江西省上高二中2021届高三上学期第三次月考数学（理）试题
上高二中2021届高三数学（理科）第三次月考试卷
1．已知全集，集合，，则（ ）
A． B．{0,1} C．{0,1,2} D．
2. 若是的充分不必要条件，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3.若c>b>a>0，则( )
A. logac>logbc B.2lnb
b－ D. abbc>acbb
4. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例
则下面结论中不正确的是( )
A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
5．已知函数，若，，，则的大小关系为( )
A． B． C． D．
6.已知，则函数的图象大致为 ( )
A. B.
15
C. D.
7.下列命题中正确的共有（ ）个
①. ②.
③. ④.
A．1 B. 2 C. 3 D.4
8.已知定义域为R的函数f（x）满足f（-x）= -f（x+4），当x>2时，f（x）单调递增，如果x1+x2<4且（x1-2）（x2-2）<0，则f（x1）+f（x2）的值（ ）
A．恒小于0 B．恒大于0 C．可能为0 D．可正可负
9.已知x，y∈R，且满足，若由不等式组确定的可行域的面积为1，则目标函数z＝x＋ay的最大值为( )
A. B.2 C.3 D.4
10.已知函数f(x)＝1＋loga(x－2)(a>0，a≠1)的图象经过定点A(m，n)，若正数x，y满足，则的最小值是( )
A.5 B.10 C.5＋3 D.5＋4
11.已知函数y＝f(x)在R上可导且f(0)＝2，其导函数f'(x)满足>0，对于函数g(x)＝，下列结论错误的是( )
A.函数g(x)在(2，＋∞)上为单调递增函数 B.x＝2是函数g(x)的极小值点
C.x≤0时，不等式f(x)≤2ex恒成立 D.函数g(x)至多有两个零点
15
12．若关于的方程有三个不等的实数解,且,其中,为自然对数的底数,则的值为（ ）
A． B． C． D．
13．已知，则曲线在点处的切线方程为 .
14．奇函数满足，当时，，若，则___________.
15．设函数．若关于的不等式有且仅有一个整数解，则正数的取值范围是_______.
16.已知实数x，y满足y≥2x>0，则的最小值为 。
17．(12分)已知定义域为R的函数，f(x)=ax－(k－1)a-x(a＞0且a≠1)是奇函数．
(1)求实数k的值：
(2)若f(1)＜0，判断函数单调性，并求不等式f(x2+tx)+f(4－x)＜0恒成立时t的取值范围；
18（本题12分）某校倡导为特困学生募捐,要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水,便自觉向捐款箱中 至少投入一元钱.现统计了连续天的售出矿泉水箱数和收入情况,列表如下:
15
学校计划将捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生,规定:(1)特困生综合考核前名,获一等奖学金元.(2)综合考核21至50名,获二等奖学金元.(3)综合考核名以后的不获得奖学金.
(1)若与成线性相关,则某天售出箱水时,预计收入为多少元?
(2)甲乙两名学生获一等奖学金的概率均为,获二等奖学金的概率均为,不获得奖学金的概率均为,已知甲乙两名学生获得哪个等级的奖学金相互独立,求甲乙两名学生所获得奖学金之和的分布列及数学期望.
附:回归方程,其中,.
19.(本小题12分)在平面α内的四边形ABCD(如图1)，△ABC和△ACD均为等腰三角形，其中AC＝2，AB＝BC＝，AD＝CD＝，现将△ABC和△ACD均沿AC边向上折起(如图2)，使得B，D两点到平面α的距离分别为1和2。
(I)求证：BD⊥AC；
(II)求二面角A−BD−C余弦值。
19.
15
20．(12分)某市城郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形体育活动场地，其中总面积为3000
平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S平方米．
(1)分别用x表示y及S的函数关系式，并给出定义域；
(2)请你设计规划该体育活动场地，使得该塑胶运动场地占地面积S最大，并求出最大值
21．（本题满分12分）已知函数．
（1）设是函数的极值点，求的值，并求的单调区间；
（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围．
选考部分
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线和的直角坐标方程；
（2）若点为上任意一点，求点到的距离的取值范围.
15
23.（10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数的定义域为R．
（1）求实数m的取值范围；
（2）设实数t为m的最大值，实数满足，试证明：.
15
上高二中2021届高三数学（理科）第三次月考试卷
1．已知全集，集合，，则（ B ）
A． B．{0,1} C．{0,1,2} D．
2. 若是的充分不必要条件，则是的（B ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3.若c>b>a>0，则(D )
A. logac>logbc B.2lnbb－ D. abbc>acbb
4. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例
则下面结论中不正确的是( A )
A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
5．已知函数，若，，，则的大小关系为( D )
A． B． C． D．
6.已知，则函数的图象大致为 ( A )
A. B.
15
C. D.
7.下列命题中正确的共有（ B ）个
①. ②.
③. ④.
