交点．‎ - 16 -‎ 又x>0，所以有一个交点．又方程2x＋1＝0的根为x＝－<0，个数是1.‎ 故函数f(x)＝的零点个数为2.故选C.‎ 在研究函数问题时，要遵循定义域优先的原则，先确定函数的定义域，再解题．第1题易错点有二：一是函数奇偶性的判断方法不明确；二是在B，C选项的辨析上求导出错．第2题易忽略分段函数中f(x)＝ln (x＋1)－x2＋2x需x>0的限制条件而错选D.‎ 热点2　函数的性质及其应用 ‎1.函数三个性质的应用 ‎(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上，尤其注意偶函数f(x)的性质：f(－x)＝f(x)．‎ ‎(2)单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性．‎ ‎(3)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．‎ ‎2.四招破解函数的单调性 ‎(1)对于选择题、填空题，若能画出图象，则一般用数形结合法．‎ ‎(2)对于由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数的单调性问题来解决．‎ - 16 -‎ ‎(3)对于解析式为分式、指数式、对数式等较复杂的函数常用导数法．‎ ‎(4)对于抽象函数一般用定义法．‎ ‎3.三招判断函数奇偶性 ‎(1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．‎ ‎(2)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称．‎ ‎(3)对于偶函数而言，有f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．‎ ‎1.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,2)上单调递减，则下列结论正确的是(　　)‎ A.0f(0)>f(1)，故选C.‎ ‎2.(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝则满足f(x)＋f>1的x的取值范围是________．‎ 答案　 解析　由题意，令g(x)＝f(x)＋f，‎ 则g(x)＝ 函数g(x)在区间(－∞，0]，，三段区间内均单调递增，且g＝1,20＋0＋＞1，2＞1，据此x的取值范围是.‎ ‎3.(2019·青岛调研)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝ex－1，则f(2018)＋f(－2019)＝________.‎ 答案　e－1‎ - 16 -‎ 解析　∵f(x)是R上的偶函数，‎ ‎∴f(－2019)＝f(2019)，‎ ‎∵f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期为2，‎ 又x∈[0,1]时，f(x)＝ex－1；‎ ‎∴f(2018)＝f(0)＝0，f(－2019)＝f(2019)＝f(1)＝e－1.‎ ‎∴f(－2019)＋f(2018)＝e－1.‎ 第1题不能正确求出函数的最小正周期而导致f(3)的值求错，易错选D.第2题易错点有二：一是分段函数f的解析式与定义域易错，导致f(x)＋f的解析式不明确而无从下手；二是解不等式时忽略定义域的范围限制而出错.‎ 热点3　函数零点与方程的根 ‎1.判断零点个数的常用方法 ‎(1)直接求零点：令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数．‎ ‎(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数f(x)的图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的具体图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．‎ ‎(3)利用图象交点的个数：画出相应函数的图象，看图象交点的个数，有几个交点，就有几个零点．‎ ‎2.利用函数零点求参数的取值范围 ‎(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过分解不等式确定参数范围．‎ ‎(2)分离参数法：先将参数分离，转化为求函数最值问题加以解决．‎ ‎(3)数形结合法：先将解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ ‎1.函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为(　　)‎ A.1 B．2 C．3 D．4‎ - 16 -‎ 答案　B 解析　函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数⇔方程|log0.5x|＝＝x的根的个数⇔函数y1‎ ‎＝|log0.5x|与y2＝x的图象的交点个数．两个函数的图象如图所示，由图可知两个函数图象有两个交点，故选B.‎ ‎2.(2019·天津高考)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝－x＋a(a∈R)恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为(　　)‎ A. B. C.∪{1} D.∪{1}‎ 答案　D 解析　如图，分别画出两函数y＝f(x)和y＝－x＋a的图象．‎ ‎(1)先研究当0≤x≤1时，直线y＝－x＋a与y＝2的图象只有一个交点的情况．‎ - 16 -‎ 当直线y＝－x＋a过点B(1,2)时，‎ ‎2＝－＋a，解得a＝.所以0≤a≤.‎ ‎(2)再研究当x>1时，直线y＝－x＋a与y＝的图象只有一个交点的情况：‎ ‎①相切时，由y′＝－＝－，得x＝2，此时切点为，则a＝1.‎ ‎②相交时，由图象可知直线y＝－x＋a从过点A向右上方移动时与y＝的图象只有一个交点．