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文档介绍
数学文卷·2017届辽宁省大连市高三第一次模拟考试(2017
大连市2017年高三第一次模拟考试 数学(文科)能力测试 第Ⅰ卷(共60分) 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数,则( ) A. B. C. 1 D.2 2.已知集合,,则( ) A. B. C. D. 3. 设均为实数,则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.直线与圆相交所得弦长为( ) A. 6 B. 3 C. D. 5.下列命题中错误的是( ) A.如果平面外的直线不平行于平面内不存在与平行的直线 B.如果平面平面,平面平面,,那么直线平面 C.如果平面平面,那么平面内所有直线都垂直于平面 D.一条直线与两个平行平面中的一个平面相交,则必与另一个平面相交 6. 已知数列满足,,则( ) A. 30 B. 18 C. 15 D.9 7. 在平面内的动点满足不等式,则的最大值是( ) A. 6 B.4 C. 2 D.0 8.函数的图象大致是( ) A. B. C. D. 9. 某几何体的三视图如图所示,则其体积为( ) A. 4 B. C. D. 10. 运行如图所示的程序框图,则输出结果为( ) A. B. C. D. 11. 若方程在上有两个不相等实根,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 12. 已知定义在上的函数为增函数,当时,不等式恒成立,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷(共90分) 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上) 13.某班级有50名同学,一次数学测试平均成绩是92,如果学号为1号到30号的同学平均成绩为90,则学号为31号到50号同学的平均成绩为 . 14. 已知函数,则 . 15. 过双曲线的右焦点且斜率为1的直线与渐近线有且只有一个交点,则双曲线的离心率为 . 16. 我国古代数学专著《孙子算法》中有“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”如果此物数量在100至200之间,那么这个数 . 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 已知点,,为坐标原点,函数. (1)求函数的最小值及此时的值; (2)若为的内角,,,的面积为,求的周长. 18. 某手机厂商推出一次智能手机,现对500名该手机使用者(200名女性,300名男性)进行调查,对手机进行打分,打分的频数分布表如下: (1)完成下列频率分布直方图,并比较女性用户和男性用户评分的方差大小(不计算具体值,给出结论即可); (2)根据评分的不同,运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户,在这20名用户中,从评分不低于80分的用户中任意取2名用户,求2名用户评分小于90分的概率. 19. 如图,在四棱锥中,底面为正方形,底面,,,为棱中点. (1)求证:平面; (2)求四棱锥外接球的体积. 20. 已知函数. (1)过原点作函数图象的切线,求切点的横坐标; (2)对,不等式恒成立,求实数的取值范围. 21. 已知椭圆:,分别是其左、右焦点,以线段为直径的圆与椭圆有且仅有两个交点. (1)求椭圆的方程; (2)设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点,线段的垂直平分线与轴交于点,点横坐标的取值范围是,求的最小值. 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.选修4-4:坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线的参数方程为(为参数). (1)求曲线的直角坐标方程及直线的普通方程; (2)若曲线的参数方程为(为参数),曲线上点的极角为,为曲线上的动点,求的中点到直线距离的最大值. 23.选修4-5:不等式选讲 已知,函数的最小值为1. (1)求证:; (2)若恒成立,求实数的最大值. 2017年大连市高三一模测试 数学(文科)参考答案与评分标准 一.