2018届二轮复习专题54抛物线几何性质的应用很关键学案（全国通用）

2018届二轮复习专题54抛物线几何性质的应用很关键学案（全国通用）

专题54 抛物线几何性质的应用很关键 考纲要求:‎ ‎1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程．‎ ‎2．了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用．‎ ‎3．掌握抛物线的简单几何性质,理解数形结合的思想．‎ 基础知识回顾:‎ ‎1．抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离____的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的______.‎ 答案：相等 焦点 准线 ‎ ‎ ＋x0 －x0 ＋y0 －y0‎ 图1‎ ‎2．与焦点弦有关的常用结论(以图1为依据)‎ ‎(1)y1y2＝－p2，x1x2＝. (2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)．‎ ‎(3)＋为定值. (4)以AB为直径的圆与准线相切．‎ ‎(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．‎ 应用举例:‎ 类型一、求抛物线的标准方程 ‎【例1】已知过抛物线： 的焦点的直线交抛物线于点、，交其准线于点，若（其中点位于、 之间），且，则此抛物线的方程为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【例2】【2018届湖北省部分重点中学高三起点】抛物线的焦点为，过焦点倾斜角为的直线与抛物线相交于两点两点，若，则抛物线的方程为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【例3】【2017届北京市昌平区高三第二次统一练习】双曲线的渐近线方程为__________；若双曲线的右焦点恰是抛物线的焦点，则抛物线的准线方程为____________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】， 渐近线方程为， ， 双曲线右焦点为，即， 抛物线准线方程为，故答案为， .‎ 点评：1、求抛物线方程应注意的问题 ‎(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；‎ ‎(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；‎ ‎(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．‎ ‎2、求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．‎ 类型二、抛物线的焦点弦问题 ‎1、焦点弦的弦长问题 ‎【例4】【2018届甘肃省兰州第一中学高三上9月月考】已已知过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点（点在第一象限），若，则直线的斜率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，因为点在第一象限且，所以，联立，得，则 ‎，解得，即直线的斜率为；故选A.‎ 点评：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；‎ ‎(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．‎ ‎2、焦点弦中距离之和最小 ‎【例5】【2017课标1，理10】已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A．16 B．‎14 ‎ C．12 D．10‎ ‎【答案】A ‎3、焦点三角形问题 ‎【例6】过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为(　　)‎ ‎ A. B. C. D．2 解析：如图，设A(x0，y0)，不妨设y0＜0，由抛物线方程y2＝4x，可得抛物线焦点F(1,0)，抛物线准线方程为x＝－1，故|AF|＝x0－(－1)＝3，可得x0＝2，y0＝－2，故A(2，－2)，直线AB的斜率为k＝＝－2，直线AB的方程为y＝－2x＋2，联立直线与抛物线方程，可得2x2－5x＋2＝0，得x＝2或x＝，所以B点的横坐标为，可得|BF|＝－(－1)＝，|AB|＝|AF|＋|BF|＝3＋＝，O点到直线AB的距离为d＝，所以S△AOB＝|AB|d＝.答案：C ‎ 类型三、与抛物线有关的最值问题 ‎1、动弦中点到坐标轴距离最短问题 ‎【例7】已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为(　　)‎ ‎ A.　　　　　　B. C．1 D．2‎ 解析：由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过点A作AA1⊥l交l于点A1，过点B作BB1⊥l交l于点B1，设弦AB的中点为M，过点M作MM1⊥l交l于点M1，则|MM1|＝.因为|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，所以|AA1|＋|BB1|≥6,2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故点M到x轴的距离d≥2，故选D.‎ ‎2、到焦点与定点距离之和最小问题 ‎【例8】【2017届黑龙江省佳木斯市第一中学高三下第三次模拟】为抛物线上任意一点， 在轴上的射影为，点，则与长度之和的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎ 3、到点与准线的距离之和最小问题 ‎【例9】已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值是________．‎ ‎ 解析：由题意知，圆x2＋(y－4)2＝1的圆心为C(0,4)，半径为1，抛物线的焦点为F(1,0)．根据抛物线的 ‎ 定义，点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和即点P到点Q的距离与点P到抛物线焦 ‎ 点的距离之和，因此|PQ|＋|PF|≥|PC|＋|PF|－1≥|CF|－1＝－1.‎ ‎4、到直线与准线的距离之和最小问题 ‎【例10】已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和的距离之和的最小值是 .‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】试题分析：设抛物线上的一点的坐标为，则到直线的距离；‎ ‎5、到定直线的距离最小问题 ‎【例11】抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是________．‎ 图4‎ ‎ 解析：法一：如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线y＝－x2相切的 ‎ ‎ 直线为4x＋3y＋b＝0，切线方程与抛物线方程联立得 ‎ 消去y整理得3x2－4x－b＝0，则Δ＝16＋12b＝0，解得b＝－，‎ 图2‎ ‎ 故切线方程为4x＋3y－＝0，抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0‎ ‎ 距离的最小值是这两条平行线间的距离d＝＝.‎ ‎ 法二：对y＝－x2，有y′＝－2x.