【数学】2018届一轮复习人教A版第九章平面解析几何第2讲两直线的位置关系学案

【数学】2018届一轮复习人教A版第九章平面解析几何第2讲两直线的位置关系学案

第2讲　两直线的位置关系 最新考纲　1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.‎ 知 识 梳 理 ‎1.两条直线平行与垂直的判定 ‎(1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行.‎ ‎(2)两条直线垂直 如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.‎ ‎2.两直线相交 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应.‎ 相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；‎ 平行⇔方程组无解；‎ 重合⇔方程组有无数个解.‎ ‎3.距离公式 ‎(1)两点间的距离公式 平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝.‎ 特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.‎ ‎(2)点到直线的距离公式 平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.‎ ‎(3)两条平行线间的距离公式 一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　　)‎ ‎(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　)‎ ‎(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.(　　)‎ ‎(4)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A‎1A2＋B1B2＝0.(　　)‎ ‎(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.(　　)‎ 解析　(1)两直线l1，l2有可能重合.‎ ‎(2)如果l1⊥l2，若l1的斜率k1＝0，则l2的斜率不存在.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√‎ ‎2.(2016·北京卷)圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为(　　)‎ A.1 B.2‎ C. D.2 解析　圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心坐标为(－1，0)，由y＝x＋3得x－y＋3＝0，则圆心到直线的距离d＝＝.‎ 答案　C ‎3.(2017·金华四校联考)直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m＝(　　)‎ A.2 B.－3‎ C.2或－3 D.－2或－3‎ 解析　直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有＝≠，故m＝2或－3.故选C.‎ 答案　C ‎4.直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是________.‎ 解析　先将2x＋2y＋1＝0化为x＋y＋＝0，‎ 则两平行线间的距离为d＝＝.‎ 答案　 ‎5.(必修2P89练习2改编)已知P(－2，m)，Q(m，4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________.‎ 解析　由题意知 ＝1，所以m－4＝－2－m，所以m＝1.‎ 答案　1‎ ‎6.(2017·浙江五校联考)已知动点P的坐标为(x，1－x)，x∈R，则动点P的轨迹方程为________，它到原点距离的最小值为________.‎ 解析　设点P的坐标为(x，y)，则y＝1－x，即动点P的轨迹方程为x＋y－1＝0；原点到直线x＋y－1＝0的距离为d＝＝，即为所求原点到动点P的轨迹的最小值.‎ 答案　x＋y－1＝0　 考点一　两直线的平行与垂直 ‎【例1】 (1)已知两条直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a等于(　　)‎ A.－1 B.2 ‎ C.0或－2 D.－1或2‎ ‎(2)已知两直线方程分别为l1：x＋y＝1，l2：ax＋2y＝0，若l1⊥l2，则a＝________.‎ 解析　(1)若a＝0，两直线方程分别为－x＋2y＋1＝0和x＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a≠0；当a≠0时，两直线平行，则有＝≠，解得a＝－1或2.‎ ‎(2)因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1.‎ 即(－1)·＝－1，解得a＝－2.‎ 答案　(1)D　(2)－2‎ 规律方法　(1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.‎ ‎(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.‎ ‎【训练1】 (1)(2017·重庆一中检测)若直线l1：(a－1)x＋y－1＝0和直线l2：3x＋ay＋2＝0垂直，则实数a的值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)(2017·诸暨模拟)已知a，b为正数，且直线ax＋by－6＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0平行，则‎2a＋3b的最小值为________.‎ 解析　(1)由已知得3(a－1)＋a＝0，解得a＝.‎ ‎(2)由两直线平行可得，a(b－3)＝2b，即2b＋‎3a＝ab，＋＝1.又a，b为正数，所以‎2a＋3b＝(‎2a＋3b)·＝13＋＋≥13＋2＝25，当且仅当a＝b＝5时取等号，故‎2a＋3b的最小值为25.‎ 答案　(1)D　(2)25‎ 考点二　两直线的交点与距离问题 ‎【例2】 (1)已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________.‎ ‎(2)直线l过点P(－1，2)且到点A(2，3)和点B(－4，5)的距离相等，则直线l的方程为________.‎ 解析　(1)法一　由方程组 解得(若2k＋1＝0，即k＝－，则两直线平行)‎ ‎∴交点坐标为.‎ 又∵交点位于第一象限，‎ ‎∴解得－＜k＜.