选择题 (1)A;(2)D;(3)C; (4)A;(5)C;(6)B;(7)A;(8)B;(9)D;(10) B; (11)C; (12)D. 二.填空题 (13)95; (14)1; (15) ; 16.128. 三.解答题 (17) 解:(I)∵, ∴, ∴当时,取得最小值2. (2) ∵,∴, 又∵,∴,∴. ,∴. ∴,∴三角形周长为. (18) 解:(Ⅰ)女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图: 由图可得女性用户的波动小,男性用户的波动大. (Ⅱ)运用分层抽样从男性用户中抽取名用户,评分不低于分有人,其中评分小于分的人数为,记为,评分不小于分的人数为,记为,从人人任取人,基本事件空间为 ,共有个元素. 其中把“两名用户评分都小于分”记作, 则,共有个元素. 所以两名用户评分都小于分的概率为. (19) 解:(I)证明:∵底面,底面, ∴,又∵底面为矩形,∴,,平面,平面, ∴平面,又平面,∴,,为中点,∴,,平面,平面,∴平面. (II)法一:四棱锥外接球球心在线段和线段的垂直平分线交点, 由已知, 设为中点,∴,∴, ∴四棱锥外接球是. 法二:四棱锥外接球和过的长方体外接球相同, 球心在对角线的中点 由已知对角线, ∴球的半径为3, ∴四棱锥外接球是. (20) 解:(Ⅰ)设切点为,,直线的切线方程为, ,, 即直线的切线方程为, 又切线过原点,所以, 由,解得,所以切点的横坐标为. (Ⅱ)方法一:∵不等式对,恒成立, ∴对,恒成立. 设,,,. ①当时,,在,上单调递减, 即,不符合题意. ②当时,.设, 在,上单调递增,即. (ⅰ)当时,由,得,在,上单调递增,即,符合题意; (ii)当时,, ,使得, 则在,上单调递减,在,上单调递增, ,则不合题意. 综上所述,. (Ⅱ)方法二:∵不等式对,恒成立, ∴对,恒成立. 当时,;当时,, 不恒成立;同理取其他值不恒成立. 当时,恒成立; 当时,,证明恒成立. 设,,, .∴在,为减函数. ,∴. (Ⅱ)方法三:∵不等式对,恒成立, ∴等价于对,恒成立. 设,当时,;∴, 函数过点(0,0)和(1,0),函数过点(1.0),在恒成立, 一定存在一条过点(1,0)的直线和函数、都相切或,一定存在一条过点(1,0)的直线相切和函数相交,但交点横坐标小于1, 当都相切时. 不大于等于0. ∴. (21)(本小题满分12分) 解:(Ⅰ) 由题意可知, ∴,故椭圆的方程为. (Ⅱ) 设直线方程为, 代入有, 设,中点, ∴. ∴ ∴的垂直平分线方程为, 令,得 ∵,∴,∴. , . (22)(本小题满分10分) 解:(Ⅰ)由 . (Ⅱ)直角坐标为, ,. 到的距离, 从而最大值为. (23) 解:(Ⅰ)法一:, ∵且, ∴,当时取等号,即的最小值为, ∴,. 法二:∵,∴, 显然在上单调递减,在上单调递增, ∴的最小值为, ∴,. (Ⅱ)方法一:∵恒成立,∴恒成立, 当时,取得最小值, ∴,即实数的最大值为. 方法二:∵恒成立,∴恒成立, 恒成立, ∴,即实数的最大值为. 方法三:∵恒成立,∴恒成立, ∴恒成立, ∴, ∴,实数的最大值为. 2017年大连市高三一模测试 数学(文科)参考答案与评分标准 说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一.选择题 (1)A;(2)D;(3)C; (4)A;(5)C;(6)B;(7)A; (8)B;(9)D;(10) B; (11)C; (12)D. 二.填空题 (13)95; (14)1; (15) ; 16.128. 三.解答题 (17)(本小题满分12分) 解:(I)∵, 3分∴, 5分 ∴当时,取得最小值2. 6分 (2) ∵,∴, 7分 又∵,∴,∴. 9分,∴. 10分 ∴,∴三角形周长为. 12分 (18)(本小题满分12分) 解:(Ⅰ)女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图: 12分 ………………………………………………………………………………………4分 由图可得女性用户的波动小,男性用户的波动大. ……………………………………6分 (Ⅱ)运用分层抽样从男性用户中抽取名用户,评分不低于分有人,其中评分小于分的人数为,记为,评分不小于分的人数为,记为,从人人任取人,基本事件空间为 ,共有个元素. …………………………………8分 其中把“两名用户评分都小于分”记作, 则,共有个元素. …………10分 所以两名用户评分都小于分的概率为.