数学文卷·2017届辽宁省大连市高三第一次模拟考试(2017

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文档介绍

数学文卷·2017届辽宁省大连市高三第一次模拟考试(2017

大连市2017年高三第一次模拟考试 数学(文科)能力测试 第Ⅰ卷(共60分)‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知复数,则( )‎ A. B. C. 1 D.2‎ ‎2.已知集合,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3. 设均为实数,则“”是“”的( )‎ A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎4.直线与圆相交所得弦长为( )‎ A. 6 B. 3 C. D.‎ ‎5.下列命题中错误的是( )‎ A.如果平面外的直线不平行于平面内不存在与平行的直线 ‎ B.如果平面平面,平面平面,,那么直线平面 ‎ C.如果平面平面,那么平面内所有直线都垂直于平面 ‎ D.一条直线与两个平行平面中的一个平面相交,则必与另一个平面相交 ‎6. 已知数列满足,,则( )‎ A. 30 B. 18 C. 15 D.9‎ ‎7. 在平面内的动点满足不等式,则的最大值是( )‎ A. 6 B.4 C. 2 D.0‎ ‎8.函数的图象大致是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9. 某几何体的三视图如图所示,则其体积为( )‎ A. 4 B. C. D.‎ ‎10. 运行如图所示的程序框图,则输出结果为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11. 若方程在上有两个不相等实根,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12. 已知定义在上的函数为增函数,当时,不等式恒成立,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷(共90分)‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13.某班级有50名同学,一次数学测试平均成绩是92,如果学号为1号到30号的同学平均成绩为90,则学号为31号到50号同学的平均成绩为 .‎ ‎14. 已知函数,则 .‎ ‎15. 过双曲线的右焦点且斜率为1的直线与渐近线有且只有一个交点,则双曲线的离心率为 .‎ ‎16. 我国古代数学专著《孙子算法》中有“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”如果此物数量在100至200之间,那么这个数 .‎ 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ‎ ‎17. 已知点,,为坐标原点,函数.‎ ‎(1)求函数的最小值及此时的值;‎ ‎(2)若为的内角,,,的面积为,求的周长.‎ ‎18. 某手机厂商推出一次智能手机,现对500名该手机使用者(200名女性,300名男性)进行调查,对手机进行打分,打分的频数分布表如下:‎ ‎(1)完成下列频率分布直方图,并比较女性用户和男性用户评分的方差大小(不计算具体值,给出结论即可);‎ ‎(2)根据评分的不同,运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户,在这20名用户中,从评分不低于80分的用户中任意取2名用户,求2名用户评分小于90分的概率.‎ ‎19. 如图,在四棱锥中,底面为正方形,底面,,,为棱中点.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)求四棱锥外接球的体积.‎ ‎20. 已知函数.‎ ‎(1)过原点作函数图象的切线,求切点的横坐标;‎ ‎(2)对,不等式恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎21. 已知椭圆:,分别是其左、右焦点,以线段为直径的圆与椭圆有且仅有两个交点.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点,线段的垂直平分线与轴交于点,点横坐标的取值范围是,求的最小值.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4:坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线的参数方程为(为参数).‎ ‎(1)求曲线的直角坐标方程及直线的普通方程;‎ ‎(2)若曲线的参数方程为(为参数),曲线上点的极角为,为曲线上的动点,求的中点到直线距离的最大值.‎ ‎23.选修4-5:不等式选讲 已知,函数的最小值为1.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)若恒成立,求实数的最大值.‎ ‎2017年大连市高三一模测试 数学(文科)参考答案与评分标准 一.