【数学】2018届一轮复习人教A版第6章第6节数学归纳法学案
第六节 数学归纳法
1．数学归纳法
证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；
(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．
2．数学归纳法的框图表示
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．( )
(2)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．( )
(3)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．( )
(4)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．(2017·杭州二中月考)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于( )
A．1 B．2
C．3 D．0
C [因为凸n边形最小为三角形，所以第一步检验n等于3，故选C.]
3．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…－＝2时，若已假设n＝k(k≥2，且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )
A．n＝k＋1时等式成立
B．n＝k＋2时等式成立
C．n＝2k＋2时等式成立
D．n＝2(k＋2)时等式成立
B [k为偶数，则k＋2为偶数．]
4．(教材改编)已知{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n∈N*，且a1＝2，则a2＝__________，a3＝__________，a4＝__________，猜想an＝__________.
3 4 5 n＋1
5．用数学归纳法证明：“1＋＋＋…＋
1)”由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项的项数是__________.
【导学号：51062209】
2k [当n＝k时，不等式为1＋＋＋…＋均成立．
[证明] (1)当n＝2时，左边＝1＋＝；右边＝.∵左边>右边，∴不等式成立.4分
(2)假设n＝k(k≥2，且k∈N*)时不等式成立，
即·…·>.8分
则当n＝k＋1时，·…·>·＝
＝>
＝＝.14分
∴当n＝k＋1时，不等式也成立．
由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立.15分
[规律方法] 1.当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他方法不容易证明，则可考虑应用数学归纳法．
2．用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时命题成立，再证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化．
[变式训练2] 已知数列{an}，当n≥2时，an<－1，又a1＝0，a＋an＋1
－1＝a，求证：当n∈N*时，an＋1a2.4分
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，ak＋10.10分
又∵ak＋2＋ak＋1＋1<－1＋(－1)＋1＝－1，
∴ak＋2－ak＋1<0，
∴ak＋20，n∈N*.
(1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式；
(2)证明通项公式的正确性．
[解] (1)当n＝1时，由已知得a1＝＋－1，a＋2a1－2＝0.
∴a1＝－1(a1>0).2分
当n＝2时，由已知得a1＋a2＝＋－1，
将a1＝－1代入并整理得a＋2a2－2＝0.
∴a2＝－(a2>0)．同理可得a3＝－.
猜想an＝－(n∈N*).7分
(2)证明：①由(1)知，当n＝1,2,3时，通项公式成立．
②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时，通项公式成立，
即ak＝－.10分
由于ak＋1＝Sk＋1－Sk＝＋－－，
将ak＝－代入上式，整理得
a＋2ak＋1－2＝0，
∴ak＋1＝－，
即n＝k＋1时通项公式成立.14分
由①②可知对所有n∈N*，an＝－都成立.15分
[规律方法] 1.猜想{an}的通项公式时应注意两点：(1)准确计算a1，a2，a3发现规律(必要时可多计算几项)；(2)证明ak＋1时，ak＋1的求解过程与a2，a3的求解过程相似，注意体会特殊与一般的辩证关系．
2．“归纳—猜想—证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，这种方法在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用，它的模式是先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理证明结论的正确性．
[变式训练3] (2017·绍兴调研)已知数列{xn}满足x1＝，xn＋1＝，n∈N*.猜想数列{x2n}的单调性，并证明你的结论. 【导学号：51062210】
[解] 由x1＝及xn＋1＝，
得x2＝，x4＝，x6＝，
由x2>x4>x6猜想：数列{x2n}是递减数列.4分
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，已证命题成立.6分
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时命题成立，
即x2k>x2k＋2，易知xk>0，那么
x2k＋2－x2k＋4＝－
＝＝
>0，12分
即x2(k＋1)>x2(k＋1)＋2.
也就是说，当n＝k＋1时命题也成立．
结合(1)(2)知，对∀n∈N*命题成立.15分
[思想与方法]
1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学命题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．
2．在推证n＝k＋1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设．此时既要看准目标，又要弄清n＝k与n＝k＋1之间的关系．在推证时，应灵活运用分析法、综合法、反证法等方法．
[易错与防范]
1．第一步验证当n＝n0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值．
2．由n＝k时命题成立，证明n＝k＋1时命题成立的过程中，一定要用归纳假设，否则就不是数学归纳法．
3．解“归纳——猜想——证明”题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础．否则将会做大量无用功．
课时分层训练(三十五) 数学归纳法
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．用数学归纳法证明2n>2n＋1，n的第一个取值应是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C [∵n＝1时，21＝2,2×1＋1＝3,2n>2n＋1不成立；
n＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n>2n＋1不成立；
n＝3时，23＝8,2×3＋1＝7,2n>2n＋1成立．
∴n的第一个取值应是3.]
