2017-2018学年云南省南涧县民族中学高二12月月考数学（文）试题

2017-2018学年云南省南涧县民族中学高二12月月考数学（文）试题

南涧县民族中学2017-2018学年上学期12月月考 高二文科数学试题 命题人：自庭秀 审题人：自庭秀 ‎ 班级 姓名 学号 ‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。‎ 注:所有题目在答题卡上做答 第I卷（选择题 共60分）‎ 一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。）‎ ‎1.已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|y=ln（2﹣x）}，则A∩B=（　　）‎ A．（1，3） B．（1，3] C．[﹣1，2） D．（﹣1，2）‎ ‎2.已知x、y满足线性约束条件：，则目标函数z=x﹣2y的最小值是（　　）‎ A．6 B．﹣‎6 ‎C．4 D．﹣4‎ ‎3.数列{an}中，a1=﹣1，an+1=an﹣3，则a8等于（　　）‎ A．﹣7 B．﹣8 C．﹣22 D．27‎ ‎4.先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.已知点，椭圆与直线交于点A、B，则△ABM的周长为（　　）‎ A．4 B．8 C．12 D．16‎ ‎6.下列有关命题的说法正确的是（　　）‎ A．“x2=1”是“x=1”的充分不必要条件 B．“x=2时，x2﹣3x+2=0”的否命题为真命题 C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”‎ D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题 ‎7.函数f（x）=的零点个数为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎8.某几何体的三视图如图所示，其体积为（　　）‎ A．28π B．37π C．30π D．148π ‎9.两个相关变量满足如表关系：‎ x ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎25‎ ‎●‎ ‎50‎ ‎56‎ ‎64‎ 根据表格已得回归方程： =9.4x+9.2，表中有一数据模糊不清，请推算该数据是（　　）‎ A．37 B．38.5 C．39 D．40.5‎ ‎10.已知函数，则下面结论中错误的是（　　）‎ A．函数f（x）的最小正周期为π ‎ B．函数f（x）的图象关于直线对称 C．函数f（x）的图象可由g（x）=2sin2x的图象向右平移个单位得到 D．函数f（x）在区间上是增函数 ‎11.某程序框图如图所示，若输入的n=10，则输出结果为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知双曲线3y2﹣mx2=3m（m＞0）的一个焦点与 抛物线的焦点重合，则此双曲线的离心率为（　　）‎ A．3 B． C． D．2‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 一、 填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）。‎ ‎13.若非零向量，满足||=|+|=2，||=1，则向量与夹角的余弦值为　　．‎ ‎14.在△ABC中， =　 　．‎ ‎15.某校高三年级的学生共1000人，一次测验成绩的分布直方图如图所示，现要按如图所示的4个分数段进行分层抽样，抽取50人了解情况，则在80～‎ ‎90分数段应抽取人数为　　．‎ ‎16.在数列{an}中，a1=2，an+1=2an，Sn为{an}的前n项和，若Sn=126，则n=　 　．‎ 一、 解答题：要求写出计算或证明步骤（本大题共6小题，共70分,写出证明过程或演算步骤）‎ ‎17.（本题10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．‎ ‎（Ⅰ）求a的值；‎ ‎（Ⅱ） 若角A为锐角，求b的值及△ABC的面积．‎ ‎18.（本题12分）如图，底面是正三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=2．‎ ‎（Ⅰ）求证：A1C∥平面AB1D；‎ ‎（Ⅱ）求的A1到平面AB1D的距离．‎ ‎19.（本题12分）某市对大学生毕业后自主创业人员给予小额贷款补贴，贷款期限分为6个月、12个月、18个月、24个月、36个月五种，对于这五种期限的贷款政府分别补贴200元、300元、300元、400元、400元，从2016年享受此项政策的自主创业人员中抽取了100人进行调查统计，选取贷款期限的频数如表：‎ ‎ 贷款期限 ‎ 6个月 ‎ 12个月 ‎ 18个月 ‎ 24个月 ‎ 36个月 ‎ 频数 ‎ 20‎ ‎ 40‎ ‎ 20‎ ‎ 10‎ ‎ 10‎ ‎（Ⅰ）若小王准备申请此项贷款，求其获得政府补贴不超过300元的概率（以上表中各项贷款期限的频率作为2017年自主创业人员选择各种贷款期限的概率）；‎ ‎（Ⅱ）若小王和小李同时申请此项贷款，求两人所获得政府补贴之和不超过600元的概率．‎ ‎20.（本题12分）已知数列{an}中，an2+2an﹣n2+2n=0（n∈N+）‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式 ‎（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn．‎ ‎21.（本题12分）某公司生产的商品A每件售价为5元时，年销售10万件．‎ ‎（1）据市场调查，若价格每提高一元，销量相应减少1万件，要使销售收入不低于原销售收入，该商品的销售价格最多提高多少元？‎ ‎（2）为了扩大该商品的影响力，公司决定对该商品的生产进行技术革新，将技术革新后生产的商品售价提高到每件x元，公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为宣传费用．试问：技术革新后生产的该商品销售量m至少应达到多少万件时，才可能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和？‎ 22. ‎（本题12分）已知椭圆的离心率，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知定点E（﹣1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．‎ 南涧县民族中学2017-2018学年上学期12月月考 高二文科数学参考答案 ‎1.C ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】化简集合A、B，求出A∩B即可．‎ ‎【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}=[﹣1，3]，‎ B={x|y=ln（2﹣x）}={x|2﹣x＞0}={x|x＜2}=（﹣∞，2）；‎ ‎∴A∩B=[﹣1，2）．‎ 故选：C．‎ ‎2.D ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．‎ ‎【解答】解：由z=x﹣2y得y=x﹣，‎ 作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分OAB）‎ 平移直线y=x﹣，‎ 由图象可知当直线y=x﹣，过点A时，‎ 直线y=x﹣的截距最大，此时z最小，‎ 由，解得，即A（2，3）．‎ 代入目标函数z=x﹣2y，‎ 得z=2﹣6=﹣4‎ ‎∴目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣4．‎ 故选：D．‎ ‎3.C ‎【考点】等差数列；等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】数列{an}中，a1=﹣1，an+1=an﹣3，可得an+1﹣an=﹣3，利用递推式求出a8，从而求解；‎ ‎【解答】解：∵数列{an}中，a1=﹣1，an+1=an﹣3，‎ ‎∴an+1﹣an=﹣3，‎ ‎∴a2﹣a1=﹣3，‎ a3﹣a2=﹣3，‎ ‎…‎ a8﹣a7=﹣3，‎ 进行叠加：a8﹣a1=﹣3×7，‎ ‎∴a8=﹣21+（﹣1）=﹣22，‎ 故选C；‎ ‎4.D ‎【考点】互斥事件与对立事件．‎ ‎【分析】至少一次正面朝上的对立事件是没有正面向上的骰子，先做出三次反面都向上的概率，利用对立事件的概率做出结果．‎ ‎【解答】解：由题意知至少一次正面朝上的对立事件是没有正面向上的骰子，‎ 至少一次正面朝上的对立事件的概率为，‎ ‎1﹣=．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查对立事件的概率，正难则反是解题是要时刻注意的，我们尽量用简单的方法来解题，这样可以避免一些繁琐的运算，使得题目看起来更加清楚明了．‎ ‎5.B ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【分析】直线过定点，由椭圆定义可得 AN+AM=2a=4，BM+BN=2a=4，由△ABM的周长为AB+BM+AM=（AN+AM）+（BN+BM），求出结果．‎ ‎【解答】解：直线过定点，‎ 由题设知M、N是椭圆的焦点，由椭圆定义知：AN+AM=2a=4，BM+BN=2a=4．‎ ‎△ABM的周长为AB+BM+AM=（AN+BN）+BM+AM=（AN+AM）+（BN+BM）=8，‎ 故选：B．‎ ‎6.D ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】A，“x2=1”是“x=1”的必要条件；‎ B，“由x=1时，x2﹣3x+2=0可判定；‎ C，“＜0”的否定是：“≥0”；‎ D，判定原命题真假，由命题的逆否命题与原命题同真假即可判定；‎ ‎【解答】解：对于A，“x2=1”是“x=1”的必要条件，故错；‎ 对于B，“x=2时，x2﹣3x+2=0”的否命题为“x≠2时，x2﹣3x+2≠0”，∵x=1时，x2﹣3x+2=0，故错；‎ 对于C，命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”，故错；‎ 对于D，命题“若x=y，则sinx=siny”为真命题，故其逆否命题为真命题，故正确；‎ 故选：D ‎7.B ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】先判断函数的单调性，由于在定义域上两个增函数的和仍为增函数，故函数f（x）为单调增函数，而f（0）＜0，f（）＞0‎ 由零点存在性定理可判断此函数仅有一个零点 ‎【解答】解：函数f（x）的定义域为[0，+∞）‎ ‎∵y=在定义域上为增函数，y=﹣在定义域上为增函数 ‎∴函数f（x）=在定义域上为增函数 而f（0）=﹣1＜0，f（1）=＞0‎ 故函数f（x）=的零点个数为1个 故选B ‎【点评】本题主要考查了函数零点的判断方法，零点存在性定理的意义和运用，函数单调性的判断和意义，属基础题 ‎　8.B ‎【考点】L!