………………………………12分 (19)(本小题满分12分) 解:(I)证明:∵PA⊥底面ABCD,AB底面ABCD, ∴PA⊥AB,又∵底面 ABCD为矩形,∴AB⊥AD, PA∩AD=A,PA平面PAD,AD平面PAD, ∴AB⊥平面PAD,又PD平面PAD,∴AB⊥PD, AD=AP,E为PD中点,∴AE⊥PD,AE∩AB=A, AE平面ABE,AB平面ABE,∴PD⊥平面ABE. …………………………………6分 (II)法一:四棱锥P-ABCD外接球球心在线段BD和线段PA的垂直平分线交点O,…8分 由已知,…………………………………9分 设C为BD中点,∴,∴ ,………………………………………11分 ∴四棱锥P-ABCD外接球是. 12分 法二:四棱锥P-ABCD外接球和过P、A、B、C、D的长方体外接球相同,……8分 球心在对角线的中点………………………………………………………………9分 由已知对角线,…………………10分 ∴球的半径为3,…………………………………………………………………11分 ∴四棱锥P-ABCD外接球是. 12分 (20) (本小题满分12分) 解:(Ⅰ)设切点为,,直线的切线方程为, ,, ……………………………2分 即直线的切线方程为, 又切线过原点,所以, 由,解得,所以切点的横坐标为.……………………4分 (Ⅱ)方法一:∵不等式对,恒成立, ∴对,恒成立. 设,,,.……………………………………………………5分 ①当时,,在,上单调递减, 即,不符合题意. …………………7分 ②当时,.设, 在,上单调递增,即. ……………9分 (i)当时,由,得,在,上单调递增,即,符合题意; …………………10分 (ii)当时,, ,使得, 则在,上单调递减,在,上单调递增, ,则不合题意. …………………11分 综上所述,. ………………………12分 (Ⅱ)方法二:∵不等式对,恒成立, ∴对,恒成立. 当时,;当时,, 不恒成立;同理取其他值不恒成立.……………………6分 当时,恒成立; 当时,,证明恒成立. ………………10分 设,,, .∴在,为减函数.…………………11分 ,∴.…………………………………………………………12分 (Ⅱ)方法三:∵不等式对,恒成立, ∴等价于对,恒成立. …………………………5分 设,当时,;∴,………………6分 函数过点(0,0)和(1,0),函数过点(1.0),在恒成立, 一定存在一条过点(1,0)的直线和函数、都相切或,一定存在一条过点(1,0)的直线相切和函数相交,但交点横坐标小于1,………………………10分 当都相切时. …………………………………11分 不大于等于0. …………………………………………6分 ∴.……………………………………………………………………………12分 (21)(本小题满分12分) 解:(Ⅰ) 由题意可知,…………………………………………………2分 ∴,故椭圆的方程为.……………………………………4分 (Ⅱ) 设直线方程为,代入有, …………………………………………5分 设,中点, ∴.………………………………………6分 ∴………………………7分 ∴的垂直平分线方程为, 令,得………………………………………9分 ∵,∴,∴.……………………10分 , .……………………………………………………………………12分 . (22)(本小题满分10分) 解:(Ⅰ)由………………………………………2分 . ……………………………………………………5分 (Ⅱ)直角坐标为,…………………………………6分,.……8分 到的距离,…9分 从而最大值为. ………………………………………10分 (23)(本小题满分10分) 解:(Ⅰ)法一:, ……2分∵且, ∴,当时取等号,即的最小值为,……4分∴,. …………5分 法二:∵,∴,3分 显然在上单调递减,在上单调递增, ∴的最小值为, ………4分 ∴,. …………………5分 (Ⅱ)方法一:∵恒成立,∴恒成立,……………7分 …………………………………………9分当时,取得最小值, ∴,即实数的最大值为.………………………………………10分 方法二:∵恒成立,∴恒成立,……………7分恒成立, …………………………………………9分 ∴,即实数的最大值为.………………………………………10分 方法三:∵恒成立,∴恒成立,………7分 ∴恒成立, ∴,…………………………………………………9分 ∴,实数的最大值为.…………………………………10分查看更多