A．1 B. 2 C. 3 D.4
8.已知定义域为R的函数f（x）满足f（-x）= -f（x+4），当x>2时，f（x）单调递增，如果x1+x2<4且（x1-2）（x2-2）<0，则f（x1）+f（x2）的值（ A ）
A．恒小于0 B．恒大于0 C．可能为0 D．可正可负
9.已知x，y∈R，且满足，若由不等式组确定的可行域的面积为1，则目标函数z＝x＋ay的最大值为( C )
A. B.2 C.3 D.4
10.已知函数f(x)＝1＋loga(x－2)(a>0，a≠1)的图象经过定点A(m，n)，若正数x，y满足，则的最小值是( D )
A.5 B.10 C.5＋3 D.5＋4
11.已知函数y＝f(x)在R上可导且f(0)＝2，其导函数f'(x)满足>0，对于函数g(x)＝，下列结论错误的是( C )
A.函数g(x)在(2，＋∞)上为单调递增函数 B.x＝2是函数g(x)的极小值点
C.x≤0时，不等式f(x)≤2ex恒成立 D.函数g(x)至多有两个零点
15
12．若关于的方程有三个不等的实数解,且,其中,为自然对数的底数,则的值为（ B ）
A． B． C． D．
13．已知，则曲线在点处的切线方程为 .
14．奇函数满足，当时，，若，则___________.2
15．设函数．若关于的不等式有且仅有一个整数解，则正数的取值范围是_______.
16.已知实数x，y满足y≥2x>0，则的最小值为 。
17．(12分)已知定义域为R的函数，f(x)=ax－(k－1)a-x(a＞0且a≠1)是奇函数．
(1)求实数k的值：
(2)若f(1)＜0，判断函数单调性，并求不等式f(x2+tx)+f(4－x)＜0恒成立时t的取值范围；
解：(1)∵是定义域为R的奇函数，
∴ …… 2分
∴. …… 4分
（2）
， ……6分
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而在R上单调递减，在R上单调递增，
故判断在R上单调递减， ……8分
不等式化为，，
恒成立，
，解得. ……12分
18（本题12分）某校倡导为特困学生募捐,要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水,便自觉向捐款箱中 至少投入一元钱.现统计了连续天的售出矿泉水箱数和收入情况,列表如下:
学校计划将捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生,规定:(1)特困生综合考核前名,获一等奖学金元.(2)综合考核21至50名,获二等奖学金元.(3)综合考核名以后的不获得奖学金.
(1)若与成线性相关,则某天售出箱水时,预计收入为多少元?
(2)甲乙两名学生获一等奖学金的概率均为,获二等奖学金的概率均为,不获得奖学金的概率均为,已知甲乙两名学生获得哪个等级的奖学金相互独立,求甲乙两名学生所获得奖学金之和的分布列及数学期望.
附:回归方程,其中,.
18.题解析
(1),,经计算,,所以线性回归方程为,
当时,的估计值为元.
(2)的可能取值为,,,,,,
15
, ,, ,
, ,
所以的数学期望.
19.(本小题12分)在平面α内的四边形ABCD(如图1)，△ABC和△ACD均为等腰三角形，其中AC＝2，AB＝BC＝，AD＝CD＝，现将△ABC和△ACD均沿AC边向上折起(如图2)，使得B，D两点到平面α的距离分别为1和2。
(I)求证：BD⊥AC；
(II)求二面角A−BD−C余弦值。
19.
15
20．(12分)某市城郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形体育活动场地，其中总面积为3000
平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S平方米．
(1)分别用x表示y及S的函数关系式，并给出定义域；
(2)请你设计规划该体育活动场地，使得该塑胶运动场地占地面积S最大，并求出最大值
21.解：（1）由已知其定义域是(6,500).……………2分
而
,其定义域是(6,500).……………6分
（2）
当且仅当，即时，上述不等式等号成立，
此时，
15
答：设计 时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米.
21．（本题满分12分）已知函数．
（1）设是函数的极值点，求的值，并求的单调区间；
（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围．
21. （1）由题意，函数，
则，
因为是函数的极值点，所以，故，即，令，解得或.
令，解得,
所以在和上单调递增，在上单调递减.
（2）由，
当时，，则在上单调递增，
又，所以恒成立；
当时，易知在上单调递增，
故存在，使得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，则，这与恒成立矛盾.
综上，m取值范围是
选考部分
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
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22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线和的直角坐标方程；
（2）若点为上任意一点，求点到的距离的取值范围.
22．解：（1）由消去参数，得
则曲线的普通方程为.
由，得，即
则曲线的直角坐标方程为；
（2）曲线上的任意一点到曲线的距离为
故点p到曲线的距离的取值范围为.
23.（10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数的定义域为R．
（1）求实数m的取值范围；
（2）设实数t为m的最大值，实数满足，试证明：.
15
23.解：（1）由题意知，恒成立，又，所以实数的取值范围是．
（2）由（1）可知，，所以从而
，
当且仅当，即时等号成立.
注：第（2）问也可以用柯西不等式
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