：由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】几何体为大圆柱中挖去一个小圆柱，代入体积公式计算即可．‎ ‎【解答】解：由三视图可知几何体为大圆柱里面挖去一个小圆柱．‎ 大圆柱的底面半径为4，高为4，‎ 小圆柱的底面半径为3，高为3，‎ ‎∴几何体的体积V=π×42×4﹣π×32×3=37π．‎ 故选B．‎ ‎9.C ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】求出代入回归方程解出，从而得出答案．‎ ‎【解答】解： =，∴=9.4×4+9.2=46.8．‎ 设看不清的数据为a，则25+a+50+56+64=5=234．‎ 解得a=39．‎ 故选C．‎ ‎10.D ‎【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．‎ ‎【分析】将f（x）化简，结合三角函数的性质求解即可．‎ ‎【解答】解：函数，‎ 化简可得：f（x）=cos2x+3sinxcosx﹣sinxcosx﹣sin2x=cos2x+sin2x=2sin（2x+‎ ‎）‎ 最小正周期T=．∴A对．‎ 令x=，即f（）=2sin（）=2，∴关于直线对称，B对．‎ 函数g（x）=2sin2x的图象向右平移个单位，可得：2sin2（x﹣）=2sin（2x﹣）≠f（x），∴C不对．‎ 令2x+≤上单调递增，可得：，∴函数f（x）在区间上是增函数，∴D对．‎ 故选：D．‎ ‎11.C ‎【考点】EF：程序框图．‎ ‎【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，模拟程序的运行，对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．‎ ‎【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=++…+的值，‎ 由于S=++…+=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣=．‎ 故选：C．‎ ‎12.D ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】先求出抛物线y=x2的焦点坐标，由此得到双曲线3y2﹣mx2=3m（m＞0）的一个焦点，从而求出m的值，进而得到该双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：∵抛物线y=x2的焦点是（0，2），‎ ‎∴c=2，‎ 双曲线3y2﹣mx2=3m可化为﹣=1‎ ‎∴m+3=4，‎ ‎∴m=1，‎ ‎∴e==2．‎ 故选．D ‎13.﹣‎ ‎【考点】9R：平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】运用向量的平方即为模的平方，计算可得•=﹣，再由向量夹角公式：cos＜，＞=，计算即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：由非零向量，满足||=|+|=2，||=1，‎ 可得||2=|+|2=||2+||2+2•=4，‎ 则•=﹣，‎ 即有向量与夹角的余弦值为==﹣．‎ 故答案为：﹣．‎ ‎14.1‎ ‎【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数．‎ ‎【分析】根据诱导公式与两角和的正弦公式，证出sinA=sinBcosC+cosBsinC，结合正弦定理证出a=bcosC+ccosB，即可得到所求式子的值．‎ ‎【解答】解：∵△ABC中，A+B+C=π，‎ ‎∴sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC．‎ 根据正弦定理，得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，（R是△ABC外接圆半径），‎ ‎∵sinA=sinBcosC+cosBsinC，‎ ‎∴2RsinA=2RsinBcosC+2RcosBsinC，即a=bcosC+ccosB，‎ 由此可得=1．‎ 故答案为：1‎ ‎15.20‎ ‎【考点】频率分布直方图．‎ ‎【分析】根据分层抽样知在各层抽取的比例是：，把条件代入，再由抽取人数，求出在80～90分数段应抽取人数．‎ ‎【解答】解：根据题意和分层抽样的定义知，在80～90分数段应抽取人数为×50=20．‎ 故答案为：20．‎ ‎16.6‎ ‎【分析】由an+1=2an，结合等比数列的定义可知数列{an}是a1=2为首项，以2为公比的等比数列，代入等比数列的求和公式即可求解．‎ ‎【解答】解：∵an+1=2an，‎ ‎∴，‎ ‎∵a1=2，‎ ‎∴数列{an}是a1=2为首项，以2为公比的等比数列，‎ ‎∴Sn===2n+1﹣2=126，‎ ‎∴2n+1=128，‎ ‎∴n+1=7，‎ ‎∴n=6．‎ 故答案为：6‎ ‎【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，解题的关键是熟练掌握基本公式．‎ ‎17.‎ ‎【考点】正弦定理；余弦定理．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据题意和正弦定理求出a的值；‎ ‎（Ⅱ）由二倍角的余弦公式变形求出sin2A，由A的范围和平方关系求出cosA，由余弦定理列出方程求出b的值，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，因为，‎ 由正弦定理，‎ 得．