过点A(1,1)时，1＝－＋a，解得a＝.所以a≥.‎ 结合图象可得，所求实数a的取值范围为∪{1}．故选D.‎ 第1题易错在不能把函数的零点转化为方程|log0.5x|＝x的根，进而利用指数、对数函数的图象交点来解决问题；第2题利用数形结合思想，转化为直线与曲线交点的问题，易错点有二：一是分段函数图象在定义域的分界点易忽略；二是直线平移的临界位置(区间端点和切点)能不能取到.‎ 热点4　函数的实际应用 函数有关应用题的常见类型及解决问题的一般程序：‎ ‎(1)常见类型：与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．‎ ‎(2)应用函数模型解决实际问题的一般程序：‎ ⇨⇨⇨ ‎(3)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识综合解答．‎ 某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22‎ - 16 -‎ ‎ ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．‎ 答案　24‎ 解析　由题意得∴e22k＝＝，‎ e11k＝，当x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k)3eb＝×192＝24.‎ 本题易错点有二：一是指数式的运算e22k＋b＝e22keb能否正确运用；二是利用e11k＝整体代换的技巧而求解本题.‎ 真题自检感悟 ‎1.(2018·浙江高考)函数y＝2|x|sin2x的图象可能是(　　)‎ 答案　D 解析　令y＝f(x)＝2|x|sin2x，f(－x)＝2|－x|sin(－2x)＝－2|x|sin2x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除A，B；当x∈(0，π)时，2|x|>0，sin2x可正可负，所以f(x)可正可负，排除C.故选D.‎ ‎2.(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　)‎ A.－50 B．0 C．2 D．50‎ 答案　C 解析　因为f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x)．所以f(1＋x)＝－f(x－1)，所以f(3＋x)＝－f(x＋1)＝f(x－1)，所以T＝4，因此f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)，因为f(3)＝－f(1)，f(4)＝－f(2)，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，因为f(2)＝f(－2)＝－f(2)，所以f(2)＝0，从而f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝f(1)＝2，选C.‎ ‎3.(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax，若f(ln - 16 -‎ ‎ 2)＝8，则a＝________.‎ 答案　－3‎ 解析　设x>0，则－x<0.‎ ‎∵当x<0时，f(x)＝－eax，∴f(－x)＝－e－ax.‎ ‎∵f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝e－ax，‎ ‎∴f(ln 2)＝e－aln 2＝(eln 2)－a＝2－a.‎ 又f(ln 2)＝8，∴2－a＝8，∴a＝－3.‎ ‎4.(2018·天津高考)已知a>0，函数 f(x)＝若关于x的方程f(x)＝ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是________．‎ 答案　(4,8)‎ 解析　令g(x)＝f(x)－ax＝ 依题意，方程f(x)＝ax恰有2个互异实数解，等价于g(x)＝0恰有2个互异实数解．‎ 又因为g(x)＝其中a>0，所以只需或易解得40，∵当x≥0时，f(x)＝ex－1，∴f(－x)＝e－x－1.又∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.故选D.‎ ‎2.(2019·华南师大附中一模)给出下列四个函数：‎ ‎①f(x)＝2x－2－x；②f(x)＝xsinx；③f(x)＝log3；‎ ‎④f(x)＝|x＋3|－|x－3|.‎ 其中是奇函数的编号为(　　)‎ A.①③ B．①③④‎ C.①②③ D．①②③④‎ - 16 -‎ 答案　B 解析　对于①，f(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－f(x)，所以是奇函数；对于②，f(－x)＝(－x)·sin(－x)＝xsinx＝f(x)，所以是偶函数；对于③，f(－x)＝log3＝－log3＝－f(x)，所以是奇函数；对于④，f(－x)＝|－x＋3|－|－x－3|＝|x－3|－|x＋3|＝－(|x＋3|－|x－3|)＝－f(x)，所以是奇函数．故选B.‎ ‎3.函数f(x)＝ln (x＋1)－的一个零点所在的区间是(　　)‎ A.(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)‎ 答案　B 解析　∵f(1)＝ln 2－1<0，f(2)＝ln 3－＝ln >0，∴函数f(x)＝ln (x＋1)－的零点所在的区间是(1,2)．故选B.‎ ‎4.在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量浓度(单位：mol/L，记作[H＋])和氢氧根离子的物质的量浓度(单位：mol/L，记作[OH－])的乘积等于常数10－14.已知pH值的定义为pH＝－lg [H＋]，健康人体血液的pH值保持在7.35～7.45之间(包含7.35和7.45)，那么健康人体血液中的可以为(　　)‎ ‎(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)‎ A. B. ‎ C. D. 