选择题 ‎(1)A;(2)D;(3)C; (4)A;(5)C;(6)B;(7)A;(8)B;(9)D;(10) B; (11)C; (12)D.‎ 二.填空题 ‎(13)95; (14)1; (15) ; 16.128.‎ 三.解答题 ‎(17)‎ 解:(I)∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴当时,取得最小值2.‎ ‎ (2) ∵,∴, ‎ 又∵,∴,∴. ‎ ‎,∴. ‎ ‎∴,∴三角形周长为. ‎ ‎ (18)‎ 解:(Ⅰ)女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图:‎ 由图可得女性用户的波动小,男性用户的波动大. ‎ ‎(Ⅱ)运用分层抽样从男性用户中抽取名用户,评分不低于分有人,其中评分小于分的人数为,记为,评分不小于分的人数为,记为,从人人任取人,基本事件空间为 ‎,共有个元素. 其中把“两名用户评分都小于分”记作,‎ 则,共有个元素. ‎ 所以两名用户评分都小于分的概率为.‎ ‎(19)‎ 解:(I)证明:∵底面,底面,‎ ‎∴,又∵底面为矩形,∴,,平面,平面,‎ ‎∴平面,又平面,∴,,为中点,∴,,平面,平面,∴平面. ‎ ‎(II)法一:四棱锥外接球球心在线段和线段的垂直平分线交点,‎ 由已知,‎ 设为中点,∴,∴,‎ ‎∴四棱锥外接球是.‎ 法二:四棱锥外接球和过的长方体外接球相同,‎ 球心在对角线的中点 由已知对角线,‎ ‎∴球的半径为3,‎ ‎∴四棱锥外接球是.‎ ‎ (20) ‎ 解:(Ⅰ)设切点为,,直线的切线方程为,‎ ‎,,‎ 即直线的切线方程为,‎ 又切线过原点,所以,‎ 由,解得,所以切点的横坐标为.‎ ‎(Ⅱ)方法一:∵不等式对,恒成立,‎ ‎∴对,恒成立.‎ 设,,,.‎ ①当时,,在,上单调递减,‎ 即,不符合题意. ‎ ②当时,.设,‎ 在,上单调递增,即. ‎ ‎(ⅰ)当时,由,得,在,上单调递增,即,符合题意; ‎ ‎(ii)当时,, ,使得,‎ 则在,上单调递减,在,上单调递增,‎ ‎,则不合题意. ‎ 综上所述,. ‎ ‎(Ⅱ)方法二:∵不等式对,恒成立,‎ ‎∴对,恒成立.‎ 当时,;当时,,‎ 不恒成立;同理取其他值不恒成立.‎ 当时,恒成立;‎ 当时,,证明恒成立. ‎ 设,,,‎ ‎.∴在,为减函数.‎ ‎,∴. ‎ ‎ (Ⅱ)方法三:∵不等式对,恒成立,‎ ‎∴等价于对,恒成立. ‎ 设,当时,;∴,‎ 函数过点(0,0)和(1,0),函数过点(1.0),在恒成立,‎ 一定存在一条过点(1,0)的直线和函数、都相切或,一定存在一条过点(1,0)的直线相切和函数相交,但交点横坐标小于1,‎ 当都相切时. ‎ 不大于等于0. ‎ ‎∴.‎ ‎(21)(本小题满分12分)‎ 解:(Ⅰ) 由题意可知,‎ ‎∴,故椭圆的方程为.‎ ‎(Ⅱ) 设直线方程为,‎ 代入有, ‎ 设,中点,‎ ‎∴.‎ ‎∴‎ ‎∴的垂直平分线方程为,‎ 令,得 ‎∵,∴,∴.‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎(22)(本小题满分10分)‎ 解:(Ⅰ)由 ‎. ‎ ‎(Ⅱ)直角坐标为, ‎ ‎,.‎ 到的距离,‎ 从而最大值为. ‎ ‎(23)‎ 解:(Ⅰ)法一:, ‎ ‎∵且,‎ ‎∴,当时取等号,即的最小值为,‎ ‎∴,. ‎ 法二:∵,∴,‎ 显然在上单调递减,在上单调递增,‎ ‎∴的最小值为, ‎ ‎∴,. ‎ ‎(Ⅱ)方法一:∵恒成立,∴恒成立, ‎ ‎ ‎ 当时,取得最小值,‎ ‎∴,即实数的最大值为.‎ 方法二:∵恒成立,∴恒成立,‎ 恒成立,‎ ‎∴,即实数的最大值为.‎ 方法三:∵恒成立,∴恒成立,‎ ‎∴恒成立,‎ ‎∴,‎ ‎∴,实数的最大值为.‎ ‎ ‎ ‎2017年大连市高三一模测试 数学(文科)参考答案与评分标准 说明:‎ 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.‎ 二、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.‎ 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.‎ 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.‎ 一.选择题 ‎(1)A;(2)D;(3)C; (4)A;(5)C;(6)B;(7)A;‎ ‎(8)B;(9)D;(10) B; (11)C; (12)D.‎ 二.填空题 ‎(13)95; (14)1; (15) ; 16.128.‎ 三.解答题 ‎(17)(本小题满分12分)‎ 解:(I)∵, 3分∴, 5分 ‎∴当时,取得最小值2. 6分 ‎ (2) ∵,∴, 7分 又∵,∴,∴. 9分,∴. 10分 ‎∴,∴三角形周长为. 