如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行且与 ‎ 抛物线y＝－x2相切的直线与抛物线的切点是T(m，－m2)，则切线斜率 ‎ k＝y′|x＝m＝－‎2m＝－，所以m＝，即切点T，点T到直线4x＋3y－8＝0的距离 ‎ d＝＝，由图知抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是.‎ 点评：与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．‎ 方法、规律归纳:‎ ‎1、与抛物线有关的最值问题的解题策略 该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由点到点的距离与点到直线的距离的相互转化．‎ ‎ (1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．‎ ‎ (2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．‎ 图1‎ ‎2．与焦点弦有关的常用结论(以图1为依据)‎ ‎(1)y1y2＝－p2，x1x2＝. (2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)．‎ ‎(3)＋为定值. (4)以AB为直径的圆与准线相切．‎ ‎(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．‎ 实战演练:‎ ‎1．【2017届山东省青岛市高三期初】过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于、两点，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎∴x1+x2=10，‎ 又x1x2==9，可得x1=9，x2=1，‎ 则，‎ 故选：D．‎ ‎2．【2018届河南省郑州市第一中学高三上入学】已知抛物线与双曲线（）的一个交点为为抛物线的焦点，若，则该双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎3．【2017届山东省济宁市高三3月模拟】已知双曲线（， ）的左、右焦点分别为、，焦距为，抛物线的准线交双曲线左支于， 两点，且（为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得，当 ，则，又因为，‎ 则 ‎ ‎ ‎4．【2017届天津市十二重点中学高三第二次联考】已知双曲线的离心率为，圆心在轴的正半轴上的圆与双曲线的渐近线相切，且圆的半径为2，则以圆的圆心为焦点的抛物线的标准方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎5．已知P为抛物线y＝x2上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是(6， )，则|PA|＋|PM|的最小值是 ( )‎ A. 8 B. C. 10 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】选B.依题意可知焦点F(0， )，准线为y＝－，延长PM交准线于H点(图略)．‎ 则|PF|＝|PH|，|PM|＝|PH|－，|PM|＋|PA|＝|PF|＋|PA|－，即求|PF|＋|PA|的最小值．‎ 因为|PF|＋|PA|≥|FA|，又|FA|＝ ＝10.‎ 所以|PM|＋|PA|≥10－＝.故选B.‎ ‎6.【2017届福建省莆田第六中学高三下期中】已知点是抛物线上的一个动点， 是圆： 上的一个动点，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎7．【2017届湖南省长沙市长郡中学高三5月模拟】已知抛物线，焦点记为，过点作直线交抛物线于两点，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，直线，代入可得，设，则，由抛物线的定义可得，所以，故令 ‎，令，则，所以，应选答案A .‎ ‎8．【2017届山西省太原市高三第三次模拟】已知点在抛物线上，点在圆上，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎9．【2018届广西贺州市桂梧高中高三上第四次联考】抛物线的焦点到直线的距离为5，则__________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】由题意可得，∴.填6.‎ ‎10．【2018届湖南省衡阳市第八中学高三上第三次月考】已知点是抛物线上一点， 为其焦点，以为圆心、为半径的圆交准线于两点， 为正三角形，且的面积是，则抛物线的方程是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意可得且|DF|=p，‎ 可得|BF|=，从而|AF|=，‎ 由抛物线的定义可得A到准线的距离也为，‎ 又△ABC的面积为，‎ 可得，‎ 解得p=8，则抛物线的方程为y2=16x．‎ ‎11．【2018届四川省成都市第七中学高三上学期半期】已知抛物线上横坐标为 3 的点到其焦点的距离为 4，则________.‎ ‎【答案】2‎ ‎12．【2018届黑龙江省海林市朝鲜中学高三高考综合卷（一）】过点的直线与抛物线交于， 两点，线段的垂直平分线经过点， 为抛物线的焦点，则的值为__________．‎ ‎【答案】6‎ ‎13．【2018届河南省新乡市第一中学高三8月月考】若一个圆的圆心是抛物线 的焦点，且该圆与直线相切，则该圆的标准方程是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由抛物线方程可知其焦点为，与所给直线的距离为 ，即为圆的半径．则圆的标准方程为 ．故本题填．‎ ‎14.【2017课标3，理20】已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.‎ ‎（1）证明：坐标原点O在圆M上；‎ ‎（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程.‎ ‎【答案】(1)证明略；‎ ‎(2)直线 的方程为 ，圆 的方程为 .‎ 或直线 的方程为 ，圆 的方程为 .‎ ‎【解析】‎ 所以 ，解得 或 .‎ 当 时，直线 的方程为 ，圆心 的坐标为 ，圆 的半径为 ，圆 的方程为 .‎ 当 时，直线 的方程为 ，圆心 的坐标为 ，圆 的半径为 ，圆 的方程为 .‎ ‎15.【2017北京，理18】已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；‎ ‎（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.‎ ‎【答案】（Ⅰ）方程为，抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.（Ⅱ）详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）代入点求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）设直线l的方程为（），与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，直线ON的方程为，联立求得点 的坐标，证明.‎ ‎16.【2017浙江，21】（本题满分15分）如图，已知抛物线，点A，‎ ‎，抛物线上的点．过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．‎ ‎（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）设直线AP的斜率为k，则，∵，∴直线AP斜率的取值范围是．‎ ‎（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程 解得点Q的横坐标是，因为|PA|==‎ ‎|PQ|= ，所以|PA||PQ|=‎