答案　C 解析　设健康人体血液的pH值为x(7.35≤x≤7.45)，则根据pH＝－lg [H＋]可得[H＋]＝10－x.又[H＋]·[OH－]＝10－14，所以健康人体血液中的＝＝＝1014－2x∈[10－0.9,10－0.7]．因为lg 2≈0.30，lg 3≈0.48，所以lg 6＝lg 2＋lg 3≈0.78，所以lg ＝－lg 6≈－0.78，所以≈10－0.78.结合10－0.78∈[10－0.9,10－0.7]可知健康人体血液中的可以为.故选C.‎ ‎5.(2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是(　　)‎ A.[－2,2] B．[－1,1] C．[0,4] D．[1,3]‎ - 16 -‎ 答案　D 解析　∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．‎ ‎∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.‎ 故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．‎ 又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1，‎ ‎∴1≤x≤3.故选D.‎ ‎6.(2017·天津高考)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)‎ A.a＜b＜c B．c＜b＜a C.b＜a＜c D．b＜c＜a 答案　C 解析　依题意a＝g(－log25.1)＝(－log25.1)·f(－log25.1)＝log25.1f(log25.1)＝g(log25.1)．‎ 因为f(x)在R上是增函数，可设0＜x1＜x2，‎ 则0－x2－1≥－3,1时，log|a|x≤2，且|a|∈，∴log|a|≤2，‎ ‎∴|a|2≤，则|a|≤，又a≤－，‎ ‎∴－≤a≤－.‎ ‎11.已知函数f(x)＝|x|＋2x－(x<0)与g(x)＝|x|＋log2(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是(　　)‎ A.(－∞，) B．(－∞，－)‎ C.(－∞，2) D. 答案　A 解析　设f(x)关于y轴对称的函数为h(x)＝f(－x)＝x＋2－x－(x>0)，则由题意可得方程h(x)＝g(x)(x∈(0，＋∞))有解，即方程2－x－＝log2(x＋a)(x∈(0，＋∞))有解，作出函数y＝2－x－，y＝log2(x＋a)的图象如图，当a≤0时，两个图象在(0，＋∞)上必有交点，符合题意；当a>0时，若两个图象在(0，＋∞)上有交点，则log2a<，00且a≠1)有且只有4个不同的根，则实数a的取值范围是(　　)‎ A. B．(1,4)‎ C.(1,8) D．(8，＋∞)‎ 答案　D 解析　因为∀x∈R，f(x＋2)＝f(2－x)，所以f(x＋4)＝f[2＋(x＋2)]＝f[2－(x＋2)]＝f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是一个周期函数，且T＝4.又因为当x∈[－2，0]时，f(x)＝x－1＝()－x－1，所以当x∈[0,2]时，f(x)＝f(－x)＝()x－1，于是x∈[－2,2]时，f(x)＝()|x|－1，根据f(x)的周期性作出f(x)的图象如图所示．若在区间(－2,6)内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0有且只有4个不同的根，则a>1且y＝f(x)与y＝loga(x＋2)(a>1)的图象在区间(－2,6)内有且只有4个不同的交点，因为f(－2)＝f(2)＝f(6)＝1，所以对于函数y＝loga(x＋2)(a>1)，当x＝6时，loga8<1，解得a>8，即实数a的取值范围是(8，＋∞)．故选D.‎ - 16 -‎ 二、填空题 ‎13.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增函数．如果实数t满足f(ln t)＋f≤2f(1)，那么t的取值范围是________．‎ 答案　 解析　由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，‎ 所以f(ln t)＝f，‎ 由f(ln t)＋f≤2f(1)，得f(ln t)≤f(1)．‎ 又函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调递增函数，‎ 所以|ln t|≤1，即－1≤ln t≤1，故≤t≤e.‎ ‎14.(2018·江苏高考)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2,2]上，‎ f(x)＝则f[f(15)]的值为________．‎ 答案　 解析　由f(x＋4)＝f(x)得函数f(x)的周期为4，所以f(15)＝f(16－1)＝f(－1)＝＝，因此f[f(15)]＝f＝cos＝.‎ ‎15.(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝cos在[0，π]的零点个数为______．‎ 答案　3‎ 解析　∵0≤x≤π，∴≤3x＋≤.‎ - 16 -‎ 由题可知，当3x＋＝，3x＋＝，或3x＋＝时，f(x)＝0.解得x＝，或.‎ 故函数f(x)＝cos在[0，π]上有3个零点.‎ ‎16.(2018·浙江高考改编)已知λ∈R，函数f(x)＝若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________．‎ 答案　(1,3]∪(4，＋∞)‎ 解析　令f(x)＝0，当x≥λ时，x＝4.当x<λ时，x2－4x＋3＝0，则x＝1或x＝3.若函数f(x)恰有2个零点，结合如图函数的图象知，1<λ≤3或λ>4.‎ - 16 -‎