12分 ‎(18)(本小题满分12分)‎ 解:(Ⅰ)女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图:‎ ‎ 12分 ‎………………………………………………………………………………………4分 由图可得女性用户的波动小,男性用户的波动大. ……………………………………6分 ‎(Ⅱ)运用分层抽样从男性用户中抽取名用户,评分不低于分有人,其中评分小于分的人数为,记为,评分不小于分的人数为,记为,从人人任取人,基本事件空间为 ‎,共有个元素. …………………………………8分 其中把“两名用户评分都小于分”记作,‎ 则,共有个元素. …………10分 所以两名用户评分都小于分的概率为.………………………………12分 ‎(19)(本小题满分12分) ‎ 解:(I)证明:∵PA⊥底面ABCD,AB底面ABCD,‎ ‎∴PA⊥AB,又∵底面 ABCD为矩形,∴AB⊥AD,‎ PA∩AD=A,PA平面PAD,AD平面PAD,‎ ‎∴AB⊥平面PAD,又PD平面PAD,∴AB⊥PD,‎ AD=AP,E为PD中点,∴AE⊥PD,AE∩AB=A,‎ AE平面ABE,AB平面ABE,∴PD⊥平面ABE. …………………………………6分 ‎(II)法一:四棱锥P-ABCD外接球球心在线段BD和线段PA的垂直平分线交点O,…8分 由已知,…………………………………9分 设C为BD中点,∴,∴‎ ‎,………………………………………11分 ‎∴四棱锥P-ABCD外接球是. 12分 法二:四棱锥P-ABCD外接球和过P、A、B、C、D的长方体外接球相同,……8分 球心在对角线的中点………………………………………………………………9分 由已知对角线,…………………10分 ‎∴球的半径为3,…………………………………………………………………11分 ‎∴四棱锥P-ABCD外接球是. 12分 ‎(20) (本小题满分12分)‎ 解:(Ⅰ)设切点为,,直线的切线方程为,‎ ‎,, ……………………………2分 即直线的切线方程为,‎ 又切线过原点,所以,‎ 由,解得,所以切点的横坐标为.……………………4分 ‎(Ⅱ)方法一:∵不等式对,恒成立,‎ ‎∴对,恒成立.‎ 设,,,.……………………………………………………5分 ①当时,,在,上单调递减,‎ 即,不符合题意. …………………7分 ②当时,.设,‎ 在,上单调递增,即. ……………9分 ‎(i)当时,由,得,在,上单调递增,即,符合题意; …………………10分 ‎ ‎(ii)当时,, ,使得,‎ 则在,上单调递减,在,上单调递增,‎ ‎,则不合题意. …………………11分 综上所述,. ………………………12分 ‎ ‎ (Ⅱ)方法二:∵不等式对,恒成立,‎ ‎∴对,恒成立.‎ 当时,;当时,,‎ 不恒成立;同理取其他值不恒成立.……………………6分 当时,恒成立;‎ 当时,,证明恒成立. ………………10分 设,,,‎ ‎.∴在,为减函数.…………………11分 ‎,∴.…………………………………………………………12分 ‎ ‎ (Ⅱ)方法三:∵不等式对,恒成立,‎ ‎∴等价于对,恒成立. …………………………5分 设,当时,;∴,………………6分 函数过点(0,0)和(1,0),函数过点(1.0),在恒成立,‎ 一定存在一条过点(1,0)的直线和函数、都相切或,一定存在一条过点(1,0)的直线相切和函数相交,但交点横坐标小于1,………………………10分 当都相切时. …………………………………11分 不大于等于0. …………………………………………6分 ‎∴.……………………………………………………………………………12分 ‎(21)(本小题满分12分)‎ 解:(Ⅰ) 由题意可知,…………………………………………………2分 ‎∴,故椭圆的方程为.……………………………………4分 ‎(Ⅱ) 设直线方程为,代入有, …………………………………………5分 设,中点,‎ ‎∴.………………………………………6分 ‎∴………………………7分 ‎∴的垂直平分线方程为,‎ 令,得………………………………………9分 ‎∵,∴,∴.……………………10分 ‎,‎ ‎.……………………………………………………………………12分 ‎. ‎ ‎ (22)(本小题满分10分)‎ 解:(Ⅰ)由………………………………………2分 ‎. ……………………………………………………5分 ‎(Ⅱ)直角坐标为,…………………………………6分,.……8分 到的距离,…9分 从而最大值为. ………………………………………10分 ‎(23)(本小题满分10分)‎ 解:(Ⅰ)法一:, ……2分∵且,‎ ‎∴,当时取等号,即的最小值为,……4分∴,. …………5分 法二:∵,∴,3分 显然在上单调递减,在上单调递增,‎ ‎∴的最小值为, ………4分 ‎∴,. …………………5分 ‎(Ⅱ)方法一:∵恒成立,∴恒成立,……………7分 …………………………………………9分当时,取得最小值,‎ ‎∴,即实数的最大值为.………………………………………10分 方法二:∵恒成立,∴恒成立,……………7分恒成立,‎ ‎…………………………………………9分 ‎∴,即实数的最大值为.………………………………………10分 ‎ 方法三:∵恒成立,∴恒成立,………7分 ‎ ∴恒成立,‎ ‎∴,…………………………………………………9分 ‎∴,实数的最大值为.…………………………………10分
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