江西省南昌市10所省重点中学命制2013届高三第二次模拟突破冲刺数学（理）试题（二）

江西省南昌市10所省重点中学命制2013届高三第二次模拟突破冲刺数学（理）试题（二）

南昌市10所省重点中学命制2013届高三第二次模拟突破冲刺（二）‎ 数学（理）试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合,,则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎2．在复平面内,复数对应的点分别为A,B．若C为线段AB的中点,则点C对应的复数的模是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎3．下列函数中既是偶函数,又是区间上的减函数的是( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎4．已知函数,则=( )‎ A． B． C． D．‎ ‎5．一个几何体的三视图如右图所示,且其左视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为( )‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎6．已知实数满足条件则使得目标函数 取得最大值的的值分别为( )‎ A．0，12 B．12，0 C．8，4 D．7，5‎ ‎7．函数的部分图象如右图所示,设是图象的最高点,是图象与轴的交点,记,则的值是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎8．下列命题中:①“”是“”的充要条件; ‎ ‎②已知随机变量服从正态分布,,则;‎ ‎③若n组数据的散点图都在直线上,则这n组数据的相关系数为;‎ ‎④函数的所有零点存在区间是.其中正确的个数是( )‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎9．如右图所示，单位圆中弧的长为,表示弧与弦所围成的弓形（阴影部分）面积的2倍，则函数的图象是( ) ‎ ‎10．抛物线的焦点为,点在此抛物线上,且,弦的中点在该抛物线准线上的射影为,则的最大值为( )‎ A． B． C．1 D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎11．下图给出了一个程序框图,其作用是输入的值,输出相应的值．若要使输入的值与输出的值相等,则这样的值有________个.‎ ‎12．一个盒子里有20个大小形状相同的小球，其中5个红球，5个黄球，10个绿球，从盒子中任取一球，若它不是红球，则它是绿球的概率是__________.‎ ‎13．已知二项式展开式中的常数项为,且函数,则___________.‎ ‎14．已知数列为等差数列,若,,则.类比上述结论,对于等比数列,若,则可以得到＝____________.‎ 三、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答. 若两题都做，则按所做的第一题评阅计分，本题共5分.‎ ‎15.(1)（极坐标与参数方程选做题）在极坐标系中,和极轴垂直且相交的直线l与圆相交于两点,若,则直线l的极坐标方程为____________.‎ ‎(2)（不等式选做题）不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是____________.‎ 四、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16.（本小题满分12分）‎ 已知向量,函数 ‎(1)求函数的最小正周期T及单调减区间;‎ ‎(2)已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，,,且.求A，b的长和ABC的面积.‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 小王参加一次比赛,比赛共设三关,第一、二关各有两个必答题,如果每关两个问题都答对,可进入下一关,第三关有三个问题,只要答对其中两个问题,则闯关成功.每过一关可一次性获得价值分别为1000元,3000元,6000元的奖品(不重复得奖),小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为,且每个问题回答正确与否相互独立.‎ ‎(1)求小王过第一关但未过第二关的概率;‎ ‎(2)用X表示小王所获得奖品的价值,写出X的概率分布列,并求X的数学期望.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 各项均为正数的数列前项和为,且.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)已知公比为的等比数列满足，且存在满足,,求数列的通项公式.