2．一个关于自然数n的命题，如果验证当n＝1时命题成立，并在假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时命题成立的基础上，证明了当n＝k＋2时命题成立，那么综合上述，对于( ) 【导学号：51062211】
A．一切正整数命题成立
B．一切正奇数命题成立
C．一切正偶数命题成立
D．以上都不对
B [本题证的是对n＝1,3,5,7，…命题成立，即命题对一切正奇数成立．]
3．在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为( )
A. B.
C. D.
C [由a1＝，Sn＝n(2n－1)an求得a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝.猜想an＝.]
4．凸n多边形有f(n)条对角线，则凸(n＋1)边形的对角线的条数f(n＋1)为
( )
A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n
C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2
C [边数增加1，顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的n
－2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加(n－1)条．]
5．用数学归纳法证明3(2＋7k)能被9整除，证明n＝k＋1时，应将3(2＋
7k＋1)配凑成( ) 【导学号：51062212】
A．6＋21·7k B．3(2＋7k)＋21
C．3(2＋7k) D．21(2＋7k)－36
D [要配凑出归纳假设，故3(2＋7k＋1)＝3(2＋7·7k)＝6＋21·7k＝21(2＋7k)－36.]
二、填空题
6．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝__________时，命题亦真．
2k＋1 [n为正奇数，假设n＝2k－1成立后，需证明的应为n＝2k＋1时成立．]
7．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上的项为__________. 【导学号：51062212】
(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2 [当n＝k时左端为1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋k2，
则当n＝k＋1时，左端为
1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，
故增加的项为(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.]
8．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，经计算得f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，则其一般结论为__________________．
f(2n)>(n≥2，n∈N*) [因为f(22)>，f(23)>，f(24)>，f(25)>，所以当n≥2时，有f(2n)>.故填f(2n)>(n≥2，n∈N*)．]
三、解答题
9．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋<2－(n∈N*，n≥2)．
[证明] (1)当n＝2时，1＋＝<2－＝，命题成立.4分
(2)假设n＝k时命题成立，即
1＋＋＋…＋<2－.7分
当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋<2－＋<2－＋＝2－＋－
＝2－命题成立.14分
由(1)(2)知原不等式在n∈N*，n≥2时均成立.15分
10．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N*，λ>0)．
(1)求a2，a3，a4；
(2)猜想{an}的通项公式，并加以证明. 【导学号：51062213】
[解] (1)a2＝2λ＋λ2＋2(2－λ)＝λ2＋22，
a3＝λ(λ2＋22)＋λ3＋(2－λ)22＝2λ3＋23，
a4＝λ(2λ3＋23)＋λ4＋(2－λ)23＝3λ4＋24.6分
(2)由(1)可猜想数列通项公式为：
an＝(n－1)λn＋2n.8分
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1,2,3,4时，等式显然成立，
②假设当n＝k(k≥4，k∈N*)时等式成立，
即ak＝(k－1)λk＋2k，10分
那么当n＝k＋1时，
ak＋1＝λak＋λk＋1＋(2－λ)2k
＝λ(k－1)λk＋λ2k＋λk＋1＋2k＋1－λ2k
＝(k－1)λk＋1＋λk＋1＋2k＋1
＝[(k＋1)－1]λk＋1＋2k＋1，
所以当n＝k＋1时，猜想成立，
由①②知数列的通项公式为an＝(n－1)λn＋2n(n∈N*，λ>0).15分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立．”那么，下列命题总成立的是( )
A．若f(1)<1成立，则f(10)<100成立
B．若f(2)<4成立，则f(1)≥1成立
C．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立
D．若f(4)≥16成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
D [∵f(k)≥k2成立时，f(k＋1)≥(k＋1)2成立，
∴f(4)≥16时，有f(5)≥52，f(6)≥62，…，f(k)≥k2成立．]
2．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝__________；当n>4时，f(n)＝__________(用n表示)．
5 (n＋1)(n－2)(n≥3) [f(3)＝2，f(4)＝f(3)＋3＝2＋3＝5，
f(n)＝f(3)＋3＋4＋…＋(n－1)
＝2＋3＋4＋…＋(n－1)
＝(n＋1)(n－2)(n≥3)．]
3．设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3＝15.
(1)求a1，a2，a3的值；
(2)求数列{an}的通项公式. 【导学号：51062214】
[解] (1)由题意知S2＝4a3－20，
∴S3＝S2＋a3＝5a3－20.2分
又S3＝15，∴a3＝7，S2＝4a3－20＝8.
又S2＝S1＋a2＝(2a2－7)＋a2＝3a2－7，
∴a2＝5，a1＝S1＝2a2－7＝3.
综上知，a1＝3，a2＝5，a3＝7.6分
(2)由(1)猜想an＝2n＋1，下面用数学归纳法证明．
①当n＝1时，结论显然成立；7分
②假设当n＝k(k≥1)时，ak＝2k＋1，
则Sk＝3＋5＋7＋…＋(2k＋1)＝＝k(k＋2)．
又Sk＝2kak＋1－3k2－4k，
∴k(k＋2)＝2kak＋1－3k2－4k，
解得2ak＋1＝4k＋6，13分
∴ak＋1＝2(k＋1)＋1，即当n＝k＋1时，结论成立．
由①②知，∀n∈N*，an＝2n＋1.15分