‎ 法二　如图，已知直线y＝－x＋2与x轴、y轴分别交于点A(4，0)，B(0，2).‎ 而直线方程y＝kx＋2k＋1可变形为y－1＝k(x＋2)，表示这是一条过定点P(－2，1)，斜率为k的动直线.‎ ‎∵两直线的交点在第一象限，‎ ‎∴两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)，‎ ‎∴动直线的斜率k需满足kPA＜k＜kPB.‎ ‎∵kPA＝－，kPB＝.∴－＜k＜.‎ ‎(2)法一　当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.‎ 由题意知＝，‎ 即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－.‎ ‎∴直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.‎ 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意.‎ 法二　当AB∥l时，有k＝kAB＝－，直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.‎ 当l过AB中点时，AB的中点为(－1，4).‎ ‎∴直线l的方程为x＝－1.‎ 故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.‎ 答案　(1)　(2)x＋3y－5＝0或x＝－1‎ 规律方法　(1)求过两直线交点的直线方程的方法 求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.‎ ‎(2)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为对应相等.‎ ‎【训练2】 (1)曲线y＝2x－x3在横坐标为－1的点处的切线为l，则点P(3，2)到直线l的距离为(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)(2017·衢州模拟)若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋‎2a＝0平行，则l1与l2间的距离为(　　)‎ A. B. C. D. 解析　(1)曲线y＝2x－x3上横坐标为－1的点的纵坐标为－1，故切点坐标为(－1，－1).切线斜率为k＝y′|x＝－1＝2－3×(－1)2＝－1，故切线l的方程为y－(－1)＝－1×[x－(－1)]，整理得x＋y＋2＝0.由点到直线的距离公式，得点P(3，2)到直线l的距离为＝.‎ ‎(2)因为l1∥l2，所以＝≠，所以 解得a＝－1，所以l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，所以l1与l2之间的距离d＝＝，故选B.‎ 答案　(1)A　(2)B 考点三　对称问题 ‎【例3】 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2).求：‎ ‎(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；‎ ‎(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；‎ ‎(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程.‎ 解　(1)设A′(x，y)，再由已知 解得∴A′.‎ ‎(2)在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点必在m′上.‎ 设对称点为M′(a，b)，‎ 则解得M′.‎ 设m与l的交点为N，则由得N(4，3).‎ 又∵m′经过点N(4，3)，‎ ‎∴由两点式得直线方程为9x－46y＋102＝0.‎ ‎(3)法一　在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，‎ 如M(1，1)，N(4，3)，‎ 则M，N关于点A的对称点M′，N′均在直线l′上.‎ 易知M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.‎ 法二　设P(x，y)为l′上任意一点，‎ 则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为 P′(－2－x，－4－y)，‎ ‎∵P′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，‎ 即2x－3y－9＝0.‎ 规律方法　(1)解决点关于直线对称问题要把握两点，点M与点N关于直线l对称，则线段MN的中点在直线l上，直线l与直线MN垂直.‎ ‎(2)如果直线或点关于点成中心对称问题，则只需运用中点公式就可解决问题.‎ ‎(3)若直线l1，l2关于直线l对称，则有如下性质：①若直线l1与l2相交，则交点在直线l上；②若点B在直线l1上，则其关于直线l的对称点B′在直线l2上.‎ ‎【训练3】 光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程.‎ 解　法一　由 得 ‎∴反射点M的坐标为(－1，2).‎ 又取直线x－2y＋5＝0上一点P(－5，0)，设P关于直线l的对称点P′(x0，y0)，‎ 由PP′⊥l可知，kPP′＝－＝.‎ 而PP′的中点Q的坐标为，又Q点在l上，‎ ‎∴3·－2·＋7＝0.‎ 由得 根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x－2y＋33＝0.‎ 法二　设直线x－2y＋5＝0上任意一点P(x0，y0)关于直线l的对称点为P′(x，y)，‎ 则＝－，‎ 又PP′的中点Q在l上，∴3× ‎－2×＋7＝0，由 可得P点的横、纵坐标分别为 x0＝，y0＝，‎ 代入方程x－2y＋5＝0中，化简得29x－2y＋33＝0，‎ ‎∴所求反射光线所在的直线方程为29x－2y＋33＝0.‎ ‎[思想方法]‎ ‎1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直线l1，l2，l1∥l2⇔k1＝k2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意.‎ ‎2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称.利用坐标转移法解决问题.‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在.若两条直线都有斜率，‎ 可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑.‎ ‎2.在运用两平行直线间的距离公式d＝时，一定要注意将两方程中x，y的系数分别化为相同的形式. ‎