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图，在正三棱柱中，，是的中点，是线段上的动点（与端点不重合），且.‎ ‎(1)若，求证:;‎ ‎(2)若直线与平面所成角的大小为，求的最大值.‎ ‎20.（本小题满分13分）‎ 已知椭圆的长轴长是短轴长的两倍，焦距为.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)设不过原点的直线与椭圆交于两点、，且直线、、的斜率依次成等比数列，求△面积的取值范围.‎ ‎21.（本小题满分14分）‎ 已知函数（）.‎ ‎(1)若函数在处取得极大值,求的值;‎ ‎(2)时,函数图象上的点都在所表示的区域内,求的取值范围;‎ ‎(3)证明:，.‎ ‎2013届高三模拟试卷（02）数学（理）【参考答案】‎ 二、填空题 ‎11.3 12. 13.‎ ‎14.bm＋n＝..解析：观察{an}的性质：am＋n＝,则联想nb－ma对应等比数列{bn}中的,而{an}中除以(n－m)对应等比数列中开(n－m)次方,故bm＋n＝.‎ 三、选做题 ‎15.（1）. 解析：设极点为O,由该圆的极坐标方程为ρ＝4,知该圆的半径为4,又直线l被该圆截得的弦长|AB|为4,所以∠AOB＝60°,∴极点到直线l的距离为d＝4×cos30°＝2,所以该直线的极坐标方程为.‎ ‎（2）或.解析：f(x)＝|x＋3|－|x－1|＝画出函数f(x)的图象,如图,可以看出函数f(x)的最大值为4,故只要a2－‎3a≥4即可,解得或.‎ 四、解答题 ‎16.解析：(1)…………（2分） ‎ ‎…………………………（4分）‎ 单调递减区间是 …………（6分）‎ ‎(2); …………………………………………8分）‎ ‎ …………（10分）. ………………………………（12分）‎ ‎17.解析：(1)设小王过第一关但未过第二关的概率为P1,‎ 则P1＝2＝. …………（4分）‎ ‎(2)X的取值为0,1000,3000, 6000,则P(X＝0)＝＋×＝,‎ P(X＝1000)＝2＝, P(X＝3000)＝22＝,‎ P(X＝6000)＝22＝,‎ ‎∴X的概率分布列为 X ‎0‎ ‎1000‎ ‎3000‎ ‎6000‎ P ‎…………………（10分）(错一列扣2分，扣完为止)‎ ‎∴X的数学期望EX＝0×＋1000×＋3000×＋6000×＝2160. ……（12分）‎ ‎18.解析：(1)，‎ 两式相减得：，…………………………………（2分）‎ 即，………………………………（4分）‎ 为首项为1，公差为2的等差数列，故………………………（6分）‎ ‎(2)，依题意得，相除得……（8分）‎ ‎，代入上式得q=3或q=7，…………………………………（10分）‎ 或.…………………………………………………………………（12分）‎ ‎19.解析：如图,建立空间直角系,则…（1分）‎ ‎(1)当时,,此时,,…（3分）‎ 因为，所以.………………（5分）‎ ‎(2)设平面ABN的法向量，则，‎ 即，取。而，………………（7分）………………（9分）‎ ‎，，故………（11分）‎ 当且仅当，即时，等号成立. …………………………………………（12分）‎ ‎20.解析:(1)由已知得 ∴方程： （4分）‎ ‎(2)由题意可设直线的方程为： ‎ 联立 消去并整理，得：‎ 则△ ,‎ 此时设、∴‎ 于是 ………………（7分）‎ 又直线、、的斜率依次成等比数列，‎ ‎∴ ‎ 由 得： .又由△ 得：‎ 显然 （否则：，则中至少有一个为0，直线、 中至少有一个斜率不存在，矛盾！） ……………………………（10分）‎ 设原点到直线的距离为,则 故由得取值范围可得△面积的取值范围为…………（13分）‎ ‎21.解析：(1)，由 经检验符合题意……（3分）‎ ‎(2)依题意知，不等式在恒成立.令,‎ 当k≤0时,取x＝1,有，故k≤0不合．…………………………（4分）‎ 当k＞0时， g′(x)＝－2kx＝.‎ 令g′(x)＝0，得x1＝0，x2＝＞－1. ……………………………（5分）‎ ‎①当k≥时， ≤0，g′(x)＜0在(0，＋∞)上恒成立，因此g(x)在[0，＋∞)上单调递减，从而对任意的x∈[0，＋∞)，总有g(x)≤g(0)＝0，故k≥符合题意．…………（6分）‎ ‎②当0＜k＜时，＞0, 对于x∈，g′(x)＞0，‎ 故g(x)在内单调递增，因此当取x0∈时，g(x0)＞g(0)＝0，不合．‎ 综上，. …………………………（8分）‎ ‎(3)证明：当n＝1时，不等式左边＝2－ln3＜2＝右边，所以不等式成立．……………（9分）‎ 当n≥2时，在(2)中取k＝，得……………（10分）‎ 取x=代入上式得:-ln(1+)≤＜………（12分）‎ ≤2－ln3＋ －ln(2n＋1)≤2－ln3＋1－＜2.‎ 综上，－ln(2n＋1)＜2， ……………………………… （14分）‎