…‎ ‎（Ⅱ） 由得，，‎ ‎ 由得，，‎ 则，‎ 由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，‎ 化简得，b2﹣2b﹣15=0，解得b=5或b=﹣3（舍负）．‎ 所以． …‎ ‎18.‎ ‎【考点】MK：点、线、面间的距离计算；LS：直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）连接A1B交AB1于O，连接OD，可得OD∥A1C，即可证明A1C∥平面AB1D；‎ ‎（Ⅱ）利用，求A1到平面AB1D的距离．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：连接A1B交AB1于O，连接OD，‎ 在△BA1C中，O为BA1中点，D为BC中点，‎ ‎∴OD∥A1C…‎ ‎∵OD⊂面AB1D，∴A1C∥平面AB1D…‎ ‎（Ⅱ）解：由①可知A1C∥平面AB1D，‎ ‎∴点A1到平面AB1D的距离等于点C到平面AB1D的距离…‎ ‎∵△AD1B为Rt△，‎ ‎∴…‎ 设点C到面AB1D的距离为h，则即 解得…‎ ‎19.‎ ‎【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．‎ ‎【分析】（1）由题意，所求概率为P=．‎ ‎（2）记a，b，c，d，e分别为选择6个月、12个月、18个月、24个月、36个月贷款，由题意知小王和小李的所有选择有：aa，ab，ac，ad，ae，ba，bb，bc，bd，be，ca，cb，cc，cd，ce，da，db，dc，dd，de，ea，eb，ec，ed，ee，共25种，得出其中使得小王和小李获补贴之和不超过600的有13种，即可得出所求概率．‎ ‎【解答】解：（1）由题意，所求概率为 ‎（2）记a，b，c，d，e分别为选择6个月、12个月、18个月、24个月、36个月贷款，‎ 由题意知小王和小李的所有选择有：aa，ab，ac，ad，ae，ba，bb，bc，bd，be，ca，cb，cc，cd，ce，da，db，dc，dd，de，ea，eb，ec，ed，ee，共25种，‎ 其中使得小王和小李获补贴之和不超过600的有aa，ab， ac，ad，ae，ba，bb，bc，ca，cb，cc，da，ea，共13种，‎ 所以所求概率为．‎ ‎20.‎ ‎【考点】数列递推式；数列的求和．‎ ‎【分析】（I）an2+2an﹣n2+2n=0（n∈N+），可得（an﹣n）（an﹣n+2）=0．即可解出．‎ ‎（II）利用等差数列的求和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：（I）∵an2+2an﹣n2+2n=0（n∈N+），∴（an+n）（an﹣n+2）=0．‎ ‎∴an=-n，或an=n﹣2．‎ ‎（II）an=-n时，．‎ an=n﹣2时，Sn==．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程的解法、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　21.‎ ‎【考点】5D：函数模型的选择与应用．‎ ‎【分析】（1）根据条件建立函数关系即可；‎ ‎（2）结合基本不等式的性质即可求出函数的最值．‎ ‎【解答】解：（1）设商品的销售价格提高a元，则销售量减少10﹣a万件，‎ 则（10﹣a）（5+a）≥50，即a2﹣5a≤0，解得0≤a≤5，‎ 故商品的销售价格最多提高5元．‎ ‎（2）由题意知，改革后的销售收入为mx万元，若使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和，‎ 则只需要满足mx=（x2+x）++50，（x＞5）即可，‎ 即m=x++≥+2=10+=，‎ 当且仅当x=，即x=10时，取等号，‎ 答：销售量m至少应达到万件时，才可能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和．‎ ‎22.‎ ‎【考点】圆与圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）直线AB方程为bx﹣ay﹣ab=0，依题意可得：，由此能求出椭圆的方程．‎ ‎（2）假设存在这样的值．，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，再由根的判别式和根与系数的关系进行求解．‎ ‎【解答】解：（1）直线AB方程为bx﹣ay﹣ab=0，‎ 依题意可得：，‎ 解得：a2=3，b=1，‎ ‎∴椭圆的方程为．‎ ‎（2）假设存在这样的值．‎ ‎，‎ 得（1+3k2）x2+12kx+9=0，‎ ‎∴△=（12k）2﹣36（1+3k2）＞0…①，‎ 设C（x1，y1），D（x2，y2），‎ 则 而y1•y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4，‎ 要使以CD为直径的圆过点E（﹣1，0），‎ 当且仅当CE⊥DE时，‎ 则y1y2+（x1+1）（x2+1）=0，‎ ‎∴（k2+1）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=0…③‎ 将②代入③整理得k=，‎ 经验证k=使得①成立综上可知，存在k=使得以CD为直径的圆过点E．‎ ‎【点评】本题考查圆与圆锥曲线的综合性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．‎