安徽省马鞍山市2020届高三毕业生第一次教学质量监测文科数学试题 含答案

安徽省马鞍山市2020届高三毕业生第一次教学质量监测文科数学试题 含答案

‎2020年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量监测 文科数学试题 本试卷4页，满分150分。考试时间120分钟。‎ 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名和座位号填在答题卡上。将条形码横贴在答题卡 “条形码粘贴处”。‎ ‎2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。‎ ‎3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。‎ ‎4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并收回。‎ 一、选择题：本题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则（▲）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知复数z满足，则（▲）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知非零向量满足，且，则与的夹角为（▲）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关……”其大意为：有一个人走378里路，第一天健步走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天到达目的地……．则此人后四天走的路程比前两天走的路程少（▲）里．‎ A． B． C． D．‎ ‎5．现有甲、乙、丙、丁名学生平均分成两个小组到校外参加两项活动，则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为（▲）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6．已知函数，满足，且在内恰有一个最大值点和一个最小值点，则的值为（▲）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7．已知双曲线的左右焦点分别为，，为双曲线上一点，若，，则此双曲线渐近线方程为（▲）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．某几何体三视图如图所示，其体积为，则该几何体的 外接球体积为（▲）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D． ‎ ‎9．已知等差数列，，数列满足，则 （▲）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知是偶函数，当时，，若，则的取值范围是（▲）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎11．已知椭圆的左顶点和左焦点分别为和，，直线交椭圆于两点（在第一象限），若线段的中点在直线上，则该椭圆的方程为（▲）‎ A． B．　　‎ ‎　C． D．‎ ‎12．已知，当时，在上（▲）‎ A．有最大值没有最小值 B．有最小值没有最大值 ‎ C．既有最大值也有最小值 D．既无最大值也无最小值 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．若变量满足,且,则的最大值是 ▲ ．‎ ‎14．某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的年广告支出（单位：万元）与年销售额（单位：万元）进行了初步统计，如下表所示．‎ 年广告支出/万元 ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎8‎ 年销售额/万元 ‎28‎ ‎37‎ ‎60‎ ‎70‎ 经测算，年广告支出与年销售额满足线性回归方程，则的值为 ▲ ．‎ ‎15．已知数列的前项和为，，，则 ▲ ．‎ ‎16．如图，点在正方体的棱上（不含端点），给出下列五个命题：‎ ‎①过点有且只有一条直线与直线，都是异面直线；‎ ‎②过点有且只有一条直线与直线，都相交；‎ ‎③过点有且只有一条直线与直线，都垂直；‎ ‎④过点有无数个平面与直线，都相交；‎ ‎⑤过点有无数个平面与直线，都平行；‎ 其中真命题是 ▲ ．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17． (12分) ‎ 某学校为了了解高一年级学生学习数学的状态，从期中考试成绩中随机抽取50名学生的数学成绩，按成绩分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．‎ ‎（1）由频率分布直方图，估计这50名学生数学成绩的中位数和平均数（保留到0.01）；‎ ‎75 ‎ ‎80 ‎ ‎0.01 ‎ ‎85 ‎ ‎1000 ‎ ‎90 ‎ ‎95 ‎ 分数 ‎ ‎0.02 ‎ ‎0.04 ‎ ‎0.03 ‎ ‎0.06 ‎ ‎0.07 ‎ ‎0.05 ‎ ‎（2）该校高一年级共有1000名学生，若本次考试成绩90分以上（含90分）为“优秀”等次，则根据频率分布直方图估计该校高一学生数学成绩达到“优秀”等次的人数． ‎ ‎18．(12分)‎ 已知的内角的对边分别为．已知．‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）当取最大值时，若，求的面积．‎ ‎19．(12分)‎ 在直角坐标系中，抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点．　　‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若点在线段（不含端点）上运动，，求四边形面积的最小值． ‎ ‎20．（12分） ‎ 如图，四棱锥中，底面是菱形，平面，，是上一动点．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若，三棱锥的体积为，求四棱锥的侧面积．‎ ‎21．（12分）‎ 已知函数，其中．‎ ‎（1）当时，求的最小值；‎ ‎（2）若在上单调递增，则当时，求证：‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，点在射线上，且点到极点的距离为．‎ ‎（1）求曲线的普通方程与点的直角坐标；‎ ‎（2）求的面积．‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 设函数．‎ ‎（1）若函数有零点，求实数的取值范围；‎ ‎（2）记（1）中实数的最大值为，若，均为正实数，且满足，‎ 求的最小值．‎ ‎2020年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量监测 文科数学试题 一、选择题：本题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D C D A B D A B C D C B 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13. 14. 55 15. 6. ②③④‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17． (12分) ‎ ‎【解】（1）设这50名学生数学成绩的中位数和平均数分别为 因为前2组的频率之和为，因为前3组的频率之和为，所以，‎ 由，得．‎ ‎，‎ 所以，这50名学生数学成绩的中位数和平均数分别为，…………………..6分 ‎（2）因为样本中90分及以上的频率为， ‎ ‎ 所以该校高一年级1000名学生中，根据频率分布直方图估计该校高一学生数学成绩达到 ‎“优秀”等次的人数为人． …………………..12分 ‎18．(12分)‎ ‎【解】（1）由已知可得 又，故 …………………..6分 (2) ‎ 由（1）知，易得；‎ ‎ 又，所以；‎ ‎ 所以的面积． …………………..12分 ‎19．(12分)‎ ‎【解】（1）由题知，设，代入到中，‎ 得设，则，‎ 所以所以 …………………..6分 ‎（2）因为，所以是线段的中点，从而点与点到直线的距离相等，‎ 所以四边形的面积等于．‎ 而 所以时，四边形的面积最小，最小值为． …………………..12分 ‎20．（12分） ‎ ‎【证明】（1）平面，平面，．‎ 底面是菱形，．‎ 又，平面，平面，‎ 平面．‎ 又平面，‎ 平面平面． …………………..5分 ‎（2）设菱形的边长为，， ‎ ‎．‎ 在中， ‎ ‎ ．又 平面，，，，．‎ 又，‎ ‎，，，‎ ‎． 又平面， ，‎ ‎ 四棱锥的侧面积为 ‎． …………………..12分 ‎21．（12分）‎ ‎【解】（1）当时，‎ 当时，在上单调递减；‎ 当时，在上单调递增．‎ ‎． …………………..5分 ‎（2）‎ 恒成立 恒成立． …………………..8分 则由（1）可得：．‎ 又 ‎…………………..12分 ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ ‎【解】（1）曲线的普通方程为，‎ 点的极坐标为，直角坐标为． …………………..5分 ‎（2）（方法一）圆心，，‎ 点到的距离，且，‎ 所以 ． …………………..10分 ‎ （方法二）圆心，其极坐标为，而，结合图像利用极坐标的几何含义，可得，，所以 ．‎ 所以 ．‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ ‎【解】（1）依题意可知二次方程有解，‎ ‎，即．‎ ①当时，，；‎ ②当时，恒成立，；‎ ③当时，，． ‎ 综上所述，可得． ………………….5分 ‎（2）由（1）知，‎ ‎（方法一：利用基本不等式）∵，‎ ‎∴，∴的最小值为，当且仅当时取等号．…………………..10分 ‎（方法二：利用二次函数求最值）∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴的最小值为，当且仅当时取等号． ‎ ‎（方法三：利用柯西不等式）∵，‎ ‎∴，∴的最小值为，